高中数学教材分析

第一章集合与简易逻辑

一、本章教学要求、重点、难点

本章主要讲述集合的初步知识与简易逻辑知识两部分内容，集合的初步

知识包括集合的

有关概念、表示、集合间的相互关系，简单的绝对值不等式和一元二次不等式的解法，以及用集合来表示不等式的解集。简易逻辑主要介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”的意义，四种命题及其相互关系，充要条件的有关知识。本章的重点是有关集合的基本概念，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件。

在高中数学中，集合的初步知识与简易逻辑知识，与其它内容密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的出发点，

二、教学中的几个问题

1、为什么教科书在“集合”与“简易逻辑”之间插入了“含绝对值不等式解法”和“一元二次不等式的解法”这两节属于不等式的内容？

答：这两小节属于不等式的内容，学生学习不会困难，并且安排在这个位置上至少有以

下两个优点：

（1）巩固学生已经学过的有关集合的基本概念；

（2）为下一章求某些函数的定义域和值域以及学习函数的单调性作必要

的准备。

因此，在教学中，既要让学生掌握含绝对值不等式和一元二次不等式的解法，另外，

又要控制不等式的难度，对一般学生来说，不要超出教科书的要求。

2、在新教材中为什么要增加“简易逻辑”？

答：逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科，任何科学都要使用

逻辑，而以“严

谨性”著称的数学，因需要全面地理解概念，正确地进行表述、判断、推理，就更离不开对逻辑知识的掌握和应用。因此，新教材中新增了“简易逻辑”这部分的内容。

3、怎样理解逻辑联结词“或”的意义？

答：“或”这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：一是“不可兼有”，即“a或b”是

指a，b中的某一个，但不是两者，日常生活中有时采用这一解释，如“你

这一章安排的是集合与逻辑的初步知识，这些知识的讲述，是以初中内容为基础的。从引出有关问题的实例，到具体应用的问题，基本都属于初中数学的范围。本章的内容又是高中数学的基础知识，学习这些内容，主要为今后进一步学习其它知识作准备，随着后续章节的学习，对集合与逻辑知识的应用将越来越广泛和深入，相应地，对集合与逻辑知识理解和掌握的水平也将越来越高，我们不应该要求学生在规定课时中把集合论与逻辑论的内容全都掌握，事实上，当学生学了后面的一些内容，回过来看集合与逻辑这些内容时，这一章中的一些内容就显得很好理解。因此，我们在教学过程中应把握好教学要求，控制教学难度，现就具体问题作说明：

1、集合教学中“交、并、补”的一些较复杂的运算性质，不要求教给学生运用。

2、分式不等式的基本要求：

本章对分式不等式的基本要求，仅限于可以化成一元二次不等式的类型，在全章最后的

复习参考题的B组题中，有两个简单的、相当于三次不等式的小题，它们不属于基本要求，但可以用图象的方法求解。

3、在解绝对值不等式和一元二次不等式时，对含有字母的较复杂的不等式在本章中不作要求，这些内容可以在高二年级《不等式》这一章中得以加强。

4、对简易逻辑的教学，应注重从简易性出发，让学生掌握它的一些简易知识，而不易作

较深层次的挖掘。

①不要在判断一个语句是不是命题上下功夫，要求学生从正面的例子了解命题的概念就可以了。

②“若p则q”形式的命题中，p与q可以是命题也可以是开语句。如命题“若，则x，y全为0”，其中p与q全为开语句，对学生只要求能分清命题中“若p则q”的条件和结论就可以了，不必考虑p与q是命题还是开语句。

第二章函数

一、中学函数教学的内容和体系安排

考虑到函数内容和其它数学内容的联系以及学生的认识过程和接受能

力，中学数学课程

里的函数内容主要安排在两处：第一处是在初中数学课中“函数及其图象”这一章中，主要内容是：（1）变量和常数、函数；（2）正比例、反比例函数及其图象；（3）一次函数的图象和性质；（4）二次函数的图象和性质。第二处是高中阶段的：（1）对应与函数（2）指、对数函数的图象和性质；（3）三角函数的图象和性质。

二、教学中的几个问题

1、为什么“先讲函数再讲映射”？

在旧教材中，我们是先讲映射概念再讲函数概念，在新教材中是先讲函数概念再给出映射定义，这样处理能与初中已学习的函数内容有一个较为自然的衔接，也符合从特殊到一般的认识规律，便于学生掌握。

2、为什么要把函数的奇偶性安排到“三角函数”这一章中？

函数的奇偶性作为函数的一个重要性质，在旧教材中是放置在“幂函数”这一节内容之后；在2000年2月第2版新教材中，由于删除了“幂函数”这一节内容，教材中在讲述函数概念之后，介绍了函数的单调性和奇偶性；但在现用教材（2003年6月第一版）中，却把函数的奇偶性安排到“三角函数”这一章，对这样的调整，我的理解是：

