2015年广州市中考数学试卷及答案

2015年广州市初中毕业生学业考试·数学

一、选择题（本大题共10小题，每题3分，满分30分）

1．4个数-3.14，0，1，2中是负数的是（ ）

A ．-3.14

B ．0

C ．1

D ．2

2．将图所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是（ ）

A B C D

3．已知O 的半径是5，直线l 是O 的切线，则点O 到直线l 的距离是（ ）

A ．2.5

B ．3

C ．5

D ．10

4．两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（ ）

A ．众数

B ．中位数

C ．方差

D ．以上都不对

5．下列计算正确的是（ ）

A ．2ab ab ab ?=

B ．()3322a a =

C ．()330a a a -=≥

D ．()0,0a b ab a b ?=≥≥

6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（ ）

A B C D

7．已知,a b 满足方程组51234

a b a b +=??-=?，则a b +的值为（ ）

A ．-4

B ．4

C ．-2

D ．2

8．下列命题中，真命题的个数有（ ）

○

1对角线相互平分的四边形是平行四边形； ○

2两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ○

3一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。 A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个

9．已知圆的半径是23，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）

A ．33

B ．93

C ．183

D ．363

10．已知2是关于x 的方程2

230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰ABC ?的两条边长，则ABC ?的周长为（ ）

A ．10

B ．14

C ．10或14

D ．8或10

二、填空题（本大题共6小题，每题3分，满分18分）

11．如图，//AB CD ，直线l 分别与AB 、CD 相交，若150∠=?，则2∠的度数为 度。

12．根据环保局公布的广州市2013年至2014年PM2.5的主要来源的数据，制成扇形统计图（如图），其中所

占百分比最大的主要来源是 （填主要来源名称）。

13．分解因式：26mx my -= 。 14．某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y 米与时间x 小时（05x ≤≤）的函数关系式为 。

15．如图，在ABC ?中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，若9,12BE BC ==，则cos C = 。

16．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=?, 33,3AB AD ==，点M 、N 分别是线段BC 、AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E 、F 分别是DM 、MN 的中点，则EF 长度的最大值为 。

三、解答题（本大题共9小题，满分102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分9分）

解方程：()534x x =-

18．（本小题满分9分）

如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、CD 边上，且AE DF =，连接BE 、AF 。

求证：BE=AF

19．（本小题满分10分）

已知222111

x x x A x x ++=--- （1）化简A

（2）当x 满足不等式1030x x -≥??-

，且x 为整数时，求A 的值。

20．（本小题满分10分）

已知反比例函数7m y x

-=的图像的一支位于第一象限。 （1）判断该函数图像的另一支所在象限，并求出m 的取值范围。

（2）如图，O 为原点坐标，点A 在该反比例函数位于第一象限的图像上，点B 与点A

关于x 轴对称，OAB ?的面积为6，求m 的值。

21．（本小题满分12分）

某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元。

（1）求2013年至2015年该地区投入的教育经费的年平均增长率。

（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少

万元。

22．（本小题满分12分）

4件同型号的产品中，有1件不合格和3件合格品。

（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；

（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；

（3）在这4件产品中加入x 件合格品后，进行如下实验，随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个实验，通过大量的重复实验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x 的值大约为多少？

23．（本小题12分）

如图，AC 是O 的直径，点B 在O 上，且30ACB ∠=?。

（1）利用尺规作出ABC ∠的角平分线BD ，交AC 于点E ，交O 于点D ，连接CD 。（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图形中，求ABE ?和CDE ?的面积之比。

24．（本小题满分14分）

如图，四边形OMTN 中，,OM ON TM TN ==，我们把这种邻边相等的四边形称为筝形。

（1）试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论。

（2）在筝形ABCD 中，已知5,,AB AD BC BD BC AB ===>，BD 、AC 为对角线，BD =8。

○

1是否存在一个圆使得A 、B 、C 、D 四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由；

○

2过点B 做BF CD ⊥，垂足为F ，BF 交AC 于点E ，连接DE ，当四边形ABED 为菱形时，求点F 到AB 的距离。

25．（本小题满分14分）

已知O 为坐标原点，抛物线()210y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()1,0A x ，()2,0B x ，与y 轴交于点C ，且O ，C 两点间的距离为3，12120,4x x x x ?<+=，点A ，C 在直线23y x t =-+上。

（1）求点C 的坐标。

（2）当1y 随x 的增大而增大时，求自变量x 的取值范围。

（3）将抛物线1y 向左平移()0n n >个单位，记平移后y 随x 的增大而增大的部分为P ，直线2y 向下平移n 个单位，当平移后的直线与P 有公共点时，求2

