电动力学习题解答3
第三章 静磁场
1. 试用A 表示一个沿z 方向的均匀恒定磁场0B ，写出A 的两种不同表示式，证明二者之差为无旋场。
解：0B 是沿 z 方向的均匀恒定磁场，即 z B e B 00=，由矢势定义B A =??得
0//=??-??z A y A y z ；0//=??-??x A z A z x ；0//B y A x A x y =??-??
三个方程组成的方程组有无数多解，如：
○
10==z y A A ，)(0x f y B A x +-= 即：x x f y B e A )]([0+-=； ○20==z x A A ，)(0y g x B A y += 即：y y g x B e A )]([0+= 解○1与解○2之差为y x y g x B x f y B e e A )]([)]([00+-+-=? 则 0)//()/()/()(=??-??+??+?-?=???z x y y x x y y A x A z A z A e e e A 这说明两者之差是无旋场
2. 均匀无穷长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数为n ，电流强度I ，试用唯一性定理
求管内外磁感应强度B 。
解：根据题意，取螺线管的中轴线为 z 轴。本题给定了空间中的电流分布，故可由
??=
'430dV r r
J B πμ 求解磁场分布，又 J 只分布于导线上，所以
??=3
04r Id r l B πμ
1)螺线管内部：由于螺线管是无限长理想螺线管，所以其内部磁场是均匀强磁场，故只须求出其中轴 线上的磁感应强度，即可知道管
内磁场。由其无限长的特性，不z y x z a a e e e r ''sin 'cos ---=φφ， y x ad ad d e e l 'cos ''sin 'φφφφ+-= )''sin 'cos ()'cos ''sin '(z y x y x z a a ad ad d e e e e e r l ---?+-=?φφφφφφ
z y x d a d az d az e e e '''sin '''cos '2φφφφφ+--=
取''~'dz z z +的一小段，此段上分布有电流'nIdz
?++--=∴2/3222
0)
'()
'''sin '''cos '('4z a d a d az d az nIdz z y x e e e B φφφφφπμ ???+∞
∞-+∞
∞
-=+=+=z z I n a z a z d nI nI z a dz a d e e 02/3202/3222200
]
)/'(1[)
/'(2)'('
'4μμφπ
μ
π
2)螺线管外部：由于螺线管无限长，不妨就在过原点而垂直于轴线的平面上任取一点
)0,,(φρP 为场点，其中a >ρ。
222')'sin sin ()'cos cos ('z a a r +-+-=-=φφρφφρx x )'cos(2'222φφρρ--++=a z a
z y x z a a e e e x x r ')'sin sin ()'cos cos ('+-+-=-=φφρφφρ
y x ad ad d e e l 'cos ''sin 'φφφφ+-=
z y x d a a d az d az d e e e r l ')]'cos([''sin '''cos '2φφφρφφφφ--+--=?
??????--+-+-=∴??????+∞∞-+∞∞-+∞∞-')'cos('''sin ''''cos ''432
203203200dz r a a d dz r az d dz r az d nI z y x φφρφφφφφπμπππe e e B 0=
3. 设有无限长的线电流I 沿z 轴流动，在z<0空间充满磁导率为μ的均匀介质，z>0区域
为真空，试用唯一性定理求磁感应强度B ，然后求出磁化电流分布。 解：设z>0区域磁感应强度和磁场强度为1B ，1H ；z<0区域为2B ，2H ，由对称性可知1H
和2H 均沿θe 方向。由于H 的切向分量连续，所以θe H H H ==21。由此得到
021==n n B B ，满足边值关系，由唯一性定理可知，该结果为唯一正确的解。
以 z 轴上任意一点为圆心，以 r 为半径作一圆周，则圆周上各点的H 大小相等。根
据安培环路定理得：I rH =π2，即r I H π2/=，()θπe H H r I 2/21== ()θπμμe H B r I 2/0111==∴，(z >0)； ()θπμμe H B r I 2/222==，(z <0)。
在介质中 ()()θμμπμe H B M 1/2//0202-=-=r I
所以，介质界面上的磁化电流密度为：
()()()()r z r I r I e e e n M α1/2/1/2/00-=?-=?=μμπμμπθ
总的感应电流：()()()1/1/2/020
-=?-=
?=??
μμ?μ
μππ
θθI rd r I d I e e l M ，
电流在 z<0 区域内，沿 z 轴流向介质分界面。 4. 设x<0半空间充满磁导率为μ的均匀介质，x>0空间为真空，今有线电流I 沿z 轴流动，
求磁感应强度和磁化电流分布。
解：假设本题中的磁场分布仍呈轴对称，则可写作
φπμe B )2/'(r I =
它满足边界条件：0)(12=-?B B n 及0)(12==-?αH H n 。由此可得介质中：
φπμμμe B H )2/'(/2r I ==
由 M B H -=02/μ得：
在x <0 的介质中 φμμμμπμe M 0
2'-=
r I ，
则： 0
020002)('02'μμμμμφφμμμμπμπππ
-=
+-=?=???I d d r r I d I M l M 再由 φφπμπμe e B )2/'(2/)(0r I r I I M =+= 可得)/(2'00μμμμμ+=，所以
r I πμμμμφ)/(00+=e B ，)/()(00μμμμ+-=I I M （沿 z 轴）
5. 某空间区域内有轴对称磁场。在柱坐标原点附近已知)2/(2
2
0ρ--≈z C B B z ，其中
0B 为常量。试求该处的ρB 。
提示：用0=??B ，并验证所得结果满足0=??H 。
解：由于B 具有对称性，设z z B B e e B +=ρρ， 其中 )2/(220ρ--=z C B B z
0=??B ，0)(1=??+??∴
z B z B ρρρρ，即：02)(1=-??
cz B ρρρ
ρ， a cz B +=∴2ρρρ（常数）。
当0→ρ时，ρB 为有限，所以 0=a ；ρρcz B =，即：
z z c B cz e e B )]2/([220ρρρ--+= （1）
因为0=J ，0=D ，所以 0=??B ，即0)//(=??-??θρρρe B z B （2） 直接验证可知，（1）式能使（2）式成立，所以ρρcz B =，(c 为常数)
6. 两个半径为a 的同轴圆形线圈，位于L z ±=面上。每个线圈上载有同方向的电流I 。
（1）求轴线上的磁感应强度。
（2）求在中心区域产生最接近于均匀常常时的L 和a 的关系。 提示：用条件0/22=??z B z
解：1） 由毕—萨定律，L 处线圈在轴线上 z 处产生的磁感应强度为
z z B e B 11=，
2
/3222
2/3222030
1])[(121])([4sin 4a L z Ia d L z a Ia r Id B z +-=-+=?=??
μθπμαπ
μr l 同理，-L 处线圈在轴线上 z 处产生的磁感应强度为：
z z B e B 22=，2
/3222
02]
)[(1
21a L z Ia B z ++=
μ。 所以，轴线上的磁感应强度：
??????++++-=
=2/3222/32220])[(1
]
)[(121a L z a L z Ia B z z μe B （1） 2）因为 0=??B ，所以 0)()(2
=?-???=????B B B ；
又因为0=??B ，所以 02=?B ，0/2
2=??z B z 。代入（1）式并化简得：
-
+++++--+-----2/72222/5222/7222])[()(5])[(])[()(5a z L z L a z L a z L z L 0])[(2
/522=++--a z L
将 z=0 带入上式得：2
225a L L +=， 2/a L =∴
7. 半径为a 的无限长圆柱导体上有恒定电流J 均匀分布于截面上，试解矢势A 的微分方
程。设导体的磁导率为0μ，导体外的磁导率为μ。
解：矢势所满足的方程为：
?????>=?<-=?)
