高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结

线面角的求法

1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。

解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,

图1

∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,

又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM

过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC

∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7

（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι

其中θ是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例2 （如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。

A 1

C 1

D 1

B 1

解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 ，设AB 与面 A B 1C 1D 所成的角为θ

,则sin θ

=h ／AB=4／5，∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin0.8

3. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2

（如图3）若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的一条直线，

其中θ为OA 与OC 所成的角，

B α

图3

θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么 cos θ=cos θ1·cos θ2，它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）

1．平面的斜线和平面所成的角：

已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是斜线在平面α内的射影。设AC 是平面α内的任意一条直线，且BC AC ⊥，垂足为C ，又设AO 与AB 所成角为1θ，AB 与AC 所成角为2θ，AO 与AC 所成角为θ，则易知：

1||||cos AB AO θ= ，212||||cos ||cos cos AC AB AO θθθ==

又∵||||cos AC AO θ=

，

可以得到：12cos cos cos θθθ=?，

注意：2(0,)2πθ∈（若22πθ=，则由三垂线定理可知，

OA AC ⊥，即2

θ=；与“AC 是平面α内的任意一条直线，且BC AC ⊥，垂足为C ”不相符）。

易得：1cos cos θθ< 又1,(0,)2

θθ∈即可得：1θθ<．

则可以得到：

（1）平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；（2）斜线和平面所成角：一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角，叫做斜线和平面所成角（或叫斜线和平面的夹角）。

说明：1．若a α⊥，则规定a 与α所成的角是直角；

2．若//a α或a α?，则规定a 与α所成的角为0

；

3．直线和平面所成角的范围为：090θ≤≤

；

4．直线和平面所成角是直斜线与该平面内直线所成角的最小值（12cos cos cos θθθ=?）。

例3（如图4）已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与面OBC 所成的角的余弦值。

θθ2θ1O

B A α

解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD 上，则∠AOD 即为OA 与

面OBC 所成的角，可知∠DOC=30° ,cos ∠AOC=cos ∠AOD·cos ∠DOC ，∴cos60°=cos ∠AOD·cos30° ∴ cos ∠AOD= √3／3 ∴ OA 与面OBC 所成的角的余弦值为√3／3。

2．例题分析：

例1．如图，已知AB 是平面α的一条斜线，B 为斜足，,AO O α⊥为垂足，BC 为α内的一条直线，

60,45ABC OBC ∠=∠= ，求斜线AB 和平面α所成角。

解：∵AO α⊥，由斜线和平面所成角的定义可知，ABO ∠为AB 和α

所成角，

又∵12cos cos cos θθθ=?，

∴cos cos601cos cos cos 45222ABC ABO CBO ∠∠=

÷=

∠

， ∴45BAO ∠= ，即斜线AB 和平面α所成角为45

．

例2．如图，在正方体1AC 中，求面对角线1A B 与对角面11BB D D 所成的角。

〖解〗（法一）连结11AC 与11B D 交于O ，连结OB ， ∵111DD AC ⊥，1111B D AC ⊥，∴1AO ⊥平面11BB D D ， ∴1A BO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角，

在1Rt A BO ?中，1112A O A B =，∴130A BO ∠=

．（法二）由法一得1A BO ∠是1A B 与对角面11BB

D D 所成的角，又∵11cos cos 45A BB ∠==

，11cos B B B BO BO ∠== ∴1111cos cos cos 2A BB A BO B BO ∠∠===∠，∴130A BO ∠=

．说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角。另外，在条件允许的情况下，用公式21cos cos cos θθθ=?求线面角显得更加方便。

例3．已知空间四边形ABCD 的各边及对角线相等，求AC 与平面BCD 所成角的余弦值。

解：过A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接,,CO BO DO ， ∵AB AC AD ==，∴O 是正三角形BCD 的外心，

