1.3.1二项式定理(学案)
1.3.1二项式定理学案
广东省信宜市第XX中学高二级数学组陈XX
【教学目标】
【学情分析】
【教学重难点】
1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。
2、难点：二项式定理的发现。
【教学过程】
1、情景设置
问题1:若今天是星期一，那么7天后的这一天是星期几呢？
预期回答：星期一
问题2:如果是15天后的这一天呢？
预期回答：星期二，将问题转化为求“15被7除后算余数”是多少。
问题3:如果是8100(N”)天后的这一天呢？
预期回答：将问题转化为求“ 8100 =(7 1)100被7除后算余数”是多少，也就是研究(a b)n(N ”)的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求
解了。
2、新授
第一步：让学生展开
1
(a b)二a b
(a b)2 = a2 2ab b2；
3 2 3 2 2 3
(a b) = (a b) (a b) = a 3a b 3ab b ；
(a b)4二？
公元1世纪《九章算术》其中提及：(a b)^?
尝试二项式定理的发现
1
(a b)二a b
(a b)2 = a2 2ab b2；
3 2 32 2 3
(a b) = (a b) (a b)二a 3a b 3ab b ；
(a b)4=?
初步归纳出下式：
(a 七广=：［a" ?
a n '
b ? ? a n "b ‘ 亠??亠〔b n g
练习：展开(a ■ b)7
教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作， 称为杨辉三
角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早 400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索， 以鼓励 学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。
第二步：继续设疑
如何展开(a - b)100以及(a b)n (n N )呢？
(设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的， 激发学生继续学习新的更简捷的
方法的欲望。)
继续新授
师：为了寻找规律，我们将 (a - b)4 = (a - b)(a b)(a - b)(a - b)中第一个括号中的 字母分别记成a i ,b i ；第二个括号中的字母分别记成 a 2,b 2 ；依次类推。请再次用多项式乘
法运算法则计算：
(a b)4 二佝 b i )? b 2)(a 3 b 3)(a 4 b 。) =ai a ?a 3 a 4
= ai b 2b 3b
4 a 2b i b 3b 4
a 3
b i b 2b 4
a 4
b i b 2b 3
=bi b 2b 3b
4
(设计意图：上述呈现内容是为了搭建“认知桥梁”
，用以激活学生认知结构中已有的
知识与经验，便于学生进行类比学习， 用已有的知识与经验同化当前学习的新知识，
并迁移
到陌生的情境之中。)
问题i ：以a 2b 2项为例，有几种情况相乘均可得到 a 2b 2项？这里的字母a,b 各来自哪
个括号？
问题2：既然以上的字母 a,b 分别来自4个不同的括号，a 2b 2项的系数你能用组合数 来表示吗?
问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗? (预期答案： 有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是
只能取一个字母，任取两个
a 、两个
b ，然后相乘，问不同的取法有几种？
)
问题4 :请用类比的方法，求出二项展开式中的其它各项系数，并将式子:
a 4 =ai a 2 83
b q
+ a ： a 3a 46
a 3
b —ai
a 2匕3匕4 a i a 3
b 2b 4
a i a 4
b 2b 3 a 2a 3b i b 4 a 2a 4b i b 3
a 3a 4
b i b 2
a 2
b ........ a b
a 、一个是
b 。每个括号
4 4 3 2 2 3 4
(a b) =(a b)(a b)(a b)(a b) =：［ a a b a b ab b
括号中的系数全部用组合数的形式进行填写。
呈现二项式定理一一板书课题：
(a b)n =C ：a n - C l a nl b C 2a n
%2
… c n a n 」b r
C ；；b n (n N ) o
3、 深化认识 请学生总结：
① 二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？ ② 二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？
由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项 等概念，这是本课的重点。
(设计意图：教师用边讲边问的形式， 通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材料 潜在的意义，
从而使学习成为有意义的学习。
)
4、 巩固应用
1 【例1】展开①(1 - -1)4
x
1
②求(X
)9的展开式中含x 3项的系数。 x
变式：在二项式定理中，令 a =1,b =x ，得到怎样的公式?
