动态规划方法求解线性规划问题(2020年九月整理).doc
学 海 无 涯
1 用动态规划方法求解下列线性规划问题。
321x x 5x 2f max ++=
???≥≤++0x ,x ,x 10x 4x x 23
21321 设i x —决策变量；i S —状态变量；
()i i f S —第i 阶段的最优指标函数
332321211114,,210,()(10)S x S S x S S x f S f ==+=+≤=求
①当n=3，第三阶段
{}3333*33334()max , 44
x S S S f S x x ==== ②当n=2，第二阶段
{}22222222222322222000191()max 5()max 5max 444x S x S x S S x f S x f S x x x S ≤≤≤≤≤≤-????=+-=+=+???????
? *22222, ()5x S f S S ∴==
③当n=1，第一阶段
{}{}{}11111111121121111020202()max 2(2)max 25(2)max 58x S x S x S f S x f S x x S x S x ≤≤≤≤≤≤=+-=+-=- *11110, ()5x f S S ∴==
11110, ()50S f S ∴==
*2211210, ∴==-=x S S x
322*30,44
S S x x -∴=== **1(0,10,0),()(10)50T x f x f ∴===
用MATLAB解线性规划
用MATLAB 优化工具箱解线性规划 命令：x=linprog （c ，A ，b ） 2、模型： beq AeqX b AX ..min =≤=t s cX z 命令：x=linprog （c ，A ，b ，Aeq,beq ） 注意：若没有不等式：b AX ≤存在，则令A=[ ]，b=[ ]. 若没有等式约束, 则令Aeq=[ ], beq=[ ]. 3、模型： VUB X VLB beq AeqX b AX ..min ≤≤=≤=t s cX z 命令：[1] x=linprog （c ，A ，b ，Aeq,beq, VLB ，VUB ） [2] x=linprog （c ，A ，b ，Aeq,beq, VLB ，VUB, X0） 注意：[1] 若没有等式约束, 则令Aeq=[ ], beq=[ ]. [2]其中X0表示初始点 4、命令：[x,fval]=linprog(…) 返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval. 例1 max 6543216.064.072.032.028.04.0x x x x x x z +++++= 85003.003.003.001.001.001.0..654321≤+++++x x x x x x t s 70005.002.041≤+x x 10005.002.052≤+x x 90008.003.063≤+x x 6,2,10 =≥j x j 解 编写M 文件小xxgh1.m 如下： c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6]; A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08]; b=[850;700;100;900]; Aeq=[]; beq=[]; vlb=[0;0;0;0;0;0]; vub=[]; [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) min z=cX b AX t s ≤..1、模型：
运筹学中的线性规划在企业中的应用
线性规划在企业中的运用 摘要：运筹学是一门定量优化的决策科学，而线性规划是运筹学的一个基本分支，它广泛应用现有的科学技术和数学方法，解决实际中提出的专门问题、为决策者选择最优决策提供定量依据，帮助决策人员选择最优方针和决策，其英文名字为Operational Research.50年代中期，钱学森等教授将其由西方引入我国，并结合我国国情实际运用。线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，线性规划是辅助企业“转轨”、“变型”的十分有利的工具，它在帮助企业经营决策、计划优化等方面具有重要的作用。 关键词：运筹学；线性规划；应用；企业 运筹学的特点是利用数学、管理科学、计算机科学技术等研究事物的数量化规律，使得有限的人、财、物、时、空、信息等资源得到合理充分合理的利用。 它以数学为工具，寻找解决各种问题的最优方案，并从系统的观点出发研究全局的规划。运筹学早期应用在军事领域，二战后转为民用，并且在企业中的应用越来越广泛，取得了良好的经济效益。运筹学的思想贯穿了企业发展的始终，运筹学对各种决策方案进行科学评估，为管理决策服务，使得企业管理者更有效合理地利用有限资源。优胜劣汰，适者生存，这是自然界的生存法则，也是企业的生存法则。只有那些能够成功地应付环境挑战的企业，才是得以继续生存和发展的企业。 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，早在1939年苏联的康托洛维奇（H.B.Kahtopob ）和美国的希奇柯克（F.L.Hitchcock）等人就在生产组织管理和制定交通运输方案方面首先研究和应用线性规划方法。1947年旦茨格等人提出了求解线性规划问题的单纯形方法，为线性规划的理论与计算奠定了基础，特别是电子计算机的出现和日益完善，更使规划论得到迅速的发展，可用电子计算机来处理成千上万个约束条件和变量的大规模线性规划（或非线性规划）问题。从应用范围来看，小到一个班组的计划安排，大至整个部门，以至国民经济计划的最优化方案分析，它都有用武之地，从解决技术问题的最优化，到工业、农业、商业、交通运输业以及决策分析部门它都可以发挥作用。线性规划方法具有适应性强，应用面广，计算技术比较简便的特点。其基本思路是在满足一定的约束条件下，使预定的目标达到最优。它的研究内容可归纳为两个方面：一是系统的任务已定，如何合理筹划，精细安排，用最少
