直线方程的应用(讲义)

直线方程的应用（讲义）

? 知识点睛

一、直线的斜率

当直线绕定点由与x 轴平行的位置按逆时针方向旋转到与y 轴平行的位置时，斜率由0逐渐增大到+∞；继续逆时针旋转到与x 轴平行时，斜率由-∞逐渐增大到0．

二、直线的方程及位置关系

1. 直线的五种方程形式分别为点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式．

2. 直线之间的位置关系

设两条直线12l l ，

的斜率分别为12k k ，，则（1）1l ∥2l ?12k k =或12l l ，

的斜率都不存在；（2）12121l l k k ⊥??=-或一条直线斜率不存在，同时另一条直线斜率为零．

三、点、直线有关的对称问题 1. 点关于直线的对称点

点与对称点的连线被直线垂直平分． 2. 直线关于点的对称直线

对称直线与原直线平行，并且点到这两条直线的距离相等． 3. 直线关于直线的对称直线

直线上的点关于直线的对称点都在对称直线上．

四、直线与圆的位置关系 1. 过定点圆的切线方程

（1）点在圆上，切线垂直于过切点的半径；（2）点在圆外，圆心到切线的距离等于半径． 2. 直线与圆相交的弦长

计算圆心到直线的距离，结合勾股定理和垂径定理求解．

? 精讲精练

1. 若图中的直线123l l l ，

，的倾斜角分别为123ααα，，，斜率分别为123k k k ，，，则下列结论正确的是（）

A ．321ααα<<，132k k k <<

B ．321ααα<<，123k k k <<

C ．123ααα<<，132k k k <<

D ．123ααα<<，123k k k <<

2. 若直线ax +y +2=0与以A (-2，3)，B (3，2)

范围是（）

A ．

(][)23-∞-+∞，，

B ．45[]32-，

C ．45

(][)32

-∞-+∞，，

D ．54[]23

-，

3. 若过点P (1-)的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 值范围是（）

A ．(030]?，

B ．(060]?，

C ．[030]?，

D ．[060]?，

4. 若实数x ，y 满足22(2)1x y -+=，则

y x +-的最小值是（） A ．43

B ．32

C D

5. 已知A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，PA PB =方程为x -y +1=0，则直线PB 的方程为（） A ．2x +y -7=0 B ．x +y -5=0 C ．2y -x -4=0

D ．2x -y -1=0

6. 在△ABC 中，已知顶点A ，B 的坐标分别为A (5，-2)，B (7，3)，

点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，则直线MN

A ．5250x

y --= B ．2550x y --= C ．5250x y -+=

D ．2550x y -+=

7. 已知直线l 的倾斜角为135°，直线1l 经过A (3，2)，B (a ，-1)两点，且与l 垂

直，若直线2l ：2x +by +1=0与直线1l 平行，则a +b 的值为（） A ．-4 B ．-2 C ．0 D ．2

8. 点P (0，1)关于直线l ：x +y +1=0的对称点M 的坐标是（）

A ．(2，1)

B ．(-2，1)

C ．(-2，-1)

D ．(2，-1)

9. 直线2x +3y -6=0关于点(1，-1)对称的直线是（）

A ．3x -2y +2=0

B ．2x +3y +7=0

C ．3x -2y -12=0

D ．2x +3y +8=0

10. 已知直线l ：x -y +1=0，l 1：2x -y +3=0，若直线l 2与l 1关于直线l 对称，则l 2

的方程为（） A ．x -2y =0

B ．2x -y =0

C ． x -2y +1=0

D ．2x -y +1=0

11. 已知过点P (2，2)的直线l 与圆(x -1)2+y 2=5相切，且与直线ax -y

a 的值为（）

A ．12-

B ．1

C ．2

D ．

12. 过点(3，1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（） A ．230x y +-= B ．230x y --= C ．430x y --=

D ．430x y +-=

13. 直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N 两点，若

则k 的取值范围是（）

A ．3

[0]4

-，

B ．3

(][0)4-∞-+∞，，

C ．[

D ．2

[0]3

-，

【参考答案】

1. A

2. C

3. D

4. A

5. B

6. A

7. B

8. C

9. D 10. A 11. C

12.A

13.A

直线方程的应用(习题及答案)

