单自由度振动分析

结构动力学三级项目

班级：冶金五班

小组成员：邱林凯李海洋

张富张富增

指导老师：王健

2017年4月18日

目录

摘要 (2)

单自由度系统的振动 (3)

单自由度振动系统数学模型的建立 (3)

参数设定与求解 (5)

单自由度系统的强迫振动 (8)

本章小结 (17)

总结与心得 (17)

摘要

振动系统问题是个比较虚拟的问题，比较抽象的理论分析，对于问题的分析可以实体化建立数学模型，通过MATLAB可以转化成为图像。单自由度频率、阻尼、振型的分析，我们可以建立数学模型，最后通过利用MATLAB编程实现数据图形；多自由度主要研究矩阵的迭代求解，我们在分析抽象的理论的同时根据MATLAB编程实现数据的迭代最后可以得到所要的数据，使我们的计算更加简便。

关键词：振动系统；单自由度；MATLAB；多自由度

前言

振动系统是研究机械振动的运动学和动力学，研究单自由系统的振动有着实际意义，因为工程上有许多问题通过简化，用单自由度系统的振动理论就能得到满意的结果。模态是振动系统的一种固有振动特性，模态一般包含频率、振型、阻尼。

利用MATLAB编程并验证程序的正确性。通过程序的运行，能快速获得多自由度振动系统的固有频率以及主振型，为设计人员提供了防止系统共振的理论依据，也为初步分析各构件的振动情况以及解耦分析系统响应奠定了基础。

在结构动力学中，单自由度系统的振动是最简单的运动，但这部分又十分重要。因为从中可得到有关振动理论的一些基本的概念和解决问题的方法，同时它也适用于更为复杂的振动问题，是分析多自由度体系振动问题的基础。因此，搞清楚了单自由度系统的振动，将有助于我们提高分析和解决其他各种振动问题的能力。另外在实际工程中，确实有许多振动问题，可简化为单自由度问题，或近似地用单自由度理论去分析解决。

单自由度系统的振动

单自由度振动系统数学模型的建立

建立和分析有粘性阻尼时的自由度振动微分方程。以静平衡位置为原点建立如图坐标，由牛顿定律得运动方程为[13]:

0=++kx x c x

m (2-1) 令

m

k

m c n n ==

2,2ω 其中n 称为衰减系数，单位为s 1；n ω是相应的无阻尼时的固有频率，式(2-1)可以写为：

022

=++x x n x n ω (2-2)

如果进一步令

x

x

c kx

x

m

m

c

m

n

n

ω?=

(2-3)

其中无量纲的?称为相对阻尼系数，则式(2-2)可写为：

022

=++x x x n n ω?ω (2-4)

为了求解，令

st e x = (2-6)

代入(2-4)后得到特征方程：

0222=++n n s s ω?ω (2-7)

他的两个特征根为：

122,1-±-=?ω?ωn n s (2-8)

根据相对阻尼系数?的不同大小，可以将阻尼分为三种状态：

1>?时为过阻尼，1=?时为临界阻尼，10<

1>?，1s 与2s 是两个不等的负实根，令

12*-=?ωωn （2-9）

初始条件

00)0(,)0(x x

x x == （2-10） 系统初始条件响应为

)()(**

00*0t sh x x

t ch x e t x n t n ωω?ωω?ω++

=- （2-11）

临界阻尼状态

n s ω?-==,1是二重根，方程（2-4）的通解为系统对式（2-10）的初始条件的响

应为

])([)(000t x x

x e t x n t n ωω++=- （2-12） 欠阻尼状态

1

21?ωω-=n d （2-13）

初始条件响应

)sin cos ()(000t x x

t x e t x d d

n d t n ωω?ωω?ω++

=- （2-14）

参数设定与求解

阻尼比?分别取；应用Matlab 对式(2-11)和(2-12),（2-14）求解。程序如下：

clear,format compact;

a=0.5;t=0:0.1:18;;w0=1;

k=1;x0=1;

wd=w0.*sqrt(1-a*a);x1=wd

y=exp(-a*w0.*t).*(x0.*cos(wd.*t)+((x1+a*wd*x0)./wd)*sin(wd.*t)) figure(1),plot(t,y,'r');hold on a=1.0;t=0:0.1:18; w0=1;wd=1;x1=wd;

y=exp(-wd.*t).*(x0+(x1+wd*x0).*t); figure(1),plot(t,y,'d');hold on

a=2.0;t=0:0.1:18;w0=1;wd=w0*sqrt(a*a-1);

y=exp(-a*w0.*t).*(x0.*cosh(wd.*t)+(x1+a*w0*x0)/w0.*sinh(t));