线性规划应用案例
线性规划应用案例
市场营销应用 案例一：媒体选择 在媒体选择中应用线性规划的目的在于帮助市场营销经理将固定的广告预算分配到各种广告媒体上，可能的媒体包括报纸、杂志、电台、电视和直接邮件。在这些媒体中应用线性规划，目的是要使宣传范围、频率和质量最大化。对于应用中的约束条件通常源于对公司政策、合同要求及媒体的可用性。在下面的应用中，我们将介绍如何应用线性规划这一工具来建立模型进而解决媒体选择问题。 REL发展公司正在私人湖边开发一个环湖社区。湖边地带和住宅的主要市场是距离开发区100英里以内的所有中上收入的家庭。REL公司已经聘请BP&J 来设计宣传活动。 考虑到可能的广告媒体和要覆盖的市场，BP&J建议将第一个月的广告局限于5种媒体。在第一个月末，BP&J将依据本月的结果再次评估它的广告策略。BP&J已经收集到了关于受众数量、广告单价、各种媒体一定周期内可用的最大次数以及评定5种媒体各自宣传质量的数据。质量评定是通过宣传质量单位来衡量的。宣传质量单位是一种用于衡量在各个媒体中一次广告的相对价值的标准，它建立于BP&J在广告业中的经验，将众多因素考虑在内，如受众层次（年龄、收入和受众受教育的程度）、呈现的形象和广告的质量。表4-1列出了收集到的这些信息。 表4-1 REL发展公司可选的广告媒体
REL发展公司提供给BP&J第一个月广告活动的预算是30000美元。而且，REL公司对BP&J如何分配这些资金设置了如下限制：至少要使用10次电视广告，达到的受众至少要有50000人，并且电视广告的费用不得超过18000美元。应当推荐何种广告媒体选择计划呢？ 案例二：市场调查 公司开展市场营销调查以了解消费者个性特点、态度以及偏好。专门提供此种信息的市场营销调查公司，经常为客户机构开展实际调查。市场营销调查公司提供的典型服务包括涉及计划、开展市场调查、分析收集数据、提供总结报告和对客户提出意见。在调查设计阶段，应当对调查对象的数量和类型设定目标或限额。市场营销调查公司的目标是以最小的成本满足客户要求。 市场调查公司（MSI）专门评定消费者对新的产品、服务和广告活动的反映。一个客户公司要求MSI帮助确定消费者对一种近期推出的家具产品的反应。在与客户会面的过程中，MSI统一开展个人入户调查，以从有儿童的家庭和无儿童的家庭获得回答。而且MSI还同意同时开展日间和晚间调查。尤其是，客户的合同要求依据以下限制条款进行1000个访问： ●至少访问400个有儿童的家庭； ●至少访问400个无儿童的家庭； ●晚间访问的家庭数量必须不少于日间访问的家庭数量； ●至少40%有儿童的家庭必须在晚间访问； ●至少60%无儿童的家庭必须在晚间访问。 因为访问有儿童的家庭需要额外的访问时间，而且晚间访问者要比日间访问者获得更多收入，所以成本因访问的类型不同而不同。基于以往的调查研究，预计的访问费用如下表所示： 以最小总访问成本满足合同要求的家庭——时间访问计划是什么样的
对偶线性规划理论及其在经济中的应用开题报告
开题报告 信息与计算科学 对偶线性规划理论及其在经济中的应用 一、选题的背景、意义[1] 21世纪中国进入到了一个新的时代，随着经济的快速发展和社会的进步，整个社会运行的各个方面——无论是在政治、经济、文化、科技、军事、外交方面，还是在环境、生态、资源问题方面，都将着眼于解决能否实现的问题扩充到更加重视解决如何优化实现的问题，从解决局部的简单问题扩充到解决系统的复杂问题，从静态地解决问题到动态地解决问题，从解决涉及单一领域的独立发展问题扩充到解决涉及多个领域的协同发展的问题，从通过直接办法解决问题扩充到通过间接的办法解决问题等，都迫切需要线性规划理论及其应用。随着计算机技术的发展和普及，线性规划的应用越来越广泛。它已成为人们合理利用有限资源制定最佳决策的有利工具。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 2.1 对偶线性规划理论概述 2.1.1 对偶线性规划理论的发展历程及现状[2] [3] 线性规划理论产生于20世纪30年代。1939年，苏联数学家康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学方法》一书中，最早提出和研究了线性规划问题。 1947年，美国数学家丹齐克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法─单纯形法，为这门学科奠定了基础。1947年，美国数学家诺伊曼提出对偶理论,开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力。 1951年，美国经济学家库普曼斯把线性规划应用到经济领域；1960年，康托罗维奇再次发表《最佳资源利用的经济计算》，创立了享誉全球的线性规划要点，对资源最优分配理论做出了贡献。为此，库普曼斯与康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖。1984年，美国贝尔电话实验室的印度数学家卡马卡提出求解线性规划问题的投影尺度法，这是一个有实用意义的新的多项式时间算法。这个算法引起了人们对内点算法的关注，此后相
线性规划理论在实际问题中的应用
