应用随机过程-综述

H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y

课程设计（论文）

课程名称：应用随机过程

设计题目：综述

院系：电子与信息工程学院

班级： 09硕通信一班

设计者：

学号：

指导教师：田波平

设计时间： 2009-11至2009-12

哈尔滨工业大学

哈尔滨工业大学课程设计任务书

特征函数在随机过程研究中的作用与意义

1.特征函数的定义

在介绍特征函数在随机过程研究中的作用和意义之前，首先介绍一下特征函数的定义。 特征函数是一个统计平均值，它是由随机变量X 组成的新的随机变量j X e ω的数学期望，记为：

()()j X E e ωωΦ=

（1）

当X 为连续随机变量时，则X 的特征函数可表示成

()()i X

i x Ee

f x e dx ωωω∞

-∞

Φ==

?

（2）

其中()f x 为X 的概率密度函数。

对于随机过程的特征函数的定义与随机变量的特征函数的定义一致。 对任意时刻t ,随机过程的一维特征函数为：

()

(,)[](,)i X t i x X t E e

f x t e dx ωωω∞

-∞

Φ==

?

（3）

2.特征函数的性质

以下本文不加证明的给出特征函数的几个性质：

(1) |()|(0)1ωΦ≤Φ=；

(2) 共轭对称性()()ωωΦ-=Φ；

(3) 特征函数()ωΦ在区间(,)-∞∞上一致连续；

(4) 设随机变量Y aX b =+，其中,a b 是常数，则()()ib Y X e

a ω

ωωΦ=Φ；

其中(),()X Y ωωΦΦ分别表示随机变量,X Y 的特征函数。上式对于随机过程同样适用。 (5) 设随机变量,X Y 相互独立，又Z X Y =+，则()()()Z X Y ωωωΦ=ΦΦ； 此式表示两个相互独立随机变量之和的特征函数等于各自特征函数的乘积。

3.特征函数在随机过程研究中的作用与意义

由于特征函数在随机过程中和随机变量中的定义是一致的，仅是将X 变为X (t ),将概率密度函数也做相应的变化即可。故本文为方便起见，将随机过程和随机变量的特征函数的作用与意义做统一的讨论。

利用特征函数求随机过程的概率密度

根据特征函数的定义，特征函数与概率密度有类似傅里叶变换的关系，即

()()i x X f x e dx ωω∞

-∞Φ=?

（4）

()()1

2j x

X X f x e dx ωωπ

∞

--∞

=

Φ?

（5）

这里需要注意的是，特征函数与概率密度的之间的关系与傅里叶变换略有不同，指数项差

一负号。

在随机过程的研究过程中，经常会利用已知的随机过程()12(),X t X t 的概率密度函数()1122(,),,f x t f x t ，

求解它们某种特定组合的概率密度函数。通常我们的做法是由已知的概率密度函数，通过函数变换的形式求解，求解的过程很复杂。但是，如果利用特征函数的

性质以及它与概率密度之间的关系就很容易求解上述问题了。以下用一个例子来说明这个过程。

已知随机过程()12(),X t X t 为相互独立的高斯随机过程，数学期望为0，方差为1，求

()12()()Y t X t X t =+的概率密度。

已知数学期望为0，方差为1的高斯过程的概率密度为

()2

2

,

x X f x t -=

（6） 利用特征函数与概率密度之间类傅里叶变换的关系，可以很容易的求得()12(),X t X t 的

特征函数

()()2

112

,j x X X f x t e dx e

ωωω∞

-

-∞

Φ=

=?

，()()2

2

22

,j x X X f x t e dx e

ωωω∞

-

-∞

Φ==?

（7）

利用特征函数的性质（5）

()()()2

12Y X X e

ωωωω-Φ=ΦΦ=

再次利用特征函数与概率密度之间类傅里叶变换的关系，可得Y 的概率密度

()()24

1,

2y j y

Y Y f y t e d ωωωπ

∞

-

--∞

=

Φ=

? （8）

由上面的求解过程可见，利用特征函数求解比起直接求两个随机过程之和的概率密度要简单的多。

以上就简要介绍了特征函数在求解随机过程的概率密度时的作用。利用特征函数可以很方便的对某些随机过程的特定组合的概率进行求解。

离散状况下的特征函数在求解分布函数中的应用

受傅立叶变换物理意义的启发,得到基于坐标分解的特征函数的新解释。离散情况下,特征函数的新解释:

()ωΦ可以看作是以k

j x e ω(k -∞<<+∞)为基的可列无穷维空间下的坐标分解,第k 维

的坐标值为k p 。则

()k j x k k

p e ωωΦ=∑

（9） ()12j k

k p e d π

ωπ

ωωπ

--=

Φ?

