条件极值答案
习题8-3答案
（A ）
1、求下列函数的极值：
（1）极小值点（0,1）；极小值z=0; (2)求函数333z x y xy =+- 的极值.
解：解方程组得22330330z
x y x
z y x y
??=-=??????=-=???，解得驻点(0,0),(1,1)
由于222226,3,6z z z
x y x x y y
???==-=????，故在(0,0)处290AC B -=-<，函数z 不取得
极值；在(1,1)处有2
270AC B -=>，且60A =>，函数z 在点(1,1)处取得极值，且极小值为1z =-。
(3)极大值点（0,0），极大值1；且（0,0）点为不可导点 (4)极小值点（5,2），极小值30
2 要设计一个容积为a 的长方体形无盖水池 . 确定长、宽和高 , 使水池的表面积最小 .
分别以x 、y 和z 表示水池的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件
xyz a =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 .
(,,,)2()()F x y z xz yz xy xyz a λλ=+++-
对F 求偏导数, 并令它们都等于0: 20,20,2()0,0.x y z F z y yz F z x xz F x y xy F xyz a λλλλ=++=?
?=++=?
?=++=?
?=-=?
求上述方程组的解, 得3
3
4
22,2x y z a a
λ===
=-
. 依题意, 所求水箱的表面积在所给条件下确实存在最小值. 由上可知, 当高为3
4
a
, 长与
宽为高的2倍时, 表面积最小. 最小值233(2)S a =.
3.提示：分别以x 、y 表示矩形的长、宽，则 222x y p +=（约束条件）,所求圆柱体体积为2
V x y π=
构造辅助函数2(,,)(222)F x y x y x y p λπλ=++-，则
2220,
20,2220.x y F xy F x F x y p λπλπλ=+=??
=+=??
=+-=?
解得2x y =，代入约束条件得：
23x p =
13y p =；为唯一的驻点，有实际意义知为最值点。
4.求函数u xyz =在条件22
2124
x y z ++=之下的极值。
解：构造辅助函数22
2(,,,)(1)24
x y F x y z xyz z λλ=++
+-，则 222
0,
0,
220,10.24x y z F yz x y F xz F xy z x y F z λλλλ=+=?
??=+=??=+=??=++-=?
?
前三个式子联立去掉λ，得22
224x y z ==，结合第四个式子得到结果为2221
243
x y z ===。所以驻点有八个（+，+，+）（+，+，-）
（+，-，+）（+，-，-）（-，+，+）（-，+，-）（-，-，+）（-，-，-）。其中1、4、6、7点为极大值点，2、3、5、8为极小值点。 (其中在三个式子联立去掉λ的过程中不需要考虑λ=0，或者x =0，y =0及z=0,因为此
时它们的函数值为0，不是极值点。
5、在半径为R 的半球内求一体积为最大的内接长方体。
解：设此半球的方程为2
2
2
2
,0x y z R z ++=≥，内接长方体在第一象限的一个顶点坐标为(),,x y z ，则内接长方体体积22224,V xyz
x y z R =++=。考虑函数
()()2222,,,4F x y z xyz x y z R λλ=+++-
2222420420
420yz x xz y xy z x y z R
λλλ+=??+=?
?
+=??++=?解此方程组得33R x y z ===，（注意0,0,0x y z >>>） 半球内体积为最大的内接长方体的体积为3439
R 。
（B)
1）求)2(),(22y y x e y x f x ++=的极值.
解：??
???=+==+++=0)22(0)2(22222y e f e y y x e f x
y x
x x 解之得：?????-==
121y x
e f A xx 2)1,21(=-= 0)1,21(=-=xy f B e f C yy 2)1,2
1
(=-=
故 042
2
>=-e B AC 而,02>=e A 故e f 2
1
)1,21(-
=-为极小值。 2
.
(,)sin sin sin()
{(,)0,0,}
(,)sin sin sin()
=sin sin-sin cos cos sin
sin-sin cos sin cos sin
sin(1cos)sin(1cos
f x y x y x y
d x y x y x y
f x y x y x y
x y x y x y
x x y y x y
x y y x
π
=+-+
=≥≥+≤
=+-+
+-
=+-
=-+-
求函数在区域
上的最大值最小值。
解：首先由函数在有界闭区域上连续，所以一定
存在最大值和最小值，且
)
(,)0
(,)sin sin sin()sin sin2
(,)0
x000.
0.
=
(,)sin sin sin()
=
,,)sin si
f x y
x y
f x y x y x y x y
f x y
y
x y
f x y x y x y
x y
F x y x
π
π
π
λ
≥
≤+≤
=+-+≤+≤
≥≥
==
+
=+-+
?
?
+
?
=+
由函数的定义域知
又由0，
初步判定2
由于函数最大值只能在极值点和边界点取得。
函数在边界和时，对应函数值都为
所以函数有最小值为
在边界上，构造条件极值函数
（n sin()(-)
cos cos()0
cos cos
cos cos()0
=
=-=0
=(,)sin sin sin()=2 =2222222
2.
cos cos()0
x
y
x
y x y x y
F x x y
x y
F y x y
x y
F x y
x y
x y f
x y
f x x y
f
λ
λπ
λ
λ
π
π
ππππππππ
-+++
=-++=
?
