溶液 溶解度知识点总结及经典习题(含答案)
溶液溶解度知识点总结及经典习题(含答案)
一、溶液选择题
1．下表是NaCl、KNO3在不同温度时的溶解度：
温度/℃102030405060 NaCl35.836.036.336.637.037.3
溶解度/g
KNO320.931.645.863.985.5110
据此数据，判断下列说法错误的是
A．KNO3和NaCl的溶解度曲线在20℃—30℃温度范围内会相交
B．在60℃时，KNO3的饱和溶液105g加入95g水后，溶液中溶质的质量分数为27.5％C．在20℃时，NaCl和KNO3固体各35g分别加入两只各盛有100g水的烧杯中，均不能形成饱和溶液
D．从含有少量NaCl的KNO3饱和溶液中得到较多的KNO3晶体，通常可采用冷却热饱和溶液的方法
【答案】C
【解析】
A、根据表格提供的数据可以发现，在20℃～30℃温度范围内硝酸钾和氯化钠存在溶解度相同的数值，KNO3和NaCl的溶解度曲线在20℃～30℃温度范围内会相交，错误；
B、在60℃时，硝酸钾的溶解度为110g，则105g的KNO3饱和溶液，含有硝酸钾55g，加入95g
水后，溶液中溶质的质量分数=×100%=27.5%，错误；C、在20℃时，氯化钠的溶解度为36g，硝酸钾的溶解度为31.6g，NaCl 和KNO3固体各35g分别加入两只各盛有100g 水的烧杯中，氯化钠不能形成饱和溶液，硝酸钾形成饱和溶液，正确；D、硝酸钾的溶解度随温度的升高而变化很大，含有少量NaCl的KNO3饱和溶液中得到较多的KNO3晶体，通常采用冷却热的饱和溶液的方法，错误。故选C。
点睛：掌握溶解度随温度变化的特点以及饱和溶液中结晶析出晶体的方法是正确解答本题的关键。
2．下列关于溶液的说法错误的是（）
A．固体、液体、气体都可以做溶质
B．NH4NO3溶解过程中吸热，溶液温度降低
C．欲使100克KNO3溶液的质量分数由5%变成10%，可向其中加入5克KNO3固体D．25℃时，将某KNO3溶液蒸发10克水析出a克晶体，再蒸发10克水析出b克晶体，a 与b的质量不一定相等
【答案】C
【解析】
试题分析：A、溶质可以是固体、液体、气体，故A说法正确；B、NH4NO3溶解过程中吸
热，溶液温度降低，故B说法正确；C、溶质质量分数：，
故C错；D、如果硝酸钾溶液蒸发溶剂前，是饱和溶液，蒸发10克水析出a克晶体，再蒸发10克水析出b克晶体，a与b的质量一定相等，如果硝酸钾溶液蒸发溶剂前，是不饱和溶液，蒸发10克水析出a克晶体，再蒸发10克水析出b克晶体，a与b的质量一定不相等，故D说法正确。故选C。
考点：溶液的概念、组成及其特点；溶解时的吸热或放热现象；晶体和结晶的概念与现象；有关溶质质量分数的简单计算
3．如图是两种固体物质的溶解度曲线（不含结晶水，且在同一杯溶液中相互不干扰）。对此，下列判断正确的是( )
A．甲、乙在20℃时，溶液质量分数相等
B．30℃时，同一杯甲乙二者饱和溶液，甲溶质质量不一定比乙多
C．分别恒温蒸发30℃时两杯溶液，析出的甲比乙多
D．30℃时，将60g甲的饱和溶液降温到20℃时，析出5g甲物质
【答案】D
【解析】A. 甲、乙在20℃时，饱和溶液的溶质质量分数相等，错误；B. 30℃时，同一杯甲乙二者饱和溶液，甲溶质质量一定比乙多，错误；C. 分别恒温蒸发30℃时两杯两种物质的饱和溶液，析出的甲比乙多，错误；D. 30℃时，将60g甲的饱和溶液降温到20℃时，析出5g甲物质，正确。故选D。
4．t℃测得某物质（不含结晶水）在不同质量的水中溶解达到饱和状态时所溶解该物质的质量，绘制成如图中斜线。下列说法错误的是
A．t℃时该物质的溶解度为40g
B．N点表示溶液中溶质的质量分数为20%
C．加溶质能使M点的溶液达到饱和状态
D．图中4点表示的溶液中溶质质量分数的关系是：N＜M＜P=Q
【答案】B
【解析】A．由图示可知t℃时该物质的溶解度为40g，故A正确；B．N点表示100g水中
溶解20g 溶质，溶液中溶质的质量分数为20100%10020g
g g ?+≠20%，故B 错误；C ．M 点为80g 水中溶解了20克溶质，此时溶液为不饱和溶液，添加溶质能使M 点的溶液达到饱和状态，故C 正确；D ．P 、Q 均是这一温度的饱和溶液故此溶液溶质质量分数相等，M 与N 溶质是相同的而溶剂不同，可判断出N ＜M ，由于温度相同时不饱和溶液最浓，可知它们的关系是：N ＜M ＜P=Q ，故D 正确；答案为B 。
点睛：准确理解图像并获取信息是解题关键，此图象是t ℃时物质的溶解情况，不能验证不同温度下溶解度大小的关系，图中四点的含义分别是N 点100g 水中溶解20g 溶质的不饱和溶液；M 点80g 水中溶解20g 溶质的不饱和溶液；P 点100g 水中溶解40g 溶质的饱和溶液；Q 点这一温度下的饱和溶液，利用这些相关知识可解决此题。
5．KNO 3和KCl 在不同温度时的溶解度曲线如图所示，下列说法正确的是
A ．温度低于40℃时，KNO 3的溶解度一定小于KCl 的溶解度