(,0)(,2
02a r a r 外内A J
A μ 自然边界条件：0→r 时，内A 有限。
边值关系：a
r a
r ===外
内
A A ；a r a r ==??=
??|1
|1
外内A A μ
μ
选取柱坐标系，该问题具有轴对称性，且解与 z 无关。令
z r A e A )(内内=，z r A e A )(外外=， 代入微分方程得：
J r
r A r r r 0))((1μ-=????内；
0))
((1=????r r A r r r 外 解得：212
0ln 4
1)(C r C Jr r A ++-=μ内；43ln )(C r C r A +=外
由自然边界条件得01=C ，
由 a r a r ==??=??|1
|10外内A A μ
μ 得：232Ja C μ-=，
由 a r a
r ===外内A A 并令其为零，得：2
0241Ja C μ=，a Ja C ln 2
24μ=。 )(41220r a -=∴J A μ内；r
a
a ln 212J A μ=外
8. 假设存在磁单极子，其磁荷为m Q ，它的磁场强度为304/r Q m πμr H =。给出它的矢
势的一个可能的表示式，并讨论它的奇异性。 解：r
m m r
Q r Q e r H 20301
44πμπμ==
由 r
m
r Q e H B A 204πμ===?? 得： ????
??
???=??-
??=??
-??=??-??0]([10)](sin 1[
14])(sin [sin 1
2
θφθπφθθθθφθφr
r m A rA r r rA r A r r Q A A r (1) 令 0==θA A r ,得:
r
Q A m πθθθφ4sin )(sin =??
?=∴θφθπθθ04sin sin d r Q A m , θ
θ
πφsin cos 14r Q A m -= (2)
显然 φA 满足(1) 式，所以磁单极子产生的矢势φθ
θ
πe A sin cos 14r Q m
-= 讨论： 当0→θ时，0→A ；
当2/πθ→时，r Q m πφ4/e A →；
当πθ→时，∞→A ，故A 的表达式在πθ=具有奇异性，此时A 不合理。
9. 将一磁导率为μ，半径为0R 的球体，放入均匀磁场0H 内，求总磁感应强度B 和诱导
磁矩m 。(对比P49静电场的例子。)
解：根据题意，以球心为原点建立球坐标，取H 0的方向为z e ，此球体被外加磁场磁化后，
产生一个附加磁场，并与外加均匀场相互作用，最后达到平衡，呈现轴对称。 本题所满足的微分方程为：
?????>=?<=?)
(,0
)(,0022012R R R R m m ?? （1）
自然边界条件：0
1=R m ?为有限；θ?cos 02
R H R m -=∞
=。
衔接条件：在0R R =处满足 21m m ??= 及 R R m m ??=??//201?μ?μ 由自然边界条件可确定方程组（1）的解为：
∑∞==0
1)(cos n n n
n m P R a θ?； ∑∞
=+-+-=0
)1(02)(cos cos n n n n m P R d R H θθ?
由两个衔接条件，有：
∑∑∞
=+-∞
=+-=0
)1(00
)(cos cos )(cos n n n n n n n
n P R d R H P R
a θθθ
∑∑∞
=+-∞
=-+--=0
)2(0000
1
)(cos )1(cos )(cos n n n n n n n n P R d n H P nR a θμθμθμ
比较)(cos θn P 的系数，解得：)2/(30001μμμ+-=H a ；
)2/()(030001μμμμ+-=R H d ； 0==n n d a ，)1(≠n
即：)2/(cos 30001μμθμ?+-=R H m ，（0R R <）
203
00002)2/(cos )(cos R R H R H m μμθμμθ?+-+-=，（0R R >） )2/(300011μμμ?+=-?=∴H H m
])(3[2)(30
503000022R
R R m H R R H H H -?+-+=-?=μμμμ?
??
?
??<-?+-+=<+==)(,])(3[2)()(,)2/(30305030000002
000001R R R R R R R H R R H H H H H B μμμμμμμμμμμμ 在R 0030μμμμππ+-===∴?H M M m R R dV V 10. 有一个内外半径为1R 和2R 的空心球，位于均匀外磁场0H 内，球的磁导率为μ，求空 腔内的场B ，讨论0μμ>>时的磁屏蔽作用。 解：根据题意，以球心为原点，取球坐标，选取H 0的方向为z e ，在外场H 0的作用下，空 心球被磁化，产生一个附加磁场，并与原场相互作用，最后达到平衡，B 的分布呈现轴对称。磁标势的微分方程为： 012=?m ? )(1R R < ；022=?m ? )(21R R R << ；032=?m ? )(2R R > 自然边界条件：0 1=R m ?为有限；θ?cos 03 R H R m -=∞ =。 衔接条件：1 211 R R m R R m ===?? ； 12110//R R m R R m R R ==??=???μ?μ； 2 3 2 2 R R m R R m ===??； 22230//R R m R R m R R ==??=???μ?μ 由轴对称性及两个自然边界条件，可写出三个泛定方程的解的形式为： ∑∞==0 1)(cos n n n n m P R a θ?； ∑∞ =+-+=0 )1(2)(cos ][(n n n n n n m P R c R b θ?； ∑∞ =+-+-=0 )1(03)(cos cos n n n n m P R d R H θθ? 因为泛定方程的解是把产生磁场的源H 0做频谱分解而得出的，分解所选取的基本函数系是其本征函数系)}(cos {θn P 。在本题中源的表示是： )(cos cos 100θθRP H R H -=- 所以上面的解中， 0====n n n n d c b a ，)1(≠n 解的形式简化为： θ?cos 11R a m =； θ?cos )(2112-+=R c R b m ； θθ?cos cos 2103-+-=R d R H m 代入衔接条件得：2111111-+=R c R b R a ， 2 2 12022121--+-=+R d R H R c R b ， )2(311110--=R c b a μμ， 3 2 100032112)2(----=-R d H R c b μμμ。 解方程组得： 3 20031203 2 001)2)(2()(26R R R H a μμμμμμμμ++--=， 3 2 0031203 2 0001)2)(2()(2)2(3R R R H b μμμμμμμμμ++--+=， 3 2 0031203 2 310001)2)(2()(2)(3R R R R H c μμμμμμμμμ++---=， 3 2 0031203 2 03231001)2)(2()(2))()(2(R R R H R R d μμμμμμμμμμ++----+=。 从而，空间各点磁标势均可确定。空腔内： z r m a a a e e e H B 101110101sin cos μθθ?μμθ-=-=?-== 当0μμ>>时，01≈a ，所以01≈B 。即空腔中无磁场，类似于静电场中的静电屏蔽。 11. 设理想铁磁体的磁化规律为00M H B μμ+=，其中0M 是恒定的与H 无关的量。今将 一个理想铁磁体做成的均匀磁化球（0M 为常值）浸入磁导率为'μ的无限介质中，求 磁感应强度和磁化电流分布。 解：根据题意，取球心为原点，建立球坐标系，以M 0的方向为z e ，本题具有轴对称的磁场 分布，磁标势的微分方程为： 012=?m ? )(0R R < ； 022=?m ? )(0R R > 自然边界条件：0 1=R m ?为有限；02 =∞ =R m ?。 衔接条件： 0 2 1 R R m R R m ===?? ； θμ?μ?μcos /'/000201M R R R R m R R m =??-??==； 由轴对称性及两个自然边界条件，可写出拉普拉斯方程通解的形式为： ∑∞==0 1)(cos n n n n m P R a θ?； ∑∞ =+-=0 )1(2)(cos n n n n m P R b θ?； 代入衔接条件，比较)(cos θn P 各项的系数，得： 0==n n b a ，)1(≠n ；)'2/(001μμμ+=M a ；)'2/(30001μμμ+=R M b )'2/(cos 001μμθμ?