高中数学平面向量及其应用练习题

一、多选题

1．下列说法中错误的为（）

A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是

5,3??-+∞ ???

B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ??

???

不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a

D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 2．给出下列结论，其中真命题为（） A ．若0a ≠，0a b ?=，则0b =

B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22

()a b a b ?=? C ．若非零向量a 、b 满足2

a b

a b +=+，则a 与b 垂直

D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是

π 3．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ?=

D ．()

4BC a b ⊥+

4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B >

D ．

sin sin sin +=+a b c

A B C

5．已知点()4,6A ，33,2B ??- ???

，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（） A ．14,33??

???

B ．97,2?

? ???

C ．14,33??

- ???

D ．(7，9)

6．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）

A ．10,45,70b A C ==?=?

B ．45,48,60b c B ===?

C ．14,16,45a b A ===?

D ．7,5,80a b A ===?

7．以下关于正弦定理或其变形正确的有（） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b

C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立

D ．在ABC 中，

sin sin sin +=+a b c

A B C

8．下列各式中，结果为零向量的是（） A ．AB MB BO OM +++ B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++ D ．AB AC BD CD -+-

9．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，

则（）

A ．12AF AD A

B =+

B ．1()2EF AD AB =+

C ．21

AG AD AB =- D ．3BG GD =

10．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且

()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（）

A ．sin :sin :sin 4:5:6A

C = B ．ABC ?是钝角三角形

C ．ABC ?的最大内角是最小内角的2倍

D ．若6c =，则ABC ?87

11．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（）

A ．若a b >，则sin sin A

B >

B ．若sin 2sin 2A B =，则AB

C 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形

D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形

12．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=，则以下结论正确的是（） A ．a b ⊥

B ．2a b +=

C ．2a b -=

D ．,60a b =?

13．（多选题）下列命题中，正确的是（） A ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b +≤+； B ．若0a b ?=，则00a b ==或； C ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b ?≤ D ．若,a b 共线，则||||a b a b ?=±

14．某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处,他向右转150°,然后朝新方向走3km 到达C 处,结果他离出发点恰好3km ,那么x 的值为( ) A ．3 B ．23

C ．3

D ．315．题目文件丢失！

二、平面向量及其应用选择题

16．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且

2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（）

A ．

34 B ．58

C ．38

D ．23

17．O 为ABC ?内一点内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知

0a OA b OB c OC ?+?+?=，且tan tan tan 0A OA B OB C OC ?+?+?=，若3a =边BC 所对的ABC ?外接圆的劣弧长为（） A ．

π B ．

π C ．

π D ．

π 18．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()

20BC OB OC OA ?+-=，则

ABC 一定为（）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．钝角三角形

19．已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ??+= ? ???

，且1

||||2AB AC AB AC =，则ABC ?的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰（非等边）三角形

D ．等边三角形

20．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ?=?=?，那么点P 是三角形ABC 的（） A ．重心

B ．垂心

C ．外心

D ．内心

21．已知,a b 是两个单位向量，则下列等式一定成立的是( ) A ．0a b -=

B ．1a b ?=

C ．a b =

D ．0a b ?=

22．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MC AM ∠=?==，则△ABC 的面积的最大值为（） A ．123B ．3

C ．12

D ．183

23．在ABC ?中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形

D ．等腰或直角三角形

24．若向量123,,OP OP OP ，满足条件1230

OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，则123PP P ?的形状是（）

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等边三角形

D ．不能确定

25．ABC 中，5AB AC ==，6BC =，则此三角形的外接圆半径是（） A ．4

B ．

C ．

258

D ．

26．设ABC ?中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（）

A ．1233A

B A

C -

+ B ．

33AB AC - C ．1233

AB AC -

D ．21

AB AC -

+ 27．已知圆C 的方程为2

(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x

上，线段AB 为圆C

的直径，则PA PB ?的最小值为（） A ．2

B ．

C ．3

D ．

28．在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若

AB AF 3→→=，则AE BF

→→的值为（） A ．0

B ．

C ．-4

D ．4

29．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =（）

A ．13

AB AD -+ B ．12

23AB AD + C ．

AB AD - D ．

AB AD - 30．已知,m n 是两个非零向量，且1m =，2||3m n +=，则||+||m n n +的最大值为 A 5

B 10

C ．4

D ．5

31．已知点O 是ABC ?内一点，满足2OA OB mOC +=

，4

AOB ABC S S ??=，则实数

m 为

（） A ．2

B ．-2

C ．4

D ．-4

32．如图，在

ABC 中，14AD AB →

→=，12

AE AC →→

=，BE 和CD 相交于点F ，则向量

AF →

等于（）

．1277AB AC →→

B ．1377AB A

C →→

C ．121414

AB AC →→

+ D ．131414

AB AC →→

+ 33．奔驰定理：已知O 是ABC ?内的一点，BOC ?，AOC ?，AOB ?的面积分别为A S ，

B S ，

C S ，则0A B C S OA S OB S OC ?+?+?=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的

