2021年高考数学考点第四章导数及其应用导数的概念及运算理

导数的概念及运算

1．导数的概念

(1)一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0

Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0

Δy

Δx ＝lim Δx →0

f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

.

(2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数．简称导数，记作f ′(x )或y ′. 2．导数的几何意义

函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)． 3．基本初等函数的导数公式

4.导数的运算法则

若f ′(x )，g ′(x )存在，则有

(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；

(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)??

??

??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2

(g (x )≠0)．

5．复合函数的导数

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

概念方法微思考

1．根据f ′(x )的几何意义思考一下，|f ′(x )|增大，曲线f (x )的形状有何变化？ 提示 |f ′(x )|越大，曲线f (x )的形状越来越陡峭． 2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？ 提示 不一定．

1．（2020?新课标Ⅰ）函数43()2f x x x =-的图象在点(1，f （1）)处的切线方程为( ) A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+

【答案】B

【解析】由43()2f x x x =-，得32()46f x x x '=-， f ∴'（1）462=-=-，

又f （1）121=-=-，

∴函数43

()2f x x x =-的图象在点(1，f （1）)处的切线方程为(1)2(1)y x --=--，

即21y x =-+． 故选B ．

2．（2020?新课标Ⅲ）若直线l 与曲线y =和圆221

5

x y +=都相切，则l 的方程为( )

A ．21y x =+

B ．122

y x =+

C ．1

12

y x =

+ D ．1122

y x =

+ 【答案】D

【解析】直线l 与圆221

5

x y +=相切，那么圆心(0,0)，

四个选项中，只有A ，D 满足题意；

对于A 选项：21y x =+与y =联立，可得210x -=，此时无解；

对于D 选项：1122y x =

+与y =联立，可得11

022

x =，此时解得1x =；

∴直线l 与曲线y 2215x y +=

都相切，方程为11

22

y x =+， 故选D ．

3．（2019?新课标Ⅱ）曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为( ) A ．10x y π---= B ．2210x y π---= C ．2210x y π+-+= D ．10x y π+-+=

【答案】C

【解析】由2sin cos y x x =+，得2cos sin y x x '=-， |2cos sin 2x y πππ=∴'=-=-，

∴曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为12()y x π+=--，

即2210x y π+-+=． 故选C ．

4．（2019?新课标Ⅲ）已知曲线x y ae xlnx =+在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，则( ) A ．a e =，1b =- B ．a e =，1b =

C ．1a e -=，1b =

D ．1a e -=，1b =-

【答案】D

【解析】x y ae xlnx =+的导数为1x y ae lnx '=++， 由在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+， 可得102ae ++=，解得1a e -=，

又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-， 故选D ．

5．（2018?全国）若函数2()1f x ax =+图象上点(1，f （1）)处的切线平行于直线21y x =+，则(a =

) A ．1- B ．0

C ．

1

4

D ．1

【答案】D

【解析】函数2()1f x ax =+的导数为()2f x ax '=， 可得点(1，f （1）)处的切线斜率为2a ， 由点(1，f （1）)处的切线平行于直线21y x =+， 可得22a =， 解得1a =， 故选D ．

6．（2018?新课标Ⅰ）设函数32()(1)f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为( ) A ．2y x =- B ．y x =-

C ．2y x =

D ．y x =

【答案】D

【解析】函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，()()f x f x -=-，

323232(1)((1))(1)x a x ax x a x ax x a x ax -+--=-+-+=----．

所以：22(1)(1)a x a x -=--

可得1a =，所以函数3()f x x x =+，可得2()31f x x '=+， 曲线()y f x =在点(0,0)处的切线的斜率为：1， 则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为：y x =． 故选D ．

7．（2016?山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( ) A ．sin y x = B ．y lnx =

C ．x y e =

D ．3y x =

【答案】A

【解析】函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数()y f x =的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1-， 当sin y x =时，cos y x '=，满足条件； 当y lnx =时，1

0y x

'=

>恒成立，不满足条件； 当x y e =时，0x y e '=>恒成立，不满足条件； 当3y x =时，230y x '=>恒成立，不满足条件； 故选A ．

8．（2016?四川）设直线1l ，2l 分别是函数,01

(),1lnx x f x lnx x -<?