(1 x)n =1 c 1x c 2x 2 C n r x r c n x n
思考： C ° -Cn ?…?cn ?…=?为什么?
cn + …+cn + …+cn =?
【例 3】解决起始问题：8n =(7 - 1)^Cn 7n - C n 7n4
- Cn 47 - C ；；,
— 1 6
②0x_
〒)
Vx
【例2】①求(1 - 2x)7的展开式的第
4项的系数及第4项的二项式系数。
前面是7的倍数，因此余数为C：=1，故应该为星期二。
说明：解决某些整除性问题是二项式定理又一方面应用。
四、课堂小结
①本节课我们主要学习了二项式的展开，有两种方法，一是杨辉三角形，二是二项式定理，两种方法各有千秋。
②二项式定理的表达式以及展开式的通项，
③要正确区别“项的系数”和“二项式系数”，
④将二项式定理中的字母赋上适当的值，就可以求一些特殊的组合多项式的值。
这就是二项式定理。
它有n+1项，各项的系数C n(r =0,1,|||n)叫二项式系数，C：a n」b r叫二项展
开式的通项，用T r 1表示，即通项为展开式的第k+1项：
T r i 二C：a n」b r.
二项式定理中，设 a =1,b = x，贝U (1 ? x)n =1 ? C：x ? |l| ? C；x r?川? x n 你怎么记忆这个公式?
①项数：共n+1项,是关于a与b的n次齐次多项式；
②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幕排列；b的
指数从0逐项递增到n,是升幕排列。
例1求(2匸- 1 )6的展开式. 解：(2、匸- 1 )6二13 (2^1)6
Q x V x x
I 6 1 52433221
二3[(2x) -C6(2X) C6(2x) -C6(2X) C e(2x) -C e(2x) 1]
x
3 2 60 12 1
= 64x -192x 240X-160 ：——2 (3)
x x x
例2 (1)求(1 -2x)7的展开式的第4项的系数；
(2)求(x-1)9的展开式中x3的系数及二项式系数?
x
解：(1+2x) 7的展开式的第四项是T31二c；(2x)3 = 280x3，
??? (1+2x) 7的展开式的第四项的系数是280.
(2 ) ???(X-1)9的展开式的通项是T r 1 二c9x9,-1)' =(-1)r C；x9②，
x x
9-2r=3,r=3 ，
??? x3的系数(-1)光93—84，x3的二项式系数C；=84 .
例3?⑴求(x a)12的展开式中的倒数第4项；⑵求(；? -)9的展开式常数
项；
解：⑴(x a)12的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项,
9 12 _9 9 3 3 9
T91 = C12x a C12X a
3
???当9 - 3r = 0,r = 6时展开式是常数项，即常数项为C； 3^ 2268 ；
2
“杨辉三角”
1
(a b) .....................................................
2
(a b)
3
(a b)
(a b)4
5
(a b)
(a b)6 ................................. 1 6 15 20 15 6 1
这个表叫做二项式系数表，也称“杨辉三角”。
“杨辉三角”的特征：
⑴表中每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。当n不大时，可以根据这个表来求二项式系数。
⑵设表中不为1的数C r n+1,那么它肩上的两个数分别为C n0-1，C n r，所以
r n-1 r
C n+1= C n + C n。
⑶《详解九章算术》中的“杨辉三角”如右图。
二项式系数的性质
(a b)n展开式的二项式系数依次是c0,c n,c2,…，C
从函数角度看，c n可看成是以r为自变量的函数f(x)，
-220x3a9
1 5 10 10 5
其定义域
-1 2 1
13 3 1
14 6 4
1
高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二
二项式定理（第1课时） 一、内容和内容解析 内容：二项式定理的发现与证明． 内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视． 二、目标和目标解析 目标： （1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理． （2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用． （3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养． 目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法． （2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利
高中数学2二项式定理(带答案)
二项式定理 一．二项式定理 1.右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式 2.各项的系数r n C 叫做二项式系数 3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即 1(0,1,2,,).r n r r r n T C a b r n -+==L 4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到 n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n 二．二项式系数的性质 性质1 ()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++= 性质3 ()n a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即012.n n n n n C C C +++=L （令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释） 性质4 ()n a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项 的二项式系数的和，即 02213211 2.r r n n n n n n n C C C C C C +-++++=++++=L L L L （令1,1a b ==-即得） 性质5 ()n a b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数1 2,n n C -1 2n n C +相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）
