初中数学中求函数极值的常用解法举例

初中数学中求函数极值的常用解法举例

罗江县

函数极值是指函数的最大值或最小值，此类问题在初中数学中比较常见。它涉及的知识面广，综合性强，有着极为丰富的内涵，解法也颇具有技巧性。解答这类问题需要根据具体的特点，采取不同的方法。现举例介绍这类问题的常用解法，供大家参考。

一、配方法：配方法是初中数学中解题常用的方法，它是将已知代数式（等式）通过配方，变形成若干个完全平方式的形式，结合完全平方的非负性质，解决问题。

例1 ：若 x , y 为实数，求 A=5 x 2 + 5 y 2 ? 8 xy + 2 x +2y +5 的最小值。 分析与解：A=（4x 2 ? 8 xy + 4 y 2）+（x 2 + 2 x + 1）+（ y 2+ 2 y + 1 ）+ 3 = ( 2x ? 2 y ) 2 + ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 +3

显然，当 x = ?1，y = ? 1 时，A 有最小值3。

二、消元法：消元法是把代数式（等式）中的几个元素转化为以某一元素为主元的函数，再结合已知条件，经过运算，使问题简化，便于求解。

例2 ：若 2x + y + z = 40，3x+ y －z = 30 ，且x 、y 、 z 均为非负数，求 A = 5x + 3 y + 2z 的极值。

分析与解：由 2x + y + z = 40及3x + y ? z = 30，

得 x=2z －10，y=60－5z,

又由 x ≥0，y ≥0

得2z －10 ≥ 0， 60－5z ≥ 0,

解得 5≤z ≤12，

把 x=2z －10，y=60－5z 代入 A=5x+3y+2z

得A=?3z+130，

显然 A 是关于 z 的一次函数，且 A 随 z 增大而减小，

所以 当 z=5 时，A 的最大值为115，当 z=12时，A 的最小值为94。

三、数形结合法: 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

例3 ：已知 a+b=7 ,且 x > 0, y > 0, 求A= 42+a +12+b 的最小值。

分析与解：本题，看似无从下手，但若将“式”转化为“形”则可轻松得解。分别以CE=a 、DE=2 和 BC=b 、AB= 1为直角边， DC=42+a 、 AC=12+b 为斜边，构造如图所示的两个Rt ?DEC 、 Rt ?ABC 。

由图可知，当点 C 位于直线 AD 上时，AC+DC 最短，即 A 的值最小。 于是过点D 作DG ⊥AG 交AB 的延长线于点G ，

则四边形 BEDG 是矩形， ∴ GB = ED = 2 又 DG = BE = a + b = 7 AG=AB+BG=3

在 Rt ?ADG 中，AG=3，DG=7，

∴由勾股定理得：AD=

2273+=58 A B C D

E G

即 A 的最小值为58 。

四、均值不等式法：均值定理：若a ＞0,b ＞0,则

2

b a +≥ab 。当且仅当a=b 时取等号。在数学问题中，出现条件 a ＞0,b ＞0 的极值问题时，我们常作均值代换。 例4 ：若 x , y 均为正数，且 x + y = 2，求 A=(1+x

1 )(1+ y 1) 的最小值。 分析与解：由(1+x

1 )(1+ y 1)=1+xy y x ++xy 1及 x + y = 2, 得 (1+x

1 )(1+ y 1)=1+xy 3 ∵ x , y 均为正数 ∴ 2

y x +≥xy 即 x y ≤4)(2y x +=1 ∴ 当 x y=1时，xy

3有最小值为3 所以 (1+x

1 )(1+ y 1) 的最小值为4。 五、和差代换法：对于实数x ，y ，总有x =

2y x ++2y x -，y=2y x +－2y x -，若令a=2y x +，b=2

y x -，则有x=a ＋b ，y=a －b 。这种代换称为和差代换。 例5：已知a, b 为实数，且a 2 + ab + b 2 = 1，t = ab ? a 2 ? b 2 ，求t 的极值。 分析与解：设 a = x + y, b = x ? y ,把它们代入a 2 + ab + b 2 = 1 中，

得：(x ＋y)2＋(x ＋y) (x －y)＋(x －y )2 =1 化简得：y 2=1－3x 2

∵ y 2 ≥0 ∴1－3x 2≥0 即 0≤x 2≤3

1 又 t = ab ? a

2 ? b 2

= (x ＋y) (x －y)－(x ＋y)2－(x －y )2

= －（x 2＋3y 2）

=－x 2－3(1－3x 2)

