导数含参问题
导数切线及含参问题讨论
线y=f (X )在点P (X 0
, f (X 0
))处的切线的斜率。也就是说，曲线
y=f (X )在点p (X 0
, f
(X 0
))处的切线的斜率是 f ' (X 0
)。相应地，切线方程为
y — y 0
=f/ (X 0
) (X - x 0
)。
切线问题分类及解法：
题型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数
f
(X)，并代入点斜式方程即可.
题型二：已知斜率， 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决.
题型三：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，待定切点法。
求过曲线y X
3
2x 上的点(1.-1)的切线方程。
题型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解.
1 y —
求过点(20)且与曲线 X 相切的直线方程.
求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，函数
y=f (X )在点X 0
处的导数的几何意义是曲
3 C 2
曲线y X 3X
1
在点(1 1)处的切线方程为( A. y 3X 4
B
y 3x 2 C y 4X 3
D. y 4X 5
求曲线的切线方程
与直线
2X y 4
的平行的抛物线y
2
X
的切线方程是(
A 2X y 3 0
B. 2x y 3
0 C 2x y
D 2x y 1
变式1、已知函数y f(
x)的图象在点M
(1
，
f(1
))处的切线方程是
f(i) f (1)
变式2、a数的图像如图所示丿下列数值排序正确的是＜)
导数含参问题讨论
题型一：求导后，考虑函数为零是否有实根，进行分类讨论。
..1 < I
议A e R.丽竝./ < A') = € 1 —.厂(？)二/(A-) 一A A,A e 尺-
-V A- 1. A- 2 1
1.
数F (X)的单调性
2
2.设a>0,讨论函数f(x) In X a(1 a)x 2(1 a)x的单调性2X 2,则
B. C. D_o
g/⑶
0
，讨论函
3.已知函数f (x) In X ax求单调区间
1 2
4.已知函数f(x) -ax x，求单调区间
题型二：求导后，不知道导数为零的根是否落在定义域内，进行分类讨论。
用导数解决函数问题若求导后，研究函数的导数问题时能转化为研究二次函数问题时，二次项的系数含参数按系数大于零、等于零、小于零分类；再按在二次项的系数不等于零时对判
别式按△> 0、△ =0、Av 0;在^> 0时，求导函数的零点再根据零点是否在在定义域内进行套论，若零点含参数在对零点之间的大小进行讨论
f(x) (1 a)lnx -x2
1.设函数 2 ，求其单调区间
2.已知a是实数，函数f(x) J X(x a)
(1)求单调区间
(2)设g (a)为f (X)在区间［0.2］上的最小值。
写出g (a)表达式
求a的取值范围，使 6 g(a) 2
a 3
1x2(1 a)x，求单调区间
3.已知函数f(x) -x
题型三：求导后，导数为零的根有参数且落在定义域内，但不知实根大小关系 进行分类讨论。
用导数解决函数问题若求导后， 研究函数的导数问题时能转化为研究二次函数问题时， 二次
项的系数含参数按系数大于零、 等于零、小于零分类；再按在二次项的系数不等于零时对判 别式按△> 0、
△ =O 、Av 0;在^> 0时，求导函数的零点再根据零点是否在在定义域内进 行套论，
求参数的范围时由于不能分离出参数而引起的对参数进行的讨论
取值范围.
若零点含参数在对零点之间的大小进行讨论
1
. f(x) 1 3
-x 3
2)x 2 2ax ，求单调区间
2. f(x) 2ax a 2
1
x 2
1
(x R)，当a 0时，求单调区间 题型四: 1.已知 f (x) x
2
9a 2x ，当a>0时，x [0,3],有f (x) a 恒成立，求实数 a 的
6ax 9a 2.设函数f (x) bln(x 1)，求极值点
3.已知函数f
x 3 ax 2
(1)讨论f x的单调区间;
2 1
(2fx
a
题型五：结合函数的图像与性质求参数的取值范围问题
1.设a为实数，函数f(x) X3
(1)求f (X)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，X2X a 。
曲线y f(X)与X轴仅有一个交点。
2..已知函数f(x) 〔x4 X3
4 9
x2 cx有三个极值点。证明:
2
27 c 5 ；
解题方法：结合函数图像求解参数问题，题目中一般出现零点，根,
f(X l)和f(X2)等关键词，利用二次函数图像或数轴穿根的方法, 求
解问题。
题型六：导数解决不等式问题
将利用导数所求的极值点标在图像上，根据题意
1.对于函数f X a
x3
3
(1)若函数f X在x 2处的切线方程为y 7x 20 ,求a,b 的值;
(2)设X1,X2是函数f(X)的两个极值点，且X2 2,证明：l b
2.函数f(x)=Jx21 aX(a 0),解不等式f(x) < 1
3.已知函数f(x) (a Jx)9(a R),对f(x)定义域内任意的x的值，f(x) > 27恒成
x
立，求a的取值范围
解题方法：题中出现不等式符号时，一般利用不等式构造函数方程，将所含参数代数式移到不等式一侧，构造函数方程并求导，利用极大值大于最大值，极小值小于最小值解题。
题型七：已知区间单调或不单调，求解参变量的范围
1.设函数f x
⑴求曲线y x在点0, f 0处的切线方程;
(2)求函数f的单调区间
(3)若函数f在区间1,1 内单调递增，求k的取值范围。
2.已知函数f x 3 2
x ax
(1)讨论f x 的单调区间;