★★分数裂项法专题
1
1
1)1(1+-=+n n n n
1、60
591
1211111101?+
+?+?
2、90
1
72156142130120112161+++++++
3、★100
993211
4321132112111++++++
++++++++++
4、从1到100这100个自然数中任取10个数，使它们的倒
数和等于1，这10个数分别是多少
5、90
19721856174216301520141213
6121++++++++
6、120
1
10519117816615514513612812111511016131+
+++++++++++
+
7、56
15
42133011209127311-
+-+-
8、★19800
1
40124112141+
++++
??? ??+-=+k n n k k n n 111)(1 ??
? ??+-=+k n n k n n k 11
)(
1、
15
131
131111191971751?+
?+?+?+?
2、
100
971
1071741411?+
+?+?+?
3、
17
141
11
141119118158513521?+?+?+?+?
4、99
1
63135115131+
+++
5、
10
71
851741631521?+
+?+?+?+?
6、
22
201
641531421311?+
+?+?+?+?
7、120
1
80148124181
+
+++
8、★200
4321
432132121+++++
++++++
9、★100
6421
642142121+++++
++++++ ???
? ??++-+=++)2)((1
)(121)2)((1k n k n k n n k k n k n n
1、
50
49481
6541543143213211??+
+??+??+??+??
2、
100
98961
1086186416421??+
+??+??+??
3、
99
97951
975175315311??-
-??-??-??
4、84
1
2101120160124161+
++++
5、
100
99982
6542543243223212??+
+??+??+??+??
???
? ??+++-++=+++)3)(2)((1
)2)((131)3)2)((1k n k n k n k n k n n k k n k n k n n （
1、
20
1918171
654315432143211???+
+???+???+???
2、
630
1
840136011201241+
+++
用拆项法求复合型分数和
1、4
323
32221??+
?+
2、6
54325
54324432332221????+
???+??+?+
3、11
97531
1197531097538753653431????+
????+???+??+?+
4、9900
9899
970297017271565542413029201912116521+
++++++++
+
5、84
83
2102091201196059242365+
++++
六年级分数巧算裂项拆分
思维训练分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。 分数裂项求和方法总结 （一）用裂项法求 1一型分数求和分析：因为n(n 1) 1 n(n 1) n(n 1) （n为自然数）所以有裂项公式: n（n 1） 【例1】 求丄 10 11 11 12 1的和。 59 60 【例2】 咕右）'11 1 1 10 60 1 12 用裂项法求 1 1 k(n 计算 n(n k) 1 1 - [2 5 1 15 n(n 1) 59 60) 型分数求和: k) n n(n k)] 分析： n（n k） 型。 （n,k 均为自然 数） 因为 n(n k) 所以n(n k)k( ； n k 9 11 11 13 13 15 7) 1 1) 丄(1 2 7 1 (1 9) 1(1 却 2、11 1 1 1 1 1 , 1 1、1(丄丄 2(13 15 1 13) 1 用裂项法求 9 11 11 13 型分数求和: n（n k） n n k n(n k) n(n k) n(n k) 13 分析：型（n,k均为自然数）n（n k） k 所以一- n(n k) n n k
(1 1 3 97 99 3200 9603 自然数） n(n k)( n 2k)( n 3k) 3k (n(n k^(n 2k) 1139 20520 I (n k)(n 2k)(n 3k) 【例3】 的和 97 99 98 99 (四) 1 3) (3 5 1 1 )( 5 1 7) 1 1 1 99 用裂项法求 型分数求和: n （n k ）（n 2k ） 分析: 2k n(n k)(n 2k) 【例4】 计算： 4 4 4 4 1 3 5 3 5 7 93 95 97 95 97 99 (1I II 3 15) (315 517)…( 1 1 )( 1 1 ) 3 93 95 95 9/ V 95 97 97 99, 1 1 （n,k 均为自然数） 【例5】 1 1 计算：1 2 3 4 2 3 4 5 1 17 18 19 20 3[(1 1 1 3[1 2 3 （丘 18 19 20] 1 17 18 19 1 18 19 20 )] （六）用裂项法求 3k n(n k)(n 2k)(n 3k) 型分数求和：分析: 3k n(n k)(n 2k)( n 3k) (n,k 2k n(n k)(n 2k) 1 1 n(n k) (n k)( n 2k) (五) 用裂项法求 型分数求和分析: n(n k)(n 2k)(n 3k) (n,k 均为 n(n k)(n 2k)(n 3k)
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结 （一） 用裂项法求1(1) n n +型分数求和 分析：因为111n n -+＝11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数） 所以有裂项公式：111(1)1 n n n n =-++ （二） 用裂项法求 1()n n k +型分数求和 分析：1() n n k +型。（n,k 均为自然数） 因为11111()[]()()() n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111()()n n k k n n k =-++ （三） 用裂项法求() k n n k +型分数求和 分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝() k n n k + 所以 () k n n k +＝11n n k -+
（四） 用裂项法求2()(2) k n n k n k ++型分数求和 分析： 2()(2) k n n k n k ++（n,k 均为自然数） 211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++ （五） 用裂项法求1()(2)(3) n n k n k n k +++型分数求和 分析：1()(2)(3) n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ （六） 用裂项法求 3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和 分析：3()(2)(3) k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 311()(2)(3)()(2)()(2)(3) k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 记忆方法： 1.看分数分子是否为1； 2.是1时，裂项之后需要整体×首尾之差分之一； 3.不是1时不用再乘； 4.裂项时首尾各领一队分之一相减。
