芜湖一中高一自主招生考试试题数学

芜湖一中2010年高一自主招生考试

数 学 试 卷

题 号 一

二

三

总 分

13

14

15

16

17

得 分

一、选择题（每题6分，共36分）

1．若2

610x x -+=，则4

4-+x

x 的值的个位数字是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．已知二次函数2

2y x =的图象不动，把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位长度，那么在新的坐标系下抛物线的解析式是（ ） A ．2

2(2)2y x =-+

B ．2

286y x x =++

C ．2

286y x x =-+

D ．2

2810y x x =++

3．已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3.则直角三角形的面积为（ ）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8 4．若222(1)(1)y x x x =

+++-，则y 的最小值是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

5．如图，在锐角△ABC 中，以BC 为直径的半圆O 分别交AB ，AC 与D ，E 两

点，且cos A =

3

3

，则S △ADE ∶S 四边形DBCE 的值为（ ） A ．

12

B ．

13

C ．

32

D ．

33

6．如图，正方形ABCD 中，,E F 分别是,AB BC 上的点，DE 交AC 于

N

M

E

O

D

A

B

C

M ，AF 交BD 于N ；若AF 平分BAC ∠，DE AF ⊥；

记

BE m OM =,BN n ON =,

CF

p BF

=,则有（ ）

A ．m n p >>

B ．m n p ==

C ．m n p =>

D ．m n p >=

二、填空题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分） 7．已知2,32

2

-=+=+y xy xy x ,则=--2

2

32y xy x 。

8. 如图，有一种动画程序，屏幕上正方形区域ABCD 表示黑色物体甲，其中，A (1，1)， B (2，1)，C (2，2)，D (1，2)，用信号枪沿直线y = 2x + b 发射信号，当信号遇到区域甲时，甲由黑变白．则 b 的取值范围为 时，甲能由黑变白。 9．已知关于x 的方程x p x =-有两个不相等的实数根，则实数p 的取值范围是 。 10．如图，//,,,130,DC AB BAE BCD AE DE D ∠=∠⊥∠=?B ∠= 。

11．如图，一个5×5的方格网，按如下规律在每个格内都填有一个数： 同一行中右格中的数

与紧邻左格中的数的差是定值，同一列中上格中的数与紧邻下格中的数的差也是定值．请根据图中已填好的数，按这个规律将第3行填满(填在图中)。

第8题 第10题 12．已知一个有序数组),,,(d c b a ，现按下列方式重新写成数组),,,(1111d c b a ，使

a 1=a+b,

b 1=b+c,

c 1=c+d,

d 1=d+a ，按照这个规律继续写出),,,(2222d c b a ，…，

),,,(n n n n d c b a ，若20001000<++++++<

d

c b a

d c b a n

n n n ，

则=n 。

三、解答题：（本大题共5小题，计72分，写出必要的推算或演算步骤．） 13．（15分）已知二次函数2

2

2(1)22y x m x m =--+-

（1）证明：不论m 为何值，二次函数图象的顶点均在某一函数图象上，并求出此图象的函

数解析式；

（2）若二次函数图象在x 轴上截得的线段长为23，求出此二次函数的解析式。

第11题

14．（14分）如图所示，△ABC中AB=2，AC=3，

∠A=∠BCD=45°，求BC的长及△BDC的面积。

15．（14分）某仓储系统有20条输入传送带，20条输出传送带．某日，控制室的电脑显示，每条输入传送带每小时进库的货物流量如图(a)，每条输出传送带每小时出库的货物流量如图(b)，而该日仓库中原有货物8吨，在0时至5时，仓库中货物存量变化情况如图(c)，则在0时至2时有多少条输入传送带和输出传送带在工作? 在4时至5时有多少条输入传送带和输出传送带在工作?