25n n -的最小值。 2015年广州市初中毕业生学业考试·数学答案

一、

1.A 2． D 3．C 4． C 5． D 6． A 7． B 8． B 9． C 10． B

二、11． 5012．机动车尾气13． ()23m x y - 。14． ()0.3605y x x =+≤≤15．

2316． 3 三、17．6x =-。

18． 证明：四边形ABCD 是正方形，,90AB AD BAE ADF ∴=∠=∠=? ，又AE DF =，因此在

RT ABE ?和RT DBF ?中，有AB AD BAE ADF ABE DBF AF BE AE DF =??∠=∠?????=??=?

，问题得证。

19．（1）11

A x =- （2）1。 20． （1）第三象限，7m > （2）13。

21．（1）0.1 （2）3327.5。

22．（1）14 （2）12

（3）16x = 23．（1）略 （2）

12

24． （1）垂直 （2）○1当且仅当203

BC =的时候，存在一个圆使得A 、B 、C 、D 四个点都在这个圆上，此时半径为256r = ○2768125

d = （1）证明：如图所示，连接OT 、MN 相交于点A 。很容易得到()OMT ONT SSS ???，故而可得OT 平分角MON ，因此在OMA ?和ONA ?中，我们有

90OM ON MOA NOA OMA ONA OAM OAN OA OA =??∠=∠?????∠=∠=???=?

，故而相互垂直。

（2）

○

1存在。如图所示：由（1）可得ABC ADC ABC ADC ????∠=∠，四边形四点共圆的前提是对角互补，因此此时可得90ABC ADC ∠=∠=?。此时AC 为直径，设AC 、BD 交于点E ，

连接OB 。此时

根据垂径定理可得222232BD AE AB BE AB ??=-=-=? ???

()2222225346

OB OE BE OB r OB =+=-+?==。此时可得224553BC AC AB AB =-=?>=，满足条件。因此当且仅当203

BC =的时候，存在一个圆使得A 、B 、C 、D 四个点都在这个圆上，此时半径为256r =。

○

2如图所示，连接BE 、DE 、BD ，过点F 作FG AB ⊥ ，垂足为点G 。 当四边形ABED 为菱形时，我们可知BE AE EAB AEB CEF =?∠=∠=∠，又由（1）（2）可得ACF ACB ACF CEF ACB CAB ∠=∠?∠+∠=∠+∠，因此可得此时AB BC ⊥，203

BC =。

在等腰三角形BCD 中，8BD =,2516333OC =-=，203CD =，根据等面积法可得BD OC BF CD ?=,代入化简可得325BF =。又9090ABF CBF BCF ABF BCF CBF ∠+∠=???∠=∠?∠+∠=?

?，因此： 32323768cos cos 5520125

BF GF BF ABF BF BCF BF BC =?∠=?∠=?=??=

25．（1）()0,3C 或者()0,3C - （2）当()0,3C 时，1x ≤-；当()0,3C -时，1x ≥。 解析：

（1）因为OC =3，C 在y 轴上，因此()0,3C 或者()0,3C -

（2）○1当()0,3C ，代入23y x t =-+中得到3t =，此时()2

331,0y x A =-+?，由12120,4x x x x ?<+=可得23x =-，因此()3,0B -。此时可得()2

212314y x x x =--+=-++，因此可得当1y 随x 的增大而增大时，1x ≤-。

○2当()0,3C -，代入23y x t =-+中得到3t =-，此时()2

331,0y x A =--?-，由12120,4x x x x ?<+=可得23x =，因此()3,0B 。此时可得()2

212314y x x x =--=--，因此可得当1y 随x 的增大而增大时，1x ≥。 综上所述，可得当()0,3C 时，1x ≤-；当()0,3C -时，1x ≥。

（3）○1当()0,3C 时，()2114y x =-++，左移()0n n >个单位后，可得()21'14y x n =-+++，此时2'33y x n =-+-，此时要使得直线与P 有公共点，顶点()1,4n --在直线2'33y x n =-+-上方，即满足 ()24'3136201y n n n n ≥=---+-=+?<≤-（舍去）

○2当()0,3C -，()2114y x =--，左移()0n n >个单位后，可得()2114y x n =-+-，此时2'33y x n =---。要使得直线与P 有公共点，顶点()1,4n --在直线2'33y x n =---下方，即()24'313y n n -≤=----，解得

1n ≥。

综合可得1n ≥，因此2

252525248y n n n ??=-=-- ???，当且仅当54n =时，()2min 25258n n -=-。