最新分数裂项法解分数计算
分数裂项计算 本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 【例 1】 111111223344556 ++++=????? 。
分数拆分(裂项法)
2008年10月4日 六年级 基本公式：()111n n+1n n 1-+＝； 推广形式：()111n n+d d n n d ??-??+?? 1＝ 例1、计算：11111122334989999100+++++?????=（1－21）＋（21－31）＋（31－4 1）＋……＋（991－100 1）=1－1001=10099。 例2、计算：1111112612203042+++++=7 6； 例3、计算：1111111357911104088154238340+++++=20 336； 例4、计算：=?+++?++?++?+200120002001200043433232212122222222 200120004000 注意：拆分未必拆成两个分数之差，有的时候，需要拆成两个分数之和；可以利用公式： 11m+n m n mn +＝ 例5、计算：1111(1)(1)(1(1)2233441010 -?-?-??-???? (1120) 提示：1n n 1(n 1)(n 1)1n n n n n n ?--+- ==???。 解：原式＝1324359112233441010????????????……＝111210?＝1120 例6、计算：60 59605859586035343602423260131211+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ = 解答：因为()2 1211121-=-??=-+++n n n n n n n n ，所以 ()886 59212 112 592221160 59605859586035343602423260131211=+++?+=++++=+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ 【课堂练习】 1. 计算：111116425672-+++=9 8；
奥数裂项法(含答案)
奥数裂项法 同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。 （一）阅读思考 例如1 3 1 4 1 12 -=，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把 这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式： 11 1 1 11 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n - += + + - + = +- + = + ()() ()() 即11 1 1 1 n n n n - + = + () 或 1 1 11 1 n n n n () + =- + 下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。【典型例题】 例1. 计算： 1 19851986 1 19861987 1 19871988 1 19941995? + ? + ? ++ ? …… + ?+ ? + 1 19951996 1 19961997 1 1997 分析与解答： 1 19851986 1 1985 1 1986 1 19861987 1 1986 1 1987 1 19871988 1 1987 1 1988 1 19941995 1 1994 1 1995 ? =-? =-? =- ?=- …… 1 19951996 1 1995 1 1996 1 19961997 1 1996 1 1997 ? =- ? =- 上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。
1 198519861 198619871 198719881 199519961 19961997 11997?+ ?+ ?++ ?+ ?+ … =-+-+-++-+-+=119851198611986119871198711988119951199611996 119971199711985 …… 像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分 数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。 例2. 计算：1111211231 123100 +++++++ ++++…… 公式的变式 1122 1+++= ?-…n n n () 当n 分别取1，2，3，……，100时，就有 112121122 23 11232 34 112342 45 1121002 100101 = ?+=?++=?+++= ?+++= ?… 1111211231 12100212 223234299100 21001012112 1231341991001100101211212131314 199 1 100 1100 1101 211101 + ++ +++++++=?+?+?++?+ ?=??+?+?++?+ ?=?-+-+ -++ - + - =?- ……………()() ()
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结 （一） 用裂项法求 1 (1) n n +型分数求和 分析：因为 111n n -+＝11 (1)(1)(1) n n n n n n n n +-= +++（n 为自然数） 所以有裂项公式： 111 (1)1 n n n n =- ++ 【例1】 求 111 ......101111125960+++???的和。 111111111 ()()......()101111125960106012 =-+-++-= -= （二） 用裂项法求 1 () n n k +型分数求和 分析： 1 () n n k +型。（n,k 均为自然数） 因为 11111()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 。所以1111()()n n k k n n k =-++ 【例2】 计算11111577991111131315++++ ????? 111111*********()()()()()25727929112111321315= -+-+-+-+- 111111********* [()()()()()][]2577991111131315251515 =-+-+-+-+-=-= （三） 用裂项法求 () k n n k +型分数求和 分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k -+ 【例3】 求 2222 (1335579799) ++++????的和 1111111198 (1)()()......( )13355797999999 =-+-+-++-=-= （四） 用裂项法求 2()(2) k n n k n k ++型分数求和 分析： 2()(2)k n n k n k ++（n,k 均为自然数） 则 211 ()(2) ()()(2) k n n k n k n n k n k n k = - +++++ 【例4】 计算： 4444 (135357939597959799) ++++???????? 11111111()()......()()133535579395959795979799 1132001397999603 =-+-++-+-????????=-= ?? （五） 用裂项法求 1 ()(2)(3) n n k n k n k +++型分数求和 分析： 1 ()(2)(3) n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 1111 ()()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 【例5】 计算：111 ......1234234517181920+++ ????????? 1111111 [()()......()] 3123234 2343451718191819201111139[]312318192020520 =-+-++-????????????=--=???? （六） 用裂项法求 3()(2)(3) k n n k n k n k +++型分数求和 分析： 3()(2)(3) k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）