2 2 2 2 2 ? 例题示范扫一扫对答案直线方程的应用（习题）例 1：若过点 A (4，0)的直线 l 与圆(x -2)2+y 2=1 有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是．思路分析：根据圆的标准方程，画出符合题意的图形．直线与圆有公共点，说明直线与圆的位置关系为相切或相交，其中相切为临界状态．计算直线与圆相切时直线的斜率：如图，设圆心为点 B ，直线 AM ，AN 分别与圆相切于点 M ，N ，则 BM ⊥AM ，BN ⊥AN ，且 BM =BN =1，AB =2，所以∠MAB =∠NAB =30°，进而可得k AM = - 3 ，k = 3 ， 3 AN 3 结合图形易得直线 l 的斜率的取值范围是[- 3 ， 3 ] ． 3 3 例 2：在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x 2+y 2-4x =0．若直线 l ：y =k (x +1)上存在一点 P ，使过 P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 k 的取值范围是．思路分析：由题意，圆 C ：(x -2)2+y 2=4，圆心 C (2，0)，半径 r =2． ∵过点 P 的两条切线相互垂直， ∴过点 P ，C 以及两切点组成的四边形是正方形， ∴对角线 PC = 2r = 2 ，即 l 上存在一点到圆心的距离等于2 ， ∴圆心 C 到直线 l ：kx -y +k =0 的距离小于或等于2 ， 2k + k 即 ≤ 2 ， k 2 +1 解得-2 ≤ k ≤ 2 ． 2

3 ? 巩固练习 1. 若直线l ：y = kx - 与直线2x +3y -6=0 的交点位于第一象限，则直线 l 的倾斜角的取值范围是（） A ．[30°，60°) B ．[30°，90°] C ．(60°，90°) D ．(30°，90°) 2. 已知点 M (2，-3)，N (-3，-2)，若直线 l ：y =ax -a +1 与线段 MN 相交，则实数 a 的取值范围是（） A ． a ≥ 3 或 a ≤ - 4 4 C ． 3 ≤ a ≤ 4 4 B ． - 4 ≤ a ≤ 3 4 D ． - 3 ≤ a ≤ 4 4 3. 若点 P (x ，y )在以 A (-3，1)，B (-1，0)，C (-2，0)为顶点的 △ABC 的内部（不包括边界），则 y - 2 的取值范围是（） x -1 A ．[ 1 ，1] 2 B ． ( 1 ，1) 2 C ．[ 1 ，1] 4 D ． ( 1 ，1) 4 4. 过点 A (2，1)以及两直线 x -2y -3=0 与 2x -3y -2=0 的交点的直线方程是（） A ．2x +y -5=0 B ．5x -7y -3=0 C ．x -3y +5=0 D ．7x -2y -4=0 5. 过点(2，3)，且到原点的距离最大的直线方程是（） A ．3x +2y -12=0 B ．2x +3y -13=0 C ．x =2 D ．x +y -5=0 2

直线的参数方程及其应用举例

直线的参数方程及应用问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数，又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即? ??+=+=αα sin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方；特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=0t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧；问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一对应关系？我们把直线l 看作是实数轴，以直线l 向上的方向为正方向，以定点这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1、t 2 ， x x

直线的参数方程及其应用举例

直线的参数方程及应用问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P| 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P| P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数，又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即? ??+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P|＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方；特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=0t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧；问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一对应关系？我们把直线l 看作是实数轴，以直线l 向上的方向为正方向，以定点这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？ x x

直线系方程的应用

直线系方程及其应用所谓直线系方程,是指满足某种特征的直线方程的全体.在解决直线方程问题时,若能巧妙地运用直线系方程的有关结论,有时可以收到事半功倍之效果.以下总结常见的直线系及其巧用. 一、直线系的类型 1.共点直线系方程经过两直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=的交点的直线系方程为 111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（λ为待定系数）. 2.平行直线系方程与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为0Ax By λ++=（λ为参数）. 3.垂直直线系方程与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=（λ为参数）. 二、直线系解题的巧用 1.共点的直线系方程的应用例1.求经过两直线1:240l x y -+=和2:20l x y +-=的交点P ，且与直线3:3450l x y -+=垂直的直线l 的方程．【解析】方法一：解方程组24020x y x y -+=?? +-=?得交点(0,2)P ，因为334k =，所以直线l 的斜率43k =-，方程为423 y x -=-，即4360x y +-=. 方法二：设所求直线l ：430x y c ++=，由方法一知：(0,2)P 代入方程，得6c =-，所以直线l 的方程为4360x y +-=．方法三：设所求直线l ：(24)(2)0x y x y λ-+++-= ，整理得(1)(2)240x y λλλ++--+= ，因为3l l ⊥，所以3(1)4(2)0λλ+--=，解得11λ=，所以直线l 的方程为(24)11(x y x y -++?+-=即4360x y +-=．例2.求过点(34)M -，，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．【解析】设所求直线方程为(3)(4)0A x B y -++=（其中A B ，不全为零）．显然，当0A =或0B =时，所得直线方程不满足题意．故A B ，均不为零．当0x =时，34A y B =-；当0y =时，43B x A =-+．根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则 3443A B B A -=-+，令A z B =，则4343z z -=-+，整理，得23740z z -+=，解得1z =，或43z = ，则0A B =≠，或403 A B =≠，故所求直线方程为10x y ++=，或430x y +=．