figure(1),plot(t,y,'v');hold on 结论：

图2-2为Matlab 计算后给出的响应曲线，从中可以得到一些重要的结论：

在10<

1>?时，振荡系统等同于两个一阶系统串联。此时虽然不产生振荡，但也需要经过较长时间才能达到稳态。

在一定的?之下，欠阻尼系统能够更快地达到稳态值；而过阻尼系统反应迟饨，动作缓慢，所以系统通常设计成欠阻尼系统，?取值为2

0246810121416

18

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t(s)

x (t )

a=1.0

a=2.0

a=0.5

图2-2

算例绘制无阻尼单自由度系统的固有频率和周期随静变形的变化曲线。

固有频率n ω和周期n τ

st

n g

δω=

，g

st

n δπ

τ2=

取2/81.9s m g =。可以利用下列MATLAB 程序画出st δ在0~0.5范围内n

ω和n τ的变换曲线：

%Ex2_17.m g=9.81;

for i=1:101 t(i)=0.01+(0.5-0.01)*(i-1)/100;w(i)=(g/t(i))^0.5; tao(i)=2*pi*(t(i)/g)^0.5; end

plot(t,w);gtext('w_n'); hold on;plot(t,tao);gtext('T_n'); xlabel('delta_s_t'); title('Example2.1');

0.05

0.1

0.15

0.2

0.250.3

0.35

0.4

0.45

0.5

05

10

15

20

25

30

35

w n

T n

delta st

Example2.1

单自由度系统的强迫振动

简谐激励是激励形式中最简单的一种，虽然它在实际中存在的场合比较少但掌握系统对于简谐激励的响应的规律，是理解系统对周期激励或更一般形式激励的响应基础。图所示的弹簧质量系统中，质量块上作用有简谐激振力

t P t P ωsin )(0= (2-15)

其中0P 为激振力幅，ω为激振频率。以静平衡位置为坐标原点建立图示的坐标系。从图的受力分析，得到运动微分方程为：

t p kx x c x

m ωsin 0=++ (2-16) 由常微分方程理论知道，方程(3.2)的通解x 由相应的齐次方程的通解h x 和非齐次方程的任意特解p x 两部分组成，即

)()()(t x t x t x p h += (2-17)

当欠阻尼时，式中)(t x h 为有阻尼自由振动，它的特点是振动频率为阻尼固有频率，振幅按指数规律衰减，称为瞬态振动或瞬态响应；

)(t x p 是一种持续的等幅振动，它是由于简谐激励振力的持续作用而产生的，称之为稳态强迫振动或稳态振动，在间隔充分长时间考虑的振动就是这种稳态振动，而在刚受到外界激励时，系统的响应则是上述两种振动之和。可见，系统受简谐激励后的响应可以分为两个阶段，一开始的过程称为过渡阶段，经充分长时间后，瞬态响应消失这时进

x

m P(t

k

x

c c

k

x m

P(t

入过渡阶段，经充分长时间后，瞬态响应消失，这是进入稳态阶段。

将方程（2-15）的两端同除以质量m ，并且令

2

2n m

c ?ω= （2-18） 其中?为相对阻尼系数，n ω为相应的无阻尼系统的固有频率，则方程（2-15）成为

t m

p x x x

n n ωω?ωsin 20

2=++ （2-19） 上述方程特解可以通过)sin(?ω-=t B x 或者t B t A x ωωsin cos +=来求得，这里介绍用复数方法求式（2-19）的特解。先将式（2-19）写为下列的复数形式

t

i n n e m

p x x x

ωω?ω022=++ （2-20） 其中x 是复数设复数形式的特解为

t i Be x ω= （2-21）

其中B 称为复振幅，其意义是包含有相位的振幅。将式（2-21）代入（2-20），解得

ω

?ωωωn n i m P B 21

220+-=

（2-22）

记λ为频率比，它定义为

n

ωω

λ=

（2-23） 则式（2-22）可以写成

??λλ?λλi i Be e k

p i k P B --=+-=

+-=2

22020)2()1(1211

（2-24）

式中

2

2

20)

2()1(1?λλ+-=

k

p B （2-25）

2

1

12λ?λ

?-=-tg （2-26） 将式（2-24）代入（2-21），得到复数形式的特解为

)(?ω-=t i Be x （2-27）

比较方程（2-17）与（2-18），可知（2-19）中的位移x 是（2-20）中复数x 的虚部，因此（2-25）的虚部就是方程（2-12）的特解，即有

)sin(?ω-=t B x （2-28）

其中B 为振幅，?为相位差。由式（2-26）、2-23）及（2-24）得出稳态强迫振动有如下的基本特点：

1)线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激励频率而相位滞后与激振力的简谐振动；

2)稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理性质和激振的频率及力幅，而与系统本身进入运动的方式无关。