Ⅰ线性规划理论在实际问题中的应用 ⅰ问题背景描述 线性规划是运筹学的一个基本分支，它广泛应用现有的科学技术和数学方法，解决实际中的问题，帮助决策人员选择最优方针和决策。把线性规划的知识运用到企业中，企业就有必要利用线性规划的知识对战略计划，生产，销售的各个环节进行优化，从而降低生产成本，提高企业的生产效率，通过建立模型并利用相关软件，对经济管理中有限资源进行合理分配，从而获得最佳经济效益。根据美国《财富》杂志对全美前500家大公司的调查表明,线性规划的应用程度名列前矛,有85%的公司频繁地使用线性规划,并取得了显著提高经济效益的效果。 在实际生活中，经常会遇到一定的人力、物力、财力等资源条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源取得最大的效益的问题，而这正是线性规划研究的基本内容，它在实际生活中有着非常广泛的应用．任何一个组织的管理者都必须对如何向不同的活动分配资源的问题做出决策，即如何有效地利用人力、物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下如何耗用最少的人力、物力去实现目标。在许多情况下，大量不同的资源必须同时进行分配，需要这些资源的活动可以是不同的生产活动，营销活动，金融活动或者其他一些活动。随着计算技术的不断发展，使成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题能迅速地求解，更为线性规划在经济等各领域的广泛应用创造了极其
有利的条件。线性规划已经成为现代化管理的一种重要的手段。 建模是解决线性规划问题极为重要的环节，一个正确的数学模型的建立要求建模者熟悉线性规划的具体实际内容，要明确目标函数和约束条件，通过表格的形式把问题中的已知条件和各种数据进行整理分析，从而找出约束条件和目标函数。 从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤； 1.根据影响所要达到目的的因素找到决策变量； 2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数； 3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。 所建立的数学模型具有以下特点： 1、每个模型都有若干个决策变量（x1，x2，x3……，xn），其中n为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般是非负的。 2、目标函数是决策变量的线性函数根据具体问题可以是最大化（max）或最小化（min），二者统称为最优化（opt）。 3、约束条件也是决策变量的线性函数。 当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。 线性规划模型的基本结构:
线性规划的方法及应用
线性规划的方法及应用 1 引言 运筹学最初是由于第二次世界大战的军事需要而发展起来的，它是一种科学方法，是一种以定量的研究优化问题并寻求其确定解答的方法体系．线性规划（Linear Progromming ，简称LP ）是运筹学的一个重要分支，其研究始于20世纪30年代末，许多人把线性规划的发展列为20世纪中期最重要的科学进步之一．1947年美国的数学家丹泽格提出了一般的线性规划数学模型和求解线性规划问题的通用方法――单纯形法，从而使线性规划在理论上趋于成熟．此后随着电子计算机的出现，计算技术发展到一个高阶段，单纯形法步骤可以编成计算机程序，从而使线性规划在实际中的应用日益广泛和深入．目前，从解决工程问题的最优化问题到工业、农业、交通运输、军事国防等部门的计划管理与决策分析，乃至整个国民经济的综合平衡，线性规划都有用武之地，它已成为现代管理科学的重要基础之一． 2 线性规划的提出 经营管理中如何有效地利用现有人力物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下，如何耗用最少的人力物力去实现．这类问题可以用数学语言表达，即先根据问题要达到的目标选取适当的变量，问题的目标通常用变量的函数形式（称为目标函数），对问题的限制条件用有关变量的等式或不等式表达（称为约束条件）．当变量连续取值，且目标函数和约束条件为线性时，称这类模型为线性规划的模型．有关对线性规划问题建模、求解和应用的研究构成了运筹学中的线性规划分支．线性规划实际上是:求一组变量的值，在满足一组约束条件下，求得目标函数的最优解.从而线性规划模型的基本结构为： ①变量：变量又叫未知数，它是实际系统的位置因素，也是决策系统中的可控因素，一般称为决策变量，常引用英文字母加下标来表示，如n x x x ,,,21 等． ②目标函数：将实际系统的目标用数学形式表示出来，就称为目标函数，线性规划的目标函数是求系统目标的数值，即极大值（如产值极大值，利润极大值）或极小值（如成本极小值，费用极小值等等）． ③约束条件：约束条件是指实现系统目标的限制因素．它涉及到企业内部条件和外部环境的各个方面，如原材料供应设备能力、计划指标．产品质量要求和市场销售状态等等，这些因素都对模型的变量起约束作用，故称其为约束条件．约束条件的数学表示有三种，即 ,,,线性规划的变量应为非负值，因为变量在实际问题中所代表的均为实物，所以不能为负． 线性规划问题有多种形式，函数有的要求实现最大化，有的要求最小化；约束条件可以是“ ”，
多目标线性规划的若干解法及MATLAB实现
