2020届湖南省五市十校高三第三次联考数学(理)试卷

2020届湖南省五市十校高三第三次联考

数学（理科） ★祝考试顺利★ 注意事项：

1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合A=}72|{},63|{<<=<<-x x B x x ，则)(B C A R =( )

A. （2，6）

B. （2，7）

C.（-3，2]

D.（-3，2） 2. 已知复数1z 对应复平面上的点(1,1)-，复数2z 满足122z z =-，则2|2i |z +=( )

A ．2 C ．10 D 3. 已知正项等比数列{a n }满足a 3＝1，a 5与32a 4的等差中项为1

2

，则a 1的值为( )

A. 4

B. 2

C. 12

D. 14

4．如图，在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为( )

A. 3

e

B.

43

e

-

1

1

1

3

6

正视图

侧视图

俯视图

C. 33

e

-

D.

1

3

e - 5. 已知命题:,2x

p x R x e ?∈->，命题2

:,1,log (1)0a q a R a a +?∈≠+>且，则( )

A. 命题p q ∧?是真命题

B. 命题p q ∨?是假命题

C. 命题p q ∨是假命题

D. 命题p q ∧是真命题 6. 7人乘坐2辆汽车，每辆汽车最多坐4人，则不同的乘车方法有( ) A. 35种

B. 50种

C. 60种

D. 70种

7. 将函数()πsin 23f x x ?

?=+ ??

?的图象向右平移π2个单位长度得到()g x 图像，则下列判断错误

的是( )

A ．函数()g x 在区间ππ,122??

????上单调递增 B ．()g x 图像关于直线7π12x =对称

C ．函数()g x 在区间ππ,63??-????上单调递减

D ．()g x 图像关于点π,03??

???

对称

8. 已知非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=,则a b ?的最大值为( ) A.

1

2

B. 1

C. 2

D. 3 9. 榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。榫卯结构中凸出部分叫榫（或叫榫头），已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是( ) A. 36 B. 45 C. 54

D. 63

10．已知数列{a n }满足2a 1＋22

a 2＋ (2)

a n ＝n (n ∈N *

)，数列????

??1log 2a n log 2a n ＋1的前n 项和为S n ， 则S 1·S 2·S 3·…·S 10＝( )

A. 110 B ．111 C. 211 D ．15

11．已知21,F F 是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的左、右焦点，若点2F 关于渐近线的对

称点M 也在双曲线上，则该双曲线的离心率为( )

A ．

2

5

B ．2

C ．2

D ．5 12．定义在0+∞（，）

上的函数f x （）满足2

()10x f x '+>，5

22

f =（），则关于x 的不等式1

2ln f x x +（ln ）>

的解集为( ) A ．2

(,)e +∞ B. 2

(0,)e C. 2

(,)e e D. 2

(1,)e

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．若,x y 满足约束条件40,

20,

220,x y x z x y x y -+≤??

-≤=+??+-≥?

则的最小值为__________． 14

．(2n x 的展开式中各项系数之和为81，则展开式中x 的系数为 ．

15

．已知边长为ABCD 中，∠BAD ＝60°，沿对角线BD 折成二面角A -BD -C 的大小

为120°的四面体，则四面体的外接球的表面积为 ．

16．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，E 为y 轴正半轴上的一点．且OE ＝3OF （O 为坐标原点），

若抛物线C 上存在一点M （x 0，y 0），其中x 0≠0，使过点M 的切线l ⊥ME ，则切线l 在y 轴上的截距为 ．

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题12分）

在ABC ?中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，.已知sin sin 03b C c B π?

?--= ??

?.

(Ⅰ)求角C ；

(Ⅱ)

若4a c ==，ABC ?的面积.

某商场营销人员进行某商品的市场营销调查时发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：

（Ⅰ）经分析发现，可用线性回归模型0.08y bt =+拟合当地该商品销量y （千件）与返

还点数t 之间的相关关系.试预测若返回6个点时该商品每天的销量；

（Ⅱ）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分

庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：

（1）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值X 的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）； （2）将对返点点数的心理预期值在)3,1[

和]13,11[的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消

费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中 “欲望紧缩型”消费者的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望.

19. (本小题12分）

如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面A 1BC ⊥侧面ABB 1A 1，且AA 1=AB =2 （Ⅰ）求证：AB ⊥BC ；

（Ⅱ）若直线AC 与平面A 1BC 所成角的大小为30°，

求锐二面角A -A 1C -B 的大小．

椭圆C :22

221x y a b

+=(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过焦点F 2且垂直

于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）点P (x 0 ,y 0)(y 0≠0)为椭圆C 上一动点，连接PF 1、PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点M (m ,0)，求实数m 的取值范围.

