三峡大学大学物理第九章答案

第9章 电稳感应和电磁场 习题答案

1. 通过某回路的磁场与线圈平面垂直指向纸面内，磁通量按以下关系变化：

23(65)10t t Wb -Φ=++?。求2t s =时，回路中感应电动势的大小和方向。

解：310)62(-?+-=Φ

-=t dt

d ε

当s t 2=时，V 01.0-=ε

由楞次定律知，感应电动势方向为逆时针方向

2. 长度为l 的金属杆ab 以速率υ在导电轨道abcd 上平行移动。已知导轨处于均匀磁场B ?

中，

B ?的方向与回路的法线成60°角，如图所示，B ?的大小为B =kt (k 为正常数)。设0=t 时杆位于cd 处，求：任一时刻t 导线回路中感应电动势的大小和方向。

解：任意时刻通过通过回路面积的磁通量为

202

1

60cos t kl t Bl S d B m υυ==?=Φρρ

导线回路中感应电动势为 t kl t

m

υε-=Φ-

=d d 方向沿abcda 方向。

3. 如图所示，一边长为a ，总电阻为R 的正方形导体框固定于一空间非均匀磁场中，磁场方向垂直于纸面向外，其大小沿x 方向变化，且)1(x k B +=，0>k 。求： （1）穿过正方形线框的磁通量；

（2）当k 随时间t 按t k t k 0)(=(0k 为正值常量)变化时，线框中感生电流的大小和方向。

解：（1）通过正方形线框的磁通量为

??=?=Φa S Badx S d B 0ρρ?+=a dx x ak 0)1()2

1

1(2a k a +=

（2）当t k k 0=时，通过正方形线框的磁通量为

)2

1

1(02a t k a +

=Φ 正方形线框中感应电动势的大小为

dt d Φ=

ε)2

1

1(02a k a += 正方形线框线框中电流大小为

)2

11(02a R k a R I +==ε

，方向：顺时针方向

4.如图所示，一矩形线圈与载有电流t I I ωcos 0=长直导线共面。设线圈的长为b ，宽为a ；

0=t 时，线圈的AD 边与长直导线重合；线圈以匀速度υρ

垂直离开导线。求任一时刻线圈中的感

应电动势的大小。

解：建立图示坐标系，长直导线在右边产生的磁感应强度大小为

x

I

B πμ20=

t 时刻通过线圈平面的磁通量为

???=ΦS S d B ρρbdx x I a t t ?+=υυπμ20t

a

t Ib υυπμ+=ln 20

I

A

B

C

D

b a

υρ

t υ

O

x

t

a

t t b I υυωπμ+=

ln cos 200 任一时刻线圈中的感应电动势为

]ln sin )(cos [200t

a

t t t a t t a b I dt d i υυωωυωπμε+++=Φ-

= 5.如图所示，在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈。两导线中的电流方向相反、大小相等，且电流以

t

I

d d 的变化率增大，求： (1)任一时刻线圈内所通过的磁通量； (2)线圈中的感应电动势。

解：(1) 任一时刻通过线圈平面的磁通量为 r l r

I

r l r I

a

b b

a

d d m d π2d π200?

?

++-=

Φμμ

）（d

a d

b a b Il +-+=ln ln π20μ (2) 线圈中的感应电动势为

t

I

b a b d a d l t d d ln ln π2d d 0）（+-+=Φ-

=με 6. 如图所示，长直导线AB 中的电流I 沿导线向上，并以12-?=s A dt

dI

的变化率均匀增长。导

线附近放一个与之共面的直角三角形线框，其一边与导线平行，位置及线框尺寸如图所示。求此线框中产生的感应电动势的大小和方向。

解：建立图示的坐标系，在直角三角形线框上x 处取平行于y 轴的宽度为dx 、高度为y 的窄条。由几何关系得到 2.02+-=x y (SI) 通过此窄条的磁通量为

=

?=ΦS d B d ρ

ρydx x I

）（5.0020+πμdx x x I ）

（（5.002)2.020++-=πμ

通过直角三角形线框的磁通量为

?Φ=Φd dx x x I

b

?++-=

00)05.02.02(

2π

μ

I b I Ib 8001059.205

.005.0ln 15.0-?=++-=πμπμ (SI)

