2020届江苏高考数学(理)总复习讲义： 基本不等式及其应用

第三节基本不等式及其应用

1．基本不等式ab ≤

a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式

(1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a

b ≥2(a ，b 同号)；

(3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)????a ＋b 22≤a 2

＋b

2

2(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数

设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述

为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则

(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2

4(简记：和定积最大)．

[小题体验]

1．(2019·南京调研)已知m ，n 均为正实数，且m ＋2n ＝1，则mn 的最大值为________． 解析：∵m ＋2n ＝1，∴m ·2n ≤????m ＋2n 22＝14，即mn ≤18，当且仅当m ＝2n ＝12时，mn

取得最大值1

8

.

答案：1

8

2．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 解析：x 2＋2y 2＝x 2＋(2y )2≥2x (2y )＝22， 所以x 2＋2y 2的最小值为2 2. 答案：2 2

3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2.

解析：设一边长为x m ，则另一边长可表示为(10－x )m ，

由题知0＜x ＜10，则面积S ＝x (10－x )≤????x ＋10－x 22

＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m 时面积取到最大值25 m 2.

答案：25

1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．“当且仅当a ＝b 时等号成立”的含义是“a ＝b ”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．

3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致． [小题纠偏]

1．(2019·启东检测)函数y ＝x ＋9x －1(x ＞1)的最小值为________．

解析：∵x ＞1，∴x －1＞0， ∴y ＝x ＋9x －1＝(x －1)＋9

x －1

＋1≥2(x －1)·9

x －1

＋1＝7，当且仅当x ＝4时取等号．

答案：7

2．函数f (x )＝x ＋1

x 的值域为____________________．

答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)

考点一 利用基本不等式求最值 (重点保分型考点——师生共研)

[典例引领]

1．(2018·启东期末)设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b a ＋4

b 的最小值为________． 解析：∵a ＋b ＝1，

∴b a ＋4b ＝b a ＋4(a ＋b )b ＝b a ＋4a b ＋4≥2b a ·4a b ＋4＝8，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝13，b ＝23

时等号成立，

∴b a ＋4

b 的最小值为8. 答案：8

2．(2019·常州调研)若实数x 满足x ＞－4，则函数f (x )＝x ＋9

x ＋4的最小值为________．

解析：因为x ＞－4，所以x ＋4＞0，

所以f (x )＝x ＋

9x ＋4＝x ＋4＋9x ＋4－4≥2 (x ＋4)·9

x ＋4

－4＝2，

当且仅当x ＋4＝9

x ＋4

，即x ＝－1时取等号． 答案：2

3．(2018·徐州调研)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝3，|x |≠|y |，则1(2x ＋y )2＋4

(x －2y )2

的最小值为________．

解析：因为(2x ＋y )2＋(x －2y )2＝5(x 2＋y 2)＝15，所以令(2x ＋y )2＝t ，(x －2y )2＝μ，所以t ＋μ＝15，

1(2x ＋y )2＋4(x －2y )2

＝1t ＋4μ＝115

(t ＋μ)????1t ＋4μ＝115????5＋4t μ＋μt ≥115(5＋4)＝35，当且仅当t ＝5，μ＝10时取等号，所以1(2x ＋y )2＋4(x －2y )

2的最小值为3

5. 答案：3

5

[由题悟法]

利用基本不等式求最值的方法

利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路： (1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．

(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．

[即时应用]

1．设0＜x ＜3

2，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．

解析：y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2????2x ＋(3－2x )22＝9

2， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝3

4时，等号成立．

又因为3

4∈???

?0，32， 所以函数y ＝4x (3－2x )????0＜x ＜32的最大值为9

2. 答案：9

2

2．已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________． 解析：由题意得y ＝3－x 2

2x

，

所以2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝32

????

x ＋1x ≥3，

当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． 答案：3

3．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4＋4b 4＋1

ab 的最小值为________． 解析：因为ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，

当且仅当?

