概率论与数理统计期末考试试题解答

《概率论与数理统计》期末试题

一、填空题（每小题3分，共15分）

1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发

生的概率为__________. 答案：0.9

解：

3.0)(=+B A B A P

即

)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=

所以

1.0)(=AB P

9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P Y .

2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.

答案：

161-e

解答：

λλ

λ

λλ---=

=+==+==≤e X P e e

X P X P X P 2

)2(,

)1()0()1(2

由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ

λλ---=+e e e 22

即 0122

=--λλ 解得

1=λ，故

16

1)3(-=

=e X P

3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2

X Y =在区间)4,0(内的概率

密度为=)(y f Y _________. 答案：

04,()()0,.

Y Y X y f y F y f <<'===?

其它

解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则

2

()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤=-

因为~(0,2)X U

，所以(0X F =

，即()Y X F y F =

故

04,

()()

0,.

Y Y X

y

f y F y f

<<

'

===

?其它

另解在(0,2)上函数2

y x

=

严格单调，反函数为()

h y=

所以

04,

()

0,.

Y X

y

f y f

<<

==

?其它

4．设随机变量Y

X,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2

)1

(-

=

>e

X

P，则=

λ_________，}1

)

,

{min(≤

Y

X

P=_________.

答案：2

λ=，-4

{min(,)1}1e

P X Y≤=-

解答：

2

(1)1(1)

P X P X e e

λ

--

>=-≤==，故2

λ=

{min(,)1}1{min(,)1}

P X Y P X Y

≤=->

1(1)(1)

P X P Y

=->>

4

1e-

=-.

5．设总体X的概率密度为

??

?

?

?<

<

+

=

其它

,0

,1

,

)1

(

)

(

x

x

x

f

θ

θ

1-

>

θ.

n

X

X

X,

,

,

2

1

Λ是来自X的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.

答案：

$

1

1

1

1

ln

n

i

i

x

n

θ

=

=-

∑

解答：

似然函数为

11

1

(,,;)(1)(1)(,,)

n

n

n i n

i

L x x x x x

θθ

θθθ

=

=+=+

∏

L L

1

ln ln(1)ln

n

i

i

L n x

θθ

=

=++∑

1

ln

ln0

1

n

i

i

d L n

x

dθθ=

=+

+

∑@

解似然方程得θ的极大似然估计为

$1

111ln n

i i x n θ

==-∑.

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C U 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C U 与B 也独立.

（D ）若C B ?，则A 与C 也独立. （ ）

答案：（D ）.

解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.

事实上由图

可见A 与C 不独立.

2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为 （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.

（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. （ ）

答案：（A ）

解答： ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）.

3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是

（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+.

（C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. （ ）

答案：（B ）

解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =?=）

，（ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+（，） 应选（B ）.

4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为

(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1111

69183

X Y P αβ

若,X Y 独立，则,αβ的值为

（A ）21,99αβ==

. （A ）12

,99αβ==.

（C ） 11,66αβ== （D ）51

,1818

αβ=

=. （ ） 答案：（A ）

解答： 若,X Y 独立则有

(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======

1121

()()()3939

αβαα=+++=+ ∴29α=， 19β= 故应选（A ）.

5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μL 为来自X 的样本，则下列结论中 正确的是

（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. （ ）

答案：（A ） 解答：

1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）.

三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为

0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，

求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；

（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.

解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’

则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+

0.90.950.10.020.857.=?+?= （2） ()0.90.95

(|)0.9977()0.857

P AB P B A P A ?===.

四、（12分）

从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数， 求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差.

解：X 的概率分布为

332

3()()()

0,1,2,3.5

5

k

k

k

P X k C k -===

即

01232754368125125

125

125

X

P

X 的分布函数为

0,

0,27,01,12581

(),12,125117

,

23,1251, 3.x x F x x x x

≥??

26

3,55EX =?=

2318

35525

DX =??=.

五、（10分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从

均匀分布. 求（1）(,)X Y 关于X 的边缘概率密度；（2）Z X Y =+的分布函数与概率密度.

（1）(,)X Y 的概率密度为 2,(,)(,)0,

.

x y D

f x y ∈?=?

?其它

22,01

()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞

-≤≤?=

=?

?

?

其它

（2）利用公式()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞

=

-?

其中2,01,01(,)0,x z x x f x z x ≤≤≤-≤-?-=??其它2,01, 1.

0,x x z ≤≤≤≤?=??

其它.

当 0z <或1z >时()0Z f z = 01z ≤≤时 00

()222z z

Z f z dx x z ===?

故Z 的概率密度为

2,01,()0,Z z z f z ?≤≤?=???其它.

Z 的分布函数为

200,00,0,

()()2,01,01,1, 1.

1,

1z z

Z Z z z f z f y dy ydy z z z z z -∞

=≤≤=≤≤????>?>???

?

或利用分布函数法

1

0,

0,()()()2,01,1, 1.Z D z F z P Z z P X Y z dxdy z z ?

=≤=+≤=≤≤???>?

??

20,

0,,

01,1, 1.

z z z z

=≤≤??>?

2,01,()()0,

Z Z z z f z F z ≤≤?'==?

?其它.

六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相

互独立，且均服从2(0,2)N 分布. 求（1）命中环形区域22

{(,)|12}D x y x y =≤+≤的

概率；（2

）命中点到目标中心距离Z =

的数学期望.

1）{,)}(,)D

P X Y D f x y dxdy ∈=

??

22

2228

8

1

11

248x y r D

e

dxdy e

rdrd πθππ

+-

-

==

?????

222

112

28

8

8

2

1

1

()8

r r r

e

d e

e e ---

-

--=-=-?

；

（2）228

18x y EZ E e dxdy π

+-

+∞-∞-∞

==

??

22228

8

11

84r r re

rdrd e r dr πθπ

-

-

+∞+∞

=

=

??

?

222

8

8

8

2

r r r re e

dr dr +∞

-

--+∞+∞-∞

=-+=

=?

?

七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm ）2

~(,)X N μσ，今抽取容量为16的

样本，测得样本均值10x =，样本方差2

0.16s =. （1）求μ的置信度为0.95的置信

区间；（2）检验假设2

0:0.1H σ≤（显著性水平为0.05）.

（附注）0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t ===

222

0.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.χχχ===

解：（1）μ的置信度为1α-下的置信区间为 /2/2(((X t n X t n αα--+- 0.02510,0.4,16,0.05,(15) 2.132X s n t α=====

所以μ的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）

（2）20:0.1H σ≤的拒绝域为22

(1)n αχχ≥-.

22

1515 1.6240.1S χ=

=?=，2

0.05(15)24.996χ= 因为 22

0.052424.996(15)χχ=<=，所以接受0H .