2021届湖北襄阳市四校高三上学期期中联考数学(文)试卷
2021年湖北襄阳市四校高三上学期期中联考数学（文）试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知,m n R ∈，集合{}72,log A m =，集合{},B m n =，若}0{=?B A ，则m n -=（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8 2
．函数()f x =的定义域是（ ） A ．[1,3)- B ．[1,3]-
C ．(1,3)-
D ．(,1][3,)-∞-?+∞
3．已知)10,4(),,2(-==λ，且⊥，则实数λ的值为（ ） A ．5- B ．5 C ．54-
D ．5
4
4．已知cos
,0()2
(1)1,0
x x f x f x x π?
≤?=??-+>?，则(2)f =（ ） A ．
12 B ．1
2
- C ．-3 D.3 5．设0>x ，R y ∈，则“y x >”是“||y x >”的 （ ） A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 6．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,,
若a =
，2b =
，
sin cos B B +=A 的大小为（ ）
A ．0
60 B ．0
30 C ．0
150 D ．0
45 7．
已知命题00:,sin 3
p x R x ?∈=；命题2
:,10q x R x x ?∈++>，给出下列结论： （1）命题p q ∧是真命题； （2）命题()p q ∧?是假命题； （3）命题()p q ?∨是真命题；
（4）()()p q ?∨?是假命题． 其中正确的命题是 （ ） A ．（2）（3）
B ．（2）（4）
C ．（3）（4）
D ．（1）（2）（3）
8．将函数()2sin(2)13f x x π
=-
+的图像上各点的纵坐标不变，
横坐标缩短为原来的1
2
，所得图像的一个对称中心可能是（ ）
A ． (,0)3
π B ． 2(,0)3
π
C ． (,1)3π
D ． 2(,1)3
π
9．已知函数()ln ||f x x x =-，则()f x 的图象大致为（ ）
10．函数3
()32x
f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
11．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为： 第一步：构造数列
.①
第二步：将数列①的各项乘以，得到一个新数列
.
则（ ）
A ．24
n
B ．
(1)
24n - C ．(1)4n n -
D ．
(1)
4
n n +
12．若函数)(sin )(a x e x f x
+=在区间(0,)π上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,)-+∞ B ．[1,)+∞ C ．(,2]-∞ D ．(,1]-∞
二、填空题
13．已知)3,(),4,3(t =-=,向量在方向上的投影为3-，则t =_____________. 14．已知(
,)2π
θπ∈，且3cos()45πθ-=，则tan()4
π
θ+=_________________. 15．定义22?矩阵1
214233
4a a a a a a a a ??=-
???，则函数21()3x x
f x x x
??- ?
= ? ??
?
的图象在点(1,1)-处的切线方程是_______________.
16．已知集合M 是满足下列条件的函数)(x f 的全体：（1）)(x f 是偶函数但不是奇函数；（2）函数)(x f 有零点．那么在下列函数中： ①()1||f x x =-； ②()2x
x
f x e e
-=+-；
③??
?
??<+=>-=0,20,00
,2)(x x x x x x f ；
④x x x x f ln 1)(2
+--=； ⑤()2sin()12
f x x π
=-
-
属于集合M 的有___________________ ．（写出所有符合条件的序号）
三、解答题
17．已知等差数列{}n a 满足：5179,14a a a =+=． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若n
n n a b 3+=，求数列}{n b 的前n 项和n S ．
18．设命题:p 实数x 满足：0342
2<+-a ax x ，其中0>a .命题:q 实数x 满足
1
21-??
? ??=m x ，其中()2,1∈m
（1）若4
1
=
a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）p ?是q ?的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.
19．已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，
sin cos 20A a B a +-=．
（1）求B ∠的大小 ；
（2）若b ABC =
?，求,a c 的值． 20．已知某服装厂每天的固定成本是30000元，每天最大规模的生产量是m 件.每生产一件服装，成本增加100元，生产件服装的收入函数是R(x)=?1
3x 2+400，记L(x)，
P(x)分别为每天生产x 件服装的利润和平均利润．．．．
（平均利润=总利润
总产量
）． （1）当m =500时，每天生产量x 为多少时，利润L(x)有最大值；
（2）每天生产量x 为多少时，平均利润．．．．
P(x)有最大值，并求P(x)的最大值． 21．在△ABC 中，c b a ,,是角C B A ,,对应的边，向量),(),,(c b a c b a +=-+=，且ab )32(+=? （1）求角C ；
（2）函数2
1
()2sin()cos ()cos()sin(2)2
f x A B x A B x ωω=+-+-(0)ω>的相邻两条对称轴分别为00,2
x x x x π
==+，求)(x f 在区间[,]ππ-上的单调递增区间.