21. (本小题12分）

已知函数()()()12

1'102

x f x f e f x x -=-+,其中()f x '是地f (x )的导数, e 为自然对数的底数, ()2

12

g x x ax b =

++ (a R ∈,b R ∈). （Ⅰ）求f (x )的解析式及极值;

(Ⅱ) 若f (x )≥g (x ),求b (a +1)的最大值.

22．(本小题10分)【选修4—4：坐标系与参数方程】

己知直线l的参数方程为

1

32

x t

y t

=+

?

?

=+

?

(t为参数)，曲线C的极坐标方程为sin2

-16cos=0，直线l与曲线C交于A、B两点，点P(1,3)．(Ⅰ) 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(Ⅱ) 求

11

PA PB

+的值.

23. (本小题10分）【选修4 — 5：不等式选讲】

已知函数f(x)=2x-1+x+1.

（Ⅰ）解不等式f(x)≥3;

（Ⅱ）记函数f(x)的最小值为m，若a,b,c均为正实数，且a+2b+3c=2m，求a2+b2+c2的最小值.

数学（理科）参考答案

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 5 14. 24 15. 28π 16. -1

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题12分）

【解析】(Ⅰ)∵sin sin 03b C c B π?

?--= ??

?，

∴1

sin sin sin sin 02B C C C B ??-=

? ???

，

∴1sin 02C C =，∴sin 03C π?

?+= ??

?.

∵()0C π∈，， ∴23

C π

=

. ………………6分 (Ⅱ)∵2222cos c a b ab C =+-，∴24120b b +-=， ∵0b >，∴2b =，

∴11sin 2422S ab C ==??=…………………………12分

18.解析： （Ⅰ）易知123450.50.61 1.4 1.73, 1.0455

t y ++++++++====，

则y 关于t 的线性回归方程为0.320.08y t =+，

当6t =时，2.00y =，即返回6个点时该商品每天销量约为2百

件. ............4分

（Ⅱ）（1）根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值X 的平均值x 的估计值为：

20.140.360.380.15100.1120.056x =?+?+?+?+?+?=，

中位数的估计值为10020602

525 5.7603

--+?

=+≈. ...........8分

（2）抽取6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为430

20

6=?，

“欲望膨胀型”消费者人数为230

10

6=?

. 51)1(362214===C C C X P , 53)2(361224===C C C X P , 5

1

)3(3

60234===C C C X P 故随机变量X 的分布列为

26

4

3)(=?

=X E ...........12分 19. (本小题12分）

【解析】（Ⅰ）如图，取1A B 的中点D ，连接AD . 因为1AA AB =，所以1AD A B ⊥. 由平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且平面1A BC 侧面111A ABB A B =，

得AD ⊥平面1A BC .

又BC ?平面1A BC ，所以AD BC ⊥，

因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，则1AA ⊥底面ABC ，所以1AA BC ⊥ 又1

AA AD A =，从而BC ⊥侧面11ABB A ，

又AB ?侧面11A ABB ，故AB BC ⊥． ………………（6分）

(Ⅱ)解法一:连接

CD, 由(1)知AD ⊥平面A 1BC,则CD 是AC 在平面

A 1BC 内的射影

∠ACD 即为直线AC 与平面A 1BC 所的角,则∠ACD=30°.

在等腰直角1

AB 中, A 1A=AB=2,且点D 是A 1B 中点,

11

2

A B =又∠ADC=90°.∠

过点A 作1AE A C ⊥于点E ，连接DE ， 由（1）知AD ⊥平面1A BC ，则1AD A C ⊥， 又AE

AD A =，∴1A C DE ⊥，

∴AED ∠即为二面角1A A C B --的一个平面角.……（9分）

在直角1A AC △

中，11

3A A AC AE AC ?=

==

又AD =90ADE ∠=

，∴

sin 3

AD AED AE ∠=

==

又二面角1A A C B --为锐二面角，∴60AED ∠=， 即二面角1A A C B --的大小为60．

………………（12分）

解法二（向量法）：由（1）知AB BC ⊥且1BB ⊥底面ABC ，所以以点B 为原点，以

1BC BA BB 、、所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系B xyz -.

设BC a =，则()0,2,0A ，()0,0,0B ，(),0,0C a ，()10,2,2A ，(),0,0BC a =，

()10,2,2BA =，(),2,0AC a =-，()10,0,2AA =.

设平面1A BC 的一个法向量()1,,x y z =n ，由1BC ⊥n ，11

BA ⊥n ，得0220xa y z =??+=?