=
?
?=-++=
?
??
+
?
?+
?
=
?
?==+-+
?
+
?
=-+=
，此时
此时函数取得最大值
在定义域的内部，函数不存在偏导数不存在的点，且
cos cos()
cos cos()0cos cos()
(0
=0,
20
y
x x y
y x y y x y
x y x y
x x y
x y
y x y
π
=+
??
?
??
=-+==+
?
?
+
=+
?
??=
?
=+
?
因为、、都在【，】内，在此区间余弦函数为单调递减的）
（舍去因为已经不在区域的内部了）
综上所述函数有最大值和最小值，且都在边界点取得。
3 解条件极值问题为：
2
2
2
(2)
2
x y
d
y x
?--
=
?
?
?=
?
构造辅助函数
2
2(2)(,,)()2
x y F x y y x λλ--=+-
求驻点2220(2)0012
14
112
7224
82
x y F x y x F x y F y x x y λλλ=---=??
=---+=??=-=?
?
=???
?=??--=
解得：解得唯一的驻点，即为所求的最值点最短距离d=
4 为 ：2
2
2
2
(16)(,)2
x y f x y d x y +-=++转化为求函数=的极值
无偏导数不存在的点，求驻点
求驻点
2(16)02(16)0
4
4
x y f x x y f y x y x y =++-=??
=++-=?=??
=?解得唯一的驻点：，即为所求的最值点
5.证明：函数()1cos y y z e x ye =+-有无穷多个极大值点，但无极小值点。
证明：
()()1sin ,cos 1y y y z z
e x e x y e x y
??=-+=-+?? 解方程组()()1sin 0
cos 10
y
y e x e x y ?-+=??--=??可得
0,0,1,2,,2k x k k y k π??==±±=?-?? 是偶数
为奇数
即可得驻点()()2,0,2,2k k πππ+-，其中k 为整数。
()()222221cos ,sin ,cos 2y y
y y z z z A e x B e x C e x y e x x y y
???==-+==-==-+????
1）当2,0x k y π==时，2,0,1A B C =-==-，因为0,0AC B A -><，所以这
些点是极大值点。
2）当2,2x k y ππ=+=-时，22111,0,A B C e e
=+==-，因为0AC B -<，所以这些点是不是极值点。
6（1）求函数xyz f = 在条件0,1222=++=++z y x z y x 下的极值。做辅助函数：
44
(,,,,)()(,,,,)10
(,,,,)10(,,,,)10(,,,,)10(,,,,)0x y z t
F x y z t x y z t xyzt a F x y z t yzt F x y z t xzt F x y z t xyt F x y z t xyz F x y z t xyzt a λλλλλλλλλλλλ=++++-=+=??=+=??
=+=??=+=?=-=??解得唯一的驻点（a,a,a,a)即为所求。
(2)求函数xyz f = 在条件0,1222=++=++z y x z y x 下的极值。
解 令)()1(222z y x z y x xyz L +++-+++=μλ 0
2=++=μλx yz L x ,
2=++=μλy xz L y ,
02=++=μλz xy L z ,
得 z z y y x x μλμλμλ+=+=+2
22222, （1）
又 12
22=++z y x ,（2） 0=++z y x , （3）
由（1）得 )()(222x y y x -=-μλ ，)()(22
2y z z y -=-μλ, 当z y x ≠≠时得 μλ-=+)(2y x ， μλ-=+)(2z y 故得z x =，代入（2）（3）式得 122
2
=+y x ,
02=+y x .
解得稳定点)61,62,
61
(
1-P ，)61
,62,61(2--P . 由对称性得)61,61,62(4,3±± P ，
)6
2,61,61(
6,5 ±±P 也是稳定点. 7．抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短距离.
解: 设椭圆上点的坐标),,(z y x ,则原点到椭圆上的距离的平方为
2222z y x d ++=
其中z y x ,,需同时满足22y x z +=和1=++z y x
令 =),,,,(21λλz y x F 2
2
2
z y x ++)(2
2
1y x z --+λ)1(2-+++z y x λ, 则
?????
????=-++=--=++==+-==+-=0
100202202222212121z y x y x z z F y y F x x F z y x λλλλλλ 13
213223x y z ?-±=
??
?-±?∴=??
?=???
可得: 359min -=
d , 359max +=d
8.求由方程22222880x y z xz z +++-+=确定的隐函数(,)z f x y =的极值 。
解：由隐函数存在性定理知，隐函数具有连续的偏导数，所以它的极值只可能出现在驻点。设三元函数为222(,,)2288F x y z x y z xz z =+++-+,则方程组
z 480;281281040.281x x
z
y y
z
F x z z F z x F z x F y z F z x +?
=-=-=?+-?=+-≠?
?=-=-=?+-?其中， 联立解得02y x z
=??
=-?；代入222
22880x y z xz z +++-+=中解得
1627
,18
71627y 00
x x z z x x y ?=
?=-???
?=??=??
?
=-=??
?
?=??=?和所以驻点有两个为：和
求出xx
xy yy A z B z C z
?=?=??=?
