含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题专题
含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：
一、按x 2项的系数a 的符号分类，即 a 0, a 0, a 0;
例1解不等式：ax 2 a 2 x 1 0
分析：本题二次项系数含有参数，
a 2 2 4a
a 2 4 0 , 故只需对二次项
系数进行分类讨论。
解：T
a 2 2 4a a 2 4
解得方程 ax 2
a 2 x 1 0两根x 1
a 2
a 2
4
,X 2
a 2、a 2 4
2a
2a
2 2
a 2
..a 4 a 2 a 4
?当a 0时,解集为 x|x
或x
2a
2a
当a 0时，不等式为2x 1 0,解集为x | x
解：T
a 2 16
???当a 4,4即 0时，解集为R ;
当a 4即厶=0时，解集为 x x R 且x —；
2
解
a(x 2
5x 6) a
x 2 x 3 0
当a 0时, 解集为x|x 2或 x
3 ；当a 0时，解集为x 12 x 3
二、按判别式
的符号分类，
即
0, 0,
0 ；
例3解不等式 x 2 ax 4 0
分析因为a 0, 0,所以我们只要讨论二次项系数的正负。
分析 本题中由于x 2的系数大于0,故只需考虑 与根的情况。
当a 0时，解集为x|
a 2
、a 2 4
2a
a 2 . a 2 4
2a
例2解不等式ax 2 5ax 6a 0 a 0
0,此时两根分别为x 1
a a 2
16
，X 2
2
…2
16
，显然
2
例5解不等式x 2
(a —)x 1 0 (a 0)
a
只需比较两根2a 与3a 的大小.
解原不等式可化为：
x 2a (x 3a) 0 ,对应方程 x 2a (x 3a) 0的两根为
治 X 2,
???不等式的解集为
a 一 a 2
16
2
例4解不等式
m 2 1 x 2 4x 1 0,
2 2
(4)2
4 m 2
43
所以当m
.3 ,
0时，解集为
当..3 m 3，即
0时，解集为
〈
Z
一 3 m 2
当 m
3或 m 3，即
0时，解集为Ro
三、按方程 ax 2 bx
0的根x 1, x 2的大小来分类，即x-i
X 2M1
X2X
X 2
；
只需讨论两根的大小即可。
X 1 a
(x 一)
，令 a 一 , 可得：a
1
解: 原不等式可化为：
a
a
???当
a
1或0 a 1时，
a -，故原不等式的解集为
x | a x
1
a
a
当a
1或a
1时，a
1 ,可得其解集为 ;
a
当1
a 0或a 1时，
a
1 ,解集为 1
x | — x a o
a
a
例6 解不等式x 2 5ax 6a 2 0, a 0
1
分析：此不等式可以分解为： x a (x ) 0，故对应的方程必有两解。本题
a
分析此不等式
5a 2
24a 2 a 2
0，又不等式可分解为
x 2a (x 3a)
0,故
x 1 2a, x 2 3a ，当 af 0时，即 2a p 3a ，解集为 x|x 3a 或x 2a ；当 a 0时，即 2af 3a ,
解集为x | x 2a 或x 3a
含参不等式恒成立问题的求解策略
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知 识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题 的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生 的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题 的一般求解策略。
一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数
2
f (x) ax bx c(a 0, x R),有
解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数 m ,所以
要讨论m-1是否是0。
（1 ）当m-1=0时，元不等式化为 2>0恒成立，满足题意； m 1 0
（2） m 1 0 时，只需
2
，所以，m [1,9）。
（m 1）2
8（m 1） 0
例2.已知函数y lg[x 2 （a 1）x a 2]的定义域为R,求实数a 的取值范围。 解：由题设可将问题转化为不等式x 2 （a 1）x a 2 0对x R 恒成立，即有
2 2
1 （a 1） 4a 0解得 a 1 或a 一。
3
1 所以实数a 的取值范围为（，1）（丄，）。 3
若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 二、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1) f (x) a 恒成立 a f(x)mi n
2) f (x) a 恒成立 a f(x)max
1) f (x)
0对x R 恒成立
2)f(x) 0对x R 恒成立
a 0 0.