高中数学 1.3.1二项式定理教案 新人教版选修2-3
§1．3．1二项式定理 教学目标： 知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题 情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。 教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 授课类型：新授课 课时安排：3课时 内容分析： 二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等． 通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成． 二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点． 二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法． 在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习． 教学过程： 一、复习引入： ⑴22202122 222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++； ⑵3322303122233333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++ ⑶4 ()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式， 即展开式应有下面形式的各项：4a ，3a b ，22a b ，3ab ，4 b ， 展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即0 4C 种，4a 的系数是0 4C ；恰有1个取b 的情况有1 4C 种，3a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有24C 种，22a b 的系数是2 4C ，恰有3个取b 的情况有3 4C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4b 的系数是4 4C ， ∴4 4 13 2 22 33 44 44444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++．
二项式定理导学案20
二项式定理 4个容器中有红、蓝玻璃球各一个，每次从4个容器中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？ 都不取蓝球（全取红球）： 取1个蓝球（1 蓝3红）： 取2个蓝球（2蓝2红）： 取3个蓝球（3蓝1红）： 取4个蓝球（无红球）： 从 不作多项式运算，用组合知识来展开展开式中有哪些项？各项系数各是什么？ 取4个a球（不取 b球）： 取3个a球（取3 a 1 b）： 取2个a球（取2 a 2 b）： 取1个a球（取1 a 3 b）： 不取 a球（全取b球）： 4 3 1 2 2 1 3 4 4 ) (b a b a b a b a b a b a+ + + + = +=4 3 1 2 2 1 3 4b b a b a b a a+ + + + 二项式定理：一般地，对于* N n∈有 n n n n n n k k n k n n n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a C b a C b a0 1 1 1 2 2 2 1 1 1 01 ) (+ + + + + + + = +- - - - - 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做n b a) (+的， 其中叫做，叫做二项展开式的通项，用 1+ k T表示， 即： 1+ k T= 该项是展开式的第项，展开式共有项. 例1. 学习 目标 1.理解二项式定理的推导过程； 2.会用二项式定理的通项公式求特定项，正，逆用公式进行求解与证明； 3.通过用组合的方法进行推导，培养学生归纳推理的能力。 4.用联系的观点看问题，事物之间的内在联系，一种观点的不同角度理解。 重点 难点 重点：用计数原理分析n b a) (+的展开式，得到二项式定理。 难点：对二项式定理展开式与通项公式的灵活应用。 ) )( )( )( (b a b a b a b a+ + + + {}) , ,3,2,1,0 (n k C k n ∈ 2 + 求的展开式。 5 （1x)
二项式定理学案
1．3．1二项式定理（1） （一）教学目标 1、知识与技能: 掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。 2、过程与方法:通过学生熟悉的多项式的乘法引入，让学生归纳猜想出二项式定理，发挥例题的示范作用使学生能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。 3、情态与价值：培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力 （二）教学重、难点 重点：二项式定理和二项展开式的通项公式。 难点：二项式定理和二项展开式的通项公式。 （三）教学设想 、问题情境 1. 在n=1,2,3,4时，研究(a+b)n 的展开式. (a+b)1= , (a+b)2= , (a+b)3= , (a+b)4= . 构建数学 (a+b) ｎ = 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ的 ，其 中r n C （r=0,1,2,……,n ）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项. 数学应用 例1用二项式定理展开： （1）93)b a (+； （2）7)x 22x (- 例2求（1+2x ）7的展开式中第4项的二项式系数和系数 例3求（x- 8)21x 的二项展开式中的常数项。 n n n r r n r n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C ++++++---ΛΛ2221110