设四面体的边长为a ，则3

CO a =

， ∵90AOC ∠=

，∴ACO ∠即为AC 与平面BCD 所成角，

O C

B A

A 1

∴cos ACO ∠=，所以，AC 与平面BCD

2．如图，已知PA ⊥正方形ABCD

所在平面，且24,PC PB PD ===PC 和平面ABCD 所

成的角。

P C

B C D P

高中数学空间中线线角,线面角,面面角成法原理与求法思路

D B A C α 空间中线线角，线面角，面面角成法原理与求法思路空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是2 , 0(π 。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。具体步骤如下： ①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； ②证明作出的角即为所求的角； ③利用解三角形来求角。简称为“作，证，求” 2、线面夹角直线与平面所成的角的范围是]2 , 0[π 。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道） ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。也是简称为“作，证，求” 注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠）） 2.1确定点的射影位置有以下几种方法： ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；已知：如图，BAC ∠在一个平面α内， ,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α内的射影）求证：OAN OAM ∠∠＝（OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上）证明： PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠?＝＝ PNA PMA ∴???（斜边直角边定理） AN AM ∴＝ ①

高中数学必修2综合测试题

正视图侧视图俯视图 2 1 1 高中数学必修2综合测试题文科数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若直线1=x 的倾斜角为α，则=α( )． A ．0 B.3 π C ．2π D ．π 2．已知直线1l 经过两点)2,1(--、)4,1(-，直线2l 经过两点)1,2(、)6,(x ，且21//l l ，则=x （ )． A ．2 B ．－2 C ．4 D ．1 3.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )． A ．π25 B ．π50 C ．π125 D ．π200 4.若方程02 2 =++++k y x y x 表示一个圆,则k 的取值范围是( ) A.21> k B.21≤k C. 2 1 0<

高一数学期中考试总结与反思

高一数学期中考试总结与反思许中银高一数学期中考试按事先约定的计划已圆满地结束了。从考试的结果看与事前想法基本吻合。考试前让学生做的一些事情从成绩上看都或多或少有了一定的效果。现将考前考后的一些东西总结。（1）考试的内容：本次考试主要考查内容为高中数学必修1全册，必修4到1.2.1任意角的三角函数。从卷面上看，必修1集合部分占29分，约占总分的18％。函数概念与基本初等函数I 部分140分，约占总分的88％。必修4三角函数部分14分，占总分约为8.5％。从分值分布看基本合理。（2）考试卷面题型分析。卷面上只有填空和解答两种题型。第I卷第1小题“设集合M＝{}{}R y y y y x∈ x x x 22 ＝ , ，， = R =, ∈ N 则M∩N＝”为集合交集问题，放在此处对于学习能力差的同学较难。第2题考查补集、子集问题。第3小题为计算题，根式计算问题。4，5，6，7为一般性问题应准确性还可以。第10题为偶函数定义域为[]a a2,1-，要考虑端点关于原点对称，有不少学生不太熟悉这种形式。第12题是关于恒成立问题，因为组内集体备课未强调，有的人讲，有的人没有讲，但也有很同学做对。13题为考 1，但是在考场上没有做出来的还是很多。14前讲过的原题答案为 24 题较难考虑画图后比较端点大小，没有讲过这种问题的班级做对的学

生很少。第II卷解答题15题一般性集合问题， 16题一般性二次函数问题，考查奇偶性，图象，单调区间，值域等等。17题为三角函数问题，学生初学又没有复习深化，大多数人被扣分，对m的讨论不全。第1小题对第2小题有诱导错误嫌疑。18题因为没有将分段函数总结在一起扣分，其实扣分也不太合理。 19题，第1小题用定义证明单调性过程比较规范，第2小题有同学用特值法求出m的值但缺少验证奇函数过程。 20题，较难要求学生有较强的思维能力和表达能力。一般学生只能做第1小题和部分第2小题，第3小题较难又涉及到参数和恒成立问题，全校仅有数人能完整解答出来。（3）考试成绩分析与反思笔者教两个班，高一（2）班为普通班，入学成绩较低一些，高一（24）班为二类重点班，入学成绩介于高分与低分之间。从考试结果看，好的入学成绩的学生基本上考出较好成绩，差的入学成绩基本上考出一个差的成绩。无论教育制度怎么改，量化出来的分数始终是最让师生关注的，总结大会上各级领导也基本上以分数或者分差多少来评论教师的个人业绩，多少年来似乎从未改变过。每一个师生的成绩总要拿出来晒一晒，分数好一点的人暗自庆幸我终于不在“批评”之列，不管其他学校老师的书是怎么教的，不管其他班级的学生是怎么学习的，师生的目标就是过了本校的对手，这样，日子也许会好过一些。这也是多少年没有改变过的事情。因而在平时的教学中就要注