多目标线性规划的若干解法及MATLAB 实现 一．多目标线性规划模型 多目标线性规划有着两个和两个以上的目标函数,且目标函数和约束条件全是线性函 数,其数学模型表示为： 11111221221122221122max n n n n r r r rn n z c x c x c x z c x c x c x z c x c x c x =+++??=+++?? ??=+++? （1） 约束条件为： 1111221121122222112212,,,0 n n n n m m mn n m n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x x +++≤??+++≤?? ??+++≤?≥?? （2） 若（1）式中只有一个1122i i i in n z c x c x c x =+++ ，则该问题为典型的单目标线性规划。我们记:()ij m n A a ?=,()ij r n C c ?=,12(,,,)T m b b b b = ,12(,,,)T n x x x x = ， 12(,,,)T r Z Z Z Z = . 则上述多目标线性规划可用矩阵形式表示为: max Z Cx = 约束条件：0 Ax b x ≤?? ≥? （3） 二．MATLAB 优化工具箱常用函数[3] 在MA TLAB 软件中，有几个专门求解最优化问题的函数，如求线性规划问题的linprog 、求有约束非线性函数的fmincon 、求最大最小化问题的fminimax 、求多目标达到问题的fgoalattain 等,它们的调用形式分别为： ①.[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) f 为目标函数系数,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束系数, lb,ub 为x 的下 限和上限, fval 求解的x 所对应的值。 算法原理：单纯形法的改进方法投影法 ②.[x,fval ]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub ） fun 为目标函数的M 函数, x0为初值,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束
用matlab求解线性规划问题
一、实验目的： 了解Matlab 的优化工具箱，能利用Matlab 求解线性规划问题。 二、实验内容： 线性规划的数学模型有各种不同的形式，其一般形式可以写为： 目标函数： n n x f x f x f z +++= 2211m in 约束条件： s n sn s s n n b x a x a x a b x a x a x a ≤+++≤+++ 221 11 1212111 s n tn t t n n d x c x c x c d x c x c x c =+++=+++ 221 11 1212111 0,,,21≥n x x x 这里 n n x f x f x f z +++= 2211称为目标函数，j f 称为价值系数，T n f f f f ),,,(21 =称为价值向量，j x 为求解的变量，由系数ij a 组成的矩阵 ??????????=mn m n a a a a A 1111 称为不等式约束矩阵，由系数ij c 组成的矩阵 ??????????=sn s n c c c c C 1111 称为等式约束矩阵，列向量 T n b b b b ),,,(21 =和T n d d d d ),,,(21 =为右端向量，条件0≥j x 称为非负约束。一个向量T n x x x x ),,,(21 =，满足约束条件，称为可行解或可行点，所有可行点的集合称为 可行区域，达到目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解，相应的目标函数值称为最优目标函数值，简称最优值。 我们这里介绍利用Matlab 来求解线性规划问题的求解。 在Matlab 中有一个专门的函数linprog()来解决这类问题，我们知道，极值有最大和最小两种，但求z 的极大就是求z -的极小，因此在Matlab 中以求极小为标准形式，函数linprog()的具体格式如下： X=linprog(f,A,b) [X,fval,exitflag,ouyput,lamnda]=linprog(f,A,b,Aeq,Beq,LB,UB,X0,options) 这里X 是问题的解向量，f 是由目标函数的系数构成的向量，A 是一个矩阵，b 是一个向量，A ，b 和变量x={x1,x2,…,xn}一起，表示了线性规划中不等式约束条件，A ，b 是系数矩阵和右端向量。Aeq 和Beq 表示了线性规划中等式约束条件中的系数矩阵和右端向量。LB 和UB 是约束变量的下界和上界向量，X0是给定的变量的初始值，options 为控制规划过程的参数系列。返回值中fval 是优化结束后得到的目标函数值。exitflag=0表示优化结果已经超过了函数的估计值或者已声明的最大迭代次数；exitflag>0表示优化过程中变量收敛于解X ，exitflag<0表示不收敛。output 有3个分量，iterations 表示优化过程的迭代次数，cgiterations 表示PCG 迭代次数，algorithm 表示优化所采用的运算规则。lambda 有4个分量，
线性规划的应用(简介和案例)