练习： 1. 求（2a+3b ）6的展开式的第3项. 2. 求（3b+2a ）6的展开式的第3项. 3.写出的 展开式的第r+1项. 4选择题 （1）62)x a a x (-的展开式中，第五项是………………………………………（ ） A .x 15- B .32a x 6- C .x 20 D .x 15 （2）153)a 1 a (-的展开式中，不含a 的项是第……………………………（ ）项 A .7 B .8 C .9 D .6 （3）（x-2）9的展开式中，第6项的二项式系数是……………………………（ ） A .4032 B .-4032 C .126 D .-126 （4）若n )111 x (-的展开式中的第三项系数等于6，则n 等于………………（ ） A .4 B .4或-3 C .12 D .3 （5）多项式(1-2x)5(2+x)含x 3项的系数是………………………… ………（ ） A .120 B .-120 C .100 D .-100 5.求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中x 2的系数. 6.求二项式73)213(+ 的展开式中的有理项. 7.二项式n 4 )x 1x x (+ 的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数. n x x )21(33-
二项式定理(一)教案
二项式定理教案（一） 一、教学目标： 1．知识技能： （1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广 （2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理 2．过程与方法 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式 3．情感、态度、价值观 培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨 二、教学重点、难点 重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式得到二项式定理。 难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。 三、教学过程 （一）提出问题： 引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式。如2222)(b ab a b a ++=+， 那么： 3 ) (b a +=? 4)(b a +=? 100)(b a +=? 更进一步：n b a )(+=？ （二）对2)(b a +展开式的分析 ))(()(2 b a b a b a ++=+ 展开后其项的形式为：22,,b ab a 考虑b ，每个都不取b 的情况有1种，即02c ,则2a 前的系数为02c 恰有1个取b 的情况有12c 种，则ab 前的系数为12c 恰有2个取b 的情况有22c 种，则2b 前的系数为22c 所以 2 2212202 2222)(b c ab c a c b ab a b a ++=++=+ 类似地 3 33223213 3033223333)(b c ab c b a c a c b ab b a a b a +++=+++=+ 思考：))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+=? 问题： 1)．4)(b a +展开后各项形式分别是什么？ 4 a b a 3 22b a 3ab 4b
二项式定理教学案设计
《二项式定理》教案设计 一、教学目标 1.知识与技能： (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式． 3. 情感、态度与价值观： 培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨． 二、教学重点、难点 重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式，得到二项式定理． 难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律. 三、教学过程 （一）提出问题，引入课题 引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式，如：2222)(b ab a b a ++=+， ?)(3=+b a ?)(4=+b a ?)(100=+b a 那么n b a )(+的展开式是什么？ 【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题. （二）引导探究，发现规律 1、多项式乘法的再认识． 问题1. ))((2121b b a a ++的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？ 问题2. ))()((212121c c b b a a +++展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？ 【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备. 2、3)(b a +展开式的再认识 探究1：不运算3)(b a +，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）： (1) 合并同类项之前展开式有多少项？ (2) 展开式中有哪些不同的项？ (3) 各项的系数为多少？ (4) 从上述三个问题，你能否得出3)(b a +的展开式？ 探究2：仿照上述过程，请你推导4)(b a +的展开式. 【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对3)(b a +的展开式进行再思考，分析 各项的形式、项的个数，这也为推导n b a )(+的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有 “法”可依． (三) 形成定理，说理证明 探究3：仿照上述过程，请你推导n b a )(+的展开式． )()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+-- ——— 二项式定理 证明：n b a )(+是n 个)(b a +相乘，每个)(b a +在相乘时，有两种选择，选a 或选b ，由分步计数原理 可知展开式共有n 2项（包括同类项），其中每一项都是k k n b a -),1,0(n k =的形式，对于每一项k k n b a -， 它是由k 个)(b a +选了b ，n －k 个)(b a +选了a 得到的，它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个 b 的组合数k n C ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．