22．已知函数233
()ln 22
f x x x ax a =-
+（R a ∈）
，其导函数为()f x '． （1）求函数()()(31)g x f x a x '=+-的极值；
（2）当1x >时，关于x 的不等式()0f x <恒成立，求a 的取值范围．
参考答案
1．A 【解析】 试题分析：因为0A
B =，
则0A ∈且0B ∈，所以7log 0m =，0n =，即1m =，0n =，所以1m n -=，故选A ．
考点：1、集合的元素；2、集合的交集运算． 2．B 【解析】
试题分析：由题意，和2230x x -++≥，解得13x -≤≤，所以函数()f x 的定义域为[1,3]-，故选B ．
考点：函数的定义域． 3．D 【解析】
试题分析：由a b ⊥，得210(4)0λ?+?-=，解得5λ=，故选B ． 考点：向量垂直的充要条件． 4．D 【解析】
试题分析：(2)(1)1(0)2(1)3cos()332
f f f f π
=+=+=-+=-+=，故选D ． 考点：分段函数． 5．C 【解析】
试题分析：当1,2x y ==-时，||x y >不成立；又由||x y >知，0x >且x y >，
所以当0x >，y ∈R 时 “x y >”是“||x y >”的必要不充分条件．
考点：充分条件与必要条件． 6．B 【解析】
试题分析：由22sin cos sin cos 1
B B B B ?+=??+=??
，解得sin 2B =，则由正弦定理sin sin a b A B =，得
sin sin a B
A b
=
＝1222
=，所以30A =?，故选B ． 考点：正弦定理． 7．A 【解析】
1>，而1sin 1x -≤≤，故p 为假命题，p ?为真命题；命题q 中，因为?＝2141130-??=-<，所以q 为真命题，q ?为假命题，则由复合命题的真假知（2）（3）正确，故选A ．
考点：1、特称命题的否定；2、命题真假的判定． 8．C 【解析】
试题分析：将函数()f x 的图像上各点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
1
2
，得2sin(4)13y x π=-+，令43x k π-=π，得412k x ππ=+
()k Z ∈，当1k =时，3
x π
=．把3x π=代入2sin(4)13y x π=-+，得1y =，所以所得图象的一个对称中心可能是(,1)3
π
，
故选C ．
考点：1、三角函数图象的伸缩变换；2、正弦函数的图象与性质． 9．A 【解析】
试题分析：当0x <时，()ln()f x x x =--，函数()f x 在(,0)-∞为增函数，故排除B 、D ；当0x >时，()ln f x x x =-，11
()1x f x x x
-'=-
=
，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故排除C ，故选A ． 考点：1、函数的图象；2、函数的单调性．
【技巧点睛】排除、筛选错误与正确的选项,可以从如下几个方面入手：（1）从函数的定义域与值域（或有界性）；（2）从函数的单调性,判断图象的升降变化趋势；（3）从函数的奇偶性，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，在对称的区间上单调性相反． 10．B
【解析】
试题分析：由于函数3
()32x
f x x =+-在区间(0,1)内为单调递增函数，且
()010,(1)20f f =-<=>，
即()()010f f <，所以函数3
()22x f x x =+-在区间(0,1)内只有一个零点，故选B ． 考点：函数的零点．
【方法点晴】本题解答中涉及到函数的单调性的应用、函数零点的判定方法、指数函数与幂函数的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，根据题意得出函数()f x 在区间(0,1)内为单调递增函数且()()010f f <是解答的关键. 11．C 【解析】
试题分析：由题意，知所得新数列为
12
,
1
2
2
,
1
3
2
,,
1
2
n
n
n
n
n
?
?
?
?