+=∴R M m ， )(0R R < 23 0002)'2/(cos R R M m μμθμ?+=，)(0R R > 由此 )'2/('20000101μμμμμμ+=+=M M H B ])(3['2''30 5 03 0022R R R m M R R M B -?+=?-=μμμμ?μ ?? ???>-?+<+=)(])(3['2')() '2/('2030 503 00000R R R R R R R M M R R M B μμμμμμμμ 又 )()(0012ααB B n +=-?M R μ，（其中0=α）将B 的表达式代入，得： )'2/(sin '300μμθμφ+-=M M e α 12. 将上题的永磁球置入均匀外磁场0H 中，结果如何？ 解：根据题意假设均匀外场0H 的方向与M 0的方向相同，定为坐标 z 轴方向。磁标势的微 分方程为： 012=?m ? )(0R R < ； 022=?m ? )(0R R > 自然边界条件：0 1=R m ?为有限；θ?cos 02 R H R m -=∞ =。 衔接条件： 0 2 1 R R m R R m ===?? ； θμ?μ?μcos //0002001M R R R R m R R m =??-??==； 解得满足自然边界条件的解是： θ?cos 11R a m =，)(0R R < θθ?cos cos 2102-+-=R d R H m ，)(0R R > 代入衔接条件，得：2 010001-+-=R d R H R a 0013 010002M a R d H μμμμ=++- 解得： )2/()3(000001μμμμ+-=H M a )2/(])([03 000001μμμμμ+-+=R H M d )2/(cos )3(000001μμθμμ?+-=∴R H M m ，)(0R R < ])2/[(cos ])([cos 203 0000002R R H M R H m μμθμμμθ?+-++-=，)(0R R > )2/()3(000011μμμ?+--=-?=H M H m )2/(2)2/(3002 00000011μμμμμμμμμ+++=+=M H M H B ，)(0R R < 35022//)(3R R m m R R m H H -?+=-?=?， 其中 )2/(])([03 00000μμμμμ+-+=R H M m ]//)(3[3500202R R m R R m H H B -?+==μμ，)(0R R > 13. 有一个均匀带电的薄导体壳其半径为0R ，总电荷为Q ，今使球壳绕自身某一直径以角 速度ω转动，求球内外的磁场B 。 提示：本题通过解A 或m ?的方程都可以解决，也可以比较本题与§5例2的电流分布得到结果。 解：根据题意，取球体自转轴为 z 轴，建立球坐标系。磁标势的微分方程为： 012=?m ? )(0R R < ； 022=?m ? )(0R R > 自然边界条件：0 1 =R m ?为有限；02 =∞ =R m ?。 衔接条件： 00124/sin /)//(R Q R R R m m πθωσθ?θ?-=-=??-??= ； 02001//R R m R R m R R ==??=???μ?μ； 其中 04/sin R Q πθωσ= 是球壳表面自由面电流密度。 解得满足自然边界条件的解是： θ?cos 11R a m =，)(0R R < θ?cos 212-=R b m ，)(0R R > 代入衔接条件，得：0201014/R Q R b R a πω-=--； 023 011=+-R b a 解得： 016/R Q a πω-=， πω12/2 01R Q b = 016/cos R R Q m πθω?-=∴，)(0R R < 22 0212/cos R R Q m πθω?=，)(0R R > 0116/R Q m π?ωH =-?=∴ 001016/R Q πμμωH B ==，)(0R R < π?4/]//)(3[3522R R m m R R m H -?=-?=， 其中 3/2 0ωm QR = πμμ4/]//)(3[350202R R m R R m H B -?==，)(0R R > 14. 电荷按体均匀分布的刚性小球，其总电荷为Q ，半径为0R ，它以角速度ω绕自身某一 直径转动，求（1）它的磁矩；（2）它的磁矩与自转角动量之比（设质量M 0是均匀分布的）。 解：1）磁矩dV ??= )(2 1 x J x m 又 r R e R x ==，)()3/4()(3 R ωv x J ?= =R Q πρ φθθπωφθθπφd dRd R R Q d dRd R R Q r 2 430 230sin )(4321sin )(4321???=??=e e R ωR m 又 )sin cos (cos sin y x z r e e e e e e φφθθθφ--+=-=? ??? --+= ∴0 240 20 30 sin )sin cos (cos [sin 83R y x z dR R d d R Q θφφθθθφπωπ π e e e m ωe 5sin 832 003 402030 0QR dR R d d R Q R z ==???θθφπωππ 2)自转动量矩： ??????=?=?==dV R M dm d d )(4330 R ωR v R P R L L π ???= φθθωπd dRd R R R M r z r sin )(432 230 0e e e ??-=φθθθωπφd dRd R R M z sin )sin (43430 0e e ?-=φθθθωπθd dRd R R M sin )(sin 43430 0e ???--+=002 402030 0sin )sin cos (cos [sin 43R y x z dR R d d R M θφφθθθφπωππe e e ωω52sin 432 0003 402030 00R M dR R d d R M R ==???θθφπππ 02//M Q =∴L m 15. 有一块磁矩为m 的小永磁体，位于一块磁导率非常大的实物的平坦界面附近的真空中， 求作用在小永磁体上的力F 。 解：根据题意，因为无穷大平面的μ很大，则在平面上所有的H 均和平面垂直，类比于静电 场，构造磁矩m 关于平面的镜像'm ,则外场为： m e ?μ?-=0B 而 2 34cos 4r m r m πθ π?=?=R m )sin cos 2(4)sin cos 2(43 0330θθθθπμθ θπμe e e e B +=---=∴r r e r m r r m m 受力为： z a r e a m e B m F )cos 1(643)(24 2 02απμα θ+-=??=== 简答题（每题5分，共15分）。 1．请写出达朗伯方程及其推迟势的解． 2．当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这是为什 么？ 3．请写出相对论中能量、动量的表达式以及能量、动量和静止质量的关 系式。 证明题（共15分）。 当两种绝缘介质的分界面上不带面电荷时，电力线的曲折满足： 1 21 2εεθθ= t a n t a n ，其中1ε和2ε分别为两种介质的介电常数，1θ和2θ分别为界面两 侧电力线与法线的夹角。（15分） 四. 综合题（共55分）。 1．平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为1l 和2l ，介电常数为1ε和 2ε，今在两板上接上电动势为U 的电池，若介质是漏电的，电导率分别为1 σ和2σ，当电流达到稳恒时，求电容器两板上的自由电荷面密度f ω和介质分界面上的自由电荷面密度f ω。（15分） 2．介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为0E ，求介质中球形空腔内的电场（分离变量法）。（15分） 3．一对无限大平行的理想导体板，相距为d ，电磁波沿平行于板面的z 轴方向传播，设波在x 方向是均匀的，求可能传播的波型和相应的截止频率．（15分） 4．一把直尺相对于∑坐标系静止，直尺与x 轴夹角为θ，今有一观察者以速度v 沿x 轴运动，他看到直尺与x 轴的夹角'θ有何变化？（10分） 二、简答题 1、达朗伯方程：2 2 022 1A A j c t μ??-=-? 222201c t ?ρ?ε??-=-? 推迟势的解：()()0 ,,, , ,44r r j x t x t c c A x t dV x t dV r r ρμμ?