二项式定理公开课教案
二项式定理公开课教案 1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点：二项式定理的发现。 三、教学过程 1、情景设置 问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？ 预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。 问题2：若今天是星期一，再过)(8* ∈N n n 天后是星期几？怎么算？ 预期回答：将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。2、新授 第一步：让学生展开 b a b a +=+1)( 2222)(b ab a b a ++=+； 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+； 43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+ 5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+ 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。 预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。 问题2：以5 )(b a +的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。
预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。 初步归纳出下式： ()()()()()n n n n n n b b a b a b a a b a +++++=+--- 33221)( （※） （设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）练习：展开7 )(b a + 教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步：继续设疑 如何展开100) (b a +以及)()(*∈+N n b a n 呢？ （设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷 的方法的欲望。） 继续新授 师：为了寻找规律，我们将))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+中第一个括号中的字母分别记成11,b a ；第二个括号中的字母分别记成22,b a ；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：))()()(()(443322114b a b a b a b a b a ++++=+
二项式定理学案(普通班版)
课题：二项式定理 时间：2018/5/23 班级：教师： 一、学习目标：1、会用二项式定理求二项式的展开式 2、会用通项求展开式中的任意项 3、会区分项的二次项系数和项的系数 二、学习过程： （一）复习旧知 组合数公式=_________________________,特别的=________ (二)知识探究与学习 1、完成计算: (a＋b)2 =______________________________ (a＋b)3= (a＋b)(a＋b)(a＋b)= ______________________________猜想(a＋b)n=(a＋b)(a＋b)…(a＋b) ( n个(a＋b)相乘) =______________________________ 2、二项式定理 (a＋b)n =______________________________ 这个公式所表示的规律叫做二项式定理． (1)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有____________项，而且每一项的次数都为____________。(2)二项式系数：____________
(3)通项：(a＋b)n展开式的第____________项叫做二项展开式的通项，记作T k＋1＝____________ (三)题型探究与训练 题型求展开式、二项式系数、项的系数、任意项 （1）例：求的展开式、展开式的第3项的系数、第3项的二项式系数； （2）跟踪训练1 求(a-2b)4的展开式的第4项系数和二项式系数； （四）归纳与总结 1、二项式定理： 2、通项： 三、学习效果检测 1、写出的展开式. 2、的展开式的第6项的系数是_____________， 第6项的二项式系数是____________。 四、课后作业 课本36页习题1.3A组2、4(1)(2) 五、课后反思
高中数学教案：1.3.1 二项式定理
1.3.1 二项式定理 学习目标： 1掌握二项式定理和二项式系数的性质。 2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++++ +∈， （2）1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4 二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表 中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成 以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点 （如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项 12n n C -，12n n C +取得最大值． （3）各二项式系数和：
高中数学学案：二项式定理
高中数学学案:二项式定理 基础诊断 1. ? ? ????2－13x 6的展开式中的第4项为________． 2. 在? ? ???x －2x 5中第3项的二项式系数为________；系数为________． 3. 在? ?? ??1x ＋ 1x 3n 的展开式中,所有奇数项的二项式系数之和等于1 024,则中间项的二项式系数是________．