直线的参数方程及其应用举例

直线的参数方程及应用问题1:(直线由点与方向确定) 求经过点P 0(00,y x ),倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)就是直线l 上任意一点,(方向为直线L 的正方向)过点P 作y 轴的平行线,P 0作x 轴的平行线,两条直线相交于Q 点、 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0与P 重合时, P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时,P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t,t 为参数, 又∵P 0Q ＝0x x -, 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即???+=+=α αsin cos 00t y y t x x 就是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t,t 为参数,t 的几何意义就是:有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量,且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时,点P 在点P 0的上方; ② 当t ＝0时,点P 与点P 0重合; ③ 当t<0时,点P 在点P 0的下方; 特别地,若直线l 的倾斜角α＝0时,直线l ?+=0t x x ④ 当t>0时,点P 在点P 0的右侧; ⑤ 当t ＝0时,点P 与点P 0重合; ⑥ 当t<0时,点P 在点P 0的左侧; 问题2:直线l 上的点与对应的参数t 对应关系？我们把直线l 瞧作就是实数轴, 以直线l 向上的方向为正方向,以定点P 0 为原点,以原坐标系的单位长为单位长, 这样参数t 便与这条实数轴上的点P 一一对应关系、问题3:P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？,∣P 1P 2∣=？ P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1,∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ x x

直线的参数方程教案

直线的参数方程教学目标： 1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用． 2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想． 3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度．教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．教学难点：通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y之间的联系．教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件．教学过程：一、回忆旧知，做好铺垫教师提出问题： 1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程． 2.直线的方向向量的概念． 0 / 13

3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程． 5.如何建立直线的参数方程？这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考．【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备．二、直线参数方程探究 1．回顾数轴，引出向量数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？教师提问后，让学生思考并回答问题．教师引导学生明确：如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么： ①OA 为数轴的单位方向向量，OA 方向与数轴的正方向一致，且OM tOA =；②当OM 与OA 方向一致时（即OM 的方向与数轴正方向一致时），0t >；当OM 与OA 方向相反时（即OM 的方向与数轴正方向相反时），0t <；当M 与O 重合时，0t =； ③||OM t =．教师用几何画板软件演示上述过程．

直线方程的一般式及应用

§1.2.2直线方程的一般式及应用班级姓名组号分值学法指导： 1、利用10分钟阅读教材65~67页，并完成本节导学案的预习案， 2、认真限时完成，规范书写，课上小组合作探究，答疑解惑。学习目标： 1、知识与技能（1）掌握直线方程的一般式0=++C By Ax （,A B 不同时为）理解直线方程的一般式包含的两方面的含义：①直线的方程是都是关于,x y 的二元一次方程；②关于,x y 的二元一次方程的图形是直线．（2）掌握直线方程的各种形式之间的互相转化． 2、过程与方法学会用分类讨论的思想方法解决问题。体会坐标法的数形结合思想。 3、情态态度与价值观认识事物之间普遍联系与相互转化,用联系的观点看问题,感受数学文化的价值和底蕴。学习重、难点： 1、重点：直线方程的一般式及各种形式之间的互相转化和数形结合思想的应用。 2、难点：对直线方程一般式的理解与应用，灵活应用直线的各种形式方程。【预习案】（一）直线方程的一般式：在平面直角坐标系中，直线可分为两类：一类是与轴不垂直的；另一类是与轴垂直的，它们的方程可以分别写为直线y kx b =+和1x x =两种形式，它们又都可以变形为0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）的形式，我们把形如关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）称为直线方程的一般形式。（二）直线和二元一次方程的对应关系：在平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于,x y 的二元一次方程来表示，反过来，每一个关于,x y 的二元一次方程都表示直线。

