衡水中学高中数学-第1讲 集 合

第1讲集合

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[知识梳理]

1．集合的相关概念

(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性.

(2)元素与集合的两种元素：属于，记为∈；不属于，记为?.

(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.

(4)五个特定的集合：

2

A B或

B A

1．集合的运算性质

并集的性质：

A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.

交集的性质：

A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.

补集的性质：

A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A.

2．判断集合关系的三种方法

(1)一一列举观察；

(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合关系；

(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．

3．数形结合思想

数轴和Venn图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题．

[知识自测]

1．(2016·全国Ⅰ卷)设集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝()

A．{1,3}B．{3,5}

C．{5,7}D．{1,7}

[解析]集合A与集合B的公共元素有3,5，故A∩B＝{3,5}，选B.

[答案] B

2．(2018·江西重点中学联考)已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋5≤0}，B ＝{x |y ＝x －3}，则A ∩B 等于( )

A ．[1,3]

B ．[1,5]

C ．[3,5]

D ．[1，＋∞)

[解析] 根据题意，得A ＝{x |x 2－6x ＋5≤0}＝{x |1≤x ≤5}，B ＝{x |y ＝x －3}＝{x |x ≥3}， 所以A ∩B ＝{x |3≤x ≤5}＝[3,5]． [答案] C

3．已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2 017＝______.

[解析] 由M ＝N 知????? n ＝1，log 2n ＝m 或?????

n ＝m ，log 2n ＝1，

∴????? m ＝0，n ＝1或?

???

?

m ＝2，n ＝2. [答案] －1或0

题型一 集合的基本概念(基础拿分题——自主练透)

(1)(2018·山东省枣庄十六中4月模拟试卷)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x

＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，集合M 真子集的个数为( )

A ．32

B ．31

C ．16

D ．15

[解析] 由题意集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，a ∈A ，b ∈B ，那么：a 、b 的组合有：(1、4)，(1、5)，(2、4)，(2、5)，(3、4)，(3、5)，∵M ＝{x |x ＝a ＋b }，∴M ＝{5,6,7,8}，集合M 中有4个元素，有24－1＝15个真子集．故选：D.

[答案] D

(2)已知a ，b ∈R ，若?

??

?

??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2018＋b 2018为( )

A ．1

B ．0

C ．－1

D ．±1

[解析] 由已知得a ≠0，则b

a ＝0，所以

b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据

集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2018＋b 2018＝(－1)2018＋02018＝1.

[答案] A

方法感悟

1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在

求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．

2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．

【针对补偿】

1．(2018·山西省大同市豪洋中学四模试卷)已知集合A ＝?

???

??x ∈Z |127＜3x

≤9，B ＝{x ∈N |

－2＜x ＜3}，则集合{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }的元素个数为( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

[解析] 由127＜3x ≤9，即3－

3＜3x ≤32，解得－3＜x ≤2，∴A ＝{－2，－1,0,1,2}．

B ＝{0,1,2}．∴集合{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }＝{－2，－1，0,1,2，－4,4}的元素个数为7.故选：B.

[答案] B

2．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为 ________ .

[解析] 由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－3

2，当m ＝1时，m ＋2＝3

且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；

当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－3

2.

[答案] －3

2

3．已知P ＝{x |2

题型二 集合的基本关系(重点保命题，共同探讨)

(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0

A ?C ?

B 的集合

C 的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

[解析] (1)由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}． 所以满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． [答案] D

(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ?A ，则实数m 的取值范围为______．

[解析] 因为B ?A ，所以①若B ＝?，则2m －1

②若B ≠?，则????

?

2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，

2m －1≤5.

解得2≤m ≤3.

由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. [答案] m ≤3

方法感悟

1．空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．

[注意] 题目中若有条件B ?A ，则应分B ＝?和B ≠?两种情况进行讨论． 【针对补偿】

4．已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ?A ，则实数a 的值为( )

A.13或－1

2 B ．－13或1

2

C.13或－1

2

或0 D ．－13或12

或0

[解析] 由题意知A ＝{2，－3}，当a ＝0时，B ＝?，满足B ?A ； 当a ≠0时，ax －1＝0的解为x ＝1a ，由B ?A ，可得1a ＝－3或1

a ＝2，

∴a ＝－13或a ＝12.综上，a 的值为－13或1

2或0.

[答案] D

5．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ?B ，实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，则c ＝______.

[解析] 由log 2x ≤2，得0<

x ≤4.

即A ＝{x |04，即c ＝4. [答案] 4

题型三 集合的基本运算(高频考点题，多角突破)

集合的基本运算是历年各地高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题．

高考对集合运算的考查主要有以下三个命题角度： (1)求集合间的交、并、补运算； (2)已知集合的运算结果求集合；

(3)已知集合的运算结果求参数的值(或参数的取值范围)． 考向一 求交集

1．(2017·课标Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

[解析] 集合中的元素为点集，由题意，结合A 表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y ＝x 上所有的点组成的集合，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点(1,1)，(－1，－1)，则A ∩B 中有两个元素．故选B.