例1 ：若不等式（m 1）x 2
(m 1)x 2 0的解集是R ，求m 的范围。
例3、若x 2,2时，不等式x 2 ax 3 a 恒成立，求a 的取值范围。
考虑到不等式的分母x [1,），只需x 2 2x a 0在x [1,）时恒成立而得
a 注：本题还可将f(x)变形为f (x) x 2，讨论其单调性从而求出 f(x)最小值。
x
B
例 5：在 ABC 中，已知 f(B) 4sin Bsin 2( ) COS 2B ,且 |f(B) m | 2恒成立，求实 4
2
数m 的范围。 解析：由
2
B
f(B) 4sinBsin 2(
) cos2B 2sinB 1, 0 B , sinB (0,1]，f(B) (1,3]，
m f (B) 2
| f (B) m| 2 恒成立，
2 f(B) m 2，即
恒成立，
m (1,3]
m f(B) 2
例6： 求使不等式a sinx cosx, x [0,]恒成立的实数a 的范围。 解
析： 由于函a si nx cosx 2 si n(x ), x [ ,]，显然函数有最大值 2 ,
4 /4
4 4
2
x x ax 3 a ，则问题转化为当 x
x 的最小值非负。
（1）当 a
2 2 即: a 4
时，
f x min
f 2
7 3a （2）当 2
2 2 即:
4 a 4 时，f 『X min
f
a 2
4 a
4
4 a 2
（3）当 a
2
2 即: a
4
时，f x min
f 2 7
a 0
综上所得
7 a 2
例4.函数f （x ）
2
x
2x a
,x [1,), 若对任意 x
[1,
x
4所以a 不存在;
），f （x ） 0恒成立，求实数 a 的
解：若对任意x [1, ），f （x ） 0恒成立,
即对x [1,
)，f(x) 2
x 2x a
x
0恒成立,
而抛物线g(x) x 2 2x a 在x [1,
)的最小值 g min (x ) g (1)
3
a 0 得 a 解：设
2,2 时,
取值范围。
3
a
三、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，
从而问题转化为求主元函数
的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地 有：
1) f(x)
g(a)(a 为参数) 恒成立 g(a) f ( x)
max 2) f(x) g(a)(a 为参数) 恒成立
g(a)
f ( x)
max
。 例7、已知x
,1时，不等式
1 2x 2
a a 4x 0恒成立，求a 的取值范围。
解：令2x
t , Qx
,1
t 0,2
所以原不等式可化为： a 2 a t 21
t 1
要使上式在t 0,2上恒成立，只须求出 ft 厂在t 0,2上的最小值即可。
t 2
a
例8已知函数f x lg x 2 ，若对任意x 2, 恒有f x 0，试确定a 的取值范围。
x
解: 根据题意得: a x —
x 2 1在
x
2,
上恒成立，
即:
2
a
x 3x 在x
2,
上恒成立，
设 2
f x
x
3x ，则 f x
3 x
2 9
2
4
当 x 2 时，f x
max
2 所以a 2
例 9.已知函数 f (x) ax
4x 2
x ,x (0,4］时f(x) 0恒成立，求实数a 的取值范围。
解：将问题转化为a 仝 —对x (0,4］恒成立。
x
..4x x 2
令 g(x)
，则 a g(x)min
x
由 g(x)
Mx x
可知 g(x )在(0,4］上为减函数，故 g(x)min g(4)
x
??? a 0即a 的取值范围为(，0)。
注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。
四、变换主元法 处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考, 往往会使问题降次、简化。
a ?
2。
2
例10.对任意a ［ 1,1］，不等式x (a 4)x 4 2a 0恒成立，求x的取值范围。
分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式(x 2)a x2 4x 4 0在a [ 1,1]上恒成立的问题。
2
解：令f(a) (x 2)a x 4x 4，则原问题转化为f(a) 0恒成立(a [ 1,1])。
当x 2时，可得f(a) 0,不合题意。
当x 2时，应有f(1) 0解之得x 1或x 3。
f( 1) 0
故x的取值范围为(，1) (3,)。
注：一般地，一次函数f(x) kx b(k 0)在［,]上恒有f(x) 0的充要条件为
f( ) 0
f( ) 0。
例11、若不等式2x 1m 2 x1对满足m2的所有m都成立，求x的取值范围。
解：设f m 2 m x12x1，对满足m 2 的m , f m 0恒成立，
f 2 02 2 x12x 1 0 1 47'1爲
解得：-x
f 2 02x22x 1 022
五、数形结合法
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：
1) f (x) g(x) 函数f (x)图象恒在函数g(x)图象上方;
2) f (x) g(x) 函数f (x)图象恒在函数g(x)图象下上方。
例12.设f(x) . x24x , g(x) -x 1 a,
3
若恒有f (x) g (x)成立，求实数a的取值范围.