结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ?内的一点，A ，B ，C 是ABC ?的三个内角，且点

O 满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?，则必有（）

A ．sin sin sin 0A OA

B OB

C OC ?+?+?= B ．cos cos cos 0A OA B OB C OC ?+?+?= C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ?+?+?=

D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ?+?+?=

34．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()2

26,c a b =-+3

C π

，则

ABC 的面积为（）

A ．6

B 33

C ．33

D 3

35．在ABC 中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ??

?=++ ???

，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（） A ．重心

B ．内心

C ．外心

D ．垂心

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题 1．ACD 【分析】

由向量的数量积?向量的投影?基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】

对于A ，∵，，与的夹角为锐角， ∴ ，

且(时与的夹角为0)，所以且，故A 错误；对于B 解析：ACD 【分析】

由向量的数量积?向量的投影?基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】

对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ?+=?++

142350λλλ=+++=+>，

且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)，所以5

λ>-

且0λ≠，故A 错误；对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；

对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误；对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =?，则2

3()||||2

a a

b a a b a ?+=+?=

，

222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+?+=，

故2

3||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ?+<+>===

+?∣，而向量的夹角范围为[]0,180??，得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】

本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.

2．CD 【分析】

对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题. 【详解

解析：CD 【分析】

对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出

()

()()

a b a b ?≠?，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题

是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2

，所以该命题是真命题. 【详解】

对于A ，若0a ≠，0a b ?=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题；对于B ，()()

cos cos a b

a b a b αα

?==，而()()

a b

a b ?=，

由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以(

)

()()

a b a b ?≠?，

所以该命题是假命题；

对于C ，若非零向量a 、b 满足2

a b

a b +=+，22222a b a b a b ++?=+，所以

0a b ?=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；

对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2

，所以该命题是真命题. 故选：CD.

本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.

3．ABD 【分析】

A. 根据是边长为2的等边三角形和判断；

B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；

C. 根据，利用数量积运算判断；

D. 根据，，利用数量积运算判断. 【详解】 A. 因为是边长

解析：ABD 【分析】

A. 根据ABC 是边长为2的等边三角形和2AB a =判断；

B.根据2AB a =，

2AC a b =+，利用平面向量的减法运算得到BC 判断；C. 根据1

a AB

b BC =

=，利用数量积运算判断；D. 根据b BC =， 1a b ?=-，利用数量积运算判断. 【详解】

A. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；

B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；

C. 因为1,2a AB b BC =

=，所以11

22cos120122

a b BC AB ?=?=????=-，故错误； D. 因为b BC =， 1a b ?=-，所以()()

444440BC a b b a b a b b ?+=?+=?+=-+=，所以()

4BC a b ⊥+，故正确. 故选：ABD 【点睛】

本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

4．ACD 【分析】

根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】

对于A ，在，由正弦定理得，则，故A 正确；对于B ，若，则或，所以和不一定相等，故B 错误；对于C ，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角

解析：ACD 【分析】

根据正弦定理的性质即可判断.

对于A ，在ABC ，由正弦定理得

2sin sin sin a b c

R A B C

===，则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故A 正确；

对于B ，若sin 2sin 2A B =，则A B =或2

A B π

+=，所以a 和b 不一定相等，故B 错

误；

对于C ，若sin sin A B >，由正弦定理知a b >，由于三角形中，大边对大角，所以

A B >，故C 正确；

对于D ，由正弦定理得

2sin sin sin a b c

R A B C

===，则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C

R B C B C ++==++，故D 正确.

故选：ACD. 【点睛】

本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 5．ABC

【分析】

先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】由点，，则

选项A . ,所以A 选项正确. 选项B. ,所以B 选项正确. 选项C . ,所以C 选

解析：ABC 【分析】

先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】

由点()4,6A ，33,2B ?

?- ???，则972，

AB ??=-- ???

选项A . 914

73023

??-?--?= ???,所以A 选项正确. 选项B. 9977022??

--?= ???

,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023????

-?---?-= ? ?????

,所以C 选项正确. 选项D. 979702??

-?--

?≠ ???