图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则PAB ?的面积的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,)+∞ D ．(1,)+∞

【答案】A

【解析】设11(P x ，1)y ，22(P x ，212)(01)y x x <<<， 当01x <<时，1()f x x '=-，当1x >时，1

()f x x

'=，

1l ∴的斜率111k x =-，2l 的斜率22

1

k x =

，

1l 与2l 垂直，且210x x >>，

∴1212

11

1k k x x =-

=-，即121x x =． 直线11111:()l y x x lnx x =-

--，2222

1

:()l y x x lnx x =-+． 取0x =分别得到1(0,1)A lnx -，2(0,1)B lnx -+，

121212|||1(1)||2()||2|2AB lnx lnx lnx lnx lnx x =---+=-+=-=．

联立两直线方程可得交点P 的横坐标为12

12

2x x x x x =

+， ∴1212121

1

21122

||||21

22PAB P x x S AB x x x x x x x ?=

=??==+++． 函数1

y x x

=+

在(0,1)上为减函数，且101x <<， ∴11

1

112x x +

>+=，则1111012x x <

<+

， ∴11

2011x x <

<+

．

PAB ∴?的面积的取值范围是(0,1)．

故选A ．

9．（2020?新课标Ⅲ）设函数()x e f x x a =+，若f '（1）4

e

=，则a =__________．

【答案】1

【解析】函数()x e f x x a

=+，2(1)()()x

x a e f x x a +-∴'=+，

若f '（1）2(1)4ae e a =

=+，∴2

1

(1)4

a a =+，则1a =， 故答案为：1．

10．（2019?全国）若函数()(1)ax f x e ln x =++，(0)4f '=，则a =__________． 【答案】3

【解析】由()(1)ax f x e ln x =++，得1

()1

ax f x ae x '=++， (0)4f '=，(0)14f a '∴=+=， 3a ∴=．

故答案为：3．

11．（2018?天津）已知函数()x f x e lnx =，()f x '为()f x 的导函数，则f '（1）的值为__________． 【答案】e

【解析】函数()x f x e lnx =， 则1()x x

f x e lnx e x

'=+

； f ∴'（1）11e ln e e =+=．

故答案为：e ．

12．（2016?天津）已知函数()(21)x f x x e =+，()f x '为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________． 【答案】3 【解析】

()(21)x f x x e =+，

()2(21)x x f x e x e ∴'=++，

00(0)2(201)213f e e ∴'=+?+=+=．

故答案为：3．

13．（2020?上海）已知函数3()f x x =，1()f x -是()f x 的反函数，则1()f x -=__________．

【解析】由3()y f x x ==，得x =，

把x 与y 互换，可得3()f x x =的反函数为1()f x -

14．（2020?新课标Ⅰ）曲线1y lnx x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为__________． 【答案】2y x =

【解析】1y lnx x =++的导数为1

1y x

'=+， 设切点为(,)m n ，可得1

12k m

=+

=， 解得1m =，即有切点(1,2)，

则切线的方程为22(1)y x -=-，即2y x =， 故答案为：2y x =． 15．（2019?天津）曲线cos 2

x

y x =-

在点(0,1)处的切线方程为__________．

【答案】220x y +-= 【解析】由题意，可知： 1sin 2

y x '=--

， 011|sin 022

x y ='=--

=-． 曲线cos 2x y x =-

在点(0,1)处的切线方程：1

12

y x -=-， 整理，得：220x y +-=． 故答案为：220x y +-=．

16．（2019?江苏）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y lnx =上，且该曲线在点A 处的切线经过点(e -，1)(e -为自然对数的底数），则点A 的坐标是__________． 【答案】(,1)e