[答案] B 考向二 求并集

2．(2016·山东卷)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞)

D ．(0，＋∞)

[解析] A ＝{y |y >0}，B ＝{x |－1－1}，选C. [答案] C

考向三 集合的交、并、补的综合运算

3．(2018·山东省德州市四月二模) 设全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2＋x －2＞0}，N ＝

????

??x |????12x －1≥2，则(?U M )∩N ＝( ) A ．[－2,0] B ．[－2,1] C ．[0,1]

D ．[0,2]

[解析] M ＝{x |x ＞1或x ＜－2}，?U M ＝{x |－2≤x ≤1}，N ＝{x |x －1≤－1}＝{x |x ≤0}，所以(?U M )∩N ＝{x |－2≤x ≤0}，故选A.

[答案] A

考向四 利用集合运算求参数

4．已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1＜x ＜m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( )

A ．[－1,2)

B ．[－1,3]

C ．[2，＋∞)

D ．[－1，＋∞)

[解析] 由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0， 即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}，又A ∩B ＝B ， 所以B ?A .

①当B ＝?时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.

②当B ≠?时，有????

?

－3≤2m －1，m ＋1≤4，

2m －1＜m ＋1，

解得－1≤m ＜2.

综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)． [答案] D

考向五 集合的斜定义问题

5．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A ⊕B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A ⊕B 中元素的个数为( )

A ．77

B ．49

C ．45

D ．30

[解析] 如图，集合A 表示如图所示的所有圆点“○”，集合B 表示如图所示的所有圆点“○”＋所有圆点“·”，集合A ⊕B 显然是集合{(x ，y )||x |≤3，|y |≤3，x ，y ∈Z }中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A ⊕B 表示如图所示的所有圆点“○”＋所有圆点“·”＋所有圆点“⊙”，共45个，故A ⊕B 中元素的个数为45.故选C.

[答案] C

方法感悟

集合基本运算的常见题型与破解策略：

6．(2017·山东)设函数y ＝4－x 2的定义域A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B

＝()

A．(1,2) B．(1,2]

C．(－2,1) D．[－2,1)

[解析]由4－x2≥0得－2≤x≤2，由1－x＞0得x＜1，故A∩B＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x ＜1}＝{x|－2≤x＜1}，选D.

[答案] D

7．(2018·山东省青岛市数学一模试卷)已知集合A＝{x||x＋1|≥1}，B＝{x|x≥－1}，则(?A)∩B＝()

R

A．[－1,0] B．[－1,0)

C．(－2，－1) D．(－2，－1]

[解析]∵A＝{x||x＋1|≥1}＝{x|x≤－2或x≥0}，

∴?R A＝{x|－2＜x＜0}，又B＝{x|x≥－1}，

∴(?R A)∩B＝[－1,0)．故选：B.

[答案] B

8．定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x?B}，若集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于()

A．{x|3＜x≤4} B．{x|3≤x≤4}

C．{x|3＜x＜4} D．{x|2≤x≤4}

[解析]A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2≤x≤4}，

由题意知B△A＝{x|x∈B，且x?A}＝{x|3≤x≤4}．

[答案] B

◆牛刀小试·成功靠岸◆

课堂达标(一)

[A基础巩固练]

1．(2017·课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x＜1}，则()

A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝R

C．A∪B＝{x|x＞1} D．A∩B＝?

[解析]由3x＜1可得3x＜30，则x＜0，

即B＝{x|x＜0}，

所以A∩B＝{x|x＜1}∩{x|x＜0}＝{x|x＜0}，

A∪B＝{x|x＜1}∪{x|x＜0}＝{x|x＜1}．故选A.

[答案] A

2．(2017·天津)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝()

A．{2} B．{1,2,4}

C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}

[解析](A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩[－1,5]＝{1,2,4}，选B.

[答案] B

3．(2018·哈尔滨九中二模)设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则()

A．?x∈Q，有x∈P B．?x?Q，有x?P

C．?x0?Q，使得x0∈P D．?x0∈P，使得x0?P

[解析]∵P∩Q＝P，∴P?Q∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选B.

[答案] B

4．(2018·刑台摸底考试)已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x，0≤x≤4}，则下列关系正确的是()

A．A??R B B．B??R A

C．?R A??R B D．A∪B＝R

[解析]依题意得B＝{y|0≤y≤2}，因此B?A，

?R A??R B.

[答案] C

5．(2018·湖北七市(州)协作体联考)已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，Q＝{2,3,5}，则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为()

A．147 B．140

C．130 D．117

[解析]由题意得，y的取值一共有3种情况，当y＝2时，xy是偶数，不与y＝3，y＝5时有相同的元素，当y＝3，x＝5,15,25，…，95时，与y＝5，x＝3,9,15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140，故选B.

