数学教学目标再思考

数学教学目标再思考

编者按：在中国教育学会中学数学教学专业委员会出台的《全国中学青年数学教师优秀课评价标准（修订版）》中，对数学教学目标的确定，提出了“正确体现‘课程目标—单元目标—课堂教学目标’的层次性，在‘课标’的‘总体目标’和‘内容与要求’的指导下，设置课堂教学目标”的新要求.在过去一段时间内，由于种种原因，人们在确定和呈现课堂教学目标的问题上出现了一些模糊认识，导致了数学教学设计和课堂教学的一些混乱.为此，章建跃博士撰写了《数学教学目标再思考》一文，发表在《中学教研（数学）》2012年第1期上.这篇文章可以作为对上述新要求的一个解读，本刊特予转载，供广大读者学习和借鉴.

一、引子

科学、合理地制定数学教学目标，是提高数学教学质量的首要条件.我们曾在许多场合讨论过如何制定课堂教学目标的问题.当前，以“知识与技能”、“过程与方法”、“情感态度与价值观”分类呈现课堂教学目标成为一种时髦.在某些地区，甚至作为教学基本功、日常教学规范，用“准文件”的形式做出“规定”，要求教师在课堂教学设计时用“三维目标”表述，否则就是“不合格”.例如，下面是几位教师给出的教学目标（来源于“第七届全国初中青年数学教师优秀课观摩与评比活动”教学设计）.

教师A

知识与技能：

掌握有理数加法法则，并能运用法则进行有理数加法的运算.

过程与方法：

1.经历有理数加法法则的探究过程，深刻感受分类讨论、数形结合的思想，由具体到抽象、由特殊到一般的认知规律；

2.动手、发现、分类、比较等方法的学习，培养归纳能力.情感态度与价值观：

1.通过师生合作交流，学生主动参与探索获得数学知识，从而提高学习数学的积极性；

2.体会数学来源于生活，服务于生活，培养热爱数学的情感，体会数学的应用价值；

3.培养善于观察、勤于思考的学习习惯，树立合作意识，体验成功，提高学习自信心.

教师B

知识目标：

1.理解圆周角的概念，让学生探索和掌握圆周角定理，并能灵活地应用圆周角定理解决圆的有关说理和计算问题；

2.让学生在探究过程中体会“由特殊到一般”、“分类”、“化归”等数学思想.

能力目标：

1.培养学生观察、比较、分析、推理及小组合作交流的能力和创新能力，通过解决问题增强自信心，激发学习数学的兴趣；

2.既要让学生的个性得到充分的展示，又要培养学生以严谨求实的态度思考问题.

情感目标：

1.通过操作交流等活动，培养学生互相帮助、团结协作、互相讨论的团队精神；

2.营造“民主、和谐”的课堂氛围，让学生在愉快的学习中不断获得成功的体验.

教师C

知识技能：

了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程.

数学思考：

在勾股定理的探索过程中，体会数形结合思想，发展合情推理能力.

解决问题：

1．通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维；

2．在探究活动中，学会与人合作，并在与他人交流中获取探究结果.

情感态度：

1．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情；

2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神.

三位老师给出的课堂教学目标，虽然在形式上有些差异，但问题是共同的：目标分类混乱、不准确，条目烦琐，表达不确切，空话、套话连篇，对课堂教学活动的定向功能太弱，等等. 我认为，出现这些偏差的主要原因是大家对数学教学目标不重视，没有投入必要的时间和精力进行深入思考，许多老师因为不知该如何区分“三个维度”，只能从参考资料中“抄目标”，再加上某些部门缺乏认真研究，盲目提出强制执行的不正确“规定”，在教学实践中出现“教学目标的混乱”是必然的.由此而导致的结果是，课堂教学失去基准和方向，没有一以贯之的思想主线统领课堂，教师的教学行为随意性很大，课堂中“无效劳动”很多，学生负担沉重但学习效果不佳.因此，为了提高数学课堂教学的质量和效益，必须对数学教学目标澄清认识，提高制定数学教学目标的水平.

二、数学教学目标的层次性

数学教学是为了达到一定的目标而进行的.因此，在具体实施课堂教学之前，清楚地知道目标是非常重要的.在数学教育、教学实践中，我们经常可以看到“教育目的”、“教育目标”、“培养目标”、“课程目标”、“教学目的”、“教学目标”杂乱使用的现象.但这些概念实际上是有联系又有区别的.一般而言，我们可以按“教育目的—课程目标—教学目标”的层次来区分这些术语.