. 令1y =，得0,1x z ==-，则()10,1,1=-n . 设直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ，则30θ=， 所以11

1

sin 302

AC AC -=

=

=

n n ， 解得2a =， 即()2,2,0AC =-．

又设平面1A AC 的一个法向量为

2n ，同理可得()21,1,0=n . 设锐二面角1A A C B --的大小为α，则1212121

cos cos ,||||2

α?==

=?n n n n n n ，

由0,

2απ??

∈ ???

，得60α=. ∴锐二面角1A A C B --的大小为60．……………（12分） 20. (本小题12分)

【解析】（Ⅰ）将x c =代入22221x y a b +=中，由222a c b -=可得42

2b y a =，

所以弦长为2

2b a

，………………2分

故有2

222212b a c a

a b c ?=???=???=+??

，解得21a b =??=?，所以椭圆C 的方程为：2

214x y +=．………4分

（Ⅱ）法一：设点()00,y x P ()00≠y ，又()(

)

0,3,0,321F F -，则直线21,PF PF 的方程分别

为

()033:0001=++-y y x x y l ； ()

033:0002=---y y x x y l ．

由题意可知

()

()

2

02

00

02

0200

03

33

3-+-=

+++x y y my x y y my ．

…………………6分

由于点P 为椭圆C 上除长轴外的任一点，所以14

2

02

0=+y x ，

所以

2

02

02-233-2233???

?

??=

???

? ??++x m x m ， …………………8分

因为33-<

x ，

00

22=

043x m = ……10分 因此，23

23<<-

m ．

…………………12分 法二：设t PF =1，在M PF 1?中，由正弦定理得

1

1sin 3

sin MPF m PMF t ∠+=

∠ 在M PF 2?中，由正弦定理得

22sin 3sin 4MPF m

PMF t ∠-=

∠-

…………………6分

因为12PMF PMF π∠+∠=，12MPF MPF ∠=∠，

所以m

m

t t -+=-334，解得

()

343241-=t m ， …………………8分 因为()c a c a t +-∈,，即()

32,32+-∈t ， …………………10分 所以23

23<<-

m ．

…………………12分 21. (本小题12分）

【解析】（Ⅰ）由已知得()()()1''10x f x f e f x -=-+, 令x =1, 得()()()'1'101f f f =-+,即()01f =, 又()()

'10f f e

=

, ∴()'1f e =, 从而()2

12

x f x e x x =-+

, ∴()'1x f x e x =+-, 又()'1x f x e x =+-在R 上递增,且()00f '=, ∴当0?x <时, ()'0f x <;0x >时, ()'0f x >, 故0x =为极大值点,且(0)1f =. …………………5分 （Ⅱ）()2

12

f x x ax b ≥

++?()()10x h x e a x b =-+-≥，得()()'1x h x e a =-+, ①当10a +≤时, ()()'0h x y h x >?=在x ∈R 上单调递增,

x →-∞时, ()h x →-∞与()0h x ≥相矛盾;

②当10a +>时, ()0ln(1)h x x a >'>?+,()()'0ln 1h x x a

∴()()()()2

2

111ln 1a b a a a +≤+-++,()10a +>, 令()()22ln 0F x x x x x =->,则()()'12ln F x x x =-,

∴()'00F x x >?<<,()'0F x ?,

当x =

, ()max 2

e F x =,

即当1a =

,b =

时, ∴()1b a +的最大值为

2

e

, …………………12分 22．(本小题10分)【选修4—4：坐标系与参数方程】

【解析】（Ⅰ）直线l 的普通方程y =2x +1………………………..2分 曲线C 的直角坐标方程y 2

=16x …………………………….5分

（Ⅱ）直线的参数方程改写为代入.

，…………….8分

……………………………….10分

23. (本小题10分）【选修4 — 5：不等式选讲】

【解析】（Ⅰ）f (x )=3,112,1213,2

x x x x x x ?

?-≤-?

?

--<

?

≥??

解得：x ≤-1，或x ≥1， 所以不等式的解集为{x x ≤-1，或x ≥1}. …………………5分

（Ⅱ）由(1)可知,当x =12时,f (x )取得最小值3

2

, 所以m =

3

2

,即a +2b +3c =3, 由柯西不等式得(a 2

+b 2

+c 2

)(12

+22

+32

)≥(a+2b+3c)2

=9, 整理得a 2

+b 2

+c 2

≥

914

,

当且仅当123a b c ==时, 即369

,,141414

a b c ===时等号成立. 所以a 2+b 2+c 2

的最小值为914

. …………………10分