π π ?? ?? ''-- ? ?? ?? ? ''= =?? 2、由于电磁辐射的平均能流密度为222 3 2 0sin 32P S n c R θπε= ，正比于2 sin θ，反比于 2 R ，因此接收无线电讯号时，会感到讯号大小与大小和方向有关。 3 、能量：2 m c W = ；动量：),,m iW P u ic P c μ?? == ??? ；能量、动量和静止质量的关系为：22 22 02 W P m c c -=- 三、证明：如图所示 在分界面处，由边值关系可得： 切线方向 12t t E E = （1） 法线方向 12n n D D = （2） 1 ε 第七章 1、设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为l0，他们以相同的速率v相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于尺子，求站在一根尺子上测量另一根尺子的长度。 2、静止长度为l0的车厢，以速度v相对于地面S运行，车厢的后壁以速度u0向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前臂的运动时间。 3、一辆以速度v运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线上两个铁塔，求列车上观察者看到的两个铁塔被电光照亮的时刻差。设建筑物及两铁塔都在一条直线上，与列车前进方向一致，铁塔到建筑物的地面距离已知都为l0。 4、有一光源S与接受器R相对静止，距离为l0，S-R装置浸在均匀无限的液体介质（静止折射率n）中，试对下列三种情况计算光源发出讯号到接受讯号所经历的时间。 （1）液体介质相对于S-R装置静止； （2）液体沿着S-R连线方向以速度v流动； （3）液体垂直于S-R连线方向以速度v流动； 5、在坐标系Σ中，有两个物体都以速度U 沿X 轴运动，在Σ系看来，它们已知保持距离l 不变，今有一观察者以速度v 沿x 轴运动，他看到这两个物体的距离是多少？ 6、一把直尺相对于Σ坐标静止，直尺与x 轴交角θ，今有一观察者以速度v 沿x 轴运动，他看到直尺与x 轴交角θ‘有何变化？ 7、两个惯性系Σ和Σ‘中各放置若干时钟，同一惯性系中的诸时钟同步，Σ‘相对于Σ以速度v 沿x 轴运动，设两系原点相遇时，t 0= t 0’=0.问处于Σ系中某点（x,y,z ）处的时钟Σ‘系中何处的时钟和那个相遇时，指示的时刻相同？读数是多少？ 8、火箭由静止状态加速到c v 9999.0=，设瞬时惯性系上加速度为220??=s m v &，问按照静止系的时钟和按火箭内的时钟加速度火箭各需多少时间？ 郭硕鸿《电动力学》课后答案 第 40 页 电动力学答案 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式： B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=?? A A A A )()(2 2 1??-?=???A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ??+??=?? B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???=c c c c B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???= （2）在（1）中令B A =得： A A A A A A )(2)(2)(??+???=??， 所以 A A A A A A )()()(2 1 ??-??=??? 即 A A A A )()(2 2 1??-?=???A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明： u u f u f ?=?d d )( ， u u u d d )(A A ??=??， u u u d d )(A A ? ?=?? 证明： （1） z y x z u f y u f x u f u f e e e ??+??+??= ?)()()()(z y x z u u f y u u f x u u f e e e ??+??+??=d d d d d d u u f z u y u x u u f z y x ?=??+??+??=d d )(d d e e e （2） z u A y u A x u A u z y x ??+ ??+??=??)()()()(A z u u A y u u A x u u A z y x ??+??+??=d d d d d d u z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (e e e e e e ??=??+??+???++= 电动力学试题库十及其答案 简答题（每题5分，共15分）。 1 .请写出达朗伯方程及其推迟势的解. 2 .当您接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离与方向有关，这就是为什 么？ 3. 请写出相对论中能量、动量的表达式以及能量、动量与静止质量的关系式。 证明题（共15分）。 当两种绝缘介质的分界面上不带面电荷时，电力线的曲折满足:史宜w,其中i与2分别为两种介质的介电常数，1与2分别为界面两tan 1 1 侧电力线与法线的火角。（15分） 四、综合题（共55分）。 1. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分另U为11与12,介电常数为1与2,今在两板上接上电动势为U的电池，若介质就是漏电的，电导率分别为1与2，当电流达到稳包时，求电容器两板上的自由电荷面密度f与介质分界面上的自由电荷面密度f。（15分） 2. 介电常数为的均匀介质中有均匀场强为E。，求介质中球形空腔内的电场（分离变量法）。（15分） 3. 一对无限大平行的理想导体板，相距为d，电磁波沿平行丁板面的z轴方向传播,设波在x方向就是均匀的，求可能传播的波型与相应的截止频率.（15分） 电动力学试题库十及其答案 4.一把直尺相对丁坐标系静止，直尺与x轴火角为，今有一观察者以速度v 沿x轴运动，她瞧到直尺与x轴的火角' 有何变化? (10分)二、简答题r、 (2v) 1、达朗伯万程：A i 2A c t2 ，八v v 推退势的 解：A x,t v,t v,t x,t —dV v 2、由于电磁辐射的平均能流密度为S32 2 c3R2 sin2音,正比于 sin2，反比于R2, 因此接收无线电讯号时，会感到讯号大小与大小与方向有关。 2 3、能量:W ：m。：. i u2c2 m 。 ,1 u2c2 v u,ic V iW …，一… P,—;能重、动重与静止 c 质量的关系为：P2W 2 c 2 2 m b c 三、证明：如图所示 在分界面处，由边值关系可得 切线方向 法线万向 v v 又DE 由⑴得： E i sin i 由⑵(3)得： i E i cos E it D in E2t D2n E2sin i 2 E2 cos (5) 由⑷(5)两式可得： (完整word版)《电动力学》复习题库(更新版) 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整word版)《电动力学》复习题库(更新版)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整word版)《电动力学》复习题库(更新版)的全部内容。 参考教材：郭硕鸿编，《电动力学》(第三版）,人民教育出版社，2008年 电动力学复习题库 多方收集整理，在此对有贡献者一并致谢! 重庆文理学院 2012年06月更新 一、单项选择题 1. 学习电动力学课程的主要目的有下面的几条,其中错误的是（ D ） A 。 掌握电磁场的基本规律，加深对电磁场性质和时空概念的理解 B. 获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的初步能力,为以后解决实际问题打下基础 C 。 更深刻领会电磁场的物质性，加深辩证唯物主义的世界观 D 。 物理理论是否定之否定，没有绝对的真理，世界是不可知的 2. （ C ） A 。 B 。 C 。 D 。 3. 下列不是恒等式的为( C ）。 A 。 B. C. D. 4. 设为源点到场点的距离，的方向规定为从源点指向场 点，则（ B ). A 。 B. C 。 D. 5. 