1.教育目的

目的一词常与目标、结果、意图等术语混用，但它们的含义是有区别的.“目的”是总的表述，它为指向某种未来结果的具体行动提供了框架和方向.因此，教育目的是培养人的总目标，其核心是对培养什么样的人做出规定，即把学生培养成怎样的社会角色.教育目的具有历史性，这是时代发展对人才不同需求的反映.同时，它还具有一般性、概括性和抽象性，是对学生在德、智、体、美等诸方面发展的总体要求.

按照《教育法》的规定，我国现阶段的教育目的是：“培养德、智、体等方面全面发展的社会主义事业的建设者和接班人.”它反映了我国当代社会对受教育者的要求，是学校教育工作的总体目标.因此，整个基础教育阶段的各门学科都应以此为出发点和最终目标.确定中学数学课程目标和数学教学目标也应以此为根据.

2.数学课程目标

通俗地讲，数学课程目标就是我们想让学生通过数学学习而到达的那个“目的地”.它指出了学生达成目标时的数学水平、思维能力、行为习惯等特征，但并不具体指明特定的学习.例如，在教育目标中，“德育”被规定为要使学生具有公民意识，树立自由平等、民主法治、公平正义等理念，落实在数学课程目标中，就是要使学生能熟练地运用批判性思维，养成理性精神；又如，“智育”被规定为要使学生在学会文化知识的同时，提高学习能力、实践能力、创新能力，能做到学以致用，为主动适应社会做好准备等，落实在数学课程目标中，就是要使学生在获得数学基础知识、基本技能的同时，提高思维（特别是逻辑思维）能力，培养数学地提出、分析和解决问题的能力，提高数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力等.

与“目的”不同，通过分析数学课程目标，可以确定学校数学教育的范围.“目标”是一种特定的书面陈述，具有定向功能，它为数学课程和教学提供了关于所要完成任务的明确陈述.我国现行数学课程标准中，把义务教育阶段数学课程目标分为总体目标和学段目标，从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等四个方面加以阐述，并指出：“总体目标的这四个方面，不是互相独立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体.在课程设计和教学活动组织中，应同时兼顾这四个方面的目标.这些目标的整体实现，是学生受到良好数学教育的标志，它对学生的全面、持续、和谐发展有着重要的意义.数学思考、问题解决、情感态度的发展离不开知识技能的学习，知识技能的学习必须有利于其他三个目标的实现.”因此，“三维目标”实际上是中学数学课程目标的整体设计思路，是任何数学学习过程中都要涉及的三个心理维度，但不是教学目标的维度.

3.数学教学目标

数学课程目标为数学教学规定了明确的方向，但它是宏观方向，属于观念层次，它们在代数、几何、统计与概率等课程的教学中都要得到反映.当课程目标具体化到特定的数学内容时，就是教学目标.

需要特别注意的是，教学目标也有层次性.初中数学教学目标可以区分为：分科（代数、几何、统计与概率、综合与实践等）教学目标、章节教学目标和课时教学目标等.这种层次性表明了将数学课程目标逐步转化为具体教学目标的过程.在这个过程中，我们先从一般的观念层次入手，制定一个数学教育的总体框架，再转向较为具体的、以内容为载体的短期结果的描述.通过这样的转化，使目标落实在具体内容的教学中，从宏观到中观再走向微观，使抽象观念变为具体可操作的行为.

三、数学教育的“目标系统”

综上所述，我们把“教育目的”作为中小学数学教学的总体指导思想，中学数学教育的“目标体系”可以表示为一个从抽象到具体的连续体.这个连续体包括如下几个层次的目标.

1.数学课程目标

这是宏观目标，是需要付出大量的时间和精力，经过长期努力才能实现的学习结果，它包含着多方面的、更为具体的目标.例如，“体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数，掌握必要的运算（包括估算）技能”，“通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识”，“在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念”，“经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观”，“了解利用数据可以进行统计推断，发展建立数据分析观念”，“体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力”，“初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力”等，都是课程目标的例子.

2.单元教学目标

单元教学目标属于中观目标，用于计划需要一定时间（几周或几个月）学习的教学内容，是课程目标的具体化.例如，“理解有理数的意义，理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算”就是一个单元目标.它包括了概括性的论题（如，数的概念的发展，有理数运算法则的定义方法，运算律的推导等），涵盖了多个具体学习任务（如，正数与负数、数轴、有理数的运算等）和模糊的认知过程（如，理解、运用、掌握等），是“体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数，掌握必要的运算（包括估算）技能”的具体化.

单元大小要视内容而定，单元之间可以有一定的包含关系.通常，一个大单元需要分解为几个小单元.例如，在“方程”这一大单元下，可以分解为“一元一次方程”、“二元一次方程组”、“一元二次方程”等小单元.每一个小单元的教学目标都要给出特定的学生行为和该行为所针对的内容主题，但这些目标又是大单元的教学目标的具体化.例如，上述“方程”的小单元的教学都要体现“探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用方程进行表述的方法；通过用方程表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识；初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法；在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值”等代数的教学目标.

