高考数学一轮复习专题：几何概型

1．几何概型

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．

2．几何概型中，事件A 的概率的计算公式

P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).

3．几何概型试验的两个基本特点

(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法

(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．

(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝M

N 作为所求概率的近似值．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ )

(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )

(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × )

(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝1

9

.( × )

1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A.12 B.13 C.1

4 D ．1 答案 B

解析 坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为13

.

2．(2015·山东)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤12

1()2

log x +≤1”发生的概率为( )

A.34

B.23

C.13

D.14 答案 A

解析 由－1≤12

1()2

log x +≤1，得12≤x ＋1

2≤2，

∴0≤x ≤3

2

.

∴由几何概型的概率计算公式得所求概率 P ＝32－02－0＝34

.

3．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )

答案 A

解析 ∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝1

3，

∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．

4．(2017·南昌月考)一个边长为3π cm 的正方形薄木板的正中央有一个直径为2 cm 的圆孔，一只小虫在木板的一个面内随机地爬行，则小虫恰在离四个顶点的距离都大于2 cm 的区域内的概率等于________． 答案 1

2

解析 如图所示，分别以正方形的四个顶点为圆心，2 cm 为半径作圆，

与正方形相交截得四个圆心角为直角的扇形，当小虫落在图中的黑色区域时，它离四个顶点的距离都大于2 cm ，其中黑色区域面积为S 1＝S

正方形

－4S

扇形

－S

小圆

＝(3π)2－π×22－π×12＝9π－5π＝4π，所以小虫离四个

顶点的距离都大于2 cm 的概率为P ＝S 19π－π＝4π8π＝1

2

.

5．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________．

答案 π4

解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ， 则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·1

21×2＝π

4

.

题型一 与长度、角度有关的几何概型

例1 (1)(2016·全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A.710 B.58 C.38 D.310

(2)(2017·太原调研)在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到1

2之间的概率为________．

答案 (1)B (2)1

3

解析 (1)至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝5

8，故选B.

(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤1

2，

得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π

2

，

根据几何概型概率公式得所求概率为13

.

(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．

解 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝AD

tan 60°

＝1，∠BAD ＝30°.

记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生． 由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝2

5.

引申探究

1．本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到3

2”，则概率如何？

解 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤3

2，

得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π

2

，

根据几何概型概率公式得所求概率为23

.

2．本例(3)中，若将“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，求BM <1的概率．

解 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3， P (BM <1)＝1

1＋3

＝3－12.

思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法

求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．

(1)(2016·全国乙卷)某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到

达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.3

4

(2)已知集合A ＝{x |－1

?????

???

?x ???

x －2

3－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈(A ∩B )”的概率是________．

答案 (1)B (2)1

6

解析 (1)如图所示，画出时间轴．

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝

10＋1040＝1

2

，故选B. (2)由题意得A ＝{x |－1

6.

题型二 与面积有关的几何概型 命题点1 与平面图形面积有关的问题

例2 (2016·全国甲卷)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )

A.4n m

B.2n m

C.4m n

D.2m n 答案 C 解析 由题意得

(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π

41＝m

n ，

∴π＝4m

n

，故选C.

命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题

例3 (2016·武汉模拟)由不等式组?????

x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0

确定的平面区域记为Ω1，由不等式组?????

x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的

平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________． 答案 7

8

解析 如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，

易知C (－12，3

2)，故由几何概型的概率公式，得所求概率

P ＝S 四边形OACD

S △OAB

＝2－

142＝78.

命题点3 与定积分交汇命题的问题

例4 (2015·福建)如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．

答案

5

12

解析 由题意知，阴影部分的面积S ＝?21(4－x 2)d x ＝(4x －13x 3)|21＝53， 所以所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝5

31×4＝5

12

.

思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点

求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．

(1)(2016·昌平模拟)设不等式组????

?

x －2y ＋2≥0，x ≤4，

y ≥－2

表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个

点，则此点到直线y ＋2＝0的距离大于2的概率是( ) A.413 B.513 C.825 D.9

25

(2)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．

答案 (1)D (2)2

e

2

解析 (1)作出平面区域D ，可知平面区域D 是以A (4,3)，B (4，－2)，C (－6，－2)为顶点的三角形区域．当点在△AEF 区域内时，点到直线y ＋2＝0的距离大于2. ∴P ＝S △AEF S △ABC ＝1

2×6×3

1

2

×10×5＝925.

(2)由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S ＝2?10(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|1

0＝2[e －e －(0

－1)]＝2.又该正方形面积为e 2，

故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e 2.

题型三 与体积有关的几何概型

例5 (1)(2016·贵州黔东南州凯里一中期末)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )

A.18

B.16

C.127

D.38

(2)已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC <1

2V S —ABC 的概率

是( )

A.78

B.34

C.12

D.14 答案 (1)C (2)A

解析 (1)由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为P ＝127

.

(2)当P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78

.

思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求．

(2016·哈尔滨模拟)在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的

体积大于V

3的概率是________．

答案 23

解析 如图，三棱锥S －ABC 与三棱锥S －APC 的高相同，要使三棱锥S －APC 的体积大于V

3，只需△APC

的面积大于△ABC 的面积的1

3

.