若为常矢量，矢量标量，则除R=0点外，与应满足关系（ A ） A 。 ▽=▽ B. ▽= C. = D 。 以上都不对 6. 设区域内给定自由电荷分布，S 为V 的边界,欲使的电场唯一确定，则需要给定 （ A ）。 A. 或 B 。 C. 的切向分量 D 。 以上都不对 7. 设区域V 内给定自由电荷分布,在V 的边界S 上给定电势或电势的法向导数， 则V 内的电场( A ） A ． 唯一确定 B. 可以确定但不唯一 C. 不能确定 D 。 以上都不对 8. 导体的静电平衡条件归结为以下几条,其中错误的是( C ) A 。 导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面 B. 导体内部电场为零 C 。 导体表面电场线沿切线方向 D. 整个导体的电势相等 9. 一个处于点上的单位点电荷所激发的电势 满足方程（ C ） A. B 。 =???)(B A )()(A B B A ???+???)()(A B B A ???-???)()(B A A B ???-???B A ???)(0=????0f ????=0=??????2?=???222)()()(z z y y x x r '-+'-+'-=r 0=?r r r r ?=0=?'r r r r '?=m 3m R A R ?=3m R R ??=A ??A ??A ?-?A ??V )(x ρV S φS n ??φS Q E ()ρx s ?s n ???x ' )(x ψ2()0x ψ?=2 0()1/x ψε?=- 第二章 静电场 1. 一个半径为R 的电介质球，极化强度为2 /r K r P =，电容率为ε。 （1）计算束缚电荷的体密度和面密度： （2）计算自由电荷体密度； （3）计算球外和球的电势； （4）求该带电介质球产生的静电场总能量。 解：（1）P ?-?=p ρ2 222/)]/1()/1[()/(r K r r K r K -=??+??-=??-=r r r )(12P P n -?-=p σR K R r r /=?==P e （2）)/(00εεεε-=+=P P E D 内 200)/()/(r K f εεεεεερ-=-??=??=P D 内 （3）)/(/0εεε-==P D E 内内 r r f r KR r V e e D E 2002 00 )(4d εεεεπερε-= = = ?外 外 r KR r )(d 00εεεε?-= ?=?∞r E 外外 )(ln d d 0 0εε εε?+-= ?+?=??∞r R K R R r r E r E 外内内 （4）???∞-+-=?=R R r r r R K r r r K V W 42200222022202d 4)(21d 4)(21d 21πεεεεπεεεE D 2 0))(1(2εεεεπε-+=K R 2. 在均匀外电场中置入半径为0R 的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势： （1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差0Φ； （2）导体球上带总电荷Q 解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场0E 方向的轴线，取该轴线为 极轴，球心为原点建立球坐标系。 当0R R >时，电势?满足拉普拉斯方程，通解为 ∑++ =n n n n n n P R b R a )(cos )(1 θ? 因为无穷远处 0E E →，)(cos cos 10000θ?θ??RP E R E -=-→ 所以 00?=a ，01E a -=，)2(,0≥=n a n 当 0R R →时，0Φ→? 所以 010 1000)(cos )(cos Φ=+-∑+n n n n P R b P R E θθ? 即： 002010000/, /R E R b R b =Φ=+? 电动力学(C) 试卷 班级 姓名 学号 题号 一 二 三 四 总 分 分数 一、填空题（每空2分，共32分） 1、已知矢径r ，则 ×r = 。 2、已知矢量A 和标量 ，则 )(A 。 3、一定频率ω的电磁波在导体内传播时，形式上引入导体的“复电容率”为 。 4、在迅变电磁场中，引入矢势A 和标势 ，则E = , B = 。 5、麦克斯韦方程组的积分形 式 、 、 、 。 6、电磁场的能流密度为 S = 。 7、欧姆定律的微分形式为 。 8、相对论的基本原理 为 ， 。 9、事件A ( x 1 , y 1 , z 1 , t 1 ) 和事件B ( x 2 , y 2 , z 2 , t 2 ) 的间隔为 s 2 = 。 10、位移电流的表达式为 。 二、判断题（每题2分，共20分） 1、由j B 0 可知，周围电流不但对该点的磁感应强度有贡献，而且对该点磁感应强度的旋度有贡献。（ ） 2、矢势A 沿任意闭合回路的环流量等于通过以该回路为边界的任一曲面的磁通量。（ ） 3、电磁波在波导管内传播时，其电磁波可以是横电波，也可以是横磁波。（ ） 4、任何相互作用都是以有限的速度传播的。（ ） 5、由0 j 可知，稳定电流场是无源场。。（ ） 6、如果两事件在某一惯性系中是同时同地发生的，在其他任何惯性系中它们必同时发生。（ ） 7、平面电磁波的电矢量和磁矢量为同相位。（ ） 8、E 、D 、B 、H 四个物理量中只有E 、B 为描述场的基本物理量。（ ） 9、由于A B ，虽然矢势A 不同，但可以描述同一个磁场。（ ） 10、电磁波的亥姆霍兹方程022 E k E 适用于任何形式的电磁波。（ ） 三、证明题（每题9分，共18分） 1、利用算符 的矢量性和微分性，证明 )cos()]sin([00r k E k r k E 式中r 为矢径，k 、0E 为常矢量。 2、已知平面电磁波的电场强度j t z c E E )sin(0 ，求证此平面电磁波的 磁场强度为 i t z c c E B )sin(0 四、计算题（每题10分，共30分） 1、迅变场中，已知)(0t r k i e A A , ) (0t r k i e ，求电磁场的E 和B 。 2、一星球距地球5光年，它与地球保持相对静止，一个宇航员在一年 福建师范大学物理与光电信息科技学院 20___ - 20___ 学年度学期____ 级物理教育专业 《电动力学》试题（一） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 姓名______________________ 学号____________________ 一．判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（共15分，每题3分） 1．电磁场也是一种物质，因此它具有能量、动量，满足能量动量守恒定律。 ( ) 2．在静电情况，导体内无电荷分布，电荷只分布在表面上。 （） 3．当光从光密介质中射入，那么在光密与光疏介质界面上就会产生全反射。 （） 4．在相对论中，间隔2S在任何惯性系都是不变的，也就是说两事件时间先后关系保持不变。 （） 5．电磁波若要在一个宽为a，高为b的无穷长矩形波导管中传播，其角 频率为 2 2 ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ≥ b n a m με π ω （） 二．简答题。（每题5分，共15分） 1．写出麦克斯韦方程组，由此分析电场与磁场是否对称为什么 2．在稳恒电流情况下，有没有磁场存在若有磁场存在，磁场满足什么方程 3．请画出相对论的时空结构图，说明类空与类时的区别． 三． 证明题。（共15分） 从没有电荷、电流分布的麦克斯韦方程出发，推导真空中的E 、B 的波动方程。 四． 综合题。（共55分） 1．内外半径分别为1r 和2r 的无穷长空心导体圆柱，沿轴向流有稳恒均 匀自由电流f j ，导体的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。（15分） 2． 有一个很大的电解槽中充满电导率为2σ的液体，使其中流着均匀 的电流f j ，今在液体中置入一个电导率为1σ的小球，求稳恒时电流分布和 面电荷分布。（分离变量法）（15分） 3． 有带电粒子沿z 轴作简谐振动t i e z z ω-=0，设c z <<ω0，求它的辐 射场E 、B 和能流S 。（13分） 4． 一辆以速度v 运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物 时，看见其避雷针跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线的两铁塔。