[答案] B

6．(2018·山东临沂期中)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2>0}，B＝{x|x－a≤0}，若?U B?A，则实数a的取值范围是()

A．(－∞，1) B．(－∞，2]

C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)

[解析]∵x2－3x＋2>0，∴x>2或x<1.

∴A＝{x|x>2或x<1}，∵B＝{x|x≤a}，

∴?U B ＝{x |x >a }．

?U B ?A ，借助数轴可知a ≥2，故选D. [答案] D

7．已知集合A ＝{x |y ＝x }，B ＝?

???

??

x ??

12

<2x <4，则(?R A )∩B 等于______． [解析] 因为A ＝{x |y ＝x }＝{x |x ≥0}，所以?R A ＝{x |x <0}．又B ＝?

???

??

x ??

12

<2x <4＝{x |－1

[答案] {x |－1

8．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }，若B ?A ，则m 的取值范围为 ________ .

[解析] 当m ≤0时，B ＝?，显然B ?A .当m ＞0时，∵A ＝{x |－1＜x ＜3}． 当B ?A 时，在数轴上标出两集合，如图，

∴????

?

－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .

∴0＜m ≤1.

综上所述m 的取值范围为(－∞，1]． [答案] (－∞，1]

9．(2018·南阳月考)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝x 2－2x －3}，B ＝{y |y ＝e x ＋1}，则A ∪B ＝ ________ .

[解析] 因为A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{y |y ＞1}，所以A ∪B ＝{x |x ＞1或x ≤－1}． [答案] (－∞，－1]∪(1，＋∞)

10．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ??R B ，求实数m 的取值范围．

[解] 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．

(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴?

????

m －2＝0，m ＋2≥3，∴m ＝2.

(2)?R B ＝{x |x m ＋2}，∵A ??R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3.

因此实数m 的取值范围是{m |m ＞5或m <－3}．

[B 能力提升练]

1．(2018·湖南衡阳第三次联考)集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥－1}，N ＝{(x ，y )|(x

－2)2＋y 2＝r 2，r ＞0}，若M ∩N ≠?，则r 的取值范围为( )

A.???

?

22，3

B.[]1，10

C.??

?

?22，10 D.?

??

?

1，

102 [解析] 由条件可得M 的可行域：如图阴影部分，N 则是以P (2,0)为圆心，

半径为r 的圆，由M ∩N ＝?，则当圆与x ＋y ＝1相切时半径最小，如图D 处，则d ＝r ＝

2

2

，当过y ＝x ，y ＝－1的交点时最大，此时r ＝10，故选C. [答案] C

2．(2018·开封模拟)设集合U ＝R ，A ＝{x |2x (x

－2)

<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部

分表示的集合为( )

A ．{x |x ≥1}

B ．{x |1≤x <2}

C ．{x |0

D ．{x |x ≤1}

[解析] 易知A ＝{x |2x (x

－2)

<1}＝{x |x (x －2)<0}＝{x |0

x >0}＝{x |x <1}，则?U B ＝{x |x ≥1}，阴影部分表示的集合为A ∩(?U B }＝{x |1≤x <2}．

[答案] B

3．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝ ________ ，n ＝ ________ .

[解析] A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}＝{x ∈R |－5＜x ＜1}，

由A ∩B ＝(－1，n )，可知m ＜1，则B ＝{x |m ＜x ＜2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.

[答案] －1；1

4．已知集合M ＝{1,2,3,4}，集合A 、B 为集合M 的非空子集，若?x ∈A 、y ∈B ，x

[解析] 当A ＝{1}时，B 有23－1＝7种情况，当A ＝{2}时，B 有22－1＝3种情况，当

A ＝{3}时，

B 有1种情况，当A ＝{1,2}时，B 有22－1＝3种情况，当A ＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B 均有1种情况，所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋1＋1＋1＝17个．

[答案] 17

5．(2018·徐州模拟)已知集合A ＝{x |1

[解] (1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2

?

1－m >2m ，2m ≤1，

1－m ≥3，

得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．

(3)由A ∩B ＝?，得①若2m ≥1－m ，即m ≥1

3时，B ＝?，符合题意；

②若2m <1－m ，即m <1

3

时，需?????

m <13，1－m ≤1或?????

m <13，

2m ≥3，

得0≤m ＜13或?，即0≤m <1

3

.

综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．

[C 尖子生专练]

(2018·贵阳市监测考试)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3?A ，则a 2?A ；③若a 3∈A ，则a 4?A .则集合A ＝______.(用列举法表示)

[解析] 若a 1∈A ，则a 2∈A ，则由若a 3?A ，则a 2?A 可知，a 3∈A ，假设不成立；若a 4

∈A ，则a 3?A ，则a 2?A ，a 1?A ，假设不成立，故集合A ＝{a 2，a 3}．

[答案] {a 2，a 3}