3.数学课堂教学目标

这一层次的目标是目标系统中最具体的，是微观目标.它专注于具体内容的学习，只处理细节，它们在计划日常教学中发挥作用.因此，数学课堂教学目标要强调“具体化”、“可操作”、“可检测”，经过课堂教学能看得见学生的变化.

四、如何制定课堂教学目标———以“有理数”为例

根据上述数学教学目标的层次观，数学课堂教学目标要强调具体性、可操作性，而且是可检测的.不过，这样的要求可能会导致教学目标的立意不高，缺乏必要的思想性.因此，制定课堂教学目标时，应在数学课程目标的指导下，综合考虑单元教学目标、当前教学内容的特点和学生的具体情况.课堂教学目标应以数学知识和技能为载体，在教学过程中开展数学思想方法的教学，促使学生的数学思维能力、理性精神得到潜移默化的发展.只有在了解学生的认知准备状况，正确理解教学内容、深入挖掘数学知识蕴含的价值观资源的基础上，才能制定出恰当的课堂教学目标.下面以“有理数”为例，说明如何制定课堂教学目标.

1．课程目标

数及其运算是中小学数学课程的核心内容.“有理数”作为初中数学的开篇，是在前两个学段的学习基础上，借助生活实例引入负数，通过添加负数这一类“新数”，使数的范围扩张到有理数系，再利用学生的日常生活经验、数轴的几何直观等，通过具体实例的归纳，将正数和负数之间的运算归结到正数之间的运算，进而定义有理数的运算，得出运算法则，并运用有理数的运算解决简单的问题.有理数的知识及其思想方法也是后续学习的基础.因此，“有理数”的课程目标是：

（1）体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数；掌握必要的运算（包括估算）技能；

（2）建立符号意识，发展运算能力；

（3）体会有理数及其运算的基本思想；

（4）运用有理数知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力.

2．单元目标

本单元是在小学学习的基础上，将数的范围扩充到有理数，学习有理数的运算和运算律.具体目标是：

（1）理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小；

（2）借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道a的含义（这里a表示有理数）；

（3）理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）；

（4）理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算；

（5）能运用有理数的运算解决简单的问题.

3．课堂教学目标

下面我们先从整体上分析一下“有理数”单元的教学内容，然后以“数轴”的教学目标为例，阐述确定课堂教学目标的要点.

（1）“有理数”单元教学内容分析.

引入负数是实际的需要，也是学习后续内容，特别是数与代数内容的需要，学生可以从

中体会根据实际和数学的需要引入新数的好处.

数轴是数形结合思想的产物.引进数轴后，可以用数轴上的点直观地表示有理数，从而也为学生提供了理解相反数、绝对值的直观工具，同时也为学习有理数的运算法则做了准备.引入相反数的概念，一方面，可以加深对相反意义的量的认识；另一方面，可以为学习绝对值、有理数运算做准备.绝对值概念借助距离概念加以定义.在数轴上，一个点由方向和距离（长度）确定；相应地，一个实数由符号与绝对值确定.这里，“方向”与“符号”对应，“距离”与“绝对值”对应，又一次体现了数与形的结合、转化.所以，绝对值概念可以促进数轴概念的理解，同时也是数的大小比较、数的运算的基础.

在“数与代数”中，运算是核心内容.“引进一种新的数，就要研究相应的运算；定义一种运算，就要研究相应的运算律”，是代数的核心思想.在数系、运算法则和运算律（即对任何数都成立的通性）中获得的知识，可以方便地迁移到“以字母符号代表数”后的学习内容中去.因此，“有理数”的学习重点是有理数的运算和运算律.当然，运算律的作用在此只是“牛刀小试”，其真正的威力要在后续代数学习中才能逐步体现.加法与乘法都是在介绍运算法则———着重是符号法则的基础上，进行基本运算，然后结合具体例子引入运算律，并运用运算律简化运算.

减法与除法，则是着重介绍如何向加法与乘法转化，从而利用加法与乘法的运算法则、运算律进行运算.乘方是几个相同因数的乘积，也就可以利用乘法运算.科学记数法与乘方有关，因而可进一步加以介绍.近似数在实际问题中有广泛的应用，有必要在这里做进一步的认识. （2）“数轴”的内容解析.

