最新2017-2018年高考高三数学第一次模拟试题精选：数列07 Word版含答案

数列07

14、数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且满足21n n S a =-

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）求和：0121231n n n n n n

S C S C S C S C +++++ ；

（3）设有m 项的数列{}n b 是连续的正整数数列，并且满足：

()212111lg 2lg 1lg 1lg 1lg log m m a b b b ??????+++++++= ? ? ???????

试问数列{}n b 最多有几项？并求这些项的和.

【答案】解：（1）由12-=n n a S 得1211-=++n n a S ，相减得n n n a a a 2211-=++，即n n a a 21=+． 又1211-=a S ，得011≠=a ，∴数列{}n a 是以1为首项2为公比的等比数列，∴12-=n n a ． ………………………………………………5分

（2）由（1）知12-=n n S ．

∴n n n n n n n n n n n n C C C C C S C S C S C S ?-+?-+?-+?-=?++?+?+?++)12()12()12()12(12312011231201 n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C 2322)21(2)()222(22102210-?=-+=++++-++++= ………………………………………………10分

（3）由已知得111122211-=+??+?+?m b b b b b b m

m ． 又{}n b 是连续的正整数数列，∴11+=-n n b b ．∴上式化为

1)1(21-=+m b b m ．…… 又)1(1-+=m b b m ，消m b 得02311=--m b mb ．

2

6323111-+=-=b b b m ，由于*∈N m ，∴21>b ，∴31=b 时，m 的最大值为9. 此时数列的所有项的和为6311543=++++ ……………………16分

15、已知数列{a n }满足7

61-=a ，12110n n a a a a +++++-λ= (其中λ≠0且λ≠–1，n ∈N*)，n S 为数列{a n }的前n 项和．

(1) 若3122a a a ?=，求λ的值；

(2) 求数列{a n }的通项公式n a ；

(3) 当13

λ=时，数列{a n }中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，

请说明理由．

【答案】(1) 令1=n ，得到λ712=a ，令2=n ，得到237171λ

λ+=a 。…………2分 由3122a a a ?=，计算得6

7-=λ．……………………………………………………4分 (2) 由题意01121=-+???++++n n a a a a λ，可得：

)2(01121≥=-+???+++-n a a a a n n λ，所以有

0)1(1=-++n n a a λλ)2(≥n ，又1,0-≠≠λλ，……………………5分 得到：)2(11≥+=

+n a a n n λλ，故数列}{n a 从第二项起是等比数列。……………7分 又因为λ712=a ，所以n ≥2时，2)1(71-+=n n a λ

λλ……………………………8分 所以数列{a n }的通项???????≥+=-=-.2)1(71,1762n n a n n λ

λλ…………………………………10分 (3) 因为31=λ 所以???????≥?=-=-.247

3,1762n n a n n ……………………………………11分 假设数列{a n }中存在三项a m 、a k 、a p 成等差数列，

①不防设m >k >p ≥2，因为当n ≥2时，数列{a n }单调递增，所以2a k =a m +a p

即：2?(37)?4k –2 = 37?4m –2 + 37

?4p –2，化简得：2?4k - p = 4m –p +1 即22k –2p +1=22m –2p +1，若此式成立，必有：2m –2p =0且2k –2p +1=1，

故有：m=p=k ，和题设矛盾………………………………………………………………14分

②假设存在成等差数列的三项中包含a 1时，

不妨设m =1，k >p ≥2且a k >a p ，所以2a p = a 1+a k ，