【解析】设0(A x ，0)lnx ，由y lnx =，得1

y x

'=

， ∴001|x x y x ='=

，则该曲线在点A 处的切线方程为000

1

()y lnx x x x -=-， 切线经过点(,1)e --，∴00

11e

lnx x --=--， 即00

e

lnx x =

，则0x e =． A ∴点坐标为(,1)e ．

故答案为：(,1)e ．

17．（2019?江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4

(0)y x x x

=+>上的一个动点，则点P 到直

线0x y +=的距离的最小值是__________． 【答案】4

【解析】由4(0)y x x x =+>，得24

1y x

'=-，

设斜率为1-的直线与曲线4

(0)y x x x

=+>切于0(x ，004)x x +，

由2

04

11x -

=-

，解得000)x x =>． ∴曲线4

(0)y x x x =+

>

上，点P 到直线0x y +=的距离最小，

4=．

故答案为：4．

18．（2019?新课标Ⅰ）曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为__________． 【答案】3y x = 【解析】

23()x y x x e =+，

23(31)x y e x x '∴=++，

∴当0x =时，3y '=，

23()x y x x e ∴=+在点(0,0)处的切线斜率3k =，

∴切线方程为：3y x =．

故答案为：3y x =．

19．（2018?新课标Ⅱ）曲线2y lnx =在点(1,0)处的切线方程为__________． 【答案】22y x =- 【解析】2y lnx =，

2

y x

∴'=

， 当1x =时，2y '=

∴曲线2y lnx =在点(1,0)处的切线方程为22y x =-．

故答案为：22y x =-．

20．（2018?新课标Ⅲ）曲线(1)x y ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，则a =__________． 【答案】3-

【解析】曲线(1)x y ax e =+，可得(1)x x y ae ax e '=++， 曲线(1)x y ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-， 可得：12a +=-，解得3a =-． 故答案为：3-．

21．（2018?新课标Ⅱ）曲线2(1)y ln x =+在点(0,0)处的切线方程为__________． 【答案】2y x = 【解析】2(1)y ln x =+，

2

1

y x ∴'=

+， 当0x =时，2y '=，

∴曲线2(1)y ln x =+在点(0,0)处的切线方程为2y x =．

故答案为：2y x =． 22．（2017?全国）若曲线1(1)1y x x x =+

>-的切线l 与直线3

4

y x =平行，则l 的方程为__________．

【答案】3450x y -+= 【解析】设切点为(,)m n ， 可得1

1

m n m +=-， 1

(1)1

y x x x =+

>-的导数为2

11(1)y x '=--， 由切线l 与直线3

4

y x =平行，可得

213

1(1)4m -=

-，解得3m =， 即有切点为7

(3,)2

，

可得切线的方程为73

(3)24

y x -

=-， 即为3450x y -+=． 故答案为：3450x y -+=．

23．（2017?天津）已知a R ∈，设函数()f x ax lnx =-的图象在点(1，f （1）)处的切线为l ，则l 在

y 轴上的截距为__________．

【答案】1

【解析】函数()f x ax lnx =-，可得1

()f x a x

'=-

，切线的斜率为：k f ='（1）1a =-， 切点坐标(1,)a ，切线方程l 为：(1)(1)y a a x -=--， l 在y 轴上的截距为：(1)(1)1a a +--=．

故答案为：1．

24．（2017?新课标Ⅰ）曲线21

y x x

=+

在点(1,2)处的切线方程为__________． 【答案】10x y -+= 【解析】曲线21y x x =+

，可得21

2y x x

'=-， 切线的斜率为：211k =-=．

切线方程为：21y x -=-，即：10x y -+=． 故答案为：10x y -+=．

25．（2016?新课标Ⅲ）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()()3f x ln x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)

-

处的切线方程是__________． 【答案】210x y ++=

【解析】()f x 为偶函数，可得()()f x f x -=， 当0x <时，()()3f x ln x x =-+，即有 0x >时，()3f x lnx x =-，1

()3f x x

'=

-， 可得f （1）133ln =-=-，f '（1）132=-=-，

则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程为(3)2(1)y x --=--， 即为210x y ++=． 故答案为：210x y ++=．

26．（2016?新课标Ⅲ）已知()f x 为偶函数，当0x 时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是__________． 【答案】2y x =