线性规划的应用 线性规划是运筹学中一个重要分支，它是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。如：经济管理、交通运输、工农业生为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。 线性规划作为运筹学的一个研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的重要分支，它在日常生活中的典型应用主要有：1合理利用线材问题：如何下料使用材最少 2配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润 3投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大 4产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大 5劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 6运输问题：如何制定调动方案，使总运费最小 其实，也就是说，线性规划在运筹学中的研究对象主要是在有一定的人力、财力、资源条件下，如何合理安排使用，效益最高和在某项任务确定后，如何安排人、财、物，使之最省。 例如： 某公司现有三条生产线来生产两种新产品，其主要数据如表1.1所示。请问如何生产可以让公司每周利润最大？
表1 产品组合问题的数据表 此问题是在生产线可利用时间受到限制的情形下寻求每周利润最大化的产品组合问题。 在建立产品组合模型的过程中，以下问题需要得到回答： （1）要做出什么决策？ （2）做出的决策会有哪些条件限制？ （3）这些决策的全部评价标准是什么？ （1）变量的确定 要做出的决策是两种新产品的生产水平，记x1为每周生产产品甲的产量，x2为每周生产产品乙的产量。一般情况下，在实际问题中常常称为变量（决策变量）。 （2）约束条件 求目标函数极值时的某些限制称为约束条件。如两种产品在相应生产线上每周生产时间不能超过每条生产线的可得时间，对于生产线一，有x1≤4，类似地，其它生产线也有不等式约束。 （3）目标函数 对这些决策的评价标准是这两种产品的总利润，即目标函数是要求每周的生产利润（可记为z，以百元为计量单位）为最大 这样，可以把产品组合问题抽象地归结为一个数学模型： max z = 3x1+5x2 s.t. x1 ≤4 2x2 ≤12 3x1+ 2x2 ≤18 x1≥0，x2 ≥0
运用Matlab进行线性规划求解实例
8.2 线性规划 线性规划是处理线性目标函数和线性约束的一种较为成熟的方法，目前已经广泛应用于军事、经济、工业、农业、教育、商业和社会科学等许多方面。 8.2.1 基本数学原理 线性规划问题的标准形式是： ????? ??????≥=+++=+++=++++++=0,,,min 21221122222121112 121112211n m n mn m m n n n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c z ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 或 ???? ?????=≥===∑∑==n j x m i b x a x c z j n j i j ij n j j j ,,2,1,0,,2,1,min 1 1ΛΛ 写成矩阵形式为： ?? ???≥==O X b AX CX z min 线性规划的标准形式要求使目标函数最小化，约束条件取等式，变量b 非负。不符合这几个条件的线性模型可以转化成标准形式。 MATLAB 采用投影法求解线性规划问题，该方法是单纯形法的变种。 8.2.2 有关函数介绍 在MATLAB 工具箱中，可用linprog 函数求解线性规划问题。 linprog 函数的调用格式如下： ●x=linprog(f,A,b)：求解问题minf'*x ，约束条件为A*x<=b 。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)：求解上面的问题，但增加等式约束，即Aeq*x=beq 。若没有不等式约束，则令A=[ ],b=[ ]。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)：定义设计x 的下界lb 和上界ub ，使得x 始终在该范围内。若没有等式约束，令Aeq=[ ],beq=[ ]。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)：设置初值为x0。该选项只适用于中型问题，默认时大型算法将忽略初值。 ●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)：用options 指定的优化参数进行最小化。 ●[x,fval]=linprog(…)：返回解x 处的目标函数值fval 。 ●[x,lambda,exitflag]=linpro g(…)：返回exitflag 值，描述函数计算的退出条件。 ●[x,lambda,exitflag,output]=linprog(…)：返回包含优化信息的输出参数output 。 ●[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(…)：将解x 处的拉格朗日乘子返回到
线性规划的实际应用