????

a 2

＝2b 2

，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab 的最小值是4. 答案：4

考点二 基本不等式的实际应用 (重点保分型考点——师生共研)

[典例引领]

经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已

知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．

(1)将2018年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解：(1)由题意可知，当m ＝0时，x ＝1， 所以1＝3－k ，解得k ＝2，即x ＝3－

2

m ＋1

， 每1万件产品的销售价格为1.5×8＋16x

x (万元)， 所以2018年的利润y ＝x ?

??

?

1.5×

8＋16x x －(8＋16x ＋m ) ＝4＋8x －m ＝4＋8????3－2m ＋1－m ＝28－16

m ＋1－m (m ≥0)．

所以利润y 表示为年促销费用的函数关系式是y ＝28－16

m ＋1

－m (m ≥0)． (2)由(1)知y ＝－???

?16

m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)．

因为m ≥0时，

16

m ＋1＋(m ＋1)≥2 16

m ＋1

·(m ＋1)＝8， 当且仅当16

m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时取等号．

所以y ≤－8＋29＝21，

即当m ＝3时，y 取得最大值21.

所以当该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家获得的利润最大，为21万元．

[由题悟法]

解实际应用题的3个注意点

(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．

[即时应用]

某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，

公园由形状为长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1和人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000 m 2，人行道的宽分别为4 m 和10 m(如图所示)．

(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1

B 1

C 1

＝x (x ＞1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；

(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 解：(1)设休闲区的宽为a m ，则长为ax m ， 由a 2x ＝4 000，得a ＝2010

x

.

则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010

x

＋160＝

8010?

??

?

2x ＋

5x ＋4 160(x ＞1)． (2)S (x )＝8010?

??

?

2x ＋

5x ＋4 160≥8010×22x ·5

x

＋4 160＝1 600＋4 160＝

5 760，当且仅当2x ＝

5

x

，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽应分别设计为100 m,40 m. 考点三 利用基本不等式求参数的值或范围 (重点保分型考点——师生共研)

[典例引领]

1．(2019·淮安调研)若x ∈(0,1)时，不等式m ≤1x ＋1

1－x 恒成立，则实数m 的最大值为

________．

解析：∵x ∈(0,1)，∴1－x ∈(0,1)，∵x ＋(1－x )＝1， ∴1x ＋1

1－x ＝????1x ＋11－x [x ＋(1－x )]＝2＋1－x x ＋x 1－x ≥2＋2

1－x x ·x

1－x

＝4， 当且仅当1－x x ＝x 1－x ，即x ＝1

2时取等号，

∴m ≤4，即实数m 的最大值为4. 答案：4

2．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11

x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取

值范围是________．

解析：对任意x ∈N *

，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1

≥3恒成立，即a ≥－????x ＋8

x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8

x ≥42，当x ＝22时等号成立， 又g (2)＝6，g (3)＝

173.因为g (2)＞g (3)，所以g (x )min ＝173.所以－????x ＋8x ＋3≤－83

， 所以a ≥－8

3，故a 的取值范围是????－83，＋∞. 答案：???

?－8

3，＋∞ [由题悟法]

求解含参数不等式的求解策略

(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．

[即时应用]

1．(2019·东台月考)若对任意x ＞0，x

x 2

＋3x ＋1

≤a 恒成立，则a 的最小值为________．

解析：

x x 2

＋3x ＋1

＝1

x ＋3＋1x

，

∵x ＞0，∴x ＋3＋1

x ≥3＋2x ·1x ＝3＋2＝5，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号，

∴0＜1x ＋3＋1x ≤1

5，

∴要使

x x 2

＋3x ＋1

≤a 恒成立，则a ≥15，故a 的最小值为1

5.