4. 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7,则a1＋a2＋…＋a7为________． 范例导航 考向 例1在 ? ? ? ? ? ? x－ 1 2 3 x 10 展开式中, (1) 求第4项的二项式系数及第4项的系数； (2) 求展开式中的常数项并说明它是展开式的第几项． 已知数列{a n}是等差数列,且a1,a2,a3是? ? ? ? ? 1＋ 1 2x m 展开式的前三项的系数． (1) 求m的值； (2) 求? ???? 1＋ 1 2x m 展开式的中间项． 考向 例2已知 ? ? ? ? ? ? x＋ 1 2 4 x n 展开式的前三项的系数成等差数列． (1) 求 ? ? ? ? ? ? x＋ 1 2 4 x n 展开式中所有的有理项； (2) 求? ???? x－ 2 x2 n 展开式中系数的绝对值最大的项．
设? ? ???x －a x 6(a>0)的展开式中x 3的系数为A,常数项为B,若B ＝4A,求展开式中第4项的系 数． 考向 例3 (1) 设a ∈Z ,且0≤a <13,若512 012＋a 能被13整除,则a ＝________； (2) S ＝C 127＋C 227＋…＋C 27 27除以9的余数为________． 9191除以100的余数是________． 自测反馈 1. 若? ????ax 2＋1x 5 的展开式中x 5的系数为－80,则实数a ＝________．
二项式定理讲学案
讲学案 课题：二项式定理第一课时 设计教师：设计时间：2015.4.2 一、教学目标 1.知识与技能: (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法: 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式． 3.情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨． 二、教学重点、难点 1.教学重点：用计数原理分析3) a 的展开式，得到二项式定理． (b 2.教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项 式之和时各项系数的规律. 三、教学过程 （老师在多媒体上展示学案，同学们齐读）今天我们学习新课《二项式定理》，我们的学习目标是： 1、进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式，并能灵活的应用 2、运用二项式定理的过程中，领会化归意识与方法迁移的能力 （一）公式探究： 师：今天是星期四，再过8天是星期几？再过是星期几？再过天呢？如果是过天呢 生：再过8天是星期五；再过是星期五；再过天也是星期五，如果是过天，……应该也是星期五吧！ 师：先给同学们吃颗定心丸，星期五是对的，可有谁知道这是为什么？
生：这…… 师：没事，学习完我们今天要学的知识，我想聪明的同学们能告诉你怎么一回事了．板书（二项式定理） 设计感悟：本来的设计是经过天，再过天，后来觉得那不是这道题的本质，用8反而更容易我后面找到周期7埋下伏笔，而且学生马上算了出来，更容易发现规律，事实证明能将学生的兴趣激发出来． 师：二项式定理其实就是研究形如如何展开表示．对这个问题我们如何来研究呢？ 生：（感到茫然）…… 师：我们研究问题时经常使用什么方法？对了，就是特殊到一般，一般到特殊．现在这种情况是一般还是特殊的？ 生：一般的． 师：恩，那如何特殊化呢？ 生：是不是先令试试看…… 师：很棒哦．这就是先特殊，然后再一般的方法，下面说来说说如何展开表示？ 生：（举手并回答）． 师：很好哦．那谁来说说如何表示呢？ 生：（举手并回答） 师：看来同学们回答都不错哦！接下来的一个问题是如何展开？ 生：许多同学拿起笔算了起来，一些同学陷入思考中…… 师：让我们回顾刚刚的做法，为什么一些同学很快的写出的情形？
二项式定理第一课时教学设计
二项式定理第一课时教学设计 广西北海市第五中学蒙旭芬 一、教材分析： 1、【教材的地位及作用】“二项式定理”是全日制普通高，结合新课标的理念，制订如下的教学目标和教学重，难点）。 教学目标： 1、知识目标：通过对二项式定理的学习，使学生理解二项式定理，会利用二项式定理求二项展开式。并理解和掌握二项展开式的规律，利用它能对二项式展开，进行相应的计算。还会区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。级中学教科书《数学第二册（下A）》的第十章第四节，它既是安排在排列组合内容后的自成体系的知识块，也是初中学习的多项式乘法。它所研究的是一种特殊的多项式——二项式幂的展开式。它与后面学习的概率的二项分布有着内在的联系，利用二项式定理还可以进一步深化对组合数的认识。因此，二项式定理起着承上启下的作用，是本章教学的一个重点。本小节约需3个课时，本节课是第一课时。 【学生情况分析】授课的对象是高中二年级中等程度班级的学生。他们具有一般的归纳推理能力，学生思维也较活跃，但创新思维能力较弱。在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程，因而对定理、公式不能做到灵活运用，更做不到牢牢记住。（根据以上分析 2、能力目标：在学 3、情感目标：通过“二项式定理”的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内在的和谐，对称美及数学符号应用的简洁美，进一步结合“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情，培养学生勇于探索，勇于创新的精神。 一、教学重点，难点，关键： 重点： （1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，理解和掌握二项展开式的规律。 （2）利用二项展开式的规律对二项式展开，进行相应的计算。 （3）区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。 难点：
2021年高中数学《1.3.1 二项式定理》导学案 新人教A版选修3
2021年高中数学《1.3.1 二项式定理》导学案新人教A版选修2-3一、预习目标 通过分析(a+b)2的展开式，归纳得出二项式定理;掌握二项式定理的公式特征并能简单应用。 二、预习内容 1、（a+b）2= （a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)=______________________________ （a+b）3= （a+b）4= 2、二项式定理的证明过程 3、（a+b）n= 4、（a+b）n的二项展开式中共有______项，其中各项的系数______叫做二项式系数，式中的____________叫做二项展开式的通项，用T k+1表示，即通项为展开式的第k+1项：_____________________ 5、在二项式定理中，若a=1，b=x，则有 （1+x）n=_______________________________________ 课内探究学案 一、学习目标 1.用计数原理分析（a+b）3的展开式，进而探究（a+b）4的展开式，从而猜想二项式定