分析：在同一直角坐标系中作出 f (x)及g(x)
的图象如图所示，f (x)的图象是半圆
2 2
(x 2) y 4(y 0) g(x)的图象是
平行的直线系4x 3y 3 3a 0。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法 含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()04422 2 >+=-+=?a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵()04422 2 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24 222++--= ∴当0>a 时,解集为?? ????????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为? ?????> 21|x x 当0+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|> 含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按 x 2项的系数 a 的符号分类，即 a 0,a 0,a 0; 例 1 解不等式： ax 2 a 2 x 1 0 分析： 本题二次项系数含有参数， a 2 2 4a a 2 4 0 ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 2 解 ：∵ a 2 2 4a a 2 4 0 a 2 a 2 4 a 2 a 2 4 ∴当 a 0时,解集为 x|x a 2 a 4 或x a 2 a 4 2a 2a 当 a 0 时，不等式为 2x 1 0, 解集为 x| x 1 例 2 解不等式 ax 2 5ax 6a 0a 0 分析 因为 a 0， 0 ，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 a(x 2 5x 6) a x 2 x 3 0 当 a 0时，解集为 x|x 2或x 3 ；当 a 0时，解集为 x|2 x 3 、按判别式 的符号分类，即 0, 0, 0 ； 例 3 解不等式 x 2 ax 4 0 分析 本题中由于 x 2 的系数大于 0, 故只需考虑 与根的情况。 解： ∵ a 2 16 ∴当 a 4,4 即 0 时，解集为 R ； 解得方程 2 ax 2 a 2 x 1 0 两根 x 1 a 2 a 2 4 2a , x 2 a 2 a 2 4 2a 当 a 0时 , 解集为 x| a 2 a 2 4 2a x a 2 a 2 4 2a 当 a 4即Δ＝0时，解集为 x x R 且x a ； 当 a 4 或 a 4 即 0, 此时两根分别为 x 1 a a 16 ， x 2 2 x 1 x 2 , a a 2 16 a a 2 16 x 或 x 〈 22 例 4 解不等式 m 2 1 x 2 4x 1 0 m R 2 2 2 2 解 因 m 2 1 0, ( 4)2 4 m 2 1 4 3 m 2 当 m 3或 m 3 ，即 0 时，解集为 R 。 2 三、按方程 ax bx c 0 的根 x 1 , x 2的大小来分类，即 x 1 x 2,x 1 x 2 ,x 1 x 2； 1 例 5 解不等式 x 2 (a )x 1 0 (a 0) a 1 分析： 此不等式可以分解为： x a (x ) 0 ，故对应的方程必有两解。本题 a 只需讨论两根的大小即可。 11 解： 原不等式可化为： x a (x ) 0 ，令 a ，可得： a 1 aa 11 ∴当 a 1或 0 a 1时， a ，故原不等式的解集为 x |a x ； a 1 当 a 1 或 a 1 时， a , 可得其解集为 ； a 11 当 1 a 0或a 1时, a ,解集为 x| x a a 例 6 解不等式 x 2 5ax 6a 2 0 ， a 0 分析 此不等式 5a 2 24a 2 a 2 0 ，又不等式可分解为 x 2a (x 3a) 0 ，故 所以当 m 3 ，即 0 时，解集为 x| x 1 2 当 3 m 3 ，即 0 时，解集为 2 3 m 2 x 或 x m 2 1 2 m 2 1 3 m 2 ； ； a a 2 16 a a 16 ，显然 ∴不等式的解集为 恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。 一、分离参数 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()m ax a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()m in a f x ≤，转化为函数求最值。 例1、已知函数()lg 2a f x x x ??=+ - ???，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。 解：根据题意得：21a x x + ->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立， 设()23f x x x =-+，则()2 3924f x x ??=--+ ??? 当2x =时，()max 2f x = 所以2a > 例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式() 21240x x a a ++-?>恒成立，求a 的取值范围。 解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：22 1t a a t +-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()2 1t f t t +=在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()22211111124t f t t t t t +????==+=+- ? ? ???? 11,2t ??∈+∞???? ()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322 a ∴-<< 二、分类讨论 在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。 例3、若[]2,2x ∈-时，不等式2 3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。 