高中数学线面角与线线角例题、习题-学生

线面角与线线角专练（小练习一）【知识网络】 1、异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2π θ∈；（2）求法； 2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]o o ；（3）求法；【典型例题】例1：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是（） A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角 D 、11AC 与1B C 成60o 角（2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为（） A 、2个 B 、4个 C 、6个 D 、8个（3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1，2则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是（） A ．90o B ．60o C ．45o D ．30o （4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是。（5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___. 例2：．如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。（I ）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于 A 、D 的任意一点，证明EF ⊥FC 1；（II ）试问：若AB ＝2a ，在线段AD 上的E 点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角，为什么？证明你的结论。例3：如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC =2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧面 PAB ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:BC ⊥侧面PAB; (Ⅱ)证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB; (Ⅲ)求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小; A B C D P

高中数学必修2测试题附答案

数学必修2 一、选择题 1、下列命题为真命题的是（） A. 平行于同一平面的两条直线平行； B.与某一平面成等角的两条直线平行； C. 垂直于同一平面的两条直线平行； D.垂直于同一直线的两条直线平行。 2、下列命题中错误的是：（） A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β； B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β； C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β； D. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l ⊥γ. 3、右图的正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’ 中,异面直线AA ’与BC 所成的角是（） A. 300 B.450 C. 600 D. 900 4、右图的正方体ABCD- A ’B ’C ’D ’ 中，二面角D ’-AB-D 的大小是（） A. 300 B.450 C. 600 D. 900 5、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（） A.a=2,b=5; B.a=2,b=-5; C.a=-2，b=5 D.a=-2，b=-5 6、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（） A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（） A 4x+3y-13=0 B 4x-3y-19=0 C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=0 8、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（） A.3 a π; B. 2 a π; C.a π2; D.a π3. A B D A ’ B ’ D ’ C C ’

高中数学-立体几何-线面角知识点

WORD文档立体几何知识点整理一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 2. 线面相交 3. 线在面内 l l A l α α α 二．平行关系： 1. 线线平行：方法一：用线面平行实现。 l l // l l // m m m 方法二：用面面平行实现。 // l l l // m β m γ m α 方法三：用线面垂直实现。若l ,m ，则l // m 。方法四：用向量方法：若向量l 和向量m 共线且l、m 不重合，则l // m 。 2. 线面平行：方法一：用线线平行实现。 l // m m l // l

l β// l // α l 方法三：用平面法向量实现。n l 若n为平面的一个法向量，n l 且l,则l // 。 α 2.面面平行：方法一：用线线平行实现。 l // // , m ', m l l 且相交且相交 // α l βm l' m' 方法二：用线面平行实现。l // // m // β l m l ,m 且相交 α三．垂直关系： 3.线面垂直：

l AC l l AC AC, A l A α C B 方法二：用面面垂直实现。 β l m l m l m,l α

3.面面垂直：方法一：用线面垂直实现。 l βl C θ l α A B 方法二：计算所成二面角为直角。 4.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。 l l m l m α m 方法二：三垂线定理及其逆定理。 P PO l OA l PA l A O l α 方法三：用向量方法：若向量l 和向量m 的数量积为0，则l m 。三．夹角问题。（一）异面直线所成的角：（1）范围：(0 ,90 ] （2）求法：方法一：定义法。步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。步骤2：解三角形求出角。（常用到余弦定理）余弦定理： a c cos 2 a 2 b 2ab 2 c θ b （计算结果可能是其补角）