（10）

其中k p 可以看作是以j k e d ωω-(t ππ-<<)为基的实数势无穷维空间下的坐标分解，

()1

2ωπ

Φ是在基j x e d ωω-下的坐标值。上述新解释在求解离散随机过程的概率分布时有非常重要的应用。下面以一个例子来说明：

例如求下列各随机变量ζ的概率分布,已知其特征函数分别为: (1)cos ω (2)2cos ω

由反演公式可解决此问题,即利用公式()()2

1121lim 2T

j x j x T T

e e F x F x d j ωωωπω--→∞--=?，但计

算过程比较繁杂。如果利用本文提出的新解释去求这个问题就非常简单，现用此法求解。 分析:只要将特征函数()ωΦ进行坐标分解即可,()ωΦ可以看作是以j k e ω-(k -∞<<+∞)为基的可列无穷维空间下的坐标分解, 第k 维的坐标值为k p ,惟一性定理可知k p 即为概率分布。

解： (1)

()

()()()111111cos 11222

i i i i i i e e e e P x e P x e ωωωωωωω-?-?-??+==+==+=-

由惟一性定理可知, 它的概率分布惟一,P(ζ = 1) = , P(ζ= - 1) =,即ζ所求的概

率分布。 (2)

()

()()()()

22202021cos 2111cos 0222244

i i i i i i e e e P x e P x e P x e ωωωωωωωω?-?-????+==++==+=+=- 由惟一性定理可知, 它的概率分布惟一，P(ζ= 0)=,P(ζ= 2)=,P(ζ= -2) =，即为ζ所求的概率分布。

可见，基于坐标分解的特征函数的新解释能加深我们对特征函数的理解, 而且能使特征函数相关的求解问题化繁为简。

利用特征函数求解随机过程的矩函数

特征函数与矩函数是一一对应的，因此特征函数也称为矩生成函数。 设随机变量X 的n 阶原点矩存在，则它的特征函数可以微分n 次，且有

()()()0

,n n X n n

X n d E X x f x t j d ωωω∞

-∞=Φ??==-??? （11）

这是因为，当对特征函数求n 阶导数时可得

()()()00

,n X n n j x n n n n

X X n d j x e f x dx j x f x t j E X d ωωωωω∞∞

-∞-∞==Φ??===???? （12）

在随机过程的研究过程中，更多的时候我们需要研究的是随机过程的统计特性，如随机过程的各阶矩。如果利用矩函数的定义直接求解，则需要进行大量的积分过程，求解过程将相当复杂，。但是如果利用上述特征函数与矩函数之间的关系来求解，问题就可以得到很大的简化。以下通过一个例子来简要说明这种求解过程。

例如，求解数学期望为0的高斯随机过程()X t 的各阶矩。

易得数学期望为0，方差为2σ的高斯过程()X t 的概率密度函数为

(

)2

22.x X f x t σ-=

由()X t 的概率密度求特征函数

()()22

2

,j x X X f x t e dx e

σωωω∞

-

-∞

Φ=

=?

再利用上面介绍的特征函数与矩函数的关系可得

()22

220

0E X t j e σω

ωσω-=??

=--=?? ???

??

? ()()()2

2

2

2

22

222

2220

E X t j e e σωσωωσωσωσ--=??

??=---= ???

??

? 继续可求出各阶矩

()()1351,0n

n

n n E X t n σ????-????=????????

为偶数，为奇数

由上述的例子可以看出，利用特征函数求解随机过程的矩函数的确比较方便，它省去

了大量的积分过程。

4. 结论

上面简要介绍了特征函数在随机过程研究中的应用，利用特征函数可以求解复杂的随机过程的概率分布问题，以及随机过程的矩函数。同时根据特征函数的新的解释，可以应用它来求解离散型随机过程或随机变量的分布函数。利用特征函数的定义及性质，可以将很多原本复杂的问题进行简化，可以极大的方便我们对于随机过程的研究。