《导数及其应用》经典例题

习题课

一、基础过关

1．函数f(x)＝e x(sin x＋cos x)在区间上的值域为________．

2．函数y＝f(x)的图象如下图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是________．(填序号)

3．使y＝sin x＋ax在R上是增函数的a的取值范围为__________．

4．已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，函数g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m等于________．5．若函数y＝x3＋x2＋m在[－2,1]上的最大值为，则m＝________.

6．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则a的最大值为________．

二、能力提升

7．如果函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a、b、c∈R)在R上不单调，那

么a、b、c的关系为________．

8．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________．

9．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x＋6，若x＝3是f(x)的一个极值点，求f(x)在[0，a]上的最值．

10．设函数f(x)＝x＋ax2＋b ln x，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.

(1)求a，b的值；

(2)证明：f(x)≤2x－2.

三、探究与拓展

11．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R)．

(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．

答案

1.

2．④

3．[1，＋∞)

4．－2

5．2

6．3

7．a2>3b，c∈R

8.

9．解　f′(x)＝3x2－2ax＋3，由已知得f′(3)＝0，

∴3×9－6a＋3＝0.∴a＝5，∴f(x)＝x3－5x2＋3x＋6.

令f′(x)＝3x2－10x＋3＝0，得x1＝，x2＝3.

则x，f′(x)，f(x)的变化关系如下表.

x03(3,5)5

f′(x)＋0－0＋

f(x)6递增6递减－3递增21∴f(x)在[0,5]上的最大值为f(5)＝21，最小值为f(3)＝－3. 10．(1)解　f′(x)＝1＋2ax＋.

由已知条件得即解得

(2)证明　因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，

由(1)知f(x)＝x－x2＋3ln x.

设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln x，

则g′(x)＝－1－2x＋＝－.

当00，当x>1时，g′(x)<0.

所以g(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．

而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.

11．解　(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)e x，f′(x)＝(－x2＋2)e x.

当f′(x)>0时，(－x2＋2)e x>0，注意到e x>0，

所以－x2＋2>0，解得－

所以，函数f(x)的单调递增区间为(－，)．

同理可得，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－)和(，＋∞)．

(2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，

所以f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立．

又f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]e x，

即[－x2＋(a－2)x＋a]e x≥0，注意到e x>0，

因此－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1,1)上恒成立，也就是a≥＝x＋1－在(－1,1)上恒成立．

设y＝x＋1－，则y′＝1＋>0，

即y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增，

则y<1＋1－＝，故a≥.