事实上，对于任意一个关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）：当0B ≠时，可变为A C y x B B =- -，它表示一条与轴不垂直的直线，其中A B -为直线的斜率；当0B =时，则0A ≠，所以可变为C x A =-，它表示一条与轴垂直的直线。【结论】 1.在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用关于,x y 的二元一次方程 0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）来表示。 2.直线和二元一次方程是一一对应关系； 3.一般情况下，如果题中不作特别说明，所求直线方程都要化成一般形式。（三）写出下列直线的方程： 1.经过点(4,0),(0,3)A B -； 2.斜率为 2 ，在轴上的截距为； 3.经过点(1,2),(3,1)M N - 【我的疑问】【探案究】

直线方程的应用(习题)

直线方程的应用（习题） ?例题示范例1：若过点A(4，0)的直线l与圆(x-2)2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_______________．思路分析：的位置关系为相切或相交，其中相切为临界状态．计算直线与圆相切时直线的斜率：如图，设圆心为点B，直线AM，AN分别与圆相切于点M，N，则BM⊥AM，BN⊥AN，且BM=BN=1，AB=2，所以∠MAB=∠NAB=30°，进而可得 AM AN k k == 结合图形易得直线l的斜率的取值范围是[ 33 -，．例2：在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-4x=0．若直线l：y=k(x+1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是_______________．思路分析：由题意，圆C：(x-2)2+y2=4，圆心C(2，0)，半径r=2． ∵过点P的两条切线相互垂直， ∴过点P，C以及两切点组成的四边形是正方形， ∴对角线PC== 即l上存在一点到圆心的距离等于 ∴圆心C到直线l：kx-y+k=0的距离小于或等于，解得k -≤． ?巩固练习

1.若直线l：y kx =2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（） A．[30°，60°) B．[30°，90°] C．(60°，90°) D．(30°，90°) 2.已知点M(2，-3)，N(-3，-2)，若直线l：y=ax-a+1与线段MN相交，则实数 a的取值范围是（） A． 3 4 4 a a- ≥≤ 或B． 3 4 4 a -≤≤ C．3 4 4 a ≤≤D． 3 4 4 a -≤≤ 3.若点P(x，y)在以A(-3，1)，B(-1，0)，C(-2，0)为顶点的△ABC的内部（不包括边界），则 2 1 y x - - 的取值范围是（） A． 1 [1] 2 ，B． 1 (1) 2 ，C． 1 [1] 4 ，D． 1 (1) 4 ， 4.过点A(2，1)以及两直线x-2y-3=0与2x-3y-2=0的交点的直线方程是（） A．2x+y-5=0 B．5x-7y-3=0 C．x-3y+5=0 D．7x-2y-4=0 5.过点(2，3)，且到原点的距离最大的直线方程是（） A．3x+2y-12=0 B．2x+3y-13=0 C．x=2 D．x+y-5=0 6.已知点M(2，3)，N(4，-5)，直线l经过点P(1，2)，且点M，N到直线l的距离相等，则直线l的方程是（）

《直线参数方程的应用》

直线参数方程的应用》教材说明：人教版选修4-4 《直线的参数方程》课型：习题课课时：1 课时学情分析（一）学生已有知识基础或学习起点学生刚刚学习了曲线的参数方程,以及直线的参数方程,本班学生具备较好的知识基础对直线的参数方程的一般形式和标准形式都已经了解,并且能够进行标准参数方程和一般参数方程的互化,对参数的几何意义相对也比较熟悉. （二）学生已有生活经验和学习该内容的经验在前面学生已经学过了直线的标准参数方程和一般方程, 具备了把一般参数方程转化为标准参数方程的能力, 能解决一些实际问题, 并能够进行合作交流,具备合作探究的能力（三）学生的思维水平以及学习风格学生的思维系统不够完善, 缺乏逻辑思维能力和发散能力.学生中沉思型的学生少, 在碰到问题时不愿意深思熟虑，不用充足的时间考虑、审视问题，更不会权衡各种问题解决的方法，然后从中选择一个满足多种条件的最佳方案;多数是冲动型学习,看到题倾向于很快地检验假设，根据问题的部分信息或未对问题做透彻的分析就仓促作出决定，反应速度较快，但容易发生错误。（四）学生学习该内容可能的困难学生学习该内容时可能遇到如下困难：不看参数方程的形式是否标准,直接套用,t 的几何意义找不准,欠缺转化能力,数形结合能力和计算能力. （五）学生学习的兴趣、学习方式和学法分析由于学生自我归纳能力较差又习惯于就题论题，因此适合提问引导启发式授课方式和层层设疑的学习方法。授课讲解的时候，应做到帮助学生分析题干，引发学生对问题的思考，引导学生找到解题思路并选择简洁的解题方法，并能及时归纳总结. 教学内容分析（一）教学的主要内容参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式。某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便。学习直线参数方程有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变。本专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合