高中数学月考总结

高中数学月考总结一、回归课本，落实三基。对高考试卷进行分析不难发现，高考试题中有相当一部分试题是对基本知识、基本技能、基本方法的考查，考题往往是对课本原题的变形、改造及综合。所以在第一阶段的复习中，同学们要认真理解数学概念、强化记忆数学公式，注重通性通法，淡化特殊技巧。要把重点放在掌握知识及解题方法上，选择一些针对性强的经典题目强化训练，使基础知识系统化，基本技能、基本方法熟练化。二、注重综合，强化能力。考试命题中心提出：应更多地在知识网络的交汇点上设计试题，在综合中考查能力。高中数学的主干知识在高考命题中的主要综合有：“函数、方程、导数与不等式的综合”、“函数与数列的综合”、“三角、向量的综合”、“解析几何与向量的综合”、“排列组合、概率与随机变量的综合”等。数学思想方法是知识综合的统帅和纽带，是综合能力的中心。数学思想总结提炼为：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归思想、猜证结合思想。因此，在总复习中，要善于学习老师关于数学思想方法的评讲，自觉地、尽早地领悟数学思想方法，以综合能力为重点和难点，强化训练，使解题策略与方法明确化和系统化。三、及时总结，查漏补缺。做题的目的是培养能力，是寻找自己的弱点和不足的有效途径。对同学最有价值的试题往往不是我们会做的试题，而恰恰是我们做错的试题。要及时纠正错误，总结经验以免再犯，并将自己在平时练习中容易出错的地方辑录成册，以便在高考前提醒自己。在做试题时，如果发现自己的知识系统中有明显的漏洞，就要及时弥补，绝不可掉以轻心。四、做到“三明”、“三最”。

“问明”：打破砂锅问到底，只要不懂，坚决搞懂; “看明”：数学答案会使用，各步推理，一律弄清; “写明”：独立解题勤练习，能做会做，表达无错。数学解题追求的最高境界是：“三最”，即推理最高，方法最好、表述最简! 高三数学总复习阶段是一个艰苦漫长的过程，需要同学们坚定信心，持之以恒，坚忍不拔。愿你们能不断完善自己，取得最后的成功。

高中数学必修2模块测试试卷

高中数学必修2模块测试试卷考号班级姓名一、选择题 1. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为（） B.-2 C. 2 D. 不存在 2．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（） A ．072=+-y x B ．012=-+y x C ．250x y --= D ．052=-+y x 3. 下列说法不正确的．．．．是（） A. 空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B ．同一平面的两条垂线一定共面； C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内； D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 4．已知点(1,2)A 、(3,1)B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 5. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（） A ． B ． C ． D ． 6. 已知a 、b 是两条异面直线，c ∥a ，那么c 与b 的位置关系（） A.一定是异面 B.一定是相交 C.不可能平行 D.不可能相交 7. 设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是 ( ) （A ）①和② （B ）②和③ （C ）③和④ （D ）①和④ 8. 圆22 (1)1x y -+= 与直线y x = 的位置关系是（） A ．相交 B. 相切 C.相离 D.直线过圆心 9. 两圆相交于点A （1，3）、B （m ，－1），两圆的圆心均在直线x －y +c=0上，则m+c 的值为

高中数学空间点线面之间的位置关系讲义

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系一、平面 1 平面含义： 2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。二、三个公理：三、空间直线、平面之间的位置关系 D C B A α