答案：1

5

2．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，求实数λ的最小值．

解：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xy

x ＋y ≤2(当且仅当x ＝2y 时取

等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2.又λ≥x ＋22xy

x ＋y

，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．(2019·连云港调研)若x ＞0，y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝2，则1x ＋2

y 的最小值为________．

解析：∵x ＞0，y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝log 2xy ＝2， ∴xy ＝4， ∴1x ＋2y ≥2

2xy ＝2，当且仅当1x ＝2y 且xy ＝4，即x ＝2，y ＝22时取等号，

∴1x ＋2

y 的最小值为 2. 答案： 2

2．当x ＞0时，f (x )＝2x

x 2＋1的最大值为________．

解析：因为x ＞0，所以f (x )＝

2x x 2

＋1

＝2x ＋1x

≤2

2＝1，

当且仅当x ＝1

x ，即x ＝1时取等号． 答案：1

3．(2018·苏州期末)已知a ＞0，b ＞0，且1a ＋1

b ＝1，则3a ＋2b ＋b a 的最小值为________．

解析：∵a ＞0，b ＞0，且1a ＋1

b ＝1，

∴3a ＋2b ＋b a ＝3a ????1a ＋1b ＋2b ????1a ＋1b ＋b a ＝5＋3a b ＋3b a ≥5＋29＝11，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，

∴3a ＋2b ＋b

a 的最小值为11. 答案：11

4．当3＜x ＜12时，函数y ＝

(x －3)(12－x )

x

的最大值为________．

解析：y ＝(x －3)(12－x )x ＝－x 2＋15x －36

x

＝－????x ＋36

x ＋15≤－2 x ·36

x

＋15＝3. 当且仅当x ＝36

x ，即x ＝6时，y max ＝3.

答案：3

5．(2018·通州期末)若log 4(a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________． 解析：∵log 4(a ＋4b )＝log 2ab ，

∴log 2a ＋4b ＝log 2ab ，a ＋4b ＞0，ab ＞0. ∴a ＋4b ＝ab ，即a ＋4b ＝ab ， ∴1b ＋4

a

＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )????1b ＋4a ＝5＋a b ＋4b a ≥5＋2a b ·4b

a

＝9，当且仅当a ＝2b ＝6时取等号． ∴a ＋b 的最小值是9. 答案：9

6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x

8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费

用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．

解析：每批生产x 件，则平均每件产品的生产准备费用是800

x

元，每件产品的仓储费用是x 8元，则800x ＋x 8≥2 800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80时“＝”成立，所以每批

生产产品80件．

答案：80

二保高考，全练题型做到高考达标

1．(2019·盐城调研)若x ＞0，y ＞0，且x ＋1x ＋y ＋4y ≤9，则1x ＋4y 的最大值为________．

解析：令x ＋y ＝n ，1x ＋4

y ＝m ，

∴m ·n ＝(x ＋y )????1x ＋4y ＝5＋y x ＋4x y

≥9. ∴?

????

m ·n ≥9，m ＋n ≤9?9≥m ＋n ≥m ＋9

m . ∴m 2－9m ＋9≤0，解得

9－352≤m ≤9＋35

2

. ∴1x ＋4

y 的最大值为9＋352

.

答案：

9＋35

2

2．已知ab ＝14，a ，b ∈(0,1)，则11－a ＋2

1－b 的最小值为________．

解析：由题意得b ＝14a ，所以0＜1

4a

＜1，即a ∈????14，1， 得

11－a ＋21－b ＝11－a ＋8a 4a －1＝11－a ＋2

4a －1

＋2. 4(1－a )＋(4a －1)＝3，记S ＝11－a ＋24a －1

， 则S ＝

44－4a ＋24a －1＝13

[(4－4a )＋(4a －1)]????44－4a ＋24a －1＝2＋23??????

4－4a 4a －1＋2(4a －1)4－4a ≥2＋42

3，当且仅当4－4a 4a －1＝2(4a －1)4－4a

时等号成立，

所以所求最小值为4＋423.