数轴是初中数学的核心概念，它是数形结合思想的产物，学习数轴是学生第一次经历把数和形统一起来的过程．数轴建立了直线上的点与实数的对应，是一维的坐标系．数轴使数的概念和运算可以与位置、方向、距离等统一起来，使数的语言得到了几何解释，数有了直观意义．这不仅有助于对数的概念的理解，而且还可以从中得到启发而提出新的问题或结论（例如，相反数、绝对值、大小比较等）．

用数轴上的点表示实数，就是要使任意一个实数能用唯一确定的点表示，同时，任意一个点只能表示一个实数（这样要求的意义需要学生逐渐体会）．在这样的要求下，明确规定原点、方向和单位长度“三要素”是必须而且自然的．这时，我们有：原点圮O（原点是区分方向的“基准”，O是区分正负的基准）；单位长度圮1（单位长度是度量线段长度的单位，1是实数单位，“单位”实际上给出了一个统一的标准）；

方向圮符号（空间中，A、B两点“位置差别”的定量化定义，必须且只需“方向”和“长度”．数轴上，方向只有“左”“右”两种，可以理解为“相反方向”．在数轴上，正与负具有“相反方向”，正数与负数的实际意义就是描述现实中的“相反意义的量”．确定一个实数，需要“符号”和“绝对值”两个要素，它们正好对应了定量化定义A、B两点“位置差别”的“方向”和“长度”）.

（3）“数轴”的教学目标及其解析.

本课的教学目标是：

①了解数轴的概念，会用数轴上的点表示有理数；②体会数轴三要素和有理数集（实数集）中，0，1和数的符号之间的对应关系，从而体会数形结合思想．

达成目标（1）的标志是：学生知道数轴是一条规定了原点、方向和单位长度的直线；给定一个有理数，学生能在数轴上找到表示它的点；能画出数轴，并用数轴上的点表示有理数．目标（2）是“内容所蕴含的思想方法”，学生需要体会的是在“用点表示数”时，数轴“三要素”保证了点与数的“一一对应”———给一个数，就有唯一确定的点与之对应；反之，给一个点，就有唯一的数与之对应．但本节课只要能体会有理数与数轴上点的对应性，不要刻意强调“给一个点，不一定有一个有理数与之对应”．

4．制定课堂教学目标的几点注意

课程目标、单元目标是由课标给定的.为了有效地实施课堂教学，教师必须将它们具体化，自己制定出一系列更具体的课堂教学目标.制定时需要注意以下几个问题.

（1）目标指向学生的变化.

教学目标是学生要到达的“目的地”，不是教师的教学程序或活动安排，因此必须指向学生的学习结果———通过教学，学生要达到的双基、能力和态度的变化.由于“使学生掌握有理数混合运算的基本步骤”、“培养学生的数形结合思想”等表述，指向了教师计划做的事情，所以是不正确的.

（2）与教师教的任务和学生学的任务相区别.

教师教的任务、学生学的任务是达成教学目标的载体，不是教学目标本身.任务的完成并不一定意味着目标的达成.例如，“教给学生有理数混合运算的一般步骤”、“让学生学习数轴的概念”等，都只给出了“任务”而不是要达到的“目标”.

（3）与内容紧密结合，避免抽象、空洞.

从属于数学能力、理性精神的教学目标，往往要通过不同内容的学习，经历较长时间才能实现.这样的教学目标，在表述时容易脱离内容，失之于千人一面、抽象空洞.例如，“培养抽象概括能力”、“培养数形结合思想”、“养成良好的数学学习习惯”等.在制定课堂教学目标时，一定要注意根据内容特点，反映出当前内容在促进学生数学能力和理性精神的某个角度或层次的目标要求.

（4）目标表述要明确.

表述教学目标，就是要指明学生通过学习而产生的变化，以便设计一定的教学活动来达到目标.明确表述的目标为教学指明了方向.一个目标包括一个动词和一个名词.动词一般描述了预期的学习过程，而名词则给出了预期学生掌握的知识.必须注意，一个目标不能含有不同层次结果.例如，“理解、记忆有理数运算法则，并能灵活应用法则进行有理数计算”，其中“记忆”、“理解”和“灵活应用”是不同层次的结果.这样的目标应进一步分解，使一个目标只包含一个结果.

以上我们讨论了数学教学目标的层次性，以“有理数”为例，介绍了制定课堂教学目标

的一般过程，并提出了需要注意的几个问题.当前，教学目标的制定中存在的最大问题是混淆课程目标和课堂教学目标的关系，缺乏单元目标的中间过渡，课堂教学目标不具体、难落实.这些问题需要多方人士的共同努力才能得到解决.制定课堂教学目标是一项专业性很强的工作，是教师专业化发展的重要抓手.本文的讨论是初步的，期待能抛砖引玉，特别希望一线教师的出色工作.