广西桂林市逸仙中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学(理)试题

桂林市逸仙中学2020秋季学期段考试题

科目：高二数学（理科）

考试时间：120分钟

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60.0分）

1．不等式2x＋3－x2＞0的解集是（）

A．{x|－1＜x＜3}B．{x|－3＜x＜1}

C．{x|x＜－1或x＞3} D．{x|x＜3}

2．在△ABC中，B=135°，C=15°，a=4，则此三角形的最大边长为（）

A. 5√2

B. 5√3

C. 4√2

D. 4√3

3．不等式x+3y?6≥0表示的平面区域是（）

A. B.

C. D.

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a：b：c=4：5：7，则△ABC为（）A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

5．在等比数列{}n a 中，32a =，5a m =，78a =，则m = A.4± B. 4 C. 4- D.5 6．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则（ ） A. ac >bc B. 1a

<

1b

C. a 2>b 2

D. a 3>b 3

7. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

8．两个灯塔A 、B 与海洋观测站C 的距离都等于8km ，灯塔A 在观测站C 的东北方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东15°方向上，则A 、B 之间的距离为（ ） A. 4√3km

B. 8km

C. 8√2km

D. 8√3km

9．若不等式5x 2－b x ＋c<0的解集为{x |－1

A ．5

B ．－5

C ．－25

D ．10

10．等差数列{a n }中，S 3=3，S 6=9，则S 12=（ ）

A. 12

B. 18

C. 24

D. 30

11．已知等差数列｛a n ｝、｛b n ｝，其前n 项和分别为S n 、T n ，

1332-+=

n n b

a n

n

，则=T S 11

11（ ）

A.

1715 B.32

25

C.1

D.2 12．已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+ 2a 5，若存在两项a m ，a n 使得

14a a a n m =，则

n

m 4

1+的最小值为（ ） A ．

23 B ．35 C ．6

25 D ．不存在

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）

13．若x 、y 满足条件{x +y ≥1

2x +y ≤4y ≤2

，则z =x +3y 的最大值为____________．

14．若关于x 的二次不等式210x mx ++≥的解集为实数集R ，则实数m 的取值范围是____________.

15．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=1

2，a n+1+S n S n+1=0，则S 10=____________．

16．已知整数对排列如: ()()()()()()()1,1,1,2,2,1,1,32,2,3,1,1,4,()2,3,()()3,2,4,1,

()()1,5,2,4,

，

则第60个整数对是_______________.

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17．（本小题满分10分）

已知数列{a n }(n ∈N ?)为等差数列，且a 4=8，a 8=4． （1）求数列{a n }的通项公式；

（2）设数列{a n }的前n 项和S n ，求S n 的表达式.

18.（本小题满分12分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a +2b =2ccosA ． （1）求C ；

（2）若a =1，△ABC 的面积为√3，求c ．

19.（本小题满分12分）

某工厂要建造一个长方体无益贮水池，其容积为1200m 3，深3m.如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元. （1）怎样设计水池能使总造价最低？ （2）最低总造价是多少？

20．（本小题满分12分） 已知数列

{}n a 中，1

1a

=，47a =，且1n n a a n λ+=+．

（1）求λ的值及数列{}n a的通项公式；

（2）设

1

1

1

n

n

b

a

+

=

-，数列

{}

n

b的前n项和为

n

T，证明2

n

T<．

21.（本小题满分12分）

如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠CAB=60°，∠BCD=120°，AC=2. （1）若∠ABC=15°，求DC；

（2）记∠ABC=θ，当θ为何值时，三角形BCD的面积有最小值？求出最小值.

22.（本小题满分12分）

设数列{a n}的前n项和为S n，.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，数列的前n项和为T n，若对任意的正整数n，恒有，求实数的取值范围．

桂林市逸仙中学2020秋季学期段考试题答案

科目：高二数学（理科）

一、选择题

1-5：ACBCB 6-10：DADBD 11-12：AA 二、填空题

13、7 14、-2≤m ≤2（或｛m ｜-2≤m ≤2｝、［-2，2］）

15、

11

1

16、（5，7） 三、解答题

17、解：（1）由题意知，a 4=8，a 8=4，则 a 1+3d =8 a 1=11

解得

a 1+7d =4， d =－1

∴a n =12－n.

（2）由（1）知S n =na 1+

d n n 2

)

1(-， ∴S n =2

232n

n +-.

18、解：（1）∵

R C

c

B b A a 2sin sin sin === ∴a +2b =2c cosA

sinA+2sinB=2sinCcosA sinA+2sin （A+C ）=2sinCcosA

sinA+2sinAcosC+2cosAsinC=2sinCcosA 2sinAcosC=－sinA ∵sinA ＞0 ∴cosC=2

1－

∵0＜C ＜π ∴C=

3

2π （2）∵a =1，C=32π，△ABC 的面积S=21ab sinC=21×

1×bsin 3

2π

=3 ∴b=4．

∵c 2=a 2+b 2－2ab cosC ，即c 2=1+16?2×1×4cos 3

2π

=21 ∴c=21

19、解：设底面的长为x m ，宽为y m ，水池总造价为z 元，

根据题意，有z =200xy +150(2×3x +2×3y)=200xy +900(x +y)， 容积为1200m 3，可得3xy =1200， 因此xy =400，

由基本不等式及不等式性质，可得z =80000+900(x +y)≥80000+900×2√xy ， 即z ≥80000+900×2√400=116000， 当且仅当x =y =20时，等号成立．

所以，将水池的底面设计成边长为20m 的正方形时，总造价最低，最低总造价是116000元． 20、解：（1）由题意知，a 1=1，a 2=a 1+λ，a 3=a 2+2λ，a 4=a 3+3λ， ∴a 4=a 1+6λ，即7=1+6λ， ∴λ=1. ∴a n+1－a n =n

∴a 1=1，a 2－a 1=1，a 3－a 2=2，......，a n －a n-1=n －1

∴a n =a 1+a 2－a 1+a 3－a 2+......+a n －a n-1

=1+1+2+......+n －1 =1+

2

)

11)(1(-+-n n =2

22+-n n

∴a n =2

22

+-n n

（2）由（1）知a n =222+-n n ，a n+1=

2

2112

++-+）（）（n n b n =

1

11-+a n =

）（12

+n n =2（n 1－1

1+n ）

T n =2（1－21+21－31

+......+ n

1－11+n ）

=2（1－1

1

+n ） =2－

1

2+n ∴T n ＜2.

21、解：（1）在四边形ABCD 中，因为AD ⊥A B ，，

，

所以，

在

中,可得

，，AC ＝2

由正弦定理得:,解得：

（2）因为，可得

, 四边形内角和得

，

在

中，

.

在

中，

，

,

当时，S取最小值.

22、解：（1）由已知，，当时，，所以

当时，.

两式相减，得.

两边同时乘以，得

令，则，所以数列是公差为1的等差数列，其首项为所以，即，所以

（2）由（1）知，所以.

则①

②

①-②，得

即

则

由已知，对任意的正整数，恒有.

当时，化为，得

当时，化为，此时，λ为任意实数不等式都成立.

当时，化为，即

令，

则，所以

.

当时，，则，此时，的最小值为，则

综上可知，，即λ的取值范围是．