直线的参数方程,圆锥曲线的参数方程及其应用等-高中数学

直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用一. 教学内容：直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用，极坐标系，曲线的极坐标方程及其应用。［基本知识点］（1）直线的参数方程 <1>标准形式： <2>一般形式（2）参数t 的几何意义及其应用标准形式： <1>直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1,t 2，则弦长|AB|=|t 1-t 2| <2>定点M 0是弦M 1、M 2的中点?t 1+t 2=0 <3>设弦M 1，M 2中点为M ；则点M 相应的参数（3）圆锥曲线的参数方程 <1> <2> 角）。 :),y ,x (M 000准形式为的直线的参数方程的标且倾角为过点α)t (sin t y y cos t x x 00为参数???+=+=αα)1b a 't ('bt y y 'at x x 2200≠+???+=+=为参数且)y ,x (M t ,)t (sin t y y cos t x x 00000的几何意义是表示定点中为参数???+=+=αα的数量的有向线段到直线上动点M M y)(x,M 0:t,M M 0故即=2t t t 2 1M +=)(sin r y cos r x r y x 222为参数的参数方程为圆ααα???===+轴正方向的旋转角的几何意义动半径对于其中x α其几何意义为离心为参数的参数方程为椭圆,(sin b y cos a x 1b y a x 2222 ααα???===+

<3> <4>抛物线y 2=2px 的参数方程为（4）极坐标系的基本概念。在平面内任取一个定点O ，叫做极点，引一条射线O x ，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），对于平面内任一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ叫做M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做点M 的极坐标系，这样建立的坐标叫做极坐标系。（5）极坐标与直角坐标的互化 <1>互化条件：极点与直角坐标系原点重合；极轴与直角坐标系O x 轴重合；两坐标系中的长度单位统一。 <2>互化公式（6）曲线的极坐标方程 <1>定义：在极坐标系中，曲线可以用含有ρ、θ这两个变数的方程来表示，这种方程叫做曲线的极坐标方程。 <2>直线与圆的极坐标方程。过极点的直线方程θ=θ0（ρ∈R ）过点A （a,0），倾角为α的直线方程以极点为圆心，半径为r 的圆的方程ρ=r 圆心在C （a,0），半径为a 的圆的方程ρ=2acos θ 圆心在（ρ0，θ0），半径为r 的圆的方程【例题选讲】例1 ，M 是AB 的中点，求|MF|。 )(btg y asec x 为参数双曲线的参数方程为ααα???==)(t pt 2y pt 2x 2 为参数?????==?????≠==+???==)0x (x y tg y x )2(sin y cos x )1(222θρθρθραθαρsin )sin(a =-220002r )cos(2=+--ρθθρρρ两点与双曲线交于的直线作倾角为的右焦点过双曲线B ,A l 45F 116y 9x 2 2 =-

直线的参数方程及其应用(不错哦,放心用)

直线的参数方程及应用目标点击： 1．掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2．熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化； 3．利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题；基础知识点击： 1、直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=2 21t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ? ??+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数）点击直线参数方程：一、直线的参数方程问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数，又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α x

直线的方程及应用

直线的方程及应用一．知识梳理 1．倾斜角：直线向上的方向与X 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为。 2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=a n α;当直线的倾斜角等于900时，直线的。过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:k= （若x 1＝x 2，则直线p 1p 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。 4．平行与垂直：若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1, k 2。且两者不重合，则l 1//l 2的充要条件 11112222l 1, l 2交点的直线方程为；与l 2平行的直线方程为二．课前自测 1、过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（）（A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0 2、过点)3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 3.直线l 经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为 4直线()()()14232140k x k y k +--+-=必经过一定点P ，则P 的坐标为 5.过点（－1，3）且垂直于直线x －2y +3=0的直线方程为三．典例解析【例1】一条直线经过点P （3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：（1）倾斜角是直线x －4y +3=0的倾斜角的2倍；（2）与x 、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，且△AOB 的面积最小（O 为坐标原点）【练习1】直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段中点为P （－1，2）.求直线l 的方程.