解：设()2 3f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。 （1） 当22a -<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 73 a ∴≤又4a >所以a 不存在； 3.2.2含参数的一元二次不等式及其解法一．自主学习 以上结论是针对a>0的情形给出相应的解，a<0时请同学们自行分析。 解一元二次不等式的步骤： 1：确定二次项系数符号（一般将二次系数化为正）; 2:计算△,求相应一元二次方程的根(能用十字相乘法的则不需用公式）; 3：根据二次函数的图像,写出不等式的解集 二．自主探究 在解关于含参数的一元二次不等式时，往往都要对参数进行分类讨论。分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点。下面举例说明解题时如何做到分类“不重不漏”。 【题型一】对根的大小讨论 例1． 解关于x 的不等式0)1(2<+++a x a x .(a R ∈ ). 对应练习：解关于的不等式 2x a x a --<0 (a R ∈ ). 【题型二】对所对应方程根的个数进行讨论 例2、 解不等式02>+-a x x ，R a ∈ 对应练习：012 <+-ax x 【题型三】对首项系数a 的讨论 例3、 2(1)10、x ax a x +-->解关于的不等式，R a ∈ 对应练习：（1）关于x 的不等式0122<+-ax ax ，R a ∈ 训练（2）：函数()f x = R ，则实数m 的取值范围. 课堂小结： 含参数的一元二次不等式需讨论一般分为 1：对二次项系数进行讨论； 2：对所对应方程根的个数进行讨论； 3：对所对应方程根的大小进行讨论； 注意：因不确定所以需要讨论，在讨论时需清楚在哪讨论；怎样讨论.讨论要不重不漏,通过讨论后化不确定为确定. 三．巩固性练习及作业 1．不等式x 2-ax-122a <0 (其中a<0)的解集为（ ） A.（-3a, 4a ） B.(4a , -3a) C.(-3, 4) D.(2a , 6a) 2、22210x x x m -+->解关于的不等式 含参不等式专题 一、一元二次不等式含参问题 含参不等式的解法：由于解含参数不等式的主要目的是求未知数的取值集合，而不是求参数的范围，因此在分析含参数不等式时，把参数看成 是常数，确定不等式的类型，按相应类型不等式的解题方法进行转化；但 在求解过程中要审视参数对不等式类型、同解变形、解的结构等是否有不 确定性影响，若有不确定性则进行分类讨论，否则不予讨论。 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： (1)按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; (2)按判别式?的符号分类，即0,0,0?； (3)按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即2121,x x x x =<； 例题1：解x 的不等式：（1）042 >++ax x 。 (2) )(0122 R a a ax ∈>++ 例题2：解关于x 的不等式：（1）.01)1(2 <++-x a ax （2） )(0)1(2 R k x k kx ∈>-+ 例题3：解不等式（1）)0( 01)1(2≠<++-a x a a x . （2） ） （R a x ax ∈≥++22 2 二、一元二次不等式恒成立问题 1、不等式对任意实数恒成立，就是不等式的解集为R ，对于一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0， 它的解集为R 的条件为??? a ＞0Δ＜0；ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为R 的条件为??? a ＜0 Δ＜0 ；0 2≥++c bx ax 的解集为R 的条件为?? ?≤?>00a ；02≤++c bx ax 的解集为R 的条件为???≤?<0 a . 2、对于一般恒成立问题： 方法一：转化为函数的最值（或值域）（1）m x f ≥)(对任意x 都成立 m x f ≥?min )(；（2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥?。简单计作：“大 的大于最大的，小的小于最小的”。 方法二：数形结合，如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图 形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围. 方法三：分离参数，把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧， 将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题；（1）对于取 值范围内的任一个数都有恒成立，则；（2）对于取值范围内的任一个数都有 恒成立，则 例题1：若)5lg(2b x x y --=的定义域为R,求b 范围。 例题2：已知关于x 的不等式01)2()2(2≥+---x a x a 恒成立，试求a 的取值范围. 例题3：已知1)(2+-=ax x x f ，求使不等式0)( 一元二次不等式 参考例题（2） 1．(1)解不等式 121≤-x x （}0,1|{>-≤x x x 或） (2)不等式11<-x ax 的解集为}21|{> 备战2018高考数学黄金解题模板 含参不等式的存在性与恒成立问题 【高考地位】 含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势. 解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题. 【方法点评】 方法一 判别式法 使用情景：含参数的二次不等式 解题模板：第一步 首先将所求问题转化为二次不等式； 第二步 运用二次函数的判别式对其进行研究讨论； 第三步 得出结论. 例1 设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围 . ??? ????-≤--≥-≥?1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。 综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-. 