密封线 线性规划的实际应用 摘要线性规划模型是科学与工程领域广泛应用的数学模型。本文应用线性规划模型，以 某水库输水管的选择为研究对象，以实现输水管的选择既能保证供水，又能使造价最低为 目标，根据水库的特点和实际运行情况，分析了其输水管选择过程中线性规划模型的建立 方法，并分别通过单纯形法和MATLAB软件进行求解。 关键词线性规划模型单纯形法 MATLAB 一、专著背景简介 《最优化方法》介绍最优化模型的理论与计算方法，其中理论包括对偶理论、非线性规划的最优性理论、非线性半定规划的最优性理论、非线性二阶锥优化的最优性理论；计算方法包括无约束优化的线搜索方法、线性规划的单纯形方法和内点方法、非线性规划的序列二次规划方法、非线性规划的增广Lagrange方法、非线性半定规划的增广Lagrange方法、非线性二阶锥优化的增广Lagrange方法以及整数规划的Lagrange松弛方法。《最优化方法》注重知识的准确性、系统性和算法论述的完整性，是学习最优化方法的一本入门书。 最优化方法（也称做运筹学方法）是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。本章将介绍最优化方法的研究对象、特点，以及最优化方法模型的建立和模型的分析、求解、应用。主要是线性规划问题的模型、求解（线性规划问题的单纯形解法）及其应用-运输问题；以及动态规划的模型、求解、应用-资源分配问题。 二、专著的主要结构内容 《最优化方法》是一本着重实际应用又有一定理论深度的最优化方法教材，内容包括线
线性规划常见题型及解法(上课)
线性规划常见题型及解法 温故 1．不在3x+ 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，2）D．（2，0） 2．已知点（3 ，1）和点（－4 ，6）在直线3x–2y + m = 0 的两侧，则（）A．m＜－7或m＞24 B．－7＜m＜24 C．m＝－7或m＝24 D．－7≤m≤24 3．在△ABC中，三顶点坐标为A（2 ，4），B（－1，2），C（1 ，0 ），点P（x，y）在△ABC内部及边界运动，则z= x– y 的最大值和最小值分别是（） A．3，1 B．－1，－3 C．1，－3 D．3，－1 4．在直角坐标系中，满足不等式x２－y2≥0 的点（x，y）的集合（用阴影部分来表示）的是（） 5．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是（）A． 2 3260 y x y x ≥- ? ? -+> ? ?< ? B． 2 3260 y x y x >- ? ? -+≥ ? ?≤ ? C． 2 3260 y x y x >- ? ? -+> ? ?≤ ? D． 2 3260 y x y x >- ? ? -+< ? ?< ?
由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值
线性规划模型在生活中的实际应用
线性规划模型在生活中的实际应用 一、线性规划的基本概念 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素. 二、线性规划模型在实际问题中的应用 （1）线性规划在企业管理中的应用范围 线性规划在企业管理中的应用广泛，主要有以下八种形式： 1.产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，是获利最大. 2.劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要. 3.运输问题：如何制定运输方案，使总运费最少. 4.合理利用线材问题：如何下料，使用料最少. 5.配料问题：在原料供应的限制下如何获得最大利润. 6.投资问题：从投资项目中选取方案，是投资回报最大. 7.库存问题：在市场需求和生产实际之间，如何控制库存量从而获得更高利益.
8.最有经济计划问题：在投资和生产计划中如何是风险最小 . （2）如何实现线性规划在企业管理中的应用 在线性规划应用前要建立经济与金融体系的评价标准及企业的计量体系，摸清企业的资源.首先通过建网、建库、查询、数据采集、文件转换等，把整个系统的各有关部分的特征进行量化，建立数学模型，即把组成系统的有关因素与系统目标的关系，用数学关系和逻辑关系描述出来，然后白较好的数学模型编制成计算机语言，输入数据，进行计算，不同参数获取的不同结果与实际进行分析对比，进行定量，定性分析，最终作出决策. 3.3 线性规划在运输问题中的应用 运输是物流活动的核心环节，线性规划是运输问题的常用数学模型，利用数学知识可以得到优化的运输方案. 运输问题的提出源于如何物流活动中的运输路线或配送方案是最经济或最低成本的.运输问题解决的是已知产地的供应量，销地的需求量及运输单价，如何寻找总配送成本最低的方案；运输问题包含产销平衡运输问题和产销不平衡运输问题；通常将产销不平衡问题转化为产销平衡问题来处理；运输问题的条件包括需求假设和成本假设.需求假设指每一个产地都有一个固定的供应量所有的供应量都必须配送到目的地.与之类似，每一个目的地都有一个固定的需求量，整个需求量都必须有出发地满足；成本假设指从任何一个产地到任何一个销地的配送成本和所配送的数量的线性比例关系.产销平衡运输问题的一般提法是： 假设某物资有m个产地a1，a2，?，am;各地产量分别为b1，b2，?，bn，物资从产地Ai运往销地Bj的单位运价为cij,满足：
线性规划的常见题型及其解法(教师版,题型全,归纳好)