,注意在此对隐函数求二阶偏导数的过程中把z 看成关于x 的函数，代入验
证两个驻点，一个为极大值点，一个为极小值点。
9：首先确定函数在有界闭区域连续，所以必有最大值和最小值。 最值必然出现在极值点和边界点：
首先在区域内部，由于函数始终存在偏导数，所以极值点只可能出现在驻点。
2
63060
02
00660,6
0,002,0x y xx xy yy f x x f y x x y y A f x
B f
C f ?=-=??==??==???
?==??
?==-?
==??==?
解得驻点：;,由于代入检验得
（）为极小值点，极小值为；（）不是极值点。
在边界点处即为求条件极值
223
22
(,)33(,)160
f x y x y x x y x y ??=+-?=+-=? 构造拉格朗日函数
22322222(,,)33(16)632062016044
00(4,0)16;(4,0)112.
(4,0)(4,0)x y z
F x y x y x x y F x x x F y y F x y x x y y f f λλλλ=+-++-?=-+=?
=+=??=+-=?==-????==??
=--=-联立解得;,
代入得所以为最小值点，为最大值点。
10.求条件极值：
22
222222222
2222
22236(236)(,)2323
(,)440
(,)440(236)(,,)(44)23
2(236)2013
3(236)8013440x
y
x y x y d f x y d x y x y x y x y x y F x y x y x y F x x y F y F x y λ??λλλλ?+-?+-===???+??+??=+-==+-=??
+-=++-++-?=+=??
+-?=+=??
=+-=???
求条件极值构造辅助函数求驻点
解得8855
335583
(,)55
x x y y ??==-??????
??==-????两个驻点：代入验证知为最短距离点。
11. 求二元函数)4(),(2y x y x y x f z --==在直线6=+y x ，x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的最大值与最小值.
解 如图,
先求函数在D 内的驻点，
x y
o
6
=+y x D
解方程组
?????=---='=---='0)4(),(0
)4(2),(2
22
y x y x x y x f y x y x xy y x f y
x 得区域D 内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(=f , 再求),(y x f 在D 边界上的最值 在边界0=x 和0=y 上0),(=y x f , 在边界6=+y x 上，即x y -=6 于是)2)(6(),(2
--=x x y x f , 由 02)6(42=+-='x x x f x ,
得4,021==x x ,2|64=-=?=x x y ,64)2,4(-=f 比较后可知4)1,2(=f 为最大值,
64)2,4(-=f 为最小值.
D
拉格朗日条件极值
拉格朗日乘子法的简单证明(不知道对不对) 应用例题：已知有一个体积为a 的铁块。把这个铁块打造成一个长方体，求其表面积s 的极小值。 解:依据题意有如下关系式 )1(a xyz = )2()(2222z y x s ++= 构造函数M 如下： )3()()(2),,,(222a xyz c z y x c z y x M -+++= 只要求M 函数的极值，即为s 的极值。 )4(04=+=??cyz x x M )5(04=+=??cxz y y M )6(04=+=??cxy z z M )7(0=-=??a xyz c M 以上四个方程可解出四个未知数x ，y ，z ，c 。将(7)带入(4)，(5)，(6)后得： )8(4442 22z y x ac ===- 可得: )9(431 a z y x ac ====- )01(431 -a c -= 此时，面积s 为： )9(632a s = 证明过程：拉格朗日乘子法，拉格朗日条件极值。 已知，自变量x 和y 符合关系式(1)，求表达式(2)的极值。 )1(0),(==y x F z )2(),(y x f )3(?)(y =x 解:若可以从(1)式中求出y 的表达式(3)，则可以把(3)式带入(2)式。此时，就变成求单个自变量的函数极值问题，即为(4)式。 )4(0))(,())(,(=+=dx dy x y x f x y x f dx dz y x 对(1)进行全微分，可得(5)式,进而得到(6)式。 )6()5(0 ),(Y x y x F F dx dy dy F dx F y x dF -==+= 将(6)式带入(4)式可得(7)式。 )7(0))(,())(,())(,())(,(=-=-=x y y x y x y x F F x y x f x y x f F F x y x f x y x f dx dz )8(),() ,(y x F y x f y y -=λ
函数的极值和最值(讲解)
函数的极值和最值 【考纲要求】 1.掌握函数极值的定义。 2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 4.会求给定闭区间上函数的最值。 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、函数的极值 函数的极值的定义 一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义， （1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作 )(0x f y =极大值； （2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作 )(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释： 求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根； ④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理 若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连 函数的极值和最值 函数在闭区间上的最大值和最小值 函数的极值 函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值
续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1 ()(0)f x x x = >. 要点诠释： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 2.通过导数求函数最值的的基本步骤： 若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根； （3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数 ()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值. 【典型例题】 类型一：利用导数解决函数的极值等问题 例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求 )(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程； 【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。 又(1)3,'(1)12f f == 所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程312(1)y x -=- 即1290x y --=. 举一反三： 【变式1】设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R ． (1)求()f x 的单调区间与极值；
多元函数条件极值的求解方法