六年级奥数分数的速算与巧算
第一讲 分数的速算与巧算 教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型. 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1 a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有 1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1 (1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111 [](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111 [](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11 a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2） 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 三、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1 (1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1 123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4 n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 三、循环小数化分数 1、循环小数化分数结论： 纯循环小数 混循环小数 分子 循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差
六年级数学思维训练——分数裂项
分数的速算与巧算—裂项 知识导航 分数裂项是整个奥数知识体系中的一个精华部分，将算式中的项进行拆分，使拆分后的项 可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是 将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的 分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需 复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它 们消去才是最根本的。 1.分数裂差型运算公式： (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 形式的，这里我们把较小的数写在前面， 即 ，那么有
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： ， 形式的，我们有： 裂差型特征： (1)分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是 只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。 (2)分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” (3)分母上几个因数间的差是一个定值。 2.分数裂和型运算公式： （1） （2） 裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵 消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 3.整数裂项运算公式： (1) (2) 精典例题1: 思路点拨 观察分数特征，此题属于裂差型分母为4个连续自然数乘积，可直接运用公式。 模仿练习1: 精典例题2: 思路点拨
如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子 不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2 的 等差数列(该数列的第 个数恰好为 的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大 3,所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算． 模仿练习2: 精典例题3: 思路点拨 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可 以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即： 原式
分数裂项求和
学生曹一诺学校年级六年级科目数学 教师陈作谦日期16年4月24日时段15:00-17:00 次数第一次课题 分数裂项求和 教学重点难点重点：清楚掌握几种简单的裂项求和的方法及其解答过程。难点：能判断所处题目的特点，并用其对应的方法进行解答。 教学步骤及教学内容一、作业检查： 平时成绩中上，卓师的小升初模拟试题测试结果，数学为46分二、课前热身： 与学生探讨小升初的意义，互动中令学生明白考试的应对方式。 三、内容讲解： 先做几个题目： （1）+ ? + ? + ?7 5 2 5 3 2 3 1 2……+ 11 9 2 ? ， （2）求 2222 ...... 1335579799 ++++ ???? 的和 这种题目就是分数裂项求和的运用。 分数裂项求和，分成减法裂项和加法裂项： 减法裂项就是：分母化成两个数的积，分子化成这两个数的差；加法裂项就是：分母化成两个数的积，分子化成这两个数的和。 （1）+ ? + ? + ?7 5 2 5 3 2 3 1 2……+ 11 9 2 ? ，
解：原式= +?+?+?7 55 -7533-5311-3……+11 99-11? =( + ??+??+??)7 55-757()533-535()311-313 ……+( 11911 ?-11 99?) )11 191()7151()5131()3111(-+??+-+-+-= 11 191715151313111-+??+-+-+-= 11 111-= 11 10= （2）求 2222 (1335579799) ++++????的和 解：原式=+?+?+?7 55-75 33-53 11-3……+99 9797-99? 1111111 (1)()()......() 3355797991 1999899 =-+-+-++-=-= 再看一道例题： 例1：计算：72 17561542133011209127651-+-+-+ - 解：原式=98988787767665655454434332321?+-?++?+-?++?+-?++?+- ）（）（）（）（）（）（）（9 1818171716161515141413131211+-+++-+++-+++-= 9 18 18 17 17 16 16 15 15 14 14 13 13 12 11--++--++--++--= 9 11-=