无阻尼系统对简谐激励的稳态响应可以从式（2-26）得出。 当n ωω<时，得到1<λ，0=?，这时

t k P x ωλ

sin 11

2

0-=

（2-29） 当n ωω>时，得到1>λ，π?=，这时

)sin(1

1

20πωλ--=

t k P x （2-23）

式（2-21）也可以写成（2-22）的形式，这时相位差反映在振幅

2

011

λ-k P 的符号中。上述结果也可以由直接设t B x ωsin =并代入下

列方程而得到：

t P kx x

m ωsin 0=+ （2-24） 为了具体讨论影响稳定响应的振幅和相位差的各种因素，记

k

P B 0

0=

（2-25） 0B 实际是质量块在激振力幅静作用下的最大位移。再引入无量纲

的振幅放大因子β，它定义为

2220)

2()1(1

?λλβ+-=

=

B B （2-26） 由式（2-26）和（2-19）可以分别画出以相对阻尼系数?为参数的曲线——λβ-曲线与λ?-曲线，前者称为幅频响应曲线，后者称为相频响应曲线如图所示 程序如下

for kesai=[0.05,0.10,0.15,0.25,0.375,0.50,1.0] lamda=0:0.01:5.0;

beta=1./(sqrt((1-lamda.^2).^2+(2*kesai*lamda).^2)); plot(lamda,beta) hold on end

axis([0 5 0 3]);

00.51 1.52

2.53

3.54

4.55

0.5

1

1.5

2

2.5

3

频率比

振幅放大因子

1.0

0.5

0.375

0.05

0.15

0.25

偏心质量引起的强迫振动振幅放大因子

2222

)

2()1(?λλλ+-=me MB (2-27)

程序如下：

for kesai=[0.05,0.10,0.15,0.25,0.375,0.50] lamda=0:0.01:5.0;

beta=lamda./(sqrt((1-lamda.^2).^2+(2*kesai*lamda).^2)); plot(lamda,beta) hold on end

axis([0 5 0 3]);

00.51 1.52

2.53

3.54

4.55

0.5

1

1.5

2

2.5

3

频率比

M B /m e

0.5

0.10

0.15

0.25

0.375

0.50

1.0

支撑运动引起的强迫振动振幅放大因子

2

222

)

2()1()2(1?λλ?λβ+-+==a B (2-28) 程序如下：

for kesai=[0.05,0.10,0.15,0.25,0.375,0.50,1.0]

lamda=0:0.01:5.0;

beta=sqrt((1+(2*kesai*lamda).^2)./((1-lamda.^2).^2+(2*kesai*lamda).^2));

plot(lamda,beta)

hold on end

axis([0 5 0 3]);

00.51 1.52

2.53

3.54

4.55

0.5

1

1.5

2

2.5

3

频率比

振幅放大因子

0.05

0.100.15

0.25

0.3750.50

1.0

1.141

算例利用MATLAB ，绘制弹簧-质量系统在简谐力作用下的响应曲线。已知数据如下：

s m x m x tN t F m N k kg m /1.0,1.0,30cos 100)(,/2000,500===== 。 系统全解形式如下：

t f t f x t x

t x n n n n n

ωω

ωωωωωωcos cos )(sin )(2

20

22000-+--

+=

式中，

s rad s rad m

k

m F f n /30,/20,20510000======

ωω

利用MATLAB绘制解曲线上式的程序如下：

%Ex3_11.m

F0=100;

wn=20;

m=5;

w=30;

x0=0.1;

x0_dot=0.1;

f_0=F0/m;

for i=1:101

t(i)=2*(i-1)/100;

x(i)=x0_dot*sin(wn*t(i))/wn+(x0-f_0/(wn^2-w^2))*cos(wn*t(i))

+f_0/(wn^2-w^2)*cos(w*t(i));

end

plot(t,x);

xlabel('t');

ylabel('x(t)');

title('Ex3.11')

00.20.40.60.8

1 1.

2 1.4 1.6 1.82

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0.05

0.1

0.15

t

x (t )

Ex3.11

小结

基于MATLAB 对单自由度自由振动绘制振动图像，进行粘性阻尼，强迫振动振幅放大因子绘图进行数据分析，使振动数据更加明显。

总结与心得

经过多天的工作，我们四人小组终于完成了这个项目。期间经历了很多，首先在确定题目时就产生了分歧，但我们静下心来，通力合作，激烈讨论，以解决问题。选择了单自由度这个题目，虽然简单，但却代表了结构动力学对大体内容。这门课自我感觉非常难，因为这涵盖了力学，高数，物理等多门课的内容，还要把他们融会贯通，不得不说这个过程需要长时

间的练习与适应。在项目工作中我们有明确的分工，比如谁查资料，谁做Word，谁做PPT，只有明确的分工，才能有效率的最大化，这是合作带来的共赢。我们不仅学到了知识，还做到了合作意识的培养。我相信，项目虽短，但意义重大，复习所学内容的同时，也为以后的学习研究打下了坚实的基础，我要感谢同伴的帮助与支持。同时也要感谢老师这么多天以来的辛勤教学，悉心指导。