【解析】已知()f x 为偶函数，当0x 时，1()x f x e x --=-， 设0x >，则0x -<，

1()()x f x f x e x -∴=-=+，

则1()1x f x e -'=+， f '（1）012e =+=．

∴曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是22(1)y x -=-．

即2y x =． 故答案为：2y x =．

27．（2016?新课标Ⅱ）若直线y kx b =+是曲线2y lnx =+的切线，也是曲线(1)y ln x =+的切线，则b =

__________． 【答案】12ln -

【解析】设y kx b =+与2y lnx =+和(1)y ln x =+的切点分别为1(x ，1)kx b +、2(x ，2)kx b +； 由导数的几何意义可得1211

1

k x x =

=+，得121x x =+ 再由切点也在各自的曲线上，可得1122

2

(1)kx b lnx kx b ln x +=+??+=+?

联立上述式子解得1221212

k x x ?

?=?

?

=??

?

=-??；

从而112kx b lnx +=+得出12b ln =-．故答案为：12ln -．

28．（2018?江苏）记()f x '，()g x '分别为函数()f x ，()g x 的导函数．若存在0x R ∈，满足00()()

f x

g x =且00()()f x g x '='，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”． （1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()g x lnx =存在“S 点”，求实数a 的值；

（3）已知函数2

()f x x a =-+，()x

be g x x

=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()

g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由． 【解析】（1）证明：()1f x '=，()22g x x '=+，

则由定义得222122

x x x x ?=+-?=+?，得方程无解，则()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；

（2）()2f x ax '=，1

()g x x

'=，0x >， 由()()f x g x '='得1

2ax x

=

，得x =

11222f g lna =-==-，得2

e

a =； （3）()2f x x '=-，2

(1)()x be x g x x -'=，(0)x ≠，

由00()()f x g x '='，假设0b >，得0

30

0201

x x be x =-

>-，得001x <<， 由00()()f x g x =，得022

00

0021x x be x a x x -+==--，得22

00021

x a x x =--， 令2322

23()11x x x ax a

h x x a x x

-++-=--=--，(0,01)a x ><<， 设32()3m x x x ax a =-++-，(0,01)a x ><<，

则(0)0m a =-<，m （1）20=>，得(0)m m （1）0<， 又()m x 的图象在(0,1)上不间断， 则()m x 在(0,1)上有零点，

则()h x 在(0,1)上有零点，

则存在0b >，使()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S ”点． 29．（2016?新课标Ⅱ）已知函数()(1)(1)f x x lnx a x =+--．

（Ⅰ）当4a =时，求曲线()y f x =在(1，f （1）)处的切线方程； （Ⅱ）若当(1,)x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围． 【解析】()I 当4a =时，()(1)4(1)f x x lnx x =+--． f （1）0=，即点为(1,0)，

函数的导数1

()(1)

4f x lnx x x

'=++-， 则f '（1）124242ln =+-=-=-， 即函数的切线斜率k f ='（1）2=-，

则曲线()y f x =在(1,0)处的切线方程为2(1)22y x x =--=-+； ()

()(1)(1)II f x x lnx a x =+--，

1

()1f x lnx a x

∴'=++-， 2

1

()x f x x -∴''=

， 1x >，()0f x ∴''>，

()f x ∴'在(1,)+∞上单调递增， ()f x f ∴'>'（1）2a =-．

①2a ，()f x f '>'（1）0， ()f x ∴在(1,)+∞上单调递增， ()f x f ∴>（1）0=，满足题意；

②2a >，存在0(1,)x ∈+∞，0()0f x '=，函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，在0(x ，)+∞上单调递增， 由f （1）0=，可得存在0(1,)x ∈+∞，0()0f x <，不合题意． 综上所述，2a ．