求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时间差。该建筑 第一章电磁现象的普遍规律 1. 根据算符的微分性与矢量性，推导下列公式： 解：矢量性为 ① ② ③微商性 ④ ⑤ 由②得 ⑥ ⑦ ⑥+⑦得 上式得 令得 2.设μ是空间坐标x，y，z的函数，证明： 解：① ② ③ 3.设为原点到场点的距离，的方向规定为从原点指向场点。 ⑴证明下列结果，并体会对原变数求微商 （） 与对场变数求微商 （） 的关系 （最后一式在r=0点不成立，见第二章第五节） ⑵求及，其中及均为常矢量。 解：⑴ ⑵ 4. 4.⑴应用高斯定理证明 ⑵应用斯托克斯（Stokes）定理证明 解：⑴ ⑵ 5. 5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为 利用电荷守恒定律 证明的变化率为 解： 取被积区域大于电荷系统的区域，即V的边界S上的，则 。 6. 若是常矢量，证明除R=0点以外矢量的旋度等于标量的梯度的负值，即,其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。 解： 7. 有一内外半径分别为和的空心介质球，介质的电容率为，使介质内均匀带静止自由电荷，求 ⑴空间各点的电场；⑵ 极化体电荷和极化面电荷分布。 解：⑴对空间Ⅰ做高斯面，由： 对空间Ⅱ：做高斯面，由 对空间Ⅲ: 做高斯面，由 ⑵由 时,由边值条件: (由1指向2) 8. 内外半径分别为和的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流，导体的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。 解：⑴由 所以 所以 方向为 对区域Ⅱ 由 方向为 对区域Ⅲ有: (2)(2)由 由 由 同理 由 得 9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度的倍。即： 解：由均匀介质有 ① ② ③ ④ 由①②得 两边求散度 由③④得 第五章 电磁波的辐射 1. 若把麦克斯韦方程租的所有矢量都分解为无旋的（纵场）和无散的（横场）两部分，写出E 和B 的这两部分在真空中所满足的方程式，并证明电场的无旋部分对应于库仑场。 解：真空中的麦克斯韦方程组为 t ?-?=??/B E ， （1） 0/ερ=??E ， （2） t ??+=??/000E J B εμμ， （3） 0=??B （4） 如果把方程组中所有矢量都分解为无旋的纵场和无散的横场，并分别用角标L 和T 表示， 则：由于0=??B ，所以B 本身就是无散场，没有纵场分量，即 0=L B ，T B B =； T L E E E +=，0=??L E ，0=??T E ； ! T L J J J +=，0=??L J ，0=??T J ； 由（1）得：t T T T L ?-?=??=+??/)(B E E E （5） 由（2）得：0/)(ερ=??=+??L T L E E E （6） 由（3）得：t L L T L T ?+?++=??/)()(000E E J J B εμμ )/()/(000000t t T T L L ??++??+=E J E J εμμεμμ （7） 由电荷守恒定律t ?-?=??/ρJ 得：)/(/0t t L L ???-?=?-?=??E J ερ 又因为 )/(00t L L ???-?==??E J ε，所以 t L L ??-=/0E J ε，即 0/0=??+t L L E J ε （8） （7）式简化为t T T T ??+=??/000E J B εμμ （9） 所以麦克斯韦方程租的新表示方法为： 】 ????? ????=??+==????+=???-?=??0 /0///00 000t t t L L L L T T T T T E J B E E J B B E εερεμμ （10） 由0=??L E 引入标势?，?-?=L E ，代入0/ερ=??L E 得， 02/ερ?-=? 上式的解就是静止电荷在真空中产生的电势分布，所以L E 对应静止电荷产生的库仑场。 2. 证明在线性各向同性均匀非导电介质中，若0=ρ，0=J ，则E 和B 可完全由矢势A 决定。若取0=?，这时A 满足哪两个方程 解：在线性各向同性均匀非导电介质中，若0=ρ，0=J ，则麦氏方程表示为： t ?-?=??/B E （1） t ??=??/D H （2） 0=??D （3） 0=??B （4） . . 20___ - 20___ 学年度 学期 ____ 级物理教育专业 《电动力学》试题（五） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 ______________________ 学号____________________ 一． 判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（共15分，每 题3分） 1． 库仑力3 04r r Q Q F πε '=表明两电荷之间作用力是直接的超距作用，即电荷Q 把作用力直接施于电荷Q '上。 （ ） 2． 电磁场有能量、动量，在真空中它的传播速度是光速。 （ ） 3． 电磁理论一条最基本的实验定律为电荷守恒定律，其微分形式为： t j ??=??/ρ 。 （ ） . . 4． 在介质的界面两侧，电场强度E 切向分量连续，而磁感应强度B 法向分 量 连续。 （ ） 5．在相对论中，粒子能量，动量以及静止质量的关系为： 4 2022c m c P W += 。 （ ） 二． 简答题（每题5分，共15分）。 1．如果0>??E ，请画出电力线方向图，并标明源电荷符号。 2．当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这是为什么？ 3．以真空中平面波为例，说明动量密度g ，能流密度s 之间的关系。 三． 证明题（共15分）。 多普勒效应被广泛应用，请你利用洛伦兹变换证明运动光源辐射角频率 ω与它的静止角频率0ω的关系为：) cos 1(0 θγωωc v -= ，其中 122)/1(--=c v γ；v 为光源运动速度。（15分） 四. 综合题（共55分）。 1．半径为a 的无限长圆柱形导体，均匀通过电流I ，设导体的磁导率为μ，导体外为真空，求： （1）导体、外空间的B 、H ； （2）体磁化电流密度M j ；（15分）。 2．介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为0E ，求介质中球形空腔的电势 和电场（分离变量法）。（15分） 3．两频率和振幅均相等的单色平面电磁波沿z 轴方向传播，一个沿x 方向偏振，另一个沿y 方向偏振，且其相位比前者超前2 π 。求合成波的偏振。若 合成波代表电场矢量，求磁场矢量B 以及能流密度平均值S 。（15分） 洛仑兹力密度< f=/?+^x§ 三.内容提要: 1. 电磁场的基本实捡定律, (1)库仑定律* 二、知识体躺 库仑定理'脸订警壬 电童■应定体毎事孑―半丄@?抜/尸n 涡険电场假设 介质的极化焕律，0=#“ V*fi = p ▽4遁 at 仪鲁电涛fit 设 比真#伐尔定律，s= 介 M?4tM 律： ft^~a Co n Vxff = J + — a 能童守恒定律 缢性介JR 能*??> 能淹密度： S^ExH 対可个点电荷e 空间块点的场强爭丁各点电佔单越力在时徃该点场强的伕城和, （2）毕臭一萨伐尔定律（电沱决崔感场的实於疋律） （3）电耐应定律 ￡& - 其中： 几 1址介质中普适的41底场钛木方用.适用于任盘介丿鼠 2当14=0=0.过渡到真 空怙况: -aff at +?e —J dt v 7 5=0 2o￡o 3当N N 时.回到挣场惜况: 扭方=0 ￡b ?恣=J 妙 F 护云=0 I 有12个未知塑.6个独立方秤，求解时必须给出二与M, 2与?的关系。 介时： 3、介贯中的电恿性廣方程 若为却铁雄介质 I 、电哦场较弱时"与丘&与臣 b 与2万与"均呈线性关系. 向同性均匀介质, P= Q=岭耳 9 9 2、导体中的欧姆定律 在存电源时?电源内部亠八海?)?直?为怖电力的等效场, 4. 洛伦兹力公式 II 7xfl = O 7xH=/ Q ?D 0p 7ft = 1.半径为R的均匀磁化介质球，磁化强度为，则介质球的总磁矩为 A． B. C. D. 0 答案:B 2.