四、等角定理：五、异面直线所成的角 1.定义： 2.范围： 3.图形表示 4.垂直：六、典型例题

1．下面推理过程，错误的是（）（A ） αα??∈A l A l ,// （B ） ααα??∈∈∈l B A l A ,, （C ） AB B B A A =??∈∈∈∈βαβαβα,,, （D ） βαβα=?∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,, 2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（）（A ）1个或3个（B ）1个或4个（C ）3个或4个（D ）1个、3个或4个 3．以下命题正确的有（）（1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面；（2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线；（3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β；（4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。（A ） 1个（B ） 2个（C ） 3个（D ）4个 4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（）（A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12 5．以下命题中为真命题的个数是（）（1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α；（2）若直线a 在平面α外，则a ∥α；（3）若直线a ∥b ，α?b ，则a ∥α；（4）若直线a ∥b ，α?b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。（A ） 1个（B ） 2个（C ） 3个（D ）4个 6．若三个平面两两相交，则它们的交线条数是（）（A ） 1条（B ） 2条（C ） 3条（D ）1条或3条 7．若直线l 与平面α相交于点O ，l B A ∈,，α∈D C ,，且BD AC //，则O,C,D 三点的位置关系是。 8．在空间中， ① 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线。② 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。以上两个命题中为真命题的是（把符合要求的命题序号填上） 9．已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，1521=BB ，求异面直线D B 1与MN 所成角的余弦值。 10.正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11D C 和11B C 的中点，P 、Q 分别为AC 与BD 、11A C 与EF 的交点. （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若1A C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线.

高中数学期末考试总结

高中数学期末考试总结时间如同白驹过隙，弹指一瞬之间，整个高一生活已经悄悄地离我们而去了，紧张的期末考试也暂时告一段落，现在，我要针对这次考试做出如下总结。言归正传，这次期末考试算是我这学期准备的最充分的、最重视的一次了，虽然各科的成绩都还不知道呢，但我认为考的并不理想。其实上了高中，我才发现自己压根儿根本就没有属于自己的“所谓的”优势学科，每科都基本在十几名左右，语文学科曾经还有考过倒数前十的悲惨历史。那么就请先允许我天真地把数理化当作“优势学科”好了。我自己对物理这次考得其实并不满意。这是因为前几次考试中所暴露出啦的问题仍然存在——面对一道貌似简单的解答题，总是因为着急而不好好读题，从而白痴地导致计算的多次错误，我通常会在这道题上会浪费很多时间进行计算过程的检查、重新理解原题以及重新选择合适的方法解题。因此，我总结了一下不光是在物理这一学科上，而是要在整个理科上面要加强的三点是“读题认真而仔细，做题不慌而不忙，计算慢而求稳”。再有，第二点就是在做选择题是，由于多选题与单选题是混合在一起的(这次例外)，所以我老是不敢多选，害怕因为自己的错选而导致扣更多的分数。虽然这是一个在考场上的策略，但这还是说明了我对概念的不熟，因此我以后要在课上更加专注于对概念的强行记忆。第三点就是选择及填空题的做题时间慢的问题，都是不好好读题导致的，所以我应该在提高自己的做题速度的同时加强自己的准确率，保证做一道对一道数学虽然还不知道确切的成绩，但我并不满意，但还是肖老师的那句话，“这次考试比较简单……”我对自己的“长项”毕竟有自知之明，我必然不是最聪明的，但确实是在用心地、努力地学习数学——这一个我认为非常难的科目。不过至于在考试中是否能够取得优异的成绩，我觉得并不是最重要的，我觉得这个成绩作为一个学期结束后的回报，应该是和自己的付出是成正比的。就自己个人感觉而言，化学这次考得也似乎比较不错。但一些老师上课讲过的概念性的内容，我却好似第一次听到，完全没有印象，因此提高课堂效率是下一步一定要做的，这一点同样适用于上面提及的物理学科。化学学科我同样可以问心无愧地告诉自己说：“下了很多功夫”，虽然不像英语数学那样经常做课外题，但却是认认真真地对待老师所留的每一项作业，认真就着答案核对每一道题，把每个不懂的知识点，每道模糊不清的题都想尽办法弄明白。但我发现我的记忆是个老大难的问题，大脑经常自动地超某个知识文件夹摁下“Delete”键，而且倒霉的是考试恰恰就考那些被无情地“删除”的知识。这个知识今天明白了，可能过几天学了新知识，就和新知识混淆了，而且容易忘。所以复习是必不可少的，我在接下来的学习中要加强自己的复习，在学好新知识的同时，要巩固，记熟旧知识。着同样适用于每一个学科。英语这次出地简单了，大部分考题都出自原书，所以我就根据课文，回归了基础，几天的复习时间我认真背诵了所有的课文，对我考试帮助很大，我要继续保持对英语的信心，毕竟英语，我认为，是目前高中课程中最有实用价值的科目了。