另解：若当(1,)x ∈+∞时，()0f x >， 可得(1)(1)0x lnx a x +-->， 即为(1)1

x lnx

a x +<

-， 由(1)1

x lnx

y x +=

-的导数为2

1

2(1)x lnx x y x -

-'=-，

由1

2y x lnx x

=--的导数为222

12(1)10x y x x x -'=+-=>， 函数y 在1x >递增，可得21

20(1)

x lnx x x -

->-， 则函数(1)1

x lnx

y x +=

-在1x >递增， 则111

1(1)lim lim

21

1

x x lnx x lnx

x x →→++

+==-，

可得

(1)21

x lnx

x +>-恒成立， 即有2a ．

30．（2020?北京）已知函数2()12f x x =-．

（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；

（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(t ，())f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S ()t ，求()S t 的最小值．

【解析】（Ⅰ）2()12f x x =-的导数()2f x x '=-， 令切点为(,)m n ，可得切线的斜率为22m -=-， 1m ∴=，12111n ∴=-=，

∴切线的方程为213y x =-+；

（Ⅱ）曲线()y f x =在点(t ，())f t 处的切线的斜率为2k t =-， 切线方程为2(12)2()y t t x t --=--，

令0x =，可得212y t =+，令0y =，可得16

2x t t =+，

S ∴2116

()||(12)22t t t t

=

++， 由()()S t S t -=，可知()S t 为偶函数， 不妨设0t >，则2112

()()(12)4S t t t t

=++，

22222

11443(4)(12)

()(324)44t t S t t t t -+∴'=+-=，

由()0S t '=，得2t =，

当2t >时，()0S t '>，()S t 递增；当02t <<时，()0S t '<，()S t 递减， 则()S t 在2t =和2-处取得极小值，且为最小值32，

所以()S t 的最小值为32．

31．（2020?新课标Ⅲ）设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点1(2

，1

())2f 处的切线与y 轴垂直．

（1）求b ；

（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1． 【解析】（1）由3()f x x bx c =++，得2()3f x x b '=+， 211()3()022f b ∴'=?+=，即3

4

b =-；

（2）证明：设0x 为()f x 的一个零点，根据题意，30003

()04f x x x c =-+=，且0||1x ，

则3003

4c x x =-+，且0||1x ，

令33

()(11)4c x x x x =-+-，

2311

()33()()422

c x x x x ∴'=-+

=-+-， 当(1x ∈-，11)(22-?，1)时，()0c x '<，当1(2x ∈-，1

)2时，()0c x '>

可知()c x 在1(1,)2--，1

(2

，1)上单调递减，在1(2-，1)2上单调递增．

又1(1)4c -=

，c （1）14=-，11()24c -=-，11

()24

c =， ∴1144

c

-

． 设1x 为()f x 的零点，则必有31113

()04

f x x x c =-+=，

即311

131

444

c x x -

=-+， ∴32111132

1111

431(1)(21)0431(1)(21)0x x x x x x x x ?--=-+??-+=+-??，得111x -， 即1||1x ．

()f x ∴所有零点的绝对值都不大于1．

32．（2016?北京）设函数32()f x x ax bx c =+++． （1）求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程；

（2）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （3）求证：230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．

【解析】（1）函数32()f x x ax bx c =+++的导数为2()32f x x ax b '=++， 可得()y f x =在点(0，(0))f 处的切线斜率为(0)k f b ='=， 切点为(0,)c ，可得切线的方程为y bx c =+； （2）设4a b ==，即有32()44f x x x x c =+++， 由()0f x =，可得3244c x x x -=++，

由32()44g x x x x =++的导数2()384(2)(32)g x x x x x '=++=++， 当2

3x >-或2x <-时，()0g x '>，()g x 递增；

当2

23

x -<<-时，()0g x '<，()g x 递减．

即有()g x 在2x =-处取得极大值，且为0； ()g x 在23x =-处取得极小值，且为32

27

-．

由函数()f x 有三个不同零点，可得32

027

c -<-<， 解得32027

c <<

， 则c 的取值范围是32

(0,

)27

； （3）证明：若()f x 有三个不同零点，令()0f x =， 可得()f x 的图象与x 轴有三个不同的交点． 即有()f x 有3个单调区间，

即为导数2()32f x x ax b '=++的图象与x 轴有两个交点， 可得△0>，即24120a b ->，即为230a b ->；

若230a b ->，即有导数2()32f x x ax b '=++的图象与x 轴有两个交点， 当0c =，4a b ==时，满足230a b ->，

即有2()(2)f x x x =+，图象与x 轴交于(0,0)，(2,0)-，则()f x 的零点为2个． 故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．

