八年级数学下册几何知识总结及试题讲课教案

§9.1 图形的旋转

概念：将图形绕一个顶点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形上点的位置

性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。

基本画法：将图形上的一些特殊点与旋转中心连接，以旋转中心为圆心，连线段长为半径画图，按照旋转的角度来找出对应点，再画出所有的对应线段。

典型题：确定图形的旋转角度、确定图形的旋转中心、生活中的数学问题、作图题、

§9.2 中心对称与中心对称图形

1、中心对称的概念一个图形绕某点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两

个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称。这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。

2、中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心

平分。

3、中心对称图形的定义及其性质

把一个图形绕某点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

§9.3 平行四边形

1、平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

2、平行四边形的性质

平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。

3、判定平行四边形的条件

（1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念）

（2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形

（3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形

（4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形

5、反证法

反证法是一种间接证明的方法，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾，说明假设是不成立的，因而命题的结论是成立的。

常见题型：运用性质求值、添加条件题、实际问题相结合、体现数学思想的题型、

例6：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD>BC,BC=6cm，点P、Q分别以A、C点同时出发，P以

1cm/ s的速度由点A向点D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，设运动时间为x秒．则当x=时，四边形ABQP是平行四边形．

§9.4 矩形、菱形、正方形

1、矩形的概念和性质

有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角2、判定矩形的条件

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形

（2）三个角是直角的四边形是矩形

（3）对角线相等的平行四边形是矩形

3、菱形的概念与性质

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。

4、判定菱形的条件

（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念）

（2）四边相等的四边形是菱形

（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形

5、正方形的概念、性质和判定条件

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。

判定正方形的条件：

（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念）

（2）有一组邻边相等的矩形是正方形

（3）有一个角是直角的菱形是正方形

§9.5 三角形的中位线

1、三角形中线的概念和性质

连接三角形两边重点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线平行且等于第三边的一半

2、三角形的中位线与中线的区别

（1）区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。

（2）联系：三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。

1、如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点，E、F分别是、BC、AD的中点，连接PE、PC、PD、PF．设平行四边形ABCD的面积为m，则S△PCE+S△PDF=（）

A 1/4m

B 1/2m

C 1/3M

D 3/5 M

2、在?ABCD中，AC、BD相交于O，AC=10，BD=8，则AD的长度的取值范围是（）

（3）A 、AD＞1 B 、 1＜AD＜9 C 、AD＜9 D 、AD

＞9

3、如图，所示，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点

A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小

的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是cm2．

4、如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP平分∠A，BP⊥AP于

点P、若AB=12，AC=22，则MP的长为

5如图，矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在BC上

由B向C移动时，点R不动，那么EF的长度

（用“变大”、“变小”和“不变”填空）

6：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点M 、N 分别是两条对角线BD 、AC 的中点，求证：MN

∥BC 且)(2

1AD BC MN -=

7：如图，在ΔABC 中，AB=AC ，点O 在ΔABC 的内部，∠BOC=90°，OB=OC ，点D 、E 、F 、G 分别是边AB 、OB 、OC 、AC 的中点。 （1）求证：四边形DEFG 是矩形

（2）若DE=2，EF=3，求△ABC 的面积

8．如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ．F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C ． (1)求证：△ABF ∽△EAD ； (2)若AB ＝4， BE =3，求AE 的长；

(3)在（1）、（2）的条件下，若AD ＝3，求BF 的长．

9．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6cm AD =，4cm CD =，10cm BC BD ==，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（05t <<）．解答下列问题： （1）当t 为何值时，PE AB ∥？

（2）当t 为何值时，线段EF 把梯形ABCD 的面积分成2: 3两部分。

（3）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．

10、已知：如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，直线EF 经过点C ，分别交AB 、AD 的延长线于E 、F 两点，连接ED 、FB 相交于点H ．

(1) 找出图中与△BEC 相似的三角形，并选一对给予证明； (2) 如果菱形的边长是3，DF=2，求BE 的长； (3) 请说明BD2=DH ﹒DE 的理由．

11．将边长OA=8，OC=10的矩形OABC 放在平面直角坐标系中，顶点O 为原点，顶点 C 、A 分别在x 轴和y 轴上.在OA 、OC 边上选取适当的点E 、F ，连接EF ，将△EOF 沿EF 折叠，使点O 落在AB 边上的点D 处．

x

y

T

G

F E

C

O

B

A D y x

E

B

A C(F)O

D

x

y G

T

F E

B

A C

O

D

A

H

D

C

B

E

图① 图② 图③

（1）如图①，当点F 与点C 重合时，OE 的长度为 ；

（2）如图②，当点F 与点C 不重合时，过点D 作D G ∥y 轴交EF 于点T ，交OC 于点G .

求证：EO=DT ；

（3）在（2）的条件下，设()T x y ，，写出y 与x 之间的函数关系式为 ，自变量x 的取

值范围是 ；

（4）如图③，将矩形OABC 变为平行四边形，放在平面直角坐标系中，且OC=10，OC 边

上的高等于8，点F 与点C 不重合，过点D 作D G ∥y 轴交EF 于点T ，交OC 于点

G ，求出这时()T x y ，的坐标y 与x 之间的函数关系式（不求自变量x 的取值范

围）．

.(1).证出∠BAF=∠AED ，∠AFB=∠D 得出相似

（2）.用勾股定理求出AE=5 (3).由（1）得：AD

BF

AE AB =，得BF=

512

1).

415,(2).

5

16

524或(3).S 五边形CDEPF =S △BCD

=86

26、解：（1）△BE C ∽△AEF △BE C ∽

△DCF …………………（2分） ∵四边形ABCD 是菱形 ∴AB ∥CD ，BC ∥AD

∴∠BE C=∠DCF ，∠BCE =∠DFC

∴△BE C ∽

△DCF …………………（4分）

（2）由题意可得，BC=CD=3 ∵△BE C ∽△DCF ∴

DF BC DC BE = 即2

3

3=BE

∴

BE=4.5 …………………（8分）

（3）∵∠A=60°，∴△ABD 是等边三角形，

∴BD=3 ∠EBD=∠FDB=120°

又∵

3

2

5.43==BE BD 3

2

=BD DF ∴

BD

DF

BE BD =

∴△EBD ∽△

BDF …………………（10分）

∴∠BED=∠DBF 又∵∠BDH=∠HDB ∴△EBD ∽△BHD ∴

ED

BD

BD DH =

即BD2=DH ﹒DE …………………（12

分）

（2）证明：∵△EDF 是由△EFO 折叠得到的，∴∠1=∠2． 又∵DG ∥y 轴，∠1=∠3． ∴∠2=∠3．∴DE=DT ． ∵DE=EO ，

∴EO=DT ． …………………………2分 （3）

416

12

+-

=x y ． …………………………3分

4﹤

x ≤8． ………………………………………………………………………………………4分

（4）解：连接OT ， 由折叠性质可得OT =DT ． ∵DG=8，TG =y ，

∴OT =DT =8－y ．

∵DG ∥y 轴，∴DG ⊥x 轴． 在Rt △OTG 中，∵222TG OG OT +=,

∴222)8(y x y +=-．

解：延长BP 与AC 相交于D ，延长MP 与AB 相交于E

因为∠1=∠3，AP ⊥BD ，AP=AP 所以△ABP ≌△APD 于是BP=PD ， 故PM ∥AC 所以∠2=∠3 又因为∠1=∠3 所以∠1=∠2，EP=AE= 1 2

AB=1/2×12=6 AD=2EP=2×6=12 DC=22-12=10 PM= 1 2 DC= 1 2

×10=5

故MP 的长为5． 故答案为5．