线面角的求法总结

线面角的三种求法 1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, B M H S C A 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例2 （如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与面 A B 1C 1D 所成的角为θ ,则sin θ =h ／AB=4／5

高中数学知识要点重温之线面关系

线面关系江苏郑邦锁 1．“公理1”用于证明“线在面内”；“公理2”用于证明“点在线上”，“公理3”及其推论用于证明“共面”。 [举例1]⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1所在的平面交于直线l ，AB 和A 1B 1交于P ，BC 和B 1C 1交于Q ，AC 和 A 1C 1交于R ，则下列判断正确的是：（） A ．P 、Q 、R 确定平面γ，且l ?γ； B ．P 、Q 、R 确定平面γ，且l ∥γ； C ．P 、Q 、R 确定平面γ，且l ⊥γ； D ．P 、Q 、R 都在直线l 上解析：易见P 是平面ABC 和平面A 1B 1C 1的一个公共点，由公理2知，P 在它们的公共线l 上，同理：Q 、R 也在直线l 上。 [举例2] 如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形1111A B C D 是边长为1的正方形，1DD ⊥平面1111A B C D ， 1DD ⊥平面ABCD ，12DD =．求证：11A C 与AC 共面，11B D 与BD 共面．（07高考安徽理17）解析：几何体为六面体，则AB 、A 1B 1共面，BC 、B 1C 1共面， CD 、C 1D 1共面，AD 、A 1D 1共面； 1D D ⊥∵平面1111A B C D ，1D D ⊥平面ABCD ． ∴平面1111A B C D ∥平面ABCD 于是11C D CD ∥，11D A DA ∥．设E F ，分别为DA DC ，的中点，连结11EF A E C F ，，，有：A 1D 1平行且等于AD ，故A 1E 平行且等于DD 1，同理C 1F 平行且等于DD 1，于是A 1E 平行且等于C 1F ∴11AC EF ∥．又由 1DE DF ==，得EF AC ∥，故11AC AC ∥，11AC 与AC 共面．过点1B 作1B O ⊥平面ABCD 于点O ，则1111B O A E B O C F ， ∥∥，连结OE OF ，，于是11OE B A ∥，11OF B C ∥， OE OF =∴．1111B A A D ⊥∵，OE AD ⊥∴．1111B C C D ⊥∵，OF CD ⊥∴．所以点O 在BD 上，而11D B 与DO 共面，故11D B 与DB 共面． [巩固1]已知在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且BG ：GC=DH ：HC=2：1，则EG 、FH 、AC 的位置关系是：（） A ．两两异面 B ．两两平行 C ．交于一点 D ．两两相交。 A B C D 1A 1B 1 C 1 D A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M O E F