，所以
＝
2
4
[
1
12
1
23
1
34
1
(1)]
n
n n
?+
?+
?+
+
-?＝
1
2
)
(
1
2
1
3
)
(
1
3
1
4
)
(
1
1
1
)]
n
n
n -
+-++
--
＝
2
4(11)
n
n -
＝
(1)
4
n n -，故选C ．
考点：数列求和． 12．C 【解析】
试题分析：由题意，知()(sin cos )0x
f x e x x a '=++≤在区间(0,)π上恒成立，即
)4a x π≤+在区间(0,)π上恒成立．因为(,)444
x ππ5π
+∈，所以
sin()(42x π+∈-，所以)[4
x π
+∈，所以a ≤C ．
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、两角和的正弦公式；3、正弦函数的图象与性质．
【方法点睛】判断函数()f x 的单调性，一是利用基本初等函数的单调性结论；二是利用导数的知识：不等式()0f x '>的解集区间是函数()f x 的单调递增区间；不等式()0f x '<的解集区间是函数()f x 的单调递减区间． 13．9 【解析】
试题分析：因为向量()()3,4,,3a b t =-=，向量b 在a 方向上的投影长为3-, 所以
(3)a b a
?=
-＝3-，解得9t =．
考点：1、平面向量数量积公式；2、向量投影的应用． 14．34
-
【解析】
试题分析：因为(
,)2
π
θπ∈，所以3(,)424π
ππθ-
∈，所以4
sin()45
πθ-=，所以4tan()43πθ-=，即
tan tan
4431tan tan 4π
θπθ-=+，解得tan 7θ=-，所以tan()4πθ+＝tan tan
71341741tan tan 4
π
θπθ+-+==-+-． 考点：1、同角三角形函数间的基本关系；2、两角和与差的正切公式．
【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数，通常将结论角利用条件角来表示，利用同角三角函数基本关系化为相关角的三角函数后，再利用两角和与差的三角函数公式可求解． 15．2310x y ++= 【解析】
试题分析：由新定义，得322
()()1333x x x f x x x x x =-?-?=
--，则22()3
x
f x x '=-，又点(1,1)-在函数()f x 上，所以所求切线方程的斜率1
(1)3
k f '== 考点：1、新定义；2、导数的几何意义．
【思路点晴】求函数的切线方程的注意事项：（1）首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点．（2）切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．（3）在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件． 16．①②⑤ 【解析】
试题分析：①中函数为偶函数，且当1x =±时，()0f x =，故①正确；②中
()2()x x f x e e f x --=+-=为偶函数，又(0)0f =，故②正确；③中，当0,x >有0x -<，
()2(2)()
f x x x f x -=-+=--=-，而当
x <时，
x ->，
()2(2)()f x x x f x -=--=-+=-，所以此函数为奇函数，故③不正确；④中，因函数的
定义域为(0,)+∞，所以此函数为非奇非偶函数，故④不正确；⑤中，()2sin()12
f x x π
=--＝2cos 1x -为偶函数，又当23
x k π
=π±时，(0)0f =，故⑤正确．综上所述①②⑤属于集合M ．
考点：1、函数的奇偶性；2、函数的零点；3、零点存在性定理．
17．（1）21n a n =-；（2）12
33
22
n n ++-． 【解析】
试题分析：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，然后列出首项及公比的方程组即可求出首项和公比，从而求出通项公式；（2）首先由（1）可求出数列{}n b 的通项公式，然后利用分组相求和法即可求解．
试题解析：（1）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则 由5179,14a a a =+=得1149
2614
a d a d +=??+=?，解得11,2a d ==,
所以21n a n =-；
（Ⅱ）由21n a n =-得213n
n b n =-+．
12[135(21)](333)
n n S n =+++
+-++++
12
2
3(13)331322
n n n n +-=+=+--
考点：1、等差数列的通项公式；2、数列求和． 18．（1）??????<<432
1x x ；
（2）11
[,]32． 【解析】
试题分析：：（1）先解出p q ，下的不等式，然后由p q ∧为真知p q ，都为真，由此可求得
实数x 的取值范围；（2）由p ?是q ?的充分不必要条件便可得到1231a a ?
=???>?或1231
a a ?<
???≥?，解该
不等式组即得实数a 的取值范围．