①学生对函数性质的认识是一个循序渐进的过程，在这之前，学生对函数奇偶性的直观认识主要依赖于幂函数及幂函数的一些复合函数，等均为奇函数，但新教材中删除“幂函数”这一节内容，使得学生在认识函数的奇偶性时失去了直观的图象解释（当然也可举出一些特殊的奇偶函数，但终究使学生对函数奇偶性的学习受到了制约），当学生在学习正余弦函数时，这又使学生得到了学习函数奇偶性的直观解释，更何况奇偶性又是三角函数的重要性质之一，故把函数奇偶性安放在“三角函数”中。

②函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是学习中的一个难点内容，这样安排有利于分散难点，便于学生掌握。

3、注意概念的教学

概念往往因为它的高度概括性和抽象性不容易使学生掌握，但数学概念

的教学却又是非

常重要的，如果在概念教学时，从理论到理论，学生听了往往会觉得枯燥乏味，并且对概念的理解也不会很深刻。我觉得在教学过程中可借助一些具体的问题进行辩析，加深学生对概念的理解。

①在进行函数概念教学后，可以让学生考虑下面一些问题，以加深学生

对函数概念的理

解。如：下列哪些是函数

函数y=f(x)的图象与直线 x=2的交点个数有 0或1 个。

②在进行反函数概念教学时，我们可以问学生：函数的反函数是吗？

不是，因为根据函数定义可知也不是函数；再问：函数的反函数是什么？根据反函数的定义可知，该函数不存在反函数。思考：不是所有的函数都有反函数，那么，满足那些条件的函数具有反函数呢？（让学生进一步细读反函数定义，不难得出反函数存在的条件。）

三、在高中函数教学中可补充加强以下一些内容

1、加强高中二次函数的教学

为了九年制义务教育的需要，初中数学教学大纲降低了二次函数的教学

要求，降低后具

体要求为两点：第一，理解二次函数与抛物线的有关概念，会用描点法画二次函数的图象，会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴；第二，会用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的解析式。初中大纲中对二次函数的这两点要求很低，属于基础性知识。学生升入高中后，仅凭初中所学的浅薄的一点二次函数知识，是远远不能适应高中数学教学要求的，这就必须对二次函数知识内容与教学要求在衔接的基础上给予加深、拓广和拔高。具体可按如下三步进行：（1）在第一章学习一元二次不等式前，可用0.5~1课时插入复习二次函数的有关知识，因为一元二次不等式是依靠二次函数图象，用数形结合方法求解的，因此在这时插入复习，可以达到温故知新的效果。

学生学习了一元二次不等式后，可以将二次函数、二次不等式和二次方程结合起来讲述、总结这“三个二次”之间的内在联系。

（2）在进行函数定义域、值域、单调性等概念的教学过程中，应及时注意对二次函数的定义域、值域、单调性等概念的研究，这对进一步认识二次函数，加深对函数定义域、值域、单调性等概念的理解是非常有益的。

如：已知在区间[ - 5，5]上是单调函数，则实数a的取值范围为（）

A、a≥5

B、a≤- 5

C、-5≤a≤5

D、a≥5 或a≤- 5

（3）指数函数、对数函数教学结束后，可结合函数值域补充二次函数闭区间上的最值问题，可分三类问题来展开：（a）定区间，定对称轴；（b）定区间，动对称轴；（c）定对称轴，动区间。

2、补充简单分式函数的图象和性质

形如型的函数经常作为高考命题的内容之一，因此，在函数教学时有必

要对它的图象和性质作系统的讲解。

3、加强分段函数的研究。

分段函数在教材中只是作为函数的一种表示方法加以例举，但在往后的学习甚至高考中，分段函数也常被多次涉及，在2004年5月第一版《数学①》必修B版中，分段函数作为一个独立的概念被提出来，并给出了分段函数的定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。由此可见，加强分段函数的系统性教学，有一定的必要性。我觉得可以让学生去了解一些简单分段函数的定义域、值域、单调性、图象之类的内容。

4、补充一些常见函数图象的作法与变换

函数的性质是函数的重要内容，借助函数图象的直观性可以使学生更好

地理解函数的性质，

通过对函数性质的分析，反过来可以使学生更好地作出函数的图象，因此，函数性质的学习离不开函数图象的教学，在函数学习中，适当补充一些常用函数的图象的作法和图象变换的关系，显得尤为重要。如：我们可以让学生了解的作法，了解的图象间的关系。

5、复合函数

1、原命题“若，则”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数

是．．．．．．．．．．．．．（ D ）