多元函数条件极值求解方法 摘要:本文研究的是代入法、拉格朗日乘数法、标准量代换法、不等式法等九种方法在解 多元函数条件极值问题中的运用，较为全面的总结了多元函数条件极值的求解方法，旨在 解决相应的问题时能得以借鉴，找到合适的解决方法。 关键词：多元函数；条件极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式 Abstract: This paper studies the substitution method, the Lagrange multiplier method, standard substitution method, inequality of nine kinds of method in solving multivariate function extremum problems, the application conditions are summed up the diverse functions of conditional extreme value method, to solve the corresponding problem is able to guide, to find the right solution. Key words: multiple functions; Conditional extreme value; Lagrange multiplier method; Cauchy inequality 时比较困难，解题过程中选择一种合理的方法可以达到事半功倍的效果，大大减少解题时间，拓展解题的思路。下面针对多元函数条件极值问题总结了几种方法供大家借鉴。 1.消元法 对于约束条件较为简单的条件极值求解问题，可利用题目中的约束条件将其中一个量用其他量表示，达到消元的效果，从而将条件极值转化为无条件极值问题。 例1 求函数(,,)f x y z xyz =在条件x －y+z=2下的极值. 解： 由x －y+z=2 解得 2z x y =-+ 将上式代入函数(,,)f x y z ，得 g(x,y)=xy(2-x+y) 解方程组 2 2 '2y 20 220 x y g xy y g x xy x ?=-+=??'=+-=?? 得驻点 12 22 P P =33 （0，0），（，-） 2xx y ''=-g ，222xy g x y ''=-+，2yy g x ''= 在点1P 处，0,2,0A B C === 22=0240AC B ?-=-=-<，所以1P 不是极值点 从而函数(,,)f x y z 在相应点(0,0,2)处无极值；
多元函数条件极值的几种求解方法
多元函数条件极值的几种求解方法 摘 要 本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。 关键词 极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式 Multivariate function of several conditional extreme value solution Abstract This paper mainly discusses the multivariable function conditional extreme value problem solving, including the unconditional extreme value, conditional extreme value concept of multivariate function is introduced, and several methods of solving condition limit the wraparound, including direct generation into law, Lagrange multiplier method, methods of cauchy inequality, including Lagrange multiplier method also introduces the differential and second-order partial derivative namely Hesse matrix method, etc. This paper introduces the multivariable function about solving several methods of conditional extreme value, which can provide in solving the relevant question readers may be reference when, find the appropriate way to solve the problem. Meanwhile introducing method also has some deficiencies in its done, and further discussion. Key words Extreme; Lagrange multiplier method; Cauchy inequality
求极值与最值的方法
求极值与最值的方法 1 引言 在当前的数学教育中，求初等函数的极值与最值占有比较重要的位置，由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。下面我们将要介绍多种求初等函数的极值和最值的方法。 2 求函数极值的方法 极值定义：设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义，且对此邻域内任一点 x 0()x x ≠，均有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数错误！未找到引用源。的一个极大值；同样如果对此邻域内任一点x 0()x x ≠，均有错误！未找到引用源。，则称0()f x 是函数错误！未找到引用源。的一个极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点0x ，称为极值点。 2.1 求导法 判别方法一： 设()f x 在点0x 连续，在点错误！未找到引用源。的某一空心邻域内可导。当 x 由小增大经过错误！未找到引用源。时，如果： (1)'()f x 由正变负，那么0x 是极大值点； (2)错误！未找到引用源。由负变正，那么0x 是极小值点； (3)错误！未找到引用源。不变号，那么0x 不是极值点。 判别方法二： 设()f x 在点0x 处具有二阶导数,且'()0f x =,''()0f x =。 (1)如果''()0f x <，则()f x 在点0x 取得极大值； (2)如果''()0f x >，则()f x 在点0x 取得极小值。
判别方法三： 设()f x 在点0x 有n 阶导数，且0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n 0)(0)(≠x f n ，则： （1）当为偶数时，)(x f 在0x 取极值，有0)(0)(
多元函数条件极值的几种求解方法
多元函数条件极值的几种求解方法 摘要 本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。 关键词 极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式
1前言 函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值的研究是非常必要的。 函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展，为其做出了重大贡献。 微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。 同样在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。举个简单的例子，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据，才能达到预测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。还有就是经济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是
条件极值答案
习题8-3答案 （A ） 1、求下列函数的极值： （1）极小值点（0,1）；极小值z=0; (2)求函数333z x y xy =+- 的极值. 解：解方程组得22330330z x y x z y x y ??=-=??????=-=???，解得驻点(0,0),(1,1) 由于222226,3,6z z z x y x x y y ???==-=????，故在(0,0)处290AC B -=-<，函数z 不取得 极值；在(1,1)处有2 270AC B -=>，且60A =>，函数z 在点(1,1)处取得极值，且极小值为1z =-。 (3)极大值点（0,0），极大值1；且（0,0）点为不可导点 (4)极小值点（5,2），极小值30 2 要设计一个容积为a 的长方体形无盖水池 . 确定长、宽和高 , 使水池的表面积最小 . 分别以x 、y 和z 表示水池的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件 xyz a =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 . (,,,)2()()F x y z xz yz xy xyz a λλ=+++- 对F 求偏导数, 并令它们都等于0: 20,20,2()0,0.x y z F z y yz F z x xz F x y xy F xyz a λλλλ=++=? ?=++=? ?=++=? ?=-=? 求上述方程组的解, 得3 3 4 22,2x y z a a λ=== =- . 依题意, 所求水箱的表面积在所给条件下确实存在最小值. 由上可知, 当高为3 4 a , 长与