1．（2019?西湖区校级模拟）已知某函数的导数为y ′()

1

21x =

-，则这个函数可能是（ ）

A ．y ＝

B ．y ＝

C ．y ＝ln （1﹣x ）

D ．y ＝ln

11

x - 【答案】A

【解析】对选项求导．

A 、（

=

()121x =-，符合；

对于B ，∵y =-()

1

'21y x =-

-，不符合；

对于C ，()11

'1'11y x x x

=?-=-

--，不符合； 对于D ，∵y ＝﹣ln （x ﹣1）∴1

'1

y x =--，不符合；

故选A ．

2．（2020?重庆模拟）函数f （x ）＝ax 2

+bx （a ＞0，b ＞0）在点（1，f （1））处的切线斜率为2，则

8a b

ab

+的最小值是（ ）

A ．10

B ．9

C ．8

D ．【答案】B

【解析】由f （x ）＝ax 2

+bx ，得f ′（x ）＝2ax +b ，

又f （x ）＝ax 2

+bx （a ＞0，b ＞0）在点（1，f （1））处的切线斜率为2， 所以f ′（1）＝2a +b ＝2，即12

b

a +

=．

则

88181855922a b b a b a ab b a b a b a +????=+=++=++≥= ???????． 当且仅当2282a b a b b a +=???=??，即13

43a b ?

=???

?=??

时“＝”成立． 所以

8a b

ab

+的最小值是9． 故选B ．

3．（2019?西湖区校级模拟）函数f （x ）＝cos x （sin x +1）的导数是（ ） A ．cos2x +sin x B ．cos2x ﹣sin x C ．cos2x +cos x D ．cos2x ﹣cos x

【答案】B

【解析】f ′（x ）＝﹣sin x （sin x +1）+cos x ?cos x ＝cos 2

x ﹣sin 2

x ﹣sin x ＝cos2x ﹣sin x ． 故选B ．

4．（2019?西湖区校级模拟）函数f （x ）＝cos x +sin x ，则π'3f ??

=

???

（ ） A

B

C

D

． 【答案】C

【解析】f ′（x ）＝cos x ﹣sin x ，

∴πππ1'cos sin 3332f ??

=-=

?

??

． 故选C ．

5．（2019?西湖区校级模拟）下列运算正确的是（ ） A ．（3x

）′＝3x

ln x

B ．'2sin cos sin (

)x x x x

x x +=

C ．'211

()1x x x

-=-

D ．（log 2x ）′1

ln2

x =

【答案】D

【解析】（3x ）′＝3x

ln3，2sin cos sin 'x x x x x x -??= ???

，2

11'1x x x ?

?-=+ ???，()21'ln2log x x =． 故选D ．

6．（2019?新疆模拟）已知f （x ）＝x 3﹣x 2

f '（﹣1）﹣1，则f '（﹣1）＝（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．2 D ．3

【答案】A

【解析】f （x ）＝x 3

﹣x 2

f '（﹣1）﹣1，

则f '（x ）＝3x 2

﹣2xf '（﹣1）， 则f '（﹣1）＝3+2f '（﹣1）， 解得f '（﹣1）＝﹣3 故选A ．

7．（2019?怀化三模）已知函数f （x ）及其导数f '（x ），若存在x 0使得f （x 0）＝f '（x 0），则称x 0

是f （x ）的一个“巧值点”．给出下列五个函数：①f （x ）＝x 2

，②f （x ）＝e ﹣x

，③f （x ）＝ln x ，④f （x ）＝tan x ，其中有“巧值点”的函数的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