高中数学考试反思1000字

数学考试反思1000字范文一：学生反思在刚刚结束的期中考试里，我犯了很多不该犯的错误。我知道老师对于我有着很大的期望，可是我还是没有考好。对于这点我感到十分抱歉。但是既然犯了错误就要改正，所以，通过考试我也想了很多以后一定要学习的东西。首先我要改掉考试不细心读题目的坏习惯。有时候我往往看着题目前面就顺手把后面的问题写上了，但是却错了很多。这也许也和答题技巧有关系。总之，通过以后的练习，我一定要在考试的过程之中认真审题，自习读题，把题目看准、看好。时间允许的时候要多检查几遍，绝对不允许自己再犯类似于这样的无谓的错误。其次，我还要加强英语的习题强化。通过考试，我终于明白山外有山，人外有人。平日大家都聚在一起做一样的题目，感觉不出来有什么明显的差异。可是一当考试，才发现原来那么多考试题目是我从来看都没看过的(你就先编着吧)。只怪自己买的练习题做的少。不能允许自己再继续这样下去，所以，我一定要加倍努力，从这次考试之中汲取教训，增加力量，为下一次考试做好准备，打好基础。考试技巧贵在练习。生活之中，我还要多多加强自己的练习和复习，考试之前制定周详的复习计划，不再手忙脚乱，没有方向。平日生活学习中学会积累，积累英语好词好句，积累英语难的题目，积累英语语法项目。对做完形填空等练习题也是提高英语的好方法。期中考试毕竟不是期末考试，我还是有机会的。下一次考试，我要更努力，争取不让老师、家长和同学们失望。不让自己失望。对于老师，我希望老师不要对我失去信心，虽然我这次考得并不理想，但是我相信自己的实力。下一次考试，我一定会努力的! 终究不如自己写的好，自己写才能真真与老师共同交流，找出自己的不足此次考试总体来说可以用三个词来形容闻者伤心，见者流泪，惨不忍睹!试卷发下来的那一刹那间，我屏住了呼吸。面前两个鲜红显眼的数字令我目瞪口呆。上帝啊，我的语文成绩有了历史性的突破!离及格只差那短短的一步之遥了。这个成绩是空前的，可不知道是不是绝后的。所谓种瓜得瓜，种豆得豆。我这是自食其。哎，早知今日，何必当初啊?古人云：风萧萧兮，易水寒。今我叹：考试结束兮，我玩完!亡羊补牢，无济于事啊。想不到自认优秀的我如今也会落到这般田地。说到原因嘛，是多方面的。其一也是首要的当然是自己不知道努力，没有持之以恒的刻苦精神。有的只是那三分钟的热度。这种种恶习是酿成失败的主要原料。当然，古往今来，凡成大事，离不开天时、地利、人和三者融汇.幸运女神这次从我身旁俏然而逝,没有得到她的青睐,又怎能不落到失败的深渊呢?能爬多高，就能跌多深，我算体会到了。拿起试卷一看，触目惊心!那一个个错叉好似一把把尖锐无比的刺刀，扎的我快要窒息了。该对的没对，该会的不会。今晚即将上演家庭不定项式乒乓比赛，男子单打，女子单打或男女混合双打。啊，吾命休矣! 小小的考试透露出我内心的那一份自满，那一份狂傲。让我知道自己在众人之中是多么渺小，多么不堪一击!这也算是对我一个小小的惩戒吧，为我敲响了警钟，也提前给我打上了预防针。一次失败算不了什么，失败也许是成功的前兆。一次成功也证明不了什么，它终究要成为历史。我们不可能未卜先知，只能凭着自己的那一份付出，去期待丰硕的收获! 努力吧，剩下的时间不多了...... 范文二：>学生反思< 时间过得很快很快，从来不停下脚步等待。命运掌握在我们的手中，有我们自己刻画一个人一生的姿态。花儿总有凋谢的时候，人也如此，要珍惜年少时的时光。我并没有常常珍惜生活中的点

高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结

线面角的求法 1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例2 （如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1 =V A ﹣BB 1C 1 ∴1／3 S △AB 1C 1 ·h= 1／3 S △BB 1C 1 ·AB，易得h=12／5 ，

人教版高中数学必修二测试卷

高中数学必修二检测题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间90分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 、一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4∶9，则此棱锥的侧棱被分成上下长度两部分之比为（） A ．4∶9 B ．2∶1 C ．2∶3 D ．2∶5 2 、如果实数x ，y 满足22 (2)3x y -+=，那么y x 的最大值是（） A 、3 B 、3- C 、33 D 、33 - 3 、已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 4 、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（） A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 5 、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为（）俯视图主视图侧视图 A.24πcm 2，12πcm 3 B.15πcm 2，12πcm 3 C.24πcm 2，36πcm 3 D.以上都不正确 6 、棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．平行或相交 D ．不相交

7 、直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（） A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1) 8 、两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（） A ．4 B C D 9、直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（） (A)2 2 (B)4 (C)2 4 (D)2 10、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1B C 成60角 11 、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ?M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有 A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 12 、点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（） (A) 11<<-a (B) 10<-