宽为高的2倍时, 表面积最小. 最小值233(2)S a =. 3.提示：分别以x 、y 表示矩形的长、宽，则 222x y p +=（约束条件）,所求圆柱体体积为2 V x y π= 构造辅助函数2(,,)(222)F x y x y x y p λπλ=++-，则 2220, 20,2220.x y F xy F x F x y p λπλπλ=+=?? =+=?? =+-=? 解得2x y =，代入约束条件得： 23x p = 13y p =；为唯一的驻点，有实际意义知为最值点。 4.求函数u xyz =在条件22 2124 x y z ++=之下的极值。 解：构造辅助函数22 2(,,,)(1)24 x y F x y z xyz z λλ=++ +-，则 222 0, 0, 220,10.24x y z F yz x y F xz F xy z x y F z λλλλ=+=? ??=+=??=+=??=++-=? ? 前三个式子联立去掉λ，得22 224x y z ==，结合第四个式子得到结果为2221 243 x y z ===。所以驻点有八个（+，+，+）（+，+，-） （+，-，+）（+，-，-）（-，+，+）（-，+，-）（-，-，+）（-，-，-）。其中1、4、6、7点为极大值点，2、3、5、8为极小值点。 (其中在三个式子联立去掉λ的过程中不需要考虑λ=0，或者x =0，y =0及z=0,因为此 时它们的函数值为0，不是极值点。 5、在半径为R 的半球内求一体积为最大的内接长方体。 解：设此半球的方程为2 2 2 2 ,0x y z R z ++=≥，内接长方体在第一象限的一个顶点坐标为(),,x y z ，则内接长方体体积22224,V xyz x y z R =++=。考虑函数
函数极值的求法及其应用
目录 摘要 (2) ABSTRACT (2) 第一章引言 (4) 第二章一元函数的极值 (5) 2.1极值的充分条件 (5) 2.2几种特殊函数的极值 (8) 第三章多元函数的极值 (12) 3.1无条件极值 (13) 3.2条件极值 (15) 第四章函数极值的应用 (19) 参考文献 (24) 致谢 (25)
函数极值的求法及其应用 曾浪 数学与信息学院数学与应用数学专业 2013级指导教师:罗家贵 摘要：函数极值问题是我们在中学数学和高等数学中都能常常遇见的问题，自然学科、工程技术及生产活动、生活实践中很多需要解决的问题，都与求函数极值有关，而导数和微积分的重要应用之一，就是求函数极值。本文从参考书中的例子和生活中的实际问题入手，分别对一元函数和多元函数的极值的求法及其应用进行总结和分析。 关键词：函数；极值；应用 The extreme of function of religion and its application Zeng Lang Mathematics and applied mathematics professional，college of mathematics and information，Grade 2013 Instructor:Luo Jiagui Abstract:Extremum problems is that we can often meet in the middle school mathematics and higher mathematics problems need to solve many natural science, engineering technology and production activities and life practice problems are related with extremal function, and the important application of derivative and differential calculus, is extremal function. In this paper, we start from the examples in reference books and the practical problems in life, and sum up and analyze the methods and applications of the extremum of the function of one variable and multiple functions. Key word: function; the extreme; application
第十五章 值和条件极值
第十五章 极值和条件极值 §1. 极值和最小二乘法 一 极值 定义1 设(),f x y 在()000,M x y 的邻域内成立不等式 ()()00,,f x y f x y ≤ 则称函数(,)f x y 在点0M 取到极大值，点()000,M x y 称为函数的极大点，若在()000,M x y 的邻域内成立不等式 ()()00,,f x y f x y ≥ 则称函数(,)f x y 在点0M 取到极小值，点()000,M x y 称为函数的极小点。极大值和极小值统称为极值，极大点和极小点统称为极值点。 定义 2 设D 是2R 内的一个区域，()00,x y 是D 的一个内点，如果()00,0f x y x ?=?，()00,0f x y y ?=?，则称()00,x y 是f 的一个驻点。 根据费玛定理，可知 定理1 二元函数的极值点必为0f f x y ??==??的点或至少有一个偏导数不存在的点。 注：定理1的条件是必要条件，而不是充分条件。 例：z xy =在()0,0点。 例：z x =在()0,0点。 怎样进一步判断是否有极值？ 定理2 设f 在点),(00y x 的某个邻域内有各个二阶连续偏导数，并且点),(00y x 是f 的一个驻点， ),(0022y x x f A ??=，),(0022y x y f C ??=，),(002y x y x f B ???=，2A B H AC B BC ==-，则：（1）若0,0H A >>，则f 在点),(00y x 有极小值；（2）若0,0H A ><，则f 在点),(00y x 有极大值；（3）若0H <，则f 在点),(00y x 没有极值；（4）若0H =，则须进一步判断。 例：求)1(b y a x xy z --= )0,0(>>b a 的极值。 例：求333z axy x y =--的极值。 多元函数的最大（小）值问题 设函数),(y x f 在某一有界闭区域D 中连续且可导，必在D 上达到最大（小）值。若这样的点0M 位于
条件极值及拉格朗日乘数法
§4条件极值 一、何谓条件极值 在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。决定一给定点),,(000z y x 到一曲面0),,(=z y x G 的最短距离问题，就是这种情形。我们 知 道 点 ) ,,(z y x 到点 ) ,,(000z y x 的距离为 202020)()()(),,(z z y y x x z y x F -+-+-=.现在的问题是要求出曲面0 ),,(=z y x G 上的点),,(z y x 使F 为最小.即问题归化为求函数),,(z y x F 在条件0),,(=z y x G 下的最小值问题. 又如，在总和为C 的几个正数n x x x ,,21的数组中，求一数组，使函数值 2 2221n x x x f +++= 为最小，这是在条件C x x x n =+++ 21)0(>i x 的限制下，求 函数f 的极小值问题。这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）. 例1 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 . 分别以x 、y 和z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件 V xyz =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 . 条件极值问题的一般形式是在条件组)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ? 限制下， 求目标函数),,,(21n x x x f y =的极值. 对这种问题的解法有: 化为无条件极值. 例 1 由V xyz =解出 xy V z = , 并代入函数),,(z y x S 中, 得到xy x y V y x F ++=)1 1(2),(, 然后按)0,0(),(=y x F F , 求出稳定点32V y x ==, 并有 3 22 1V z = , 最后判定在此稳定点上取的最小面积3243V S =.