答案：4＋42

3

3．(2018·连云港期末)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋4y ＝4，则2x ＋1

y 的最小值是________． 解析：∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋4y ＝4， ∴4＝2x ＋4y ≥22x

＋2y

，即x ＋2y ≤2，

∴2x ＋1y ≥12????2x ＋1y (x ＋2y )＝12????4＋4y x ＋x y ≥12??

?

?

4＋24y x ·x y ＝4， 当且仅当x ＝2y 时等号成立， ∴2x ＋1

y 的最小值是4. 答案：4

4．(2019·湖北七市(州)协作体联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是________．

解析：将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心坐标为(1,2)，半径r ＝5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝6，所以a ＋2b ＝6≥2a ·2b ，可得ab ≤92，当且仅当a ＝

2b ＝3时等号成立，即ab 的最大值是9

2

.

答案：9

2

5．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹

角为60°(如图)，考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计

其横断面的面积为9 3 m 2，且高度不低于 3 m ，记防洪堤横断面的腰长为x m ，外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y m ，若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________.

解析：设横断面的高为h ，

由题意得AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝3

2

x ，

所以93＝12(AD ＋BC )h ＝12(2BC ＋x )·32

x ，故BC ＝18x －x

2，

由???

h ＝32x ≥ 3，

BC ＝18x －x

2

＞0，得2≤x ＜6，

所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x

2

(2≤x ＜6)，

从而y ＝18x ＋3x 2

≥2

18x ·3x

2

＝63， 当且仅当18x ＝3x

2(2≤x ＜6)，即x ＝23时等号成立．

答案：2 3

6．(2018·苏州期末)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1

y ＋1的最小值为________．

解析：令x ＋2＝a ，y ＋1＝b ，则a ＋b ＝4(a ＞2，b ＞1)，所以

4x ＋2＋1y ＋1＝4a ＋1b ＝14

(a ＋b )????4a ＋1b ＝14????5＋4b a ＋a b ≥14(5＋4)＝94，当且仅当a ＝83，b ＝43，即x ＝23，y ＝1

3时取等号．则4x ＋2＋1y ＋1

的最小值为94.

答案：9

4

7．(2018·南通三模)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，则y x ＋4

y 的最小值是________． 解析：因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，所以y x ＋4y ＝y x ＋4(x ＋y )y ＝y x ＋4x

y ＋4≥2y x ·4x y ＋

4＝8，当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝13，y ＝2

3

时取“＝”，所以y x ＋4y 的最小值是8.

答案：8

8．(2018·扬州期末)已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝xy ，则

3x x －1＋2y

y －1

的最小值为________．

解析：∵x ＋y ＝xy ， ∴3x x －1＋2y y －1＝3x (y －1)＋2y (x －1)(x －1)(y －1) ＝

5xy －3x －2y xy －x －y ＋1＝5x ＋5y －3x －2y

x ＋y －x －y ＋1

＝2x ＋3y .

又∵x ＋y ＝xy 可化为1y ＋1

x ＝1， ∴2x ＋3y ＝(2x ＋3y )????

1y ＋1x ＝2x y ＋3y

x ＋5≥22x y ·3y

x

＋5＝26＋5，当且仅当2x 2＝3y 2时取等号， ∴

3x x －1＋2y y －1

的最小值为26＋5. 答案：26＋5

9．(1)当x ＜32时，求函数y ＝x ＋8

2x －3的最大值；

(2)设0＜x ＜2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值． 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－? ????3－2x

2＋83－2x ＋32.

当x ＜3

2时，有3－2x ＞0，

所以3－2x 2＋83－2x

≥2

3－2x 2·8

3－2x

＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－1

2时取等号．

于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－5

2.