直线方程的应用(讲义)

直线方程的应用（讲义） ? 知识点睛一、直线的斜率当直线绕定点由与x 轴平行的位置按逆时针方向旋转到与y 轴平行的位置时，斜率由0逐渐增大到+∞；继续逆时针旋转到与x 轴平行时，斜率由-∞逐渐增大到0．二、直线的方程及位置关系 1. 直线的五种方程形式分别为点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式． 2. 直线之间的位置关系设两条直线12l l ，的斜率分别为12k k ，，则（1）1l ∥2l ?12k k =或12l l ，的斜率都不存在；（2）12121l l k k ⊥??=-或一条直线斜率不存在，同时另一条直线斜率为零．三、点、直线有关的对称问题 1. 点关于直线的对称点点与对称点的连线被直线垂直平分． 2. 直线关于点的对称直线对称直线与原直线平行，并且点到这两条直线的距离相等． 3. 直线关于直线的对称直线直线上的点关于直线的对称点都在对称直线上．四、直线与圆的位置关系 1. 过定点圆的切线方程（1）点在圆上，切线垂直于过切点的半径；（2）点在圆外，圆心到切线的距离等于半径． 2. 直线与圆相交的弦长计算圆心到直线的距离，结合勾股定理和垂径定理求解． ? 精讲精练 1. 若图中的直线123l l l ，，的倾斜角分别为123ααα，，，斜率分别为123k k k ，，，则下列结论正确的是（）

A ．321ααα<<，132k k k << B ．321ααα<<，123k k k << C ．123ααα<<，132k k k << D ．123ααα<<，123k k k << 2. 若直线ax +y +2=0与以A (-2，3)，B (3，2) 范围是（） A ． 54 (][)23-∞-+∞，， B ．45[]32-， C ．45 (][)32 -∞-+∞，， D ．54[]23 -， 3. 若过点P (1-)的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 值范围是（） A ．(030]?， B ．(060]?， C ．[030]?， D ．[060]?， 4. 若实数x ，y 满足22(2)1x y -+=，则 3 1 y x +-的最小值是（） A ．43 B ．32 C D 5. 已知A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，PA PB =方程为x -y +1=0，则直线PB 的方程为（） A ．2x +y -7=0 B ．x +y -5=0 C ．2y -x -4=0 D ．2x -y -1=0

直线的参数方程及其应用

直线的参数方程及其应用摘要：解析几何是高考考查的重要内容，主要有：直线与圆、直线与椭圆、直线与双曲线、直线与抛物线的位置关系，相交求交点坐标及弦长等。直线作为解析几何的重要组成部分，直线的参数方程在解析几何中有着较为广泛的应用，且在具体题目中有着较强的的综合性与灵活性。学生对直线方程的五种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式较为熟悉，能够熟练运用。但对直线的参数方程较为陌生，应用起来有着一定的难度。直线的参数方程作为选修4-4第二章参数方程的重要内容，近几年高考对直线的参数方程的考查力度有所加大，其中以参数方程中参数t的几何意义最为突出。如何准确理解直线参数方程中参数t 的几何意义，并能熟练运用直线的参数方程解题，对学生综合能力的提高及数学核心素养的培养有着十分重要的意义。因此，本文主要从直线参数方程t的几何意义及其应用几个方面作较为详细的阐述，为直线的参数方程教学提供参考。关键词：参数方程；倾斜角；普通方程；几何意义；一、直线的普通方程与参数方程北师大版必修二中，学生已经学习过直线方程的五种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，并且掌握了这五种方程的应用条件，能够正确根据题目中的已知条件选择适当的方程形式求出直线的方程，并能够相互转化。直线方程的这五种形式中，尤以点斜式、斜截式、一般式用的最多，也是高考考查的重要内容。如：已知直线上点P的坐标及直线的斜率k（倾斜角α），常选用点斜式；已知直线斜率和直线在y轴上的截距及判断两直线的位置关系，常选用截距式；求与已知直线平行或垂直的直线方程，点到直线的距离公式，常选用一般式。与直线的参数方程相对应，我们称直线方程的这五种形式为直线的普通方程。普通方程是直接给出曲线上点的横纵坐标x和y之间的关系，参数方程是曲线上点的横纵坐标x和y之间引入一个参数。在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x和y都是某个变量t的函数，即，叫作曲线的参数方程。过点，倾斜角为的直线的参数方程为。直线的参数方程相比较于普通方程，由于横纵坐标之间引入了中间变量，所以学生理解起来有一定的难度，要是不能正确理解参数方程中参数的几何意义，学生在运用参数方程解题就会更加困难。因此，准确理解直线的参数方程中参数的几何意义就显得尤为重要。二、直线的参数方程中参数的几何意义 1、直线参数方程的标准式（1）过点，倾斜角为的直线的参数方程为。设为直线上任意一点，的几何意义是：表示有向线段的数量，= 因为为直线上任意一点（规定向上的方向为正方向），不妨设，则，所以==。当时，点在的上方；当时，点与重合；当时，点在的下方。（2）若、是直线上两点，所对应的参数分别为、，则因为、是直线上两点，所对应的参数分别为、，不妨设，，则，所以 == （3）、是直线上两点，所对应的参数分别为、，则、的中点对应的参数为。若为、的中点，则，反之亦成立。因为为、的中点，所以，则，因为、位于两侧（取向上方向为正方向），所以，所以。若为、的中点，则,则，且，异号，所以，即。