三角形线框中产生的感应电动势为

V dt

dI

dt d 881018.51059.2--?-=?-=Φ-

=ε 感应电动势大小为8

5.1810V -? ，方向为逆时针方向。

7. 如图所示，长直导线通以电流I ，在其右方放一长方形线圈，两者共面．线圈长b ，宽a ，线圈以速率υ垂直于直线平移远离。求：线圈离长直导线距离为d 时，线圈中感应电动势的大小和

方向。

解：AB 、CD 运动速度υρ

方向与磁力线平行，不产生感应电动势。 DA 产生动生电动势为

?==??=A

D d

I b Bb l B πμυυυε2d )(01?

?ρ

BC 产生电动势为

O

x

y

)

(π2d )(02d a I

b

l B C

B

+-=??=?

μυυε?

?ρ

回路中总感应电动势为

)11

(π2021a

d d Ib +-=

+=υμεεε 方向沿顺时针。

8. 如图所示，载有电流I 的长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直。半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a 。设半圆环以速率υ平行导线平移。求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN 两端的电压N M U U -。

解：作辅助线MN ，则在MeNM 回路中，沿υρ

方向运动时0d =m Φ

∴ 0=MeNM ε

即 MN MeN εε= 又∵ ?

+-<+-=

=

b

a b

a MN b

a b

a I dl B 0ln 2cos 0πυμπυε 所以MeN ε沿NeM 方向，大小为

b

a b

a I -+ln 20πυμ M 点电势高于N 点电势，即

b

a b

a I U U N M -+=

-ln 20πυμ 9. 如图所示，一长直导线中通有电流I ，有一垂直于导线、长度为l 的金属棒AB 在包含

导线的平面内，以恒定的速度υρ

沿与棒成θ角的方向移动。开始时，棒的A 端到导线的距离为

a ，求任意时刻金属棒中的动生电动势，并指出棒哪端的电势高。

解：建立图示坐标系，电流I 在其右边产生的磁感应强度大小为

x I

B πμ20= 方向：垂直纸面向里

在棒上取l d ρ

，dl 段上的动生电动势为

dl B l d B d )2cos()(θπ

υυε+=??=ρρρ dx x I

θυπμsin 20-=

AB 上的感应电动势为

??+++-==θυθυθυπμεεcos cos 0 sin 2 t l a t a B A AB x dx I

d

θ

υθυθυμcos cos ln sin 20t a t l a I +++π-=

电动势的方向从B 指向A ，A 端电势高。

10. 导线ab 长为l ，绕过O 点的垂直轴以匀角速ω转动，aO =3

l

，磁感应强度B ρ平行于转轴，

如图所示。试求：

（1）ab 两端的电势差； （2）b a ,两端哪一点电势高?

解：(1)在Ob 上取dr r r +→一小段

I a l A B

θ v ?

O

x

则 ?=

=

320

2

9

2d l

Ob l B r rB ωωε 同理 ?=

=30218

1d l

Oa l B r rB ωωε 故 226

1

)92181(l B l B Ob aO ab ωωεεε=+-=+=

(2)0>ab ε 即0<-b a U U ，故b 点电势高。

11. 在两根平行放置相距为a 2的无限长直导线之间，有一与其共面的矩形线圈，线圈边长分别

为l 和b 2，且l 边与长直导线平行，两根长直导线中通有等值同向稳恒电流I ，线圈以恒定速度υρ

垂

直直导线向右运动，如图所示。求：线圈运动到两导线的中心位置（即线圈的中心线与两根导线距离均为a ）时，线圈中的感应电动势。

解：

20

000

22

11()22(ln(2)ln ln(22)ln(2))21111

()

222222x b x I B dS ldr

r a r

Il

x b x x b a x a Ilv d d dx dt dx dt x b x x b a x a

Ilv b

x a b a b μφπμπ

μφφεπμεπ+=?=--=+-++---===-+-++--=-=-??r r

12. 如图所示，金属杆AOC 以恒定速度υ在均匀磁场B 中垂直于磁场方向向上运动，已知AO OC L ==，求杆中的动生电动势。

解：AO 段上产生的动生电动势为

???=O A

AO l d B ρρρ)(υε?=L

dl B 0

cos πυL B υ-=

OC 段上产生的动生电动势为

???=C O

AO l d B ρρρ)(υε?-=L

dl B 0

)cos(θπυ

θυcos L B -=

杆中的动生电动势为

OC AO εεε+=)cos 1(θυ+-=L B

方向由C 到A ，A 点电势高。

13. 磁感应强度为B ?