下列函数中能描述静电场电场强度的是 A． B. C. D.（为非零常数） 答案:D 3.充满电容率为的介质平行板电容器，当两极板上的电量（很小），若电容器的电容为C，两极板间距离为d，忽略边缘效应，两极板间的位移电流密度为： A． B. C. D. 答案:A 4.下面矢量函数中哪一个不能表示磁场的磁感强度式中的为非零常数 A．(柱坐标) B. C. D. 答案:A 5.变化磁场激发的感应电场是 A.有旋场,电场线不闭和 B.无旋场,电场线闭和 C.有旋场,电场线闭和 D. 无旋场,电场线不闭和 6.在非稳恒电流的电流线的起点.终点处,电荷密度满足 A. B. C. D. 答案:D 7.处于静电平衡状态下的导体,关于表面电场说法正确的是: A.只有法向分量; B.只有切向分量 ; C.表面外无电场 ; D.既有法向分量,又有切向分量 答案:A 8.介质中静电场满足的微分方程是 A. B.; C. D. 答案:B 9.对于铁磁质成立的关系是 A. B. C. D. 答案:C 10.线性介质中,电场的能量密度可表示为 A. ; B.; C. D. 11.已知介质中的极化强度，其中A为常数，介质外为真空，介质中的极化电荷体密度 ；与垂直的表面处的极化电荷面密度分别等于 和。答案: 0, A, -A 12.已知真空中的的电位移矢量=（5xy+）cos500t，空间的自由电荷体密度为答案: 13.变化磁场激发的感应电场的旋度等于。答案: 14.介电常数为的均匀介质球，极化强度A为常数，则球内的极化电荷密度为，表面极化电荷密度等于答案0, 15.一个半径为R的电介质球,极化强度为,则介质中的自由电荷体密度 为 ,介质中的电场强度等于. 答案: 22. 解: （1）由于电荷体系的电场具有球对称性，作半径为的同心球面为高斯面，利用高斯定理 当 0＜r＜时， 电动力学第一章习题及其答案 1. 当下列四个选项：(A.存在磁单级, B.导体为非等势体, C.平方反比定律不精确成立,D.光速为非普 适常数)中的_ C ___选项成立时,则必有高斯定律不成立. 2. 若 a 为常矢量 , r (x x ')i ( y y ')j (z z ')k 为从源点指向场点的矢量 , E , k 为常矢量,则 ！ (r 2 a ) =(r 2 a ) (r a 2r a , )a ) ddrr r a 2r r r 2 r i j — k (x x ') (y y ') (z z ') i j k — ！ 2(x x ') (x x ') ,同理， ？ x (x x ') 2 (y y ') 2 (z z ') 2 / r 2 (x x ')(y y ')(z z ') (y y ') (x x ') （ (y y ') 2 (z z ') y (x x ') 2 (y y ') 2 (z z ') # 2 , z 2 2 (z z ') r 【 r e e e x x x ！ r (x-x') r (y-y') y (z-z') 3 z ， ' x y z x x ' y y ' z z ' 0， x (a r ) a ( r ) 0 , : ) r r r r r r r 0 r rr ( r 1 1 r 《 a ， , ( ) [ a (x -x' )] [ a (y - y')] … j [a (z -z')] a r i k x y z * r r r r 1 r 1 r … r 3 r 2 3 r ， ( A ) __0___. r r , [E sin(k r )] k E 0 cos(k r ) __0__. (E 0e ik r ) , 当 r 0 时 , ! (r / r ) ik E 0 exp(ik r ) , [rf (r )] _0_. [ r f ( r )] 3f (r )r # s 3. 矢量场 f 的唯一性定理是说：在以 为界面的区域V 内, 若已知矢量场在V 内各点的旋度和散 度,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则 在 内唯一确定. f V 0 ,若 J 为稳恒电流情况下的电流密度 ,则 J 满足 4. 电荷守恒定律的微分形式为 — J t J 0 . 5. 场强与电势梯度的关系式为， E .对电偶极子而言 ,如已知其在远处的电势为 第二章 习 题 1. ε ε0 R (1) 2 2 323222323211r K r K r r K r K r r K r K r K r K P -=-?--=-?--=??-??? ? ???-=??? ????-=?-?=r r r r r P ρ ()2 P R K K R R σ∧ ∧ =?=?=r P R n r (2) E E P 0001εεεεχ??? ? ??-==e ()2 K r εε=ε= =ε-εε-ε00P r D E () 2r K f 0r D εεερ= ??-=??= (3) R r <<0 ()r K r E d r 2 2 4? ??-==?εεεπε0S D ()r K E 0εε-= R r > ()r K r E d R 2 2 04???-==?εεεπε0S D ()2 00r KR E εεεε-= ()()r KR dr r KR r out 002 00 εεεεεεεε?-=-=? ∞ ()()()()??? ? ??+??? ??-= ? ? ? ??-+-=-+-=??∞ 000000200ln ln εεεεεεεεεεεεεεεε?r R K r R K K dr r K dr r KR R R r in (4) ()()()()2 000202002 0200202 02 00212ln ln 2ln ln 2ln 24ln 2121 ? ??? ??-???? ? ?+=???? ??++--=???? ? ?++--= ???? ? ?+??? ??-= ???? ??+??? ??--== ??????εεεεπεεεεεπεεεεεπεεεεεπεπεεεεεεε?ρK R R R R R R R K dr R r K dr r R K dr r r R K r K dV W R R R in f e 0 2. (1) 边界条件：设未放置导体球时，原点电位 为0?，任意点电位则为 ?-=?-=z R E d 0 0001cos θ???0l E 球外空间0=ρ，电位?满足拉普拉斯方程 02=?? 解为：()∑∞ =+??? ? ? +=01cos n n n n n n P R b R a θ? 放入导体球后：01, ??→∞→R 第六章 狭义相对论 1. 证明牛顿定律在伽利略交换下是协变的，麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的。 证明：根据题意，不妨分别取固着于两参考系的直角坐标系，且令t =0时，两坐标系对应 轴重合，计时开始后，'∑系沿Σ系的x 轴以速度v 作直线运动，根据伽利略变换有： vt x x -='，y y ='，z z ='，t t =' 1）牛顿定律在伽利略变换下是协变的 以牛顿第二定律22dt d m x F =为例，在Σ系下，22dt d m x F = Θvt x x -='，y y ='，z z ='，t t =' ∴'' ']',','[],,[222 22222F x x F ==+===dt d m dt z y vt x d m dt z y x d m dt d m 可见在'∑系中牛顿定律有相同的形式2 2' 'dt d m x F =，所以牛顿定律在伽利略变换下 是协变的。 2）麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的 以真空中的麦氏方程t ?-?=??/B E 为例，设有一正电荷q 位于O 点并随'∑系运动，在'∑系中q 是静止的，故: r r q e E 2 0' 4'πε= ， （1） 0'=B （2） 于是方程'/'''t ?-?=??B E 成立，将（1）写成直角分量形式： ])'''(')'''(')'''('[4''2 3 222'23222'2 32220z y x z y x z z y x y z y x x q e e e E ++++++++=πε 由伽利略变换关系，在∑中有： y x z y vt x y z y vt x vt x q e e E 2 3 2222 32220])[(])[({4++-+++--= πε }])[(2 3 222z z y vt x z e ++-+ ])()()[(])[(3 42 3 2220z y x y vt x vt x z z y z y vt x q e e e E --++-+-++--=??