直线的参数方程及应用

直线的参数方程及应用基础知识点击： 1、直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ???+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=2 21t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数）点击直线参数方程：一、直线的参数方程问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：0y )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方；特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=00y t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧；问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？ P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1， ∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ 问题4：一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3， P 3为P 1、P 2的中点则t 3＝2 21t t + 基础知识点拨： 1、参数方程与普通方程的互化例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t ∣的几何意义. 点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义. 例2：化直线2l 的参数方程? ??+=+-= t 313y t x （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角，说明∣t ∣的几何意义. 点拨：注意在例1、例2中，参数t 的几何意义是不同的，直线1l 的参数方程你会区分直线参数方程的标准形式？例3：已知直线l 过点M 0（1，3），倾斜角为 3 π ，判断方程??? ? ???+=+=t y t x 2332 1 1（t 为参数）和方程? ??+=+= t 331y t x （t 为参数）是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方程，指出方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义. 点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题. x y ,) x x

【数学】高考数学难点归纳21 直线方程及其应用

难点21 直线方程及其应用直线是最简单的几何图形，是解析几何最基础的部分，本章的基本概念；基本公式；直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容.应达到熟练掌握、灵活运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，高考中单纯的直线方程问题不难，但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的. ●难点磁场 (★★★★★)已知|a |＜1,|b |＜1,|c |＜1,求证：abc +2＞a +b +c .●案例探究［例1］某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a ＞b ).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？命题意图：本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目. 知识依托：三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值. 错解分析：解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tan ACB 的最大值.如果坐标系选择不当，或选择求sin ACB 的最大值.都将使问题变得复杂起来. 技巧与方法：欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值. 解：建立如图所示的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，在x 轴的正半轴上找一点C (x ,0)(x ＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取得最大值. 由三角函数的定义知：A 、B 两点坐标分别为(a cos α,a sin α)、(b cos α,b sin α),于是直线AC 、BC 的斜率分别为： k AC =tan xCA = x a a -αα cos sin , . cos sin tan x b b xCB k BC -==αα 于是tan ACB =AC BC AC BC k k k k ?+-1α α ααcos )(sin )(cos )(sin )(2?+-+?-= ++-?-=b a x x ab b a x x b a ab x b a 由于∠ACB 为锐角，且x ＞0,则tan ACB ≤ α αcos )(2sin )(b a ab b a +-?-,当且仅当 x ab =x ，即x =ab 时，等号成立，此时∠ACB 取最大值，对应的点为C (ab ,0),因此，学生距离镜框下缘ab cm 处时，视角最大，即看画效果最佳. ［例2］预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？命题意图：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用，本题