=8x 2－3

∵ 0≤x 2≤31 ∴0≤8x 2≤38 ∴-3≤8x 2－3≤3

8－3 所以 t 的最小值为-3，最大值为-3

1。 六、参数法：参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析与综合，从而解

决问题。

例 6 ：若

21-x =31+y =2

3-z ，求A=x 2＋2y 2－3z 2的最小值。 解：设21-x =31+y =2

3-z =k ，则x=2k+1，y=3k －1，z=2k+3， ∴x 2＋2y 2－3z 2 =(2k ＋1)2＋2(3k －1)2－3(2k ＋3)2

=10k 2－44k －24

=10(k －511)2－5

362 ∴当k=511时，A 的最小值为-5

362。 七、整体设元法：整体设元法就是把一些看似彼此独立而实质是紧密相联系的量看成一个整体去设元、列式、变形、消元、代入和求值等。

例 7 ：已知 x , y 为实数，求 x 2 + xy + y 2 ? x ? 2y 的最小值。

分析与解：本题要直接求出所求式子的值很困难，故可以采取整体设元，巧妙运用二元一次方程的根的判别式来解决，思路就显得非常简捷。

设 x 2 + xy + y 2 ? x ? 2y = a ，将等式整理成关于x 的二次方程，

得 x 2 + (y ? 1)x + (y 2 ? 2y ? a ) = 0

∵ x 为实数

∴ ? = (y ? 1) 2 ? 4(y 2 ? 2y ? a ) ≥ 0

化简整理得 4a ≥ 3y 2 ? 6y ? 1 即 4a ≥ 3(y ? 1) 2 ? 4 ≥ ?4

∴ a ≥ ?1

当 a = ?1 时,有 y = 1, x= 0

故 当 x = 0, y = 1 时, a 有最小值，即x 2 + xy + y 2 ? x ? 2y 的最小值为?1。

八、利用函数的性质：借助二次（一次）函数的性质，并注意自变量的取值范围，可使某些求函数极值的问题迎刃而解。 例 8 ：已知 x < 0 ，y ≤ 0 ，z > 0 且xz y 42- = y ? 2xz ，求 y 2 ? 4xz 的最小值。

分析与解：将xz y 42- = y ? 2xz 两边平方，

整理得：xyz=x 2z 2+xz

∵ x < 0 ， z > 0 ∴x z ≠0

∴ y=xz+1 或 xz=y －1

∴ y 2 ? 4xz= y 2－4(y －1)=(y －2)2

因为 (y －2)2为关于y 的开口向上的二次函数，有最小值。

又∵y ≤ 0

∴当y = 0时，y 2 ? 4xz 有最小值为4。

九、判别式法：判别式法是初中数学求函数极值的常用方法之一。用判别式法求函数极值，应先将原函数式变形为一个一元二次方程。然后根据方程有实根的条件判别式⊿≥0，来求出y 的取值范围，最后确定出函数y 的极值。这样就把函数y 的极值问题转化为讨论一个一元二次方程有实根时y 的取值范围问题。

引理：二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)变形为ax 2+bx+c －y=0，

因为x 为实数，则⊿=b 2－4a(c －y)≥0，即4ay ≥4ac －b 2，

（1）当a ＞0时，有y ≥a b ac 442-，此时函数有最小值a

b a

c 442

-。 （2）当a ＜0时，有y ≤a b ac 442-，此时函数有最大值a

b a

c 442

-。 例9：求函数y=3

4242--x x 的最大值与最小值。 解：∵y=3

4242--x x ∴4x 2

－4xy －(2－3y)=0 ∴x=8

)32(161642y y y -+±=2)2)(1(--±y y y ∵x 为实数

∴(y －1)(y －2)≥0

∴y ≤1或y ≥2

因此 原式的最大值为1，最小值为2。

当然，不是所有能化为一个一元二次方程的函数都要用判别式法求解，应根据函数的构造，具体问题具体分析，本着弃繁就简的原则，选择适当的方法求解。

极值问题的解法不仅是上述几种，还有其它的解法，在此就不一一说明了。在做题的过程中，要通过观察、分析、发掘，促使题目中的隐含条件显现出来，然后采用恰当的解法解答这类问题。