【点评】一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有1）0)(>x f 对R x ∈恒成立 ????00a ；2）0)( （1）求()f x 的解析式； （2）若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+有解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()21f x x x =-+；（2）(),5m ∈-∞. （2）∵在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+有解， ∴2 31m x x <-+在区间[]1,1-上有解， 故只需m 小于函数()231g x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值， 由二次函数可知当1x =-时，函数()g x 取最大值5, ∴实数m 的取值范围为()5-∞， 考点：1、求二次函数解析式；2、不等式能成立问题. 【方法点睛】本题首先考查二次函数解析式，已知函数类型求解析式时，可以采用待定系数法，第二问考 含参数一元二次不等式练习题st 含参数一元二次不等式练习题 一、选择题： 1．(2011·福建高考)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 2．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5] D ．[－3，－2)∪(4,5] 3．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ． ? ?????－∞，－1311 B ．(－∞，－1) C. (1，＋∞) D .? ?????－∞，－1311∪(1，＋∞) 4．(2012·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1， 实数a 的取值范围是________． 10．(2012·九江模拟)若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________；若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 11．(2012·陕西师大附中模拟)若函数f (x )＝??? x ＋5，x ＜3，2x －m ，x ≥3， 且f (f (3))＞6，则m 的取值范围为________． 12．若关于x 的不等式x 2＋12x －? ?????12n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是________． 13．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． 三，解答题 14.解下列不等式： (1)x 2－2ax －3a 2＜0(a ＜0)． (2)x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)． (3)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． 含参数的一元二次不等式的解法 含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论，而参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类？下面我们通过几个例子体会一下。 一． 二次项系数为常数 例1、解关于x 的不等式：0)1(2>--+m x m x 解：原不等式可化为：（x-1）（x+m ）>0(两根是1和-m ，谁大？) （1）当1<-m 即m<-1时,解得：x<1或x>-m （2）当1=-m 即m=-1时,不等式化为：0122 >+-x x ∴x ≠1 （3）当1>-m 即m>-1时,解得：x<-m 或x>1 综上，不等式的解集为： (){}m x x x m -><-<或时当1|,11 (){}1|,12≠-=x x m 时当 (){}1-|,13><->x m x x m 或时当 例2:解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x （不能因式分解） 解：()a a 422--=?（方程有没有根，取决于谁？） ()()R a a a 时，解集为即当32432404212+<<-<--=? ()()32432 404222+=-==--=?a a a a 或时当 （i ）13324-≠-=x a 时，解得：当 （ii ）13-324-≠+=x a 时，解得：当 ()()时或即当32432 404232+>-<>--=?a a a a 两根为()242)2(21a a a x --+-= ，()242)2(22a a a x ----=. ()()242)2(242)2(22a a a x a a a x --+->----<或此时解得： 综上，不等式的解集为： （1）当324324+<<-a 时，解集为R ； （2）当324-=a 时，解集为(13,-∞-)?(+∞-,13)； （3）当324+=a 时，解集为(13,--∞-)?(+∞--,13)； （4）当324-a 时， 解集为(248)2(,2+---∞-a a a )?(+∞+-+-,2 48)2(2a a a )； 二．二次项系数含参数 例3、解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax 解：若0=a ，原不等式.101>?<+-?x x 若0--?或.1>x 若0>a ，原不等式.0)1)(1(<--?x a x )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定，故 （1）当1=a 时，式)(*的解集为φ； （2）当1>a 时，式)(*11< 高中数学不等式的恒成立问题 一、用一元二次方程根的判别式 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。 基本结论总结 例1 对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。 例2：已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足： （1）???<-+-<-0)2(16)2(4022 a a a 或 （2）?? ? ??<-=-=-0 40)2(20 2a a 解（1）得?? ?