,所以选项D 不正确

【点睛】

本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.

6．BC 【分析】

根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】

对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B 中：因为，且，所以角有两

解析：BC 【分析】

根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】

对于选项A 中：由45,70A C =?=?，所以18065B A C =--=?，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；

对于选项B 中：因为csin sin 115B C b =

=<，且c b >，所以角C 有两解；

对于选项C 中：因为sin sin 17

b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解；对于选项D 中：因为sin sin 1b A

B a

=<，且b a <，所以角B 仅有一解. 故选：BC . 【点睛】

本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

7．ACD

【分析】

对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ，故该选项正确；对于B ，由题得A ＝B 或2A+2B ＝π，即得a ＝b 或a2+b2＝c2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中

解析：ACD 【分析】

对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；对于D ，由正弦定理可得右边＝2sin 2sin 2sin sin R B R C

R B C

+=+＝左边，故该选项正确.

【详解】

对于A ，由正弦定理

2sin sin sin a b c

R A B C

===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；

对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝2

，∴a ＝b 或a 2+b 2

＝c 2，故该选项错误；

对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ?a ＞b ?A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；

对于D ，由正弦定理

2sin sin sin a b c

R A B C

===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C

R B C B C ++==++＝左边，故该选项正确.

故选：ACD. 【点睛】

本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

8．BD 【分析】

根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】

对于选项：，选项不正确；对于选项：，选项正确；对于选项：，选项不正确；对于选项：选项正确. 故选：

解析：BD 【分析】

根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】

对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确；对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确；对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；

对于选项D ：()()

0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确. 故选：BD

【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.

9．AB 【分析】

由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误【详解】，即A 正确，即B 正确

连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点，如下图示

由其性质有 ∴，即C 错误同理，

解析：AB 【分析】

由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+

、1

()2

EF AD AB =+、21

33AG AD AB =

+、2BG GD =，即可判断选项的正误【详解】 11

AF AD DF AD DC AD AB =+=+

=+，即A 正确 11

()()22

EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确

连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点，如下图示

由其性质有

||||1

||||2

GF GE AG CG == ∴211121

()333333AG AE AC AD AB BC AD AB =

+=++=+，即C 错误同理21212

()()33333

BG BF BA BC CF BA AD AB =

+=++=-

211()333DG DF DA AB DA =

+=+，即1

()3

GD AD AB =- ∴2BG GD =，即D 错误故选：AB 【点睛】

本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系

10．ACD 【分析】

先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】因为

所以可设：（其中），解得：所以，所以A 正确；

由上可知：边最大，所以三角形中角最大，又，所以角为

解析：ACD 【分析】

先根据已知条件求得::4:5:6a b c =，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】

因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=

所以可设：91011a b x

a c x

c x +=??

+=??+=?

（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===

所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确；由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大，

又222222(4)(5)(6)1

cos 022458

a b c x x x C ab x x +-+-===>?? ，所以C 角为锐角，所以B 错

误；

由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小，

又222222(6)(5)(4)3

cos 22654

c b a x x x A cb x x +-+-===??，

所以2

cos22cos 18

A A =-=

，所以cos2A cosC =

由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得：()20,A π∈，0,2C π??

∈ ??

所以2A C =，所以C 正确；由正弦定理得：2sin c R C =

，又sin 8

C ==

所以

R =

，解得：R =D 正确. 故选:ACD. 【点睛】

本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.

11．AC 【分析】

对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判

解析：AC 【分析】

对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误. 【详解】

对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >?>?>，故A 正确；对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =?= 所以A B =或2

A B π

，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；

对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，

所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，

sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，

因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2

A π

=，ABC 是直角三角形，故③正确；

对D ，因为2

0a b c +->，所以222

cos 02a b c A ab

+-=>，A 为锐角.

但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误. 故选：AC 【点睛】

本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.

12．AC 【分析】

由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】

，且,平方得，即，可得，故A 正确；，可得，故B 错误；，可得，故C 正确；由可得，故D 错误; 故选：AC 【点睛】

解析：AC 【分析】

由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】

1a b ==，且25b a -=,平方得22445b a a b +-?=，即0a b ?=，可得a b ⊥，故A

正确；

()2

22a b

a b a b +=++?=，可得2a b +=，故B 错误；

()

22a b a b a b -=+-?=，可得2a b -=，故C 正确；

由0a b ?=可得,90a b =?，故D 错误; 故选：AC 【点睛】

本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.