理。 2.熟悉二项式定理中的公式特征，能够应用它解决简单问题。 3. 培养学生观察、分析、概括的能力。 二、学习重难点： 教学重点：二项式定理的内容及应用 教学难点：二项式定理的推导过程及内涵 三、学习过程 （一）探究（a+b）3、（a+b）4的展开式 问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？ 合作探究一：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？ 问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？ 结论：（a+b）4= C a4+ C a3b+ C a2b2+ C a b3+ C b4 （二）猜想、证明“二项式定理” 问题4：（a+b）n的展开式又是什么呢？
高中数学《二项式定理一》教案设计
《二项式定理(一)》教案设计 一、教学目标 1.知识与技能： (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式． 3. 情感、态度与价值观： 培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨． 二、教学重点、难点 重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式，得到二项式定理． 难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律. 三、教学过程 （一）提出问题，引入课题 引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式，如：2222)(b ab a b a ++=+， ?)(3=+b a ?)(4=+b a ?)(100=+b a 那么n b a )(+的展开式是什么？ 【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题. （二）引导探究，发现规律 1、多项式乘法的再认识． 问题1. ))((2121b b a a ++的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？ 问题2. ))()((212121c c b b a a +++展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？ 【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备. 2、3)(b a +展开式的再认识 探究1：不运算3)(b a +，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）： (1) 合并同类项之前展开式有多少项？ (2) 展开式中有哪些不同的项？ (3) 各项的系数为多少？ (4) 从上述三个问题，你能否得出3)(b a +的展开式？ 探究2：仿照上述过程，请你推导4)(b a +的展开式. 【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对3)(b a +的展开式进行再思考，分析 各项的形式、项的个数，这也为推导n b a )(+的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有 “法”可依． (三) 形成定理，说理证明 探究3：仿照上述过程，请你推导n b a )(+的展开式． )()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+-- ——— 二项式定理 证明：n b a )(+是n 个)(b a +相乘，每个)(b a +在相乘时，有两种选择，选a 或选b ，由分步计数原理 可知展开式共有n 2项（包括同类项），其中每一项都是k k n b a -),1,0(n k =的形式，对于每一项k k n b a -， 它是由k 个)(b a +选了b ，n －k 个)(b a +选了a 得到的，它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个 b 的组合数k n C ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．
二项式定理 学案
二项式定理 学习目标：能利用计数原理证明二项式定理；理解并掌握二项式定理，并能简单应用. 学习重点：探究并归纳用计数原理分析3 )(b a +的展开式的形成过程，并依此方法得到二项式定 理． 二项式定理研究的是n b a )(+的展开式，如何利用两个计数原理得到2)(b a +，3)(b a +，4 )(b a +的展开式？你能由此猜想一下n b a )(+的展开式是什么？ 学习任务：阅读课本P 29～P 35. 问题1. 用乘法法则展开3)(b a +，合并同类项之前展开式有多少项？合并同类项后会有几项？其 中b a 2的系数是多少？用两个计数原理分析。 问题2. 回答P 30探究。 问题3. n b a )(+的展开式按照a 的降幂排列，共有多少项？其中，含有k k n b a -的项是第几项？这 一项的项数是多少？利用计数原理分析。 问题4. 通过教材例1和例2学习，熟悉二项式定理二项式系数，二项展开式的通项中a ，b ，n ， k 的具体含义。 问题5. 回答P 32探究。 问题6. 如果把n b a )(+的展开式的二项式系数看成函数的话，它是一个定义域在自然数内的离散 函数),2,1,0()(n n C r f r n ???==，请通过“杨辉三角”计算n = 6时的二项式系数，并画出 )6,2,1,0()(6???==r C r f r 的图象， 由图象得出函数值怎样的分布特点？试着由此总结二项式 系数的性质。 问题7. 仔细阅读例3，体会“赋值法”的应用。 必做题 A 级 P 31 1～4 P 35 1～3 B 级 习题1.3 A 组 B 组. 选做题 1. 73)2(x x +的展开式的第4项是 ；第4项的二项式系数是 ；第4项的系数 是 . 2. 求103)1()1(x x +-的展开式中5x 的系数. 3. 对于二项展开式1 2) (+-n b a ，下列结论中成立的是（ ） A.中间一项的二项式系数最大 B.中间两项的二项式系数相等且最大 C.中间两项的二项式系数相等且最小 D.中间两项的二项式系数互为相反数 4.（1）4)(x y y x -的展开式中33y x 的系数是 . （2）6 )212(x x - 的展开式的常数项是 . 5. 533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数是（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 6. 