线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致． 归纳起来常见的命题探究角度有： 1．求线性目标函数的最值． 2．求非线性目标函数的最值． 3．求线性规划中的参数． 4．线性规划的实际应用． 本节主要讲解线性规划的常见基础类题型． 【母题一】已知变量x ，y 满足约束条件???? ? x ＋y ≥3，x －y ≥－1， 2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( ) A ．[7，23] B ．[8，23] C ．[7，8] D ．[7，25] 求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求 直线的截距z b 的最值，间接求出z 的最值． 【解析】画出不等式组???? ? x ＋y ≥3，x －y ≥－1， 2x －y ≤3， 表示的平面区域如图中阴影部分所示， 由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3，平移直线y ＝－2 3 x 知在点B 处目标函数取到最小值，解方程组 ????? x ＋y ＝3，2x －y ＝3，得????? x ＝2， y ＝1，所以B (2,1)，z min ＝2×2＋3×1＝7，在点A 处目标函数取到最大值，解方程组????? x －y ＝－1，2x －y ＝3，得????? x ＝4，y ＝5， 所以A (4,5)，z max ＝2×4＋3×5＝23． 【答案】A
【母题二】变量x ，y 满足???? ? x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0， x ≥1， (1)设z ＝y 2x －1，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围； (3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围． 点(x ，y )在不等式组表示的平面区域内，y 2x －1＝12·y －0 ??? ? x －12表示点(x ，y )和????12，0连线的斜率；x 2＋y 2表示点(x ，y )和原点距离的平方；x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2表示点(x ，y )和点(－3,2)的距离的平方． 【解析】(1)由约束条件???? ? x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0， x ≥1， 作出(x ，y )的可行域如图所示． 由 ????? x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ????1，22 5． 由????? x ＝1， x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由? ???? x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． ∵z ＝ y 2x －1 ＝y －0x －12 ×12 ∴z 的值即是可行域中的点与????12，0连线的斜率，观察图形可知z min ＝2－05－ 12×12＝29 ． (2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29． ∴2≤z ≤29． (3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是： 可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中， d min ＝1－(－3)＝4， d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8 ∴16≤z ≤64．
高中数学解题方法谈 线性规划求最值问题
线性规划求最值问题 一、与直线的截距有关的最值问题 例1 已知点()P x y ，在不等式组2010220x y x y -??-??+-? ，，≤≤≥表示的平面区域上运动，则z x y =-的 取值范围是（ ）． （A ）［－2，－1］ （B ）［－2，1］ （C ）［－1，2］ （D ）［1，2］ 解析：由线性约束条件画出可行域如图1，考虑z x y =-， 把它变形为y x z =-，这是斜率为1且随z 变化的一族平行 直线．z -是直线在y 轴上的截距．当直线满足约束条件且 经过点（2，0）时，目标函数z x y =-取得最大值为2； 直线经过点（0，1）时，目标函数z x y =-取得最小值为－1．故选（C ）． 注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y 的取值范围为［-1，2］更为简单．这需要有最值在边界点取得的特殊值意识． 二、与直线的斜率有关的最值问题 例2 设实数x y ，满足20240230x y xc y y --??+-??-? ，，，≤≥≤，则y z x =的最大值是__________． 解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC （如图2），00y y z x x -==-表示两点(00)()O P x y ，，，确定的直线的斜率，要求z 的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．由图2可以看出直线OP 的斜率最大，故P 为240x y +-=与230y -=的交点，即A 点． ∴312P ?? ???，．故答案为32 ． 注：解决本题的关键是理解目标函数00y y z x x -= =-的 几何意义，当然本题也可设y t x =，则y tx =，即为求 y tx =的斜率的最大值．由图2可知，y tx =过点A 时， t 最大．代入y tx =，求出32 t =， 即得到的最大值是32 ． 三、与距离有关的最值问题
用matlab求解线性规划问题