13．ACD 【分析】

利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项. 【详解】

由向量加法的三角形法则可知选项A 正确；当时，，故选项B 错误；因为，故选项C 正确；当共线同向时，，当共线反

解析：ACD 【分析】

利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项. 【详解】

由向量加法的三角形法则可知选项A 正确；当a b ⊥时，0a b ?=，故选项B 错误；

因为||cos ||||a b a b a b θ?=≤，故选项C 正确；当,a b 共线同向时，||||cos 0||||a b a b a b ?==，

当,a b 共线反向时，||||cos180||||a b a b a b ?=?=-，所以选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】

本题考查向量加法的性质以及对向量数量积的运算规律的辨析，注意数量积运算有交换律，但没有消去律，本题属于基础题.

14．AB 【分析】

由余弦定理得，化简即得解. 【详解】

由题意得,由余弦定理得, 解得或. 故选：AB. 【点睛】

本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

解析：AB 【分析】

由余弦定理得293

cos306x x

+-=，化简即得解.

【详解】

由题意得30ABC ?∠=,由余弦定理得293

cos306x x

+-=

解得x =x 故选：AB. 【点睛】

本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

15．无

二、平面向量及其应用选择题

16．A 【分析】

设出()()()

11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得

()21

m AP AB m AD +=

+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，

所以()()()

11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，因为2CF DF =，所以11

DF DC AB ==，所以()21

m AP AB m AD +=

+-. 因为E 是BC 的中点，

所以11

AE AB BC AB AD =+

=+. 因为AP AE λ=，所以

()211132m AB m AD AB AD λ+??+-=+ ???

，则213

112m m λλ

+?=????-=??

，

解得3

λ=. 故选：A 【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题. 17．A 【分析】根据题意得出

tan tan tan A B C

a b c

==，利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出A B C ==，从而可得知ABC ?为等边三角形，进而可求得BC 所对的ABC ?外接圆的劣弧

长. 【详解】

0a OA b OB c OC ?+?+?=，a b

OC OA OB c c

∴=-

-，同理可得tan tan tan tan A B OC OA OB C C =--，tan tan tan tan a A c C

b B

c C ?-=-??∴??-=-??，

tan tan tan A B C

a b c

∴

==，

由正弦定理得

tan tan tan sin sin sin A B C A B C ==，所以，111

cos cos cos A B C

==， cos cos cos A B C ∴==，

由于余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，所以，3

A B C π

===

，设ABC ?的外接圆半径为R

，则22

sin a

R A

==，1R ∴=，所以，边BC 所对的ABC ?外接圆的劣弧长为222133

R A ππ?=?=. 故选：A. 【点睛】

本题考查弧长的计算，涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 18．C 【分析】

由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC +-=+，所以()

0BC AB AC ?+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD ⊥，进而可得AB AC =，即可得出答案. 【详解】

由题意，()()

2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+，所以()

0BC AB AC ?+=，

取BC 的中点D ，连结AD ，并延长AD 到E ，使得AD DE =，连结BE ，EC ，则四边形ABEC 为平行四边形，所以AB AC AE +=. 所以0BC AE ?=，即BC AD ⊥，故AB AC =，ABC 是等腰三角形. 故选：C.

【点睛】

本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 19．D 【分析】

先根据0||||AB AC BC AB AC ??

+= ? ???

，判断出A ∠的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状．【详解】

解：0||||AB AC BC AB AC ??+= ? ???

，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直， AB AC ∴=，

cos ||||2

AB AC A AB AC =

=，

A π∴∠=

， 3

B C A π

∴∠=∠=∠=

，

∴三角形为等边三角形．

故选：D ．【点睛】

本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题． 20．B 【分析】

先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ?=?=?=，即得点P 为三角形ABC 的垂心. 【详解】

由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ?=?=?，则()()()

0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ?-=?-=?-= 即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ?=?=?=，即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥，则点P 为三角形ABC 的垂心. 故选：B. 【点睛】

本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21．C 【分析】取,a b 夹角为3

，计算排除ABD ，得到答案. 【详解】取,a b 夹角为3π

，则0a b -≠，12

a b ?=，排除ABD ，易知1a b ==. 故选：C . 【点睛】

本题考查了单位向量，意在考查学生的推断能力. 22．A 【分析】

由已知条件，令||AC a =，||BC b =，则在△ACM 中结合余弦定理可知48ab ≤，根据三角形面积公式即可求最大值【详解】

由题意，可得如下示意图

令||AC a =，||BC b =，又2BM MC =，即有1||||33

CM CB =

= ∴由余弦定理知：222||||||2||||cos AM CA CM CA CM ACB =+-∠