在1003)52(+的展开式中，有理项的个数是多少？ 7. 求10 2)11(x x + +的展开式中的常数项. 8.（1）63 64364164C C C +???++ = . （2）612 512C C += . 9. 求n x x x )1()1()1(43++???++++的展开式中2x 的系数. 10. 已知2010201021020102)21(x a x a x a a x +???+++=-. （1）求2010210a a a a +???+++的值. （2）求20102008420a a a a a ++???+++的值. 11.（1）n n n n n n C C C C 1321242-+???++等于（ ） A. n 3 B. 13-n C. 2 1 3-n D. 12 3-n （2）已知7292222332210=+???+++n n n n n n n C C C C C ，则n n n n n C C C C +???+++321等于（ ） A.63 B.64 C.31 D.32 12. 若n x x )1(2 3+ 的展开式中第6项系数最大，则其中的常数项为（ ） A.210 B.10 C.462 D.252 13. 若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则 （1）43210a a a a a ++++ = . （2）4321a a a a +++ = . （3）2312420)()(a a a a a +-++ = . 14. 已知)()21(20102010102010R x x a x a a x ∈+???++=-，求 2010 201022 1222a a a +???++的值.
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结 一、二项式定理：（）等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数。对二项式定理的理解：（1）二项展开式有项（2）字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1到0；字母按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数，等式都成立，通过对取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设，则（）（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式 二、二项展开式的通项：二项展开式的通项是二项展开式的第项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项的理解：（1）字母的次数和组合数的上标相同（2）与的次数之和为（3）在通项公式中共含有这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素例 1、等于（） A、 B。C 。D 、例 2、（1）求的展开式的第四项的系数；（2）求的展开式中的系数及二项式系数
三、二项展开式系数的性质：①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即偶数：；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即③二项展开式的各系数的和等于，令，即；④奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令，即例题：写出的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）项的系数绝对值最大的项；（3）项的系数最大的项和系数最小的项；（4）二项式系数的和；（5）各项系数的和 4、多项式的展开式及展开式中的特定项（1）求多项式的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用二项式定理展开。例题：求多项式的展开式（2）求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通项再分析。例题：求的展开式中的系数例题：（1）如果在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。 （2）求的展开式的常数项。 【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定
杨辉三角与二项式定理导学案
§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 主讲：泉州中远学校高二数学组朱坤城 【三维目标】 1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律； 2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质； 3. 理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。 4. 引导学生发现、欣赏数学中的美，弘扬民族文化。 【教学重难点】 教学重点：二项式系数的性质及其应用； 教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。 【教学过程】 【问题探究1】。杨辉三角的来历及规律 早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右. 认识杨辉三角： 1 1 1 12 1 133 1
1464 1 1510105 1 161520156 1 你能发现这个三角数阵的几个规律： 从以上的数阵，想想我们学过的哪些知识和它有联系？ 【问题探究2】二项式定理与杨辉三角的联系。 问题1：二项式展开式是： 试把( a+b) n（n=0，1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P32的表格。问题2：为了方便，我们将上表改写成如下形式. (a+b)0 (1) (a+b)1 …………………………………………………1 1 (a+b)2…………………………………………………12 1 (a+b)3………………………………………………133 1 (a+b)4……………………………………………1464 1 (a+b)5…………………………………………1510105 1 (a+b)6………………………………………161520156 1 …………………………… 【问题探究3】、从函数角度分析二项式系数：