实验四 用MATLAB 求解线性规划问题 一、实验目的： 了解Matlab 的优化工具箱，能利用Matlab 求解线性规划问题。 二、实验内容： 线性规划的数学模型有各种不同的形式，其一般形式可以写为： 目标函数： n n x f x f x f z +++= 2211mi n 约束条件： s n sn s s n n b x a x a x a b x a x a x a ≤+++≤+++ 221 11 1212111 s n tn t t n n d x c x c x c d x c x c x c =+++=+++ 221 11 1212111 0,,,21≥n x x x 这里 n n x f x f x f z +++= 2211称为目标函数，j f 称为价值系数，T n f f f f ),,,(21 =称为价值向量，j x 为求解的变量，由系数ij a 组成的矩阵 ??????????=mn m n a a a a A 1111 称为不等式约束矩阵，由系数ij c 组成的矩阵 ??????????=sn s n c c c c C 1111 称为等式约束矩阵，列向量 T n b b b b ),,,(21 =和T n d d d d ),,,(21 =为右端向量，条件0≥j x 称为非负约束。一个向量T n x x x x ),,,(21 =，满足约束条件，称为可行解或可行点，所有可行点的集合称为 可行区域，达到目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解，相应的目标函数值称为最优目标函数值，简称最优值。 我们这里介绍利用Matlab 来求解线性规划问题的求解。 在Matlab 中有一个专门的函数linprog()来解决这类问题，我们知道，极值有最大和最小两种，但求z 的极大就是求z -的极小，因此在Matlab 中以求极小为标准形式，函数linprog()的具体格式如下： X=linprog(f,A,b) [X,fval,exitflag,ouyput,lamnda]=linprog(f,A,b,Aeq,Beq,LB,UB,X0,options) 这里X 是问题的解向量，f 是由目标函数的系数构成的向量，A 是一个矩阵，b 是一个向量，A ，b 和变量x={x1,x2,…,xn}一起，表示了线性规划中不等式约束条件，A ，b 是系数矩阵和右端向量。Aeq 和Beq 表示了线性规划中等式约束条件中的系数矩阵和右端向量。LB 和UB 是约束变量的下界和上界向量，X0是给定的变量的初始值，options 为控制规划过程的参数系列。返回值中fval 是优化结束后得到的目标函数值。exitflag=0表示优化结果已经超过了函数的估计值或者已声明的最大迭代次数；exitflag>0表示优化过程中变量收敛于解X ，exitflag<0表示不收敛。output 有3个分量，iterations 表示优化过程的迭代次数，cgiterations 表示PCG 迭代次数，algorithm 表示优化所采用的运算规则。lambda 有4个分量，ineqlin 是线
用matlab求解线性规划问题
1 实验四 用MATLAB 求解线性规划问题 一、实验目的： 了解Matlab 的优化工具箱，能利用Matlab 求解线性规划问题。 二、实验内容： 线性规划的数学模型有各种不同的形式，其一般形式可以写为： 目标函数： n n x f x f x f z +++= 2211m i n 约束条件： s n sn s s n n b x a x a x a b x a x a x a ≤+++≤+++ 22111 1212111 s n tn t t n n d x c x c x c d x c x c x c =+++=+++ 22111 1212111 ,,,21≥n x x x 这里n n x f x f x f z +++= 2211称为目标函数， j f 称为价值系数， T n f f f f ) ,,,(21 =称为价值向 量， j x 为求解的变量，由系数 ij a 组成的矩阵 ???? ? ?????=mn m n a a a a A 1 111 称为不等式约束矩阵，由系数ij c 组成的矩阵 ???? ? ?????=sn s n c c c c C 1 111 称为等式约束矩阵，列向量T n b b b b ) ,,,(21 =和 T n d d d d ) ,,,(21 =为右端向量，条件 ≥j x 称为 非负约束。一个向量 T n x x x x ) ,,,(21 =，满足约束条件，称为可行解或可行点，所有可行点的集合称为 可行区域，达到目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解，相应的目标函数值称为最优目标函数 值，简称最优值。 我们这里介绍利用Matlab 来求解线性规划问题的求解。 在Matlab 中有一个专门的函数linprog()来解决这类问题，我们知道，极值有最大和最小两种，但求z 的极大就是求z -的极小，因此在Matlab 中以求极小为标准形式，函数linprog()的具体格式如下： X=linprog(f,A,b) [X,fval,exitflag,ouyput,lamnda]=linprog(f,A,b,Aeq,Beq,LB,UB,X0,options) 这里X 是问题的解向量，f 是由目标函数的系数构成的向量，A 是一个矩阵，b 是一个向量，A ，b 和变量x={x1,x2,…,xn}一起，表示了线性规划中不等式约束条件，A ，b 是系数矩阵和右端向量。Aeq 和Beq 表示了线性规划中等式约束条件中的系数矩阵和右端向量。LB 和UB 是约束变量的下界和上界向量，X0是给定的变量的初始值，options 为控制规划过程的参数系列。返回值中fval 是优化结束后得到的目标函数值。exitflag=0表示优化结果已经超过了函数的估计值或者已声明的最大迭代次数；exitflag>0表示优化过