<<-<2 22 a a ，解（2）a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２． 练习 1. 已知函数])1(lg[2 2 a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 2.若对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。 3.若不等式的解集是R ，求m 的范围。 4.x 取一切实数时，使3 47 2+++kx kx kx 恒有意义，求实数k 的取值范围． 例3．设22)(2 +-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。 关键点拨：为了使 在 恒成立，构造一个新函数 是解题的关键，再利用二次 函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 解：m mx x x F -+-=22)(2 ，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=?m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 当0≥?时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为： ??? ? ??? -≤--≥-≥?1 220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。 例4 。已知1ax x )x (f 2+-=，求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值范围。 解法1：数形结合 结合函数)x (f 的草图可知]2,1[x ,0)x (f ∈<时恒成立? 25a 0 a 25)2(f 0a 2)1(f >?? ?<-=<-=得。所以a 的取值范围是),25 (+∞。 解法2：转化为最值研究 4a 1)2a x ()x (f 22- +-= 1. 若]2,1[)x (f ,3a 232a 在时即≤≤上的最大值,25a ,0a 25)2(f )x (f max ><-==得3a 25 ≤<所以。 2. 若0a 2)1(f )x (f ]2,1[)x (f ,3a 2 3 2a max <-==>>上的最大值在时即，得2a >，所以3a >。 综上：a 的取值范围是),2 5 (+∞。 注：1. 此处是对参a 进行分类讨论，每一类中求得的a 的范围均合题意，故对每一类中所求得的a 的范围求并集。 2. I x ,m )x (f ∈<恒成立)m (m )x (f max 为常数?∈> 解法3：分离参数 ]2,1[x ,x 1x a ]2,1[x ,01ax x 2∈+ >?∈<+-。设x 1 x )x (g +=， 注：1. 运用此法最终仍归结为求函数)x (g 的最值，但由于将参数a 与变量x 分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。 2. 本题若将“]2,1[x ∈”改为“)2,1(x ∈”可类似上述三种方法完成。 仿解法1：?∈<)2,1(x ,0)x (f 25a 0 )2(f 0)1(f ≥?? ?≤≤得即),25 [:a +∞的范围是 读者可仿解法2，解法3类似完成，但应注意等号问题，即此处2 5 a = 也合题。 O x y x -1 含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=?a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵()044222 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为?? ????????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为? ????? >21|x x 当0+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|> 当4±=a 即Δ＝0时，解集为? ????? ≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-?,此时两根分别为21621-+-=a a x ，2 1622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为?? ????????----+->21621622a a x a a x x 〈或 例4 解不等式() ()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=? 所以当3±=m ，即0=?时，解集为? ????? =21|x x ； 当33<<-m ，即0>?时，解集为??????? ???+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33> - 含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法 恒成立问题是数学中常见问题， 也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一 个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。 一、分离参数 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若 a_ f x 恒成立，只须 求出 f X max ，则 a - f X 血；若 ^ f X 恒成立，只须求出 f X min ，则 a 乞 f X 讪， 转化为函数求最值。 例1已知函数f X = lg I X a -2，若对任意x ：= 2川a?恒有f X \ >0，试确定a 的 I x 丿 取值范围。 a 解：根据题意得：x 2 1在x ：= 12,牡阳上恒成立， x 即：a ?-X 2 ? 3x 在 x ：二 2,上恒成立， 设 f x = -x 2 3x ，则 f x - - x- 3 9 I 2丿4 当 X =2时，f X max =2 所以 a 2 在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不 等式的两边，即：若 f (a )Z g (x )恒成立，只须求出g (x )max ，则f (a )K g (x )m ax ，然后 解不等式求出参数 a 的取值范围；若f (a )兰g(x)恒成立，只须求出g (x ).,则 f (a )兰g( x m in ，然后解不等式求出参数 a 的取值范围，问题还是转化为函数求最值。 