第十五章极值和条件极值
第十五章 极值和条件极值 (一) 教学目的： 1）理解极值与条件极值的概念； 2）掌握最小二乘法。 (二) 教学重点： 1）条件极值的必要条件； 2）条件极值的求法. （三）教学难点 1）最小二乘法； 2）多元函数的最大（小）值问题。 §15. 1极值和最小二乘法 一 极值 定义1： 设(),f x y 在()000,M x y 的邻域内成立不等式 ()()00,,f x y f x y ≤ 则称函数(,)f x y 在点0M 取到极大值，点()000,M x y 称为函数的极大点，若在()000,M x y 的邻域内成立不等式 ()()00,,f x y f x y ≥ 则称函数(,)f x y 在点0M 取到极小值，点()000,M x y 称为函数的极小点。极大值和极小值统称为极值，极大点和极小点统称为极值点。 定义2： 设D 是2 R 内的一个区域，()00,x y 是D 的一个内点，如果 () 00,0f x y x ?=?， ()00,0f x y y ?=?， 则称()00,x y 是f 的一个驻点。 根据费玛定理，可知 定理1：二元函数的极值点必为 0f f x y ??==??的点或至少有一个偏导数不存在的点。
注：定理1的条件是必要条件，而不是充分条件。 例1：z xy =在()0,0点。 例2：z x =在()0,0点。 怎样进一步判断是否有极值？ 定理2： 设f 在点),(00y x 的某个邻域内有各个二阶连续偏导数，并且点),(00y x 是f 的一个驻点， ),(0022y x x f A ??=，),(0022y x y f C ??=，),(002y x y x f B ???=，2A B H AC B BC ==-，则：（1）若0,0H A >>，则f 在点),(00y x 有极小值； （2）若0,0H A ><，则f 在点),(00y x 有极大值； （3）若0H <，则f 在点),(00y x 没有极值； （4）若0H =，则须进一步判断。 例3：求)1(b y a x xy z -- = )0,0(>>b a 的极值。 例4：求3 3 3z axy x y =--的极值。 多元函数的最大（小）值问题 设函数),(y x f 在某一有界闭区域D 中连续且可导，必在D 上达到最大（小）值。若这样的点0M 位于区域内部，则在这点显然函数有极大（小）值。因此，在这种情形函数取到最大（小）值的点必是极值点之一。然而函数),(y x f 的最大（小）值最可能在区域的边界上达到。因此，为找出函数),(y x f z =在区域D 上的最大（小）值，必须找出一切有极值的内点，算出这些点的函数值，再与区域边界上的函数值相比较，这些数值中最大数（或最小数）就是函数在闭区域D 上的最大（小）值。通常可根据问题的实际意义来判断。 例5：有一块宽24cm 的矩形薄铁皮，把两边折起来，做成一个梯形水槽，问x 和θ各自为何值时，水槽的流量是最大？ 例6：试在x 轴，y 轴与直线2x y π+=围成的三角形区域上求函数 ()sin sin sin u x y x y =+-+的最大值。
条件极值问题的讨论
摘要 条件极值问题是一个非常普通的数学问题，它不仅在理论上有重要的作用，而且在其他学科及有关实际问题中有着广泛的应用. 本文首先介绍了极值的相关理论；然后对求解条件极值的方法做了详细的归纳与总结，从中得到不同的条件极值问题可以有不同的求解方法，如有些问题可以通过变形转化为均值不等式或柯西不等式的形式进行求解. 对于二元二次函数的条件极值问题，有时可以借助二次曲线的图像进行求解. 而在求多个限制条件下的极值问题时，一般考虑用拉格朗日乘数法和梯度法；最后通过一些实例研究了条件极值在物理学、不等式证明、渠道设计及最优销售方案等实际问题中的应用. 关键词：条件极值；拉格朗日乘数法；梯度法
Abstract Conditional extremum problem is a very common Mathematical problems, it not only plays an important role in theory, but also has a wide application in other subjects and the related regions. In this paper, we first introduce the related theory of extremum. Then we give a detailed induction and summary which is the metheds of solving conditional extremum, for different conditional extremum problems can have different solving. Such as some problems can be solved through transformation of Mean V alue Inequality or Cauchy Inequality. Sometimes conditional extremum problems of binary quadratic