【答案】B

【解析】根据题意，依次分析所给的函数：

①、若f （x ）＝x 2

；则f ′（x ）＝2x ，由x 2

＝2x ，得x ＝0或x ＝2，这个方程显然有解，故①符合要求；

②、若f （x ）＝e ﹣x

；则f ′（x ）＝﹣e ﹣x

，即e ﹣x

＝﹣e ﹣x

，此方程无解，②不符合要求； ③、f （x ）＝ln x ，则f ′（x ）1x =，若ln x 1

x =，利用数形结合可知该方程存在实数解，③符合要求；

④、f （x ）＝tan x ，则f ′（x ）＝（sin cos x x ）′2

1

cos x

=，即sin x cos x ＝1，变形可sin2x ＝2，无解，④不符合要求； 故选B ．

8．（2020?滨州三模）函数y ＝ln x 的图象在点x ＝e （e 为自然对数的底数）处的切线方程为（ ） A ．x +ey ﹣1+e ＝0 B ．x ﹣ey +1﹣e ＝0

C ．x +ey ＝0

D ．x ﹣ey ＝0

【答案】D

【解析】y＝ln x的导数为y′

1

x =，

可得函数y＝ln x的图象在点x＝e处的切线斜率为k

1

e =，

且切点为（e，1），

则切线的方程为y﹣1

1

e

=（x﹣e），

化为x﹣ey＝0．

故选D．

9．（2020?镜湖区校级模拟）若曲线y＝e x在x＝0处的切线也是曲线y＝ln x+2b的切线，则实数b＝（）

A．﹣1 B．1 C．2 D．e

【答案】B

【解析】曲线y＝e x的导数为y′＝e x，

可得在x＝0处的切线斜率为k＝1，切点为（0，1），

则切线的方程为y＝x+1，

设直线y＝x+1与y＝ln x+2b相切的切点为（m，2b+ln m），

由y＝ln x+2b的导数为y′

1

x

=，可得切线的斜率为

1

m

，

则1

m

=1，2b+ln m＝m+1，

解得m＝1，b＝1，

故选B．

10．（2020?香坊区校级一模）过直线y＝x上一点P可以作曲线f（x）＝x﹣ln x两条切线，则点P 横坐标t的取值范围为（）

A．t＜1 B．t＜0 C．0＜t＜1 D．1

1 e

t

＜＜

【答案】C

【解析】设切点为（m，m﹣ln m），m＞0，

由f（x）＝x﹣ln x的导数为f′（x）＝1

1

x -，

可得切线的斜率为1

1

m -，

又P（t，t），可得

ln

m m t

m t

--

=

-

1

1

m

-，

化为t＝m﹣m ln m，

设g（x）＝x﹣x ln x，可得g′（x）＝1﹣（1+ln x）＝﹣ln x，

当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增．

可得g（x）在x＝1处取得最大值1，

g（x）的图象如右图，

由题意可得当0＜t＜1时，方程t＝m﹣m ln m有两解，

故选C．

11．（2020?南岗区校级四模）曲线f（x）＝f′（1）e x﹣（e﹣1）x在点（0，f（0））处的切线的斜率为（）

A．2﹣e B．

1

2e

C．1 D．4﹣2e

【答案】A

【解析】f（x）＝f′（1）e x﹣（e﹣1）x的导数为f′（x）＝f′（1）e x﹣（e﹣1），

可得f′（1）＝f′（1）e﹣（e﹣1），解得f′（1）＝1，

所以f（x）＝e x﹣（e﹣1）x，

f′（x）＝e x﹣（e﹣1），

则在点（0，f（0））处的切线的斜率为k＝f′（0）＝e0﹣（e﹣1）＝2﹣e，

故选A．

12．（2020?汉阳区校级模拟）已知函数f（x）＝sin x在x＝0处的切线与y＝ae x相切，则a的值为（）

A．1 B．e C．1

e

D．e2

【答案】C

【解析】函数f（x）＝sin x的导数为f′（x）＝cos x，可得函数f（x）＝sin x在x＝0处的切线斜率为k＝1，由切点（0，0），可得切线的方程为y＝x，

又切线与y＝ae x相切，设此时的切点为（m，ae m），