(2)因为0＜x ＜2，所以2－x ＞0，

所以y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤ 2·x ＋2－x

2＝2，

当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，

所以当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值为 2. 10．(2019·泰州调研)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝4. (1)求xy 的最大值及相应的x ，y 的值； (2)求9x ＋3y 的最小值及相应的x ，y 的值． 解：(1)因为4＝2x ＋y ≥22xy ?xy ≤2， 所以xy 的最大值为2，当且仅当2x ＝y ＝2， 即x ＝1，y ＝2时取“＝”．

(2)因为9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋

y ＝18，

所以9x ＋3y 的最小值为18，

当且仅当9x ＝3y ，即2x ＝y ＝2?x ＝1，y ＝2时取“＝”． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．(2018·启东期中)已知α为锐角，则2tan α＋3

tan 2α

的最小值为________． 解析：∵α为锐角，∴tan α＞0，

∴2tan α＋3tan 2α＝2tan α＋3(1－tan 2

α)2tan α＝32tan α＋tan α2≥2

32tan α·tan α

2

＝3， 当且仅当tan α＝ 3，即α＝π

3时取得等号，

∴2tan α＋3

tan 2α的最小值为 3.

答案： 3

2．(2018·苏北四市联考)已知对满足x ＋y ＋4＝2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围为________．

解析：法一：由x ＋y ＋4＝2xy ≤(x ＋y )22得(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0，又x ，y 是正实数，

得x ＋y ≥4.原不等式整理可得(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令x ＋y ＝t ，t ≥4，则t 2－at ＋1≥0，t ∈[4，＋∞) (*)恒成立，当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，(*)式恒成立；当a ＜－2时，对称轴t ＝a 2＜－1，(*)式恒成立；当a ＞2时，对称轴t ＝a 2，要使(*)式恒成立，则a

2＜4，且

16－4a ＋1≥0，得2＜a ≤

174.综上可得(*)式恒成立时，a ≤17

4

，则实数a 的取值范围是?

???－∞，174.

法二：由x ＋y ＋4＝2xy ≤(x ＋y )22得(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0，又x ，y 是正实数，得x ＋y ≥4.

原不等式整理可得(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令x ＋y ＝t ，t ≥4，则t 2－at ＋1≥0，t ∈[4，＋∞) (*)恒成立，则a ≤????t ＋1t min ＝17

4

，故实数a 的取值范围是????－∞，174. 答案：?

???－∞，17

4 3．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝1

3x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋

10 000

x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部 售完．

(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式． (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，

则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得：

当0＜x ＜80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－13x 2－10x －250＝－1

3

x 2＋40x －250.

当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－51x －10 000

x

＋1 450－250＝1 200－????x ＋10 000x . 所以L (x )＝??

?

－1

3

x 2＋40x －250，0＜x ＜80，1 200－?

???x ＋10 000x ，x ≥80.

(2)当0＜x ＜80时，L (x )＝－1

3

(x －60)2＋950.

此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元． 当x ≥80时，L (x )＝1 200－????x ＋10 000x ≤1 200－2 x ·10 000

x

＝1 200－200＝1 000.

此时x ＝

10 000

x

，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元． 由于950＜1 000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．

命题点一 一元二次不等式

1.(2017·山东高考改编)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝________.

解析：由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x ＜1}． 答案：[－2,1)

2．(2014·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．

解析：由题可得f (x )＜0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即?

????

f (m )＝2m 2

－1＜0，

f (m ＋1)＝2m 2

＋3m ＜0，解得－

2

2

＜m ＜0.

答案：???

?－

22，0 3．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．

解析：因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a 2

＝4b ，所以x 2

＋ax ＋a 2

4

－c ＜0的

解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2

＋ax ＋a 2

4

－c ＝0的两根，由一元二次方程根与

系数的关系得?

???

?

2m ＋6＝－a ，m (m ＋6)＝a 2

4－c ， 解得c ＝9. 答案：9

命题点二 简单的线性规划问题

1.(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足????

?

x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，

3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是

________．

解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则

(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d

的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由?

????

x －2y ＋4＝0，

3x －y －3＝0可

得A (2,3)，

所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋1

2＝

25

.所以d 2的最小值为4

5，最大值为13.所

以x 2＋y 2的取值范围是???