function is solved depending on image of quadratic carve. We generally used Lagrangian Multipliers and Gradient Method to solve extremum problems of multiple constraints. Finally we study the applications of conditional extremum in physics, inequality proof, channel design and optimal sale plan and other practical problems through examples. Key words:Conditional extremum; Lagrangian Multipliers; Gradient Method
泛函条件极值
§6.3 泛函的条件极值 一、泛函条件极值问题的提出（等周问题） 求在连接A 、B 长度为L 的所有曲线中与直线AB 所围成面积最大的曲线？ AB 弧长：dx y L b a ∫+=2'1 （1） 曲线AB 与直线AB 所围成面积：()∫=b a dx x y S （2） 边界条件：()()0,0== b y a y （3） 在满足约束条件（1）和边界条件（3）的情况下，寻找满足由方程（2）的构成泛函问题的极小曲线函数。 二、一般泛函条件极值的E-L 方程 其中[][]()()2120,,,y b y y a y b a C y y y D ==∈=。 设()x y 是所求泛函的极值函数，取任意光滑函数()[]b a C x ,2 0∈η ()()()x x y x y εη+=1，()()0,0==b a ηη 从而构成一元函数 ()[]()∫++=+=b a dx y y x F y J '',,εηεηεηε? ()L dx y y x G b a =++∫'',,εηεη 利用拉格朗日乘子法，定义新的泛函 ()()()[]∫+++++=Φb a dx y y x G y y x F '',,'',,,εηεηλεηεηλε （4） 其中，λ为常数。 泛函()λε,Φ取极值，即需() 0,0=Φ=εελεd d () ()0'''',''''''''''0=???????+?=??++??+=+++=+++=Φ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫=b a y y y y b a y b a y b a y b a y b a y b a y b a y b a y b a y b a y b a y y y y dx G dx d G F dx d F dx G dx d G dx G dx F dx d F dx F dx G dx G dx F dx F dx G G F F d d ηλληληληληηηηληληηηληληηε λεε
条件极值
§4条件极值 教学目的与要求： 了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法，用条件极值的方法证明或构造不等式 教学重点，难点： 重点：用拉格朗日乘数法求条件极值 难点：多个条件的条件极值问题 教学内容： 一、何谓条件极值 在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。决定一给定点),,(000z y x 到一曲面0),,(=z y x G 的最短距离问题，就是这种情形。我们 知 道 点 ) ,,(z y x 到点 ) ,,(000z y x 的距离为 2 02 02 0)()()(),,(z z y y x x z y x F -+-+-= .现在的问题是要求出曲面0 ),,(=z y x G 上的点),,(z y x 使F 为最小.即问题归化为求函数),,(z y x F 在条件0),,(=z y x G 下的最小值问题. 又如，在总和为C 的几个正数n x x x ,,21的数组中，求一数组，使函数值2 2 22 1n x x x f +++= 为最小，这是在条件C x x x n =+++ 21 )0(>i x 的限制下， 求函数f 的极小值问题。这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）. 例1 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 . 分别以x 、y 和z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件 V xyz =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 . 条件极值问题的一般形式是在条件组 )(,,2,1, 0),,,(21n m m k x x x n k <== ? 限制下， 求目标函数 ),,,(21n x x x f y =
(整理)184条件极值.
片 1 幻灯 片 2 先提出此例,然后,简要 板书建立数学模型的 过程.