16．（14分）已知p 为质数，使二次方程01522

2=--+-p p px x 的两根都是整数，求

出所有可能的p 的值。

17．（15分）如图所示，已知⊙O 1与⊙O 2切于点P ，外公切线AB 与连心线O 1O 2相交于点

C ，A 、B 是切点，

D 是AP 延长线上的点，满足4

5

AP AC AB AD ==。 求：（1）cos D ；（2）1

2

:O O S S

的值

芜湖一中2010年高一自主招生考试

数学试卷参考答案

一、选择题（每题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案

D

B

C

C

A

D

二、填空题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分） 7．12

8．一3≤ b ≤ 0

9．104

P ≤<

10．40°

11．26 66 106 146 12．10

三、解答题：（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

13．解：（1）二次函数的顶点坐标为（2

1,23m m m -+-），消去m 得到 2

4y x x =+

故不论m 为何值，二次函数的顶点都在抛物线2

4y x x =+上 ………………4分 （2）设二次函数的图象与x 轴交于点1(,0)A x ，2(,0)B x ，由已知2123x x -=，再利用根与系数的关系得

122

122(1)22

x x m x x m +=-??=-? 又22

211212()()4x x x x x x -=+-，则 22124(1)4(22)m m =---02m ?=-或 ………………10分

当0m =时，2

22y x x =+- 当2m =-时，2

66y x x =++ …………14分 14．解：如图，过C 作CE ⊥AB 交AB 于E 。

则2622CE AE AC ==

= ∴ 646

222

BE -=-

= 又2

2

2

BC CE BE =+ ∴72661BC =-=-……………………6分 再过D 作DF ⊥BC ，交CB 的延长线于F ，并设DF=CF=x ，则

16BF x BC x =-=+- 又Rt △DFB ∽Rt △CEB ∴

DF CE

BF BE

=

即 6

21646

2

x

x =+-- ∴ 3262x +=

因此，11326(61)222BCD S BC DF ?+=

?=?-? 964

+=……14分 15．解：图（a ）表明，输入传送带可运进货物13 t/h ；图（b ）表明，输出传送带可以运出

货物15 t/h ；图（c ）表明，在0:00～2:00时间段内仓库中货物增加

128

2 /2

t h -=。 ……5分

设此时有x 条输入传送带、y 条输出传送带在工作，则有13152x y -=

故15222

1313

y y x y ++=

=+

因020y ≤≤，故取2226y +=，得14,12x y == ……………………9分 在4:00～5:00内，同理得方程

131512x y -=- 故1512212

1313

x y x y --=

=+

因020x ≤≤，020y ≤≤，取212021226x y -=-=或， 得6,621,19(21)x y x y x =====或不合题意,舍去。…13分

答：在0:00～2:00内有14条输入传送带和12条输出传送带在工作；在4:00～5:00内有6条输入传送带和6条输出传送带在工作。…………………………14分

16．解：由于这个整系数一元二次方程有整数根，所以

2244(51)4(51)p p p p ?=---=+是完全平方数，从而51p +是完全平方数，令

251p n +=，n 是正整数，

则 5(1)(1)p n n =-+

所以，5(1)(1)n n -+，即5(1)5(1)n n -+或。 …………………………5分

若5(1)n -，令15n k -=，则(52)p k k =+，由于p 是质数，故1k =，7p =，此

时方程为2

14130x x -+=，11x =，213x =满足条件。

若5(1)n +，令15n k '+=，则(52)p k k ''=-，故1k '=，3p =，此时方程为

26700x x --==，11x =-，27x =满足条件。…………………………13分

综上所述，所求的质数p 为3或7 ………………………………14分 17．解：（1）过P 作两圆的内公切线交AB 于Q ，连接PB 。 ∵ AB 是两圆的外公切线，

∴ QA QP QB == ∴ 90APB ∠= ∵

,,AP AC AD AC

CAD PAB AB AD AB AP

==∠=∠即 ∴△CAD ∽△PAB ∴90ACD APB ∠=∠=?

在Rt △ACD 中，令AC=4t ，AD=5t ，则CD=3t ， ∴ 3

cos 5

CD D AD ==……7分 （2）在Rt △APB 中，设AP=8a ，AB=10a ，则PB=6a 。

作1O E AP ⊥于E ，1O F BP ⊥于F ，则1

42

EP AP a =

=，3FP a = 在Rt △PO 2F 中，2FO P APB D ∠=∠=∠ ∴Rt △PFQ 2∽Rt △ACD ， ∴

23

4

FO CD PF CA ==，又112//,O E PF EO P EPO ∠=∠ ∴△EO 1P ∽△FPO 2， ∴

122416

994

O P PE a O P O F a === ∴12

212256

(

)81

o o S o P S

o P ==

………………15分