t +1 f t p 3 f t min = f 2 — 4 解：令2二t ,二，1丨■ 10,2所以原不等式可化为： 宀亠1 ， 例2、已知x^- ,11时，不等式1 ■ 2X 亠〔a -a 2 4X 0恒成立，求a 的取值范围。 要使上式在t 三i 0,2 1上恒成立，只须求出 在t 0,2 1上的最小值即 可。 t 十1 f t 〒 1 3 a :: 2 2 _a ::- 一 元二次不等式 参考例题（2） 1． (1)解不等式121≤-x x (2)不等式11 <-x ax 的解集为}21|{> （2）若不等式 13642222<++++x x m mx x 的解集为R ，求实数m 的取值范围. 4．（1）已知}0)1(|{},023|{22≤++-=≤+-=a x a x x B x x x A ， ①若A B ，求实数a 的取值范围.； ②若A B ?，求实数a 的取值范围.； ③若B A 为仅含有一个元素的集合，求a 的值. （2）已知}031| {≤--=x x x A ，B B A a x a x x B =≤++-= 且},0)1(|{2，求实数a 的取值范围. (3) 关于x 的不等式2 )1(|2)1(|2 2-≤+-a a x 与0)13(2)1(32≤+++-a x a x 的解集依次为A 与B ， 若B A ?，求实数a 的取值范围. （4）设全集R U =，集合}3|12||{},01 | {<+=≥+-=x x B x a x x A ，若R B A = ， 求实数a 的取值范围. （5）已知全集R U =，}034|{},082|{},06|{2222<+-=>-+=<--=a ax x x C x x x B x x x A ， 若C B A ?)( ，求实数a 的取值范围. 不等式中恒成立问题的解法研究 在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立 ?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ 含参一元二次不等式的解法 温县第一高级中学数学组 任利民 解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点.解含参一元二次不等式时对参数的分类主要依据有三个因素：①比较两根大小；②判别式的符号；③二次项系数的符号.下面例举几例来加以分析说明. 一、 根据二次不等式所对应方程的根的大小分类 例1解关于x 的不等式 2(1)0x x a a --->. 分析：原不等式等价于()(1)0x a x a -+->，所对应方程的两根是 x a =或1x a =-.这两个根的大小关系不确定，因此分类的标准是a 与1a -的大小关系.这样就容易将a 分成111,,2 2 2 a a a > = < 这三类. 解：原不等式等价于()(1)0x a x a -+->，所对应方程的两根是x a =或 1x a =-. 当12a > 时，有1a a >-，所以不等式的解集为{x x a >或1}x a <-. 当12a =时，有1a a =-，所以不等式的解集为{x x R ∈且1}2 x ≠ 当12 a <时，有1a a <-，所以不等式的解集为{1x x a >-或}x a <. 【评注】对参数进行的讨论是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就 对参数加以分类讨论.当二次项系数不含参数且能进行因式分解时，其解法较容易，只讨论根的大小.本题中对a 的讨论时， 12 的选取依据就是比较两个根的大 小.解题关键是熟练掌握二次函数的图象特征，做到眼中有题，心中有图. 二、 根据判别式的符号分类 例2解关于x 的不等式2 220x ax ++>. 分析：设2 ()22f x x ax =++，欲确定()0f x =的根的情况，需讨论 0,0,0?>?=?<三种情况，由此来确定()f x 的图像，并最终确定不等 不等式中恒成立问题的解法 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用恒成立问题的基本类型： 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数),0()(2 R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立????0 0a ; 2）0)( 不等式中恒成立问题 在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立 ?????>>-?????<-?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ （20170301063）含参不等式恒成立存在性问题 班级___________姓名________________ 一、知识点 (1)恒成立问题 1. ?x ∈D,均有f(x)>A 恒成立，则f(x)min>A ； 2. ?x ∈D,均有f(x) >g(x)恒成立，则F(x)= f(x)- g(x) >0，∴ F(x)min >0 3. ?x1∈D, ?x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立，则f(x)min> g(x)max (2)存在性问题 1. ?x0∈D,使得f(x0)>A 成立，则f(x) max >A ； 2. ?x0∈D,使得f(x0) >g(x0)成立，设F(x)= f(x)- g(x)，∴ F(x) max >0 3. ?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x) max > g(x) min (3)相等问题 1. ?x1∈D, ?x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立，则{ f(x)} {g(x)} (4)恒成立与存在性的综合性问题 1. ?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x)min> g(x) min 2. ?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) 含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题(专题复习)
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