幻灯片 3 22,,)0,,,)0 ( ,,)0n n n x x m x ==? ??= 求目标函数这种附有约束条件的极值问. 的极值12(,, ,) (3) n x x x 幻灯 片 4 从简单的条件极值问题入手,讨论条件极值点的必要条件.过程:从约束条件解出隐函数,代入目标函数,化为无条件极值.条件极值点对应无条件极值点. 幻灯片 5
幻灯片 6 引导学生归纳总结出 条件极值点的必要条件.指出这里把原条件极值问题,化为Lagrange 函数的无条件极值问题. 幻灯片 7 指出这里同样把原条件极值问题,化为Lagrange 函数的无条件极值问题. 幻灯片 8 12,,,,,,) n m x λλλ2121 ,,)(,, ,) (12) m n k k n k x x x x λ?=+∑2, ,m λ为拉格朗日乘数
幻灯片 9 1,2, ,)m 在区域00 ,,)n x 是上述问题的极值点11 n m m n x x x P ?????? ???? ??????? 幻灯 片 10 (0)(0),m λ,,使得 0(0)(0) 1,,,)n m x λλ,,为拉格朗日函数(12)00(0)(0)1,,,)n m x λλ,,为下述1112120,(,,,)0 ,(,,,)0 .m m x k k n n n m n f L x x x x x L x x x λ?λ??=??????=+=???=?? ?==?∑ 幻灯片 11 乘数法解应用问题举. 求容积为V 的长方体形开口水箱的最小P166例1 解题方法Lagrange 乘数法,讨论问题的拉格朗日函数的稳定点.——可能的条件极值点
多元函数条件极值的解法
多元函数条件极值的解法 梯度法 利用梯度法求目标函数),,,(21n x x x f 在条件函数0),,,(21=n k x x x ?（n m m k ≤=,,,2,1 ）组限制下的的极值。首先求目标函数),,,(21n x x x f 的梯度向量，),,,(21n x f x f x f g ra d f ??????= ；设n n ?λ?λ?λ?+++= 2211为m 个条件相交部分的方程，把多个条件转化为一个条件，而曲面0),,,(21=n x x x ?在点),,,(21n x x x 处的法向量为:),,,(21n x x x n ??????=??? ，注意其中i n n i i i x x x x ??++??+??=???λ?λ?λ? 2211；设曲面0),,,(21=n x x x ?在点),,,(21n x x x 处的切平面上的一个切向量为：),,,(21n a a a a =，则有n a ?=i n i i x a x a x a ??++??+????? 21=0；然后令0)2(,,2,1,个数为中的-=n n i a i ，可以得到一个切向量，如令0132====-n a a a ，11/x x a a n n ????-=??，),0,,0,(1n n n a x a x ????-∴?φ ，消去n a ，于是得到切平面上的一个切向量),0,,0,(1 x x n ????-?φ ，类似可以得到另外的)2(-n 个向量，),0,,0,,0(2x x n ????-?φ ，…，),,0,,0(1 -????-n n x x ?φ ;把这)1(-n 个向量与),,(21n x f x f x f g r a d f ??????= 作内积并令它们为0，得到)1(-n 个方程，再与m 个条件函数联立构成方程组，即可求出稳定点。[5] 例4：已知抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一个椭圆，求原点到这个椭圆的的最长 和最短距离。 解：设),,(z y x 为椭圆上的点，则它到原点的距离的平方为=2 d 222z y x ++，先求目标函数2222),,(z y x d z y x f ++==在条件22y x z +=与1=++z y x 下的最大与最小值； 设0221=-+=z y x ?；012=-++=z y x ?；)2,2,2(z y x gradf =；=+=2211),,(?λ?λ?z y x )(221z y x -+λ+)1(2-++z y x λ；
一个带约束条件的二元函数最值的求法(四)
一个带约束条件的二元函数最值的求法 江苏省东海县白塔高级中学 陈大连 邮编 222345 电话 近年来高考与各地的模拟考试中悄然出现一种平时练习中不太常见的数学问题——求带约束条件的二元函数最大值或最小值，这种问题因条件与目标函数的不同其解法也往往不同.本文将给出一道典型小题的多种解法并对解法加以说明，以帮助读者能够迅速解决这种问题并增强解题的灵活性. 问题（2015届江苏省宿迁市高三一模第 9题）已知实数,x y 满足221x xy y -+=，则 x y +的最大值为 . 解法1 令x y t +=，则y t x =-，将其代入条件得，22()()1x x t x t x --+-=，整理，得223310x tx t -+-=.令22(3)43(1)0t t ?=--?-≥，解得22t -≤≤.当2 2 2,1 x y x xy y +=?? -+=?即 1x y ==时右边的等号成立，所以t =x y +的最大值为2. 注 此解法对目标函数整体换元，然后将条件化为关于某个变元的一元二次方程，依据其判别式的非负性得到目标函数的最值，其中“可将条件化为关于某个变元的一元二次方程”是此解法得以成功的关键所在.需要提醒的是在得到22t -≤≤时要注意检查等号成立的条件. 解法2 由221x xy y -+=配方，得2()31x y xy +-=，再由基本不等式，得 22()1313( )2x y x y xy ++=+≤+，即22 ()13()2 x y x y ++≤+，解得2()4x y +≤，即22x y -≤+≤，从而2x y +≤.当1x y ==时等号成立，所以x y +的最大值为2. 注 由于约束条件为二元二次方程，我们可以考虑对其配方，但配方的途径有很多，上解法注意结合目标函数配方，并运用基本不等式，构造出一个关于目标函数式x y +的不等式，通过解不等式求出函数的最值，这种构造不等式求最值或范围是常见的思路. 解法3 由221x xy y -+=配方，得22 3()124 y x y -+=. 令cos sin 2y x y αα-==， 则 32y α= ，3 ()cos 22 y x y αα-++ ，即cos x y αα+=+ 2sin()26πα=+≤.易见当3 π α=时等号成立，所以所求的最大值为2. 注 由于221x xy y -+=的左边是一个非负式子，可以配方成两个式子的平方和，为三角换元创造条件. 解法4 由解法3知等式条件可配方为22 3()124 y x y -+ =. 令2y x s y t -==，则条件化为221s t += ，目标函数x y s +=+. 由线性规划知识，当动直线s P +=与圆 221s t +=相切时P 1=，解得2P =±，其