《直线参数方程的应用》

《直线参数方程的应用》教材说明：人教版选修4-4《直线的参数方程》课型：习题课课时：1课时学情分析（一）学生已有知识基础或学习起点学生刚刚学习了曲线的参数方程,以及直线的参数方程,本班学生具备较好的知识基础,对直线的参数方程的一般形式和标准形式都已经了解,并且能够进行标准参数方程和一般参数方程的互化,对参数的几何意义相对也比较熟悉. （二）学生已有生活经验和学习该内容的经验在前面学生已经学过了直线的标准参数方程和一般方程,具备了把一般参数方程转化为标准参数方程的能力,能解决一些实际问题,并能够进行合作交流,具备合作探究的能力. （三）学生的思维水平以及学习风格学生的思维系统不够完善,缺乏逻辑思维能力和发散能力.学生中沉思型的学生少, 在碰到问题时不愿意深思熟虑，不用充足的时间考虑、审视问题，更不会权衡各种问题解决的方法，然后从中选择一个满足多种条件的最佳方案;多数是冲动型学习,看到题倾向于很快地检验假设，根据问题的部分信息或未对问题做透彻的分析就仓促作出决定，反应速度较快，但容易发生错误。（四）学生学习该内容可能的困难学生学习该内容时可能遇到如下困难：不看参数方程的形式是否标准,直接套用,t 的几何意义找不准,欠缺转化能力,数形结合能力和计算能力. （五）学生学习的兴趣、学习方式和学法分析由于学生自我归纳能力较差又习惯于就题论题，因此适合提问引导启发式授课方式和层层设疑的学习方法。授课讲解的时候，应做到帮助学生分析题干，引发学生对问题的思考，引导学生找到解题思路并选择简洁的解题方法，并能及时归纳总结. 教学内容分析（一）教学的主要内容

参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式。某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便。学习直线参数方程有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变。本专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化。学习直线的参数方程为接下来的圆等复杂曲线的参数方程打下基础,通过对本专题的学习，学生将掌握直线参数方程的基本应用，了解直线的多种表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力。（二）教材编写的特点和设计意图 1、教材特点：直线参数方程的意义,以及参数的几何的意义的应用,让学生了解参数方程的作用. 2、设计意图：通过具体题让学生明白为何引进参数,以及参数方程的真正用处河意义,培养学生转化的能力和灵活解决问题的能力. 教学目标（一）知识与技能：应用直线的参数方程中t的几何意义解决求距离，求线段长度、与中点有关的问题。（二）过程与方法：通过学生联系已有的知识，采用学生探究，观察，讨论的方式，引导学生分析思路，体验解题方法。（三）情感态度与价值观：通过对教学思维的转变，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试，勇于探索的思维品质，培养学生积极探索，勇于钻研的科学精神、严谨求实的科学态度。教学重点利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求与中点有关等问题. 教学难点对t的几何意义的理解和应用。教学策略的选择与设计为了教给学生学习思路，训练科学方法，发展学生应用知识的能力，以更好地培养他们分析问题

直线方程及其应用

直线方程及其应用一. 教学内容：直线方程及其应用【教学要求】 1. 理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练求出直线方程。 2. 掌握两直线平行、垂直的条件；掌握两条直线所成角的公式和点到直线的距离公式。 3. 了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单应用。二. 知识串讲：（一）基本公式 1. 有向线段设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2） () （）则向量，（或与平行的向量）称为直线 112212112P P x x y y P P →=--→ P P 12的方向向量。（）两点间距离公式。21212212212 ||||()()P P P P x x y y =→=-+-?→? （）是直线上不同于，的任意一点，若存在实数，使3P P P P P 1212λ P P PP P P P P 1212→=→→ λλ，则叫做点分有向线段所成的比，点叫定比分点。 λλ=→→≠-P P PP 12 1() P 1 P P 2 P 1 P 2 P P P 1 P 2 P 为内分点，λ＞0；P 为外分点，λ＜0。定比分点公式：x x x y y y =++=++?? ?? ???≠-12 12111λλλλλ() 中点坐标公式：x x x y y y =+=+?? ?????12122 2

例如：设△ABC ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）（）为重心，则13 3123123 G ABC x x x x y y y y G G ?=++=++? ? ????? A E G B D F C （）为∠平分线，则2AF BAC BF FC AB AC λ= = || || 2. 直线l 的倾斜角α（直线向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角） ) 0≤<απ 斜率k =≠ tan ()ααπ 2 k y y x x x x = --≠21 21 12() 若，时，tan arctan αα=>=m m m 0 m m <=-0时，απarctan|| （二）直线方程 1. 直线方程：（1）点斜式： y －y 0＝k （x －x 0）（已知：点P 0（x 0，y 0），斜率k ）（2）斜截式： y ＝kx ＋b （已知：斜率k 及纵截距b ）