∴πε 可见E ??不恒为零。又在Σ系中观察，q 以速度x v e 运动，故产生电流x qv e J =，于是 有磁场R qv πμ2/0=B ，（R 是场点到x 轴的距离）此时，有0/=??-t B ，于是 t ?-?≠??/B E 故麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的。 2. 设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为,它们以相同速率v 相对于某一参考系运动,但运动方向相反,且平行于尺子。求站在一根尺上测量另一根尺的长度。 解：根据相对论速度交换公式可得2'∑系相对于1'∑的速度大小是 )/1/(2'22c v v v += （1） 一、填空题(每空2分,共32分) 1、已知矢径r ,则 r = 。 2、已知矢量A 与标量 ,则 )(A 。 3、区域V 内给定自由电荷分布 、 ,在V 的边界上给定 或 ,则V 内电场唯一确定。 4、在迅变电磁场中,引入矢势A 与标势 ,则E = , B = 。 5、麦克斯韦方程组的微分形式 、 、 、 。 6、电磁场的能量密度为 w = 。 7、库仑规范为 。 8、相对论的基本原理为 , 。 9、电磁波在导电介质中传播时,导体内的电荷密度 = 。 10、电荷守恒定律的数学表达式为 。 二、判断题(每题2分,共20分) 1、由0 E 可知电荷就是电场的源,空间任一点,周围电荷不但对该点的场强有贡献,而且对该点散度有贡献。( ) 2、矢势A 沿任意闭合回路的环流量等于通过以该回路为边界的任一曲面的磁通量。( ) 3、电磁波在波导管内传播时,其电磁波就是横电磁波。( ) 4、任何相互作用都不就是瞬时作用,而就是以有限的速度传播的。( ) 5、只要区域V 内各处的电流密度0 j ,该区域内就可引入磁标势。( ) 6、如果两事件在某一惯性系中就是同时发生的,在其她任何惯性系中它们必不同时发生。( ) 7、在0 B 的区域,其矢势A 也等于零。( ) 8、E 、D 、B 、H 四个物理量均为描述场的基本物理量。( ) 9、由于A B ,矢势A 不同,描述的磁场也不同。( ) 10、电磁波的波动方程012222 E t v E 适用于任何形式的电磁波。( ) 三、证明题(每题9分,共18分) 1、利用算符 的矢量性与微分性,证明 0)( r 式中r 为矢径, 为任一标量。 2、已知平面电磁波的电场强度i t z c E E )sin(0 ,求证此平面电磁波的磁场强度为 j t z c c E B )sin(0 四、计算题(每题10分,共30分) 1、迅变场中,已知)cos(0t r K A A , )cos(0 t r K ,求电磁场的E 与B 。 2、一长度为80厘米的杆,沿其长度方向以0、8 c 的速率相对观察者运动,求该杆首、尾端通过观察者 时的时间间隔。 1 / 20 《电动力学》复习考试题库 （2012春重建） 64学时，4学分；每周2次，每次2学时 总评成绩：平时30%，期末考试70% 教材和主要参考资料 （1） 郭硕鸿，电动力学（第三版），北京：高等教育出版社， 2008年6月（普通 高等教育“十一五”国家级规划教材，黄迺本、李志兵、林琼桂 修订） （2） 黄迺本，方奕忠，电动力学（第3版）学习辅导书，高等教育出版社; 第3版（ 2009 年1月） （3） J. D. Jackson, Classical Electrodynamics ( 3rd ed.), John Wiley & Sons, Inc., 1999. 高等教育出版社影印，2004. 《电动力学》第1，2，3章和附录（矢量分析）共4讲 0.矢量分析 填空题 试计算)(r a ??= ，其中a 为常矢量，r 为矢径。 试计算r 1 ?= ，其中r 为矢径。 单项选择题 下列计算正确的是（ ） 2 / 20 A ． 30r r ????= ??? B. 342r r r r ????=- ??? C. 33r rr r ????=- ??? D. 323r r r r ????=- ??? k 为常矢量，下列计算正确的是( ) A. k r k r e k e ???=? B. r k r k e k e ??=? C. r k r k e r e ???=? D. r k r k e r e ??=? 名词解释和简答题 证明题 计算题 1.电磁现象的普遍规律 填空题 3 / 20 电荷守恒定律的微分形式为_________________________。 位移电流与 电流按同一规律激发磁场。 电荷系统单位体积所受电磁场作用的力密度为 =f 。 介质中的电磁场可引入电位移矢量D =____________ _，磁场强度H =_________________， 在各向同性线性介质中，有D =____ ______，H =__________ ___，其中ε和μ分别为介质的介电常（电容率）数和磁导率。 介质中束缚电荷体密度与极化强度矢量的关系为 。 极化强度为 P 的电介质中，极化电荷体密度 ρp = ；在介质的表面上极化电荷面密度 ζp= 。 已知电位移矢量z y x e z e y e x D 323++=，则电荷密度为 。 介电常数分别为 ε1和 ε2两种绝缘介质的分界面上不带自由电荷时，分界面上电场 线的曲折满足 。 欧姆定律的微分形式是 。 电磁场和电荷系统的能量转化与守恒定律的微分形式为__________________________。 真空中电磁场的能量密度w = _____________________，能流密度=S _______________________。 真空中若一均匀电场的电场能量密度与一磁感强度为0.5T 的均匀磁场中的磁场能量密 度相等，该电场的电场强度为____________________________. 简答题(每题5分,共15分)。 1．请写出达朗伯方程及其推迟势的解. 2．当您接受无线电讯号时,感到讯号大小与距离与方向有关,这就是为什么？ 3．请写出相对论中能量、动量的表达式以及能量、动量与静止质量的关系式。 证明题(共15分)。 当两种绝缘介质的分界面上不带面电荷时,电力线的曲折满足: 1 2 12εεθθ=tan tan ,其中1ε与2ε分别为两种介质的介电常数,1θ与2θ分别为界面两侧电力线与法线的夹角。(15分) 四、 综合题(共55分)。 1.平行板电容器内有两层介质,它们的厚度分别为1l 与2l ,介电常数为1ε与2ε,今在两板上接上电动势为U 的电池,若介质就是漏电的,电导率分别为1σ与2σ,当电流达到稳恒时,求电容器两板上的自由电荷面密度f ω与介质分界面上的自由电荷面密度f ω。(15分) 2.介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为0E ? ,求介质中球形空腔内的电场(分离变量法)。(15分) 3.一对无限大平行的理想导体板,相距为d ,电磁波沿平行于板面的z 轴方向传播,设波在x 方向就是均匀的,求可能传播的波型与相应的截止频率.(15分) 4.一把直尺相对于∑坐标系静止,直尺与x 轴夹角为θ,今有一观察者以速度v 沿x 轴运动,她瞧到直尺与x 轴的夹角'θ有何变化？(10分) 二、简答题 1、达朗伯方程:220221A A j c t μ??-=-?v v v 2222 1c t ?ρ?ε??-=-? 推迟势的解:()()0 ,,, , ,44r r j x t x t c c A x t dV x t dV r r ρμ μ?π π ???? ''-- ? ? ??? ?''==? ? v v v v v v 2、由于电磁辐射的平均能流密度为22 232 0sin 32P S n c R θπε= v &&v v ,正比于2sin θ,反比于2R ,因此接收无线电讯号时,会感到讯号大小与大小与方向有关。 3、能量 :2W = ;动量 :),,iW P u ic P c μ?? = = ???v v ;能量、动量与静止质量的关系为:22 22 02W P m c c -=- 三、证明:如图所示 在分界面处,由边值关系可得: 切线方向 12t t E E = (1) 法线方向 12n n D D = (2) 又 D E ε=v v (3) 由(1)得: 1122sin sin E E θθ= (4) 由(2)(3)得: 111222cos cos E E εθεθ= (5) 由(4)(5)两式可得: 1 ε电动力学试题库十及其答案
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