假设点P ′是线段AB 靠近点A 的三等分点，记事件M 为“三棱锥S －APC 的体积大于V

3”，则事件M 发生

的区域是线段P ′B . 从而P (M )＝P ′B AB ＝2

3.

16．几何概型中的“测度”

典例 (1)在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________． (2)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于1

2的概率为( )

A.14

B.12

C.34

D.78 错解展示

解析 (1)∵∠C ＝90°，∠CAM ＝30°， ∴所求概率为3090＝13

.

(2)两点之间线段长为12时，占长为1的线段的一半，故所求概率为1

2.

答案 (1)1

3

(2)B

现场纠错

解析 (1)因为点M 在直角边BC 上是等可能出现的，所以“测度”是长度．设直角边长为a ，则所求概率为33a a ＝33

.

(2)设任取两点所表示的数分别为x ，y ， 则0≤x ≤1，且0≤y ≤1.

由题意知|x －y |<1

2，所以所求概率为

P ＝1－2×12×12×

121＝3

4.

答案 (1)

3

3

(2)C 纠错心得 (1)在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能． (2)两个变量在某个范围内取值，对应的“测度”是面积.

1．(2016·佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )

A ．16.32

B ．15.32

C ．8.68

D ．7.68 答案 A

解析 设椭圆的面积为S ，则S 4×6

＝300－96300，

故S ＝16.32.

2．(2016·昆明三中、玉溪一中统考)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →

＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( ) A.14 B.13 C.23 D.12 答案 D

解析 以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ， 则PB →＋PC →＝PD →， 因为PB →＋PC →＋2P A →

＝0

，

所以PB →＋PC →＝－2P A →，得PD →＝－2P A →，

由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的1

2，

所以S △PBC ＝1

2

S △ABC ，

所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为S △PBC S △ABC ＝1

2

，故选D.

3.(2016·菏泽一模)已知函数f (x )的部分图象如图所示，向图中的矩形区域内随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数．通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为39，由此可估计?10f (x )d x 的值约为( )

A.61100

B.39

100 C.10100 D.117100

答案 D

解析 ?10f (x )d x 表示阴影部分的面积S . 因为S 3＝39100，所以S ＝117100

.

4．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( )

A.16

B.13

C.12

D.23 答案 C

解析 如图，当BE ＝1时，

∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C 、F 点)上时，△ABD 为钝角三角形，所以△ABD 为钝角三角形的概率为

1＋2

6＝12

.

5．(2017·武昌质检)如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A (0，－1)，B (π，－1)，C (π，1)，D (0，1)，正弦曲线f (x )＝sin x 和余弦曲线g (x )＝cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )

A.1＋2π

B.1＋22π

C.1π

D.12π

答案 B 解析

根据题意，可得曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域的面积为

π

π

ππ4

4

(sin cos )d (cos sin )|x x x x x -=--?＝1－?

??

?

－

22－

22＝1＋ 2.又矩形ABCD 的面积为2π，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是1＋2

2π

.故选B.

6.欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是________．

答案

49π

解析 依题意，所求概率为P ＝12π·(32

)2

＝4

9π.

7．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 23

解析 V 圆柱＝2π，V 半球＝12×43π×13＝2

3π，

V 半球V 圆柱＝1

3

，

故点P 到O 的距离大于1的概率为2

3

.

8．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2

n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是

________． 答案 12

解析 ∵方程x 2m 2＋y 2

n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .

如图，由题意知，

在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，

∴所求的概率为P ＝1

2

.

9．随机地向半圆0

4的概率为______．

答案 12＋1π

解析 半圆区域如图所示．

设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π

4”，

由几何概型的概率计算公式得P (A )＝A 的面积

半圆的面积

＝14πa 2＋12a 212πa 2

＝12＋1π

. 10．(2017·大连月考)正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．

答案 23

解析 正方形内空白部分面积为?1－1[x 2－(－x 2

)]d x

＝?1－12x 2d x ＝23·x 3|1－1＝23－(－23)＝43， 阴影部分面积为2×2－43＝83，

所以所求概率为834＝2

3

.

11．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．

(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次，第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；

(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．

解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36， 由a ·b ＝－1得－2x ＋y ＝－1，

所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个， 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝1

12

.

(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}， 满足a ·b <0的基本事件的结果为

A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}． 画出图形如图，

矩形的面积为S 矩形＝25，

阴影部分的面积为S 阴影＝25－1

2

×2×4＝21，

故满足a ·b <0的概率为21

25

.

12．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设点(a ，b )是区域????

?

x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的一点，求函数y ＝f (x )

在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．

解 ∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为直线x ＝2b

a ，

要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数， 当且仅当a >0且2b

a

≤1，即2b ≤a .

依条件可知事件的全部结果所构成的区域为 ?

???

??

(a ，b )???

????

? a ＋b －8≤0，a >0，

b >0，构成所求事件的区域为三角形部分． 所求概率区间应满足2b ≤a .

由?????

a ＋

b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为(163，83)，

故所求事件的概率为P ＝12×8×8

312

×8×8＝1

3.

*13.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．

解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．

A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部． 所求概率为P (A )＝A 的面积

Ω的面积

＝(24－1)2×

1

2＋(24－2)2×

1

2

242

＝506.5

576＝

1 013

1 152.