六年级分数-裂项法
知识要点和基本方法 1.2分数计算(裂项法) 分数计算是小学数学的重要内容，也是数学竞赛的重要内容之一。 分数计算同整数计算一样既有知识要求又有能力要求。法则、定律、性质是进行计算的依据，要使计算快 速、准确，关键是掌握运算技巧。对算式认真观察，剖析算是的特点及个数之间的关系，巧妙、灵活的运用运 算定律，合理改变运算顺序，使计算简便易行，这对启迪思维，培养综合分析、推理能力和灵活的运算能力, 都有很大的帮助。 公式: (1)平方差公式：a2 b2(a b) (a b) (2)等差数列求和公式: a i a2 a3 a n 1 a n 1 a1 2 a n n (3)分数的拆分公式: n(n 1) 1 n(n d) 裂项 法： 例1. 计算: 例2. 计算: 10X 11 1 2 3 _1 +11X 12 1 ..... +—— 3 4 99 1 +……+59X 60 1 100 例7. 例8. 例3. 1111 计算：2 + 6 + / + 20 1 1 + — + — +30 +42 例9. 例4. 计算: —1——+ -—— 10X 11 11X 12 1 +……+19X 20 例10. 例5. 1 1 计算2X 3 + 3X4 + 1 1 +6X7 +7X8 例11. 1 1 1 1 1 1 1 6 + ' —+— +— + 12 + 20 + 30 + 矗+56 + 72 1 1 1 1 1 1 + —+ + —- + —+ 3 15 35 63 99 143 1 1 1 1 1 4 4 7 7 10 10 13 13 2 2 2 2 2 3 15 35 63 99 1 丄丄丄 1 1 8 24 48 80 120 168 计算: 1 计算: 计算: 计算: 计算: 16 例6. 计算: 例12. 计算: 例13. 计算: 112 11 +丄+土+丄+丄+ 1 2 2 1 + — + 1 2 2 3 1 ----------- F 1 2 3 2 3 2 1 + Y +仝+丄 3 3 3 3 1 例14. 计算: 2X( 1 —丄)X 2丿 20052-------------- +……+ 12 3 4 「-亠) 20042 100 +……+ + 100 100 1 旦+……+ 100 1 100 X( 1 2 3 2005 1 1 1 —2) X ......... X( 1 ---------- ) 2003222
分数拆项与裂项
分数的速算与巧算 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1 a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有 1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1 (1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111 [](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111 [](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11 a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2） 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 三、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1 (1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1 123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4 n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 三、循环小数化分数
分数裂项
分数裂项 （一）“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法。常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。 （1）对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- （2）对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2) n n n ?+?+，1(1)(2)(3)n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ （3）裂差型裂项的三大关键特征： 1，分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 2，分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” 3，分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： 11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 二、换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简。
三、常用公式： （1） 2222(1)(21)1236n n n n ?+?+++++= ； （2） () 2223333(1)1231234 n n n n ?+++++=++++= ； （3） 2123421n n ++++++++= ； （4） 平方差公式：()()22a b a b a b -=+-； （5） 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b -=-+； （6） 等差数列：求和=(首项+末项)×项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 末项=首项+（项数-1）×公差 （8）123456799111111111?= （去8数，重点记忆） 711131001??=（三个常用质数的乘积，重点记忆） （9）101ab abab ?= 10101ab ababab ?=
六年分数计算裂项法
分数计算一一裂项法 【知识要点】 正确、迅速、灵活、合理地进行整数、小数、分数四则混合运算，是小学生须掌握的技能、技巧之一，计算时必须做到： 1、拿到一题，首先要全面审题，确定运算顺序，这是运算的根本。 2、然后要全面观察题目的结构、特征，分析题中数与数的关系，灵活运算各种定律、性质使 计算简便，这是运算的灵魂。 3、计算时要做到一步一回头，也就是及时检验，这是使你终生受益的习惯。【自主练习】 111 1 1 1_ -11 1 11 2 3 3 4 4 5r T 5 6 6 77 8十十?… 12 2 3 49 50 1111 +?-?++ 1995 19961996 19972007 20082008 ?丄?丄丄 12 20 30 42 56 72 90 7 13 21 31 43 57 73 91 —十-------- 十------- r ------------ r ----------- ~1~------ 十 ------- r ----------- 6 12 20 30 42 56 72 90