的均匀磁场充满一半径为R 的圆柱形空间，一金属杆放在如图所示位置，

杆长为R 2，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外。当t

B

d d ＞0时，求：杆两端的感应电动势的大

小和方向。

解：CB AC AB εεε+=

t B

R B R t t AC d d 43)43(d d d d 21=--=Φ-

=ε =Φ-=t

CB d d 2εt B

R B R t d d 12π)12π(d d 22=--

故 t B

R R AB d d )12π43(22+=ε ∵ 0d d >t

B

故 0>AB ε（即ε从B A →）

14．一同轴电缆由两个同轴圆筒构成，内筒半径为1.00mm ，外筒半径为7.00mm ，求每米该同轴电缆的自感系数（两筒的厚度可忽略）。

解：设电流I 由内筒流出、外筒流回，由安培环路定理i

I r B l d B ?∑=?=?02μπρ

ρ得

内、外筒之间，

∑=I I i r

I

B πμ20=

内、外筒之间每米长度所通过的磁通量：

??=?=Φ71Bdr S d B S ρρ?=7102dr r I πμ7ln 20π

μI

=

每米同轴电缆的自感系数：7ln 20

π

μ=Φ=I L

15. 一无限长的直导线和一正方形的线圈如图所示放置(导线与线圈接触处绝缘)。求：线圈与

导线间的互感系数。

解：设长直电流为I ，其磁场通过正方形线圈的互感磁通为

?

=

=323

00122ln π

2d π2a a Ia

r r

Ia

μμΦ

∴ 2ln π

2012

a

I

M μΦ==

16. 一无限长圆柱形直导线，其截面上电流均匀分布，总电流为I 。求：导线内部单位长度上所储存的磁能。

解：在R r <时 20π2R Ir

B μ=

∴ 4

222002

π82R

r I B w m μμ== 取 r r V d π2d =(∵导线长1=l )

则 ?

?

=

==

R

R

m I R r

r I r r w W 0

2

04

320π

16π4d d 2μμπ

17．什么叫位移电流？它与传导电流有何区别？

答：通过电场中某一截面的电通量对时间的变化率称为通过该截面的位移电流。位移电流和传导电流是两个不同的物理概念，它们的区别表现在两个方面：

(1)传导电流是由运动电荷产生，而位移电流是由变化的电场所引起。通常情况下，导体中主要是传导电流，位移电流可以忽略。而在电介质中的电流主要是位移电流，传导电流忽略不计。

(2)传导电流在导体中传播时会产生焦耳热，位移电流可以脱离导体传播且不产生焦耳热。

18．证明充电时平行板中的位移电流dt

dU

C

I d =，C 为平行板电容器的电容，U 为两极板的电势差。

证明：设平行板电容器极板面积为S ，极板间距为d ，则

S d

U ES DS S D D εε===?=Φρρ

而电容：d

S

C ε=

所以，CU D =Φ

则dt

dU

C dt d I

D d =Φ=

19. 给电容为C 的平行板电容器充电，传导电流为t

e i -=2.0 ( SI )，0=t 时电容器极板上无电荷。求：

(1) 极板间电压U 随时间t 而变化的关系式；

(2) t 时刻极板间总的位移电流d I (忽略边缘效应)。

解：（1）传导电流与极板上电量的关系：dt

dq

i =

，所以 ???

-==t

t t q

dt e idt dq 0

2.0

=q )e 1(2.0t --

极板间电压U 随时间t 而变化的关系式

)e 1(2.0t C C q U --==

（2）位移电流：dt

dU

C I d =t e -=2.0