?4

5，13. 答案：???

?4

5，13 2．(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件????

?

x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，

y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为

________．

解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．

由z ＝3x ＋2y ，得y ＝－3

2x ＋z 2.

作直线l 0：y ＝－3

2

x .

平移直线l 0，当直线y ＝－3

2x ＋z 2过点(2,0)时，

z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6. 答案：6

3．(2017·全国卷Ⅲ改编)设x ，y 满足约束条件????

?

3x ＋2y －6≤0，x ≥0，

y ≥0，则z ＝x －y 的取值范

围是________．

解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，

当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3， 所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]． 答案：[－3,2]

4．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件????

?

x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，

x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为

________．

解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x ＋y ＝z 过点A 时z 取得最大值．

由?

????

x ＝5，

x －2y ＋3＝0， 得点A (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9. 答案：9

5．(2018·北京高考)若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________．

解析：由条件得

?

????

x ＋1≤y ，y ≤2x ，

即????

?

x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，

作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．

设z ＝2y －x ，即y ＝12x ＋1

2

z ，

作直线l 0：y ＝1

2x 并向上平移，显然当l 0过点A (1,2)时，z 取得最小值，z min ＝2×2－1

＝3.

答案：3

6．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．

(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解：

(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为

?????

70x ＋60y ≤600，

5x ＋5y ≥30，

x

≤2y ，x ≥0，y ≥0，

即?????

7x ＋6y ≤60，

x ＋y ≥6，

x －2y ≤0，

x ≥0，y ≥0，

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点．

(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y . 考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－

125x ＋z 25，这是斜率为－12

5

，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z

25

取得最大值时，z 的值最大．

又因为x ，y 满足约束条件，所以由图可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M

时，截距z

25

最大，即z 最大．

解方程组?

????

7x ＋6y ＝60，

x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6,3)．

所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多． 命题点三 基本不等式

1.(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．

解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600

x ×6＋4x ＝4????900x ＋x ≥8900

x

·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.

答案：30

2．(2016·江苏高考)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．

解析：在锐角三角形ABC 中，因为sin A ＝2sin B sin C ， 所以sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，

所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，等号两边同除以cos B cos C ， 得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .

所以tan A ＝tan [π－(B ＋C )]＝－tan (B ＋C )＝tan B ＋tan C tan B tan C －1＝2tan B tan C tan B tan C －1.①

因为A ，B ，C 均为锐角，

所以tan B tan C －1＞0，所以tan B tan C ＞1. 由①得tan B tan C ＝

tan A

tan A －2

.

又由tan B tan C ＞1得

tan A

tan A －2

＞1，所以tan A ＞2.

所以tan A tan B tan C ＝tan 2A

tan A －2

＝(tan A －2)2＋4(tan A －2)＋4tan A －2

＝(tan A －2)＋

4

tan A －2

＋4

≥24＋4＝8， 当且仅当tan A －2＝

4

tan A －2

，即tan A ＝4时取得等号．

故tan A tan B tan C 的最小值为8. 答案：8

3．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋1

8b 的最小值为________．

解析：∵a －3b ＋6＝0，∴a －3b ＝－6. ∴2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －

3b

＝22－6＝2×2－

3＝14

，

当且仅当????? a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0，即?????

a ＝－3，

b ＝1

时等号成立． 答案：1

4

4．(2017·全国卷Ⅰ改编)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________．

解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0. 不妨设直线l 1的斜率为k ，

则l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1

k

(x －1)，

由?

????

y 2＝4x ，y ＝k (x －1)消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，

由抛物线的定义可知，

|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4

k 2.

同理得|DE |＝4＋4k 2，

所以|AB |＋|DE |＝4＋4k 2＋4＋4k 2＝8＋4????1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k 2＝k 2

，即k ＝±1时取等号，

故|AB |＋|DE |的最小值为16. 答案：16