二 1 」… J 1 4 4 7 7 10 97 100 1111 1 1 ----- + ------- + ------- + -------- + --------- + --------- 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 13 15 11 31 5丄7丄9丄 3 15 35 63 99 2.2.2 ..???丄 21 77 165 1677 1 7 9 11 13 15 1 — 3 1 2 20 30 42 56 小结：求若干个分数之和的计算题，一般可以用通分的办法，但有些计算题，可以 采用裂项的办法，即运用以下这些公式巧妙求出整个算式的和，称为裂项法。 1 9 11 1 3 15 --- ----- -------- "T - ---------- ---- -------- ~T~ ------------- 4 20 30 42 56
分数乘法与分数裂项法
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 分数乘法与分数裂项法 分数乘法与分数裂项法【专题解析】我们知道，分数乘法的运算是这样的：分数乘分数，应该分子乘分子，分母乘分母（当然能约分的最好先约分在计算）。 分数乘法中有许多十分有趣的现象与技巧，它主要通过些运算定律、性质和一些技巧性的方法，达到计算正确而迅速的目的。 1、运用运算定律：这里主要指乘法分配律的应用。 对于乘法算式中有因数可以凑整时，一定要仔细分析另一个因数的特点，尽量进行变换拆分，从而使用乘法分配律进行简便计算。 2、充分约分：除了把公因数约简外，对于分子、分母中含有的公因式，也可直接约简为 1。 进行分数的乘法运算时，要认真审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理进行简算。 需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质，当变成符合运算定律的形式时，才能使计算既对又快。 【典型例题】——乘法分配律的妙用 44 例 1．计算：（1）×37 4567 2003 44 44 44 分析与解：观察这两道题的数字特点，第（1）题中的与 1 只相差 1 个分数单位，如果把写成（1－） 45 45 45 67 的差与 37 相乘，再运用乘法分配律可以使计算简便。 同样，第（2）题中可以把整数 2004 写成（2003+1）的和与 2003（2）2004× 相乘，再运用乘法分配律计算比较简便。 1/ 10
【举一反三】43 56 56 ×37 （2）×37 （3）×56 44 57 57 17 1 4 1 例 2．计算：（1）72 × （2）73 × 17 24 15 8 4 4 1 分析与解：（1）72 把改写成(72 + )，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。 （2）73 把 17 17 15 16 改写成(72 + )，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。 15计算：（1）【举一反三】4 7 计算：（1）20 × 7 10（2）166 13 × 13 32（3）573 1 × 13 8（4）641 1 × 17 9【小试牛刀】
分数乘法与分数裂项法
分数乘法与分数裂项法
分数乘法与分数裂项法 【专题解析】 我们知道，分数乘法的运算是这样的：分数乘分数，应该分子乘分子，分母乘分母（当然能约分的最好先约分在计算）。 分数乘法中有许多十分有趣的现象与技巧，它主要通过些运算定律、性质和一些技巧性的方法，达到计算正确而迅速的目的。 1、运用运算定律：这里主要指乘法分配律的应用。对于乘法算式中有因数可以凑整时，一定要仔细分析另一个因数的特点，尽量进行变换拆分，从而使用乘法分配律进行简便计算。 2、充分约分：除了把公因数约简外，对于分子、分母中含有的公因式，也可直接约简为1。 进行分数的乘法运算时，要认真审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理进行简算。需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质，当变成符合运算定律的形式时，才能使计算既对又快。 【典型例题】——乘法分配律的妙用 例1．计算： （1）4544×37 （2）2004×2003 67 分析与解：观察这两道题的数字特点，第（1）题中的45 44 与1只相差1个分数单位，如果把4544写成（1－45 44 ）的差与37相乘，再运用乘法分配律可以使计算简便。同样，第（2）题 中可以把整数2004写成（2003+1）的和与200367 相乘，再运用
乘法分配律计算比较简便。 【举一反三】 计算： （1）4443×37 （2）5756×37 （3）5756 × 56 例2．计算： （1）72174×2417 （2）7315 1×81 分析与解：（1）72174把改写成(72 +174 )，再运用乘法分 配律计算比常规方法计算要简便得多。（2） 73151把改写成(72 +1516)，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。 【举一反三】 计算： （1）2074×107 （2）16136×32 13 （3）133 57×8 1 （4）64171×9 1 【小试牛刀】 计算： （1）2928 ×37 （2）29 13×28 【典型例题】——乘法交换律的巧用
20180420五年级奥数分数的速算与巧算
五年级奥数 分数的速算与巧算（一） 一、知识要点 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 5、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 （三）、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1(1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+
六年级+分数裂项
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 分数裂项计算 教学目标 知识点拨
裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 【例 1】 111111223344556++++=????? 。 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】美国长岛，小学数学竞赛 【解析】 原式111111115122356166??????=-+-++-=-= ? ? ??????? 提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为： 111113355779+++????，计算过程就要变为： 111111113355779192 ??+++=-? ???????． 【答案】56 【巩固】 111 (101111125960) +++??? 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 原式111111111()()......()101111125960106012 =-+-++-=-= 【答案】112 例题精讲