B ．将等质量的KNO 3和KCl 的饱和溶液从60℃降温到20℃，析出晶体的质量KNO 3大于KCl
C ．将10℃时KNO 3、KCl 的饱和溶液升温至60℃，KNO 3溶液中溶质的质量分数比KCl 大
D ．将20℃时100gKCl 的饱和溶液升温至60℃，需要再加入11.5gKCl 固体才能使溶液恰好饱和
【答案】B
【解析】
A 、在30℃-40℃时，两条曲线有交点，此时KNO 3的溶解度和KCl 的溶解度相等，故错误；
B 、将等质量的KNO 3和KCl 的饱和溶液从60℃降温到20℃，KNO 3的溶解度比KCl 的溶解度变化大，析出晶体的质量KNO 3大于KCl ，故正确；
C 、将10℃时KNO 3的溶解度大于KCl 的溶解度，根据饱和溶液溶质的质量分数公式
100%100g+?溶解度溶解度
可知，将10℃时KNO 3、KCl 的饱和溶液溶质质量分数KCl 大于KNO 3，升温至60℃，KNO 3、KCl 的溶解度都增大，但溶液的成分都没有变化，KNO 3溶液中溶质的质量分数比KCl 小，故错误；
D 、20℃时，KCl 的溶解度为34.0g ，60℃时，KCl 的溶解度为45.5g ，如果水为100g 饱和溶液从20℃时升温至60℃，需要再加入11.5gKCl 固体才能使溶液恰好饱和，但是题干中为100g 溶液，故错误。
点睛：
固体溶解度曲线的作用可从点、线、面和交点四方面来理解：
1．点：溶解度曲线上的每个点（即饱和点）表示的是某温度下某种物质的溶解度。即曲线
上的任意一点都对应有相应的温度和溶解度。温度在横坐标上可以找到，溶解度在纵坐标上可以找到。溶解度曲线上的点有三个方面的作用：（1）根据已知的温度可以查出有关物质的溶解度；（2）根据物质的溶解度也可以查出它所对应的温度；（3）可以判断或比较相同温度下，不同物质溶解度的大小（或饱和溶液中溶质的质量分数的大小）。
2．线：溶解度曲线表示某物质在不同温度下的溶解度或溶解度随温度的变化情况。曲线的坡度越大，说明溶解度受温度影响越大；反之，说明受温度影响较小。溶解度曲线也有三个方面的应用：（1）根据溶解度曲线，可以看出物质的溶解度随着温度的变化而变化的情况。一般规律是：大部分固体随温度升高溶解度增大，如硝酸钾；只有少数固体溶解度受温度影响不大，如食盐（氯化钠）；极少数物质溶解度随温度升高反而减小，如熟石灰。（2）根据溶解度曲线，判断或比较某一物质在不同温度下的溶解度大小。（3）根据溶解度曲线，选择分离、提纯某些可溶性混合物的方法（即选用蒸发结晶还是降温结晶）；并且，还可以判断或比较析出晶体的质量大小（即曲线越陡，析出的晶体就越多）。3．面：对于曲线下部面积上的任何点，依其数据配制的溶液为对应温度时的不饱和溶液；曲线上部面积上的点，依其数据配制的溶液为对应温度时的饱和溶液，且溶质有剩余。如果要使不饱和溶液（曲线下部的一点）变成对应温度下的饱和溶液，方法有两种：第一种方法是向该溶液中添加适量的溶质使之到达曲线上；第二种方法是蒸发掉过量的溶剂。4．交点：两条溶解度曲线的交点表示该点所示的温度下，两物质的溶解度是相同的；并且，此时两种物质饱和溶液的溶质质量分数也相同的。
6．如图是a、b、c三种物质的溶解度曲线，下列分析正确的是
A．P点表示物质A和C的溶解度都为20g
B．若a中混有少量b，可采用蒸发结晶法分离提纯a
C．将t2℃时a、b、c三种物质的饱和溶液降温至t1℃时，a溶液中析出的晶体不一定最多D．将t1℃时a、b、c三种物质的饱和溶液升温至t2℃时，所得溶液的溶质质量分数关系是a ＞b ＞c
【答案】C
【解析】
A.根据溶解度曲线的交叉点表示的意义解答；
B. 据a、b的溶解度受温度影响情况分析提纯物质的方法；
C.根据饱和溶液的质量分析解答。
D. 据三种物质的溶解度随温度变化情况及饱和溶液中溶质质量分数的计算式分析解答。解：A. P点表示t1℃时物质a和c的溶解度都为20g。故错误；
B. 由于a、b物质的溶解度随温度的升高而增加且a物质的溶解度受温度的影响变化较
大，当a 物质中混有少量b 物质时，可采用降温结晶的方法得到较纯净的a 物质。故错误；
C. 将t 2℃时a 、b 、c 三种物质的饱和溶液降温至t 1℃时，由于a 、b 、c 三种溶液的质量不一定相等，故a 溶液中析出的晶体不一定最多。正确；
D. 据图可知：a 、b 的溶解度随温度的升高而增大，c 的溶解度随温度的升高而减小；所以将t 1℃时a 、b 、c 三种物质的饱和溶液均升温到t 2℃时，a 、b 溶质质量不变，溶剂质量不变，溶质质量分数不变，c 析出晶体，依然是饱和溶液，又t 1℃时a 、c 的溶解度相同，此时a 、c 的溶质质量分数相等，而a 升温后变为不饱和溶液，溶质的质量分数与升温前相等，据饱和时质量分数的计算式+100g
溶解度溶解度×100%，可知溶解度越大质量分数也就越大，t 2℃时溶液中溶质质量分数最大的是b ＞a ＞c 。故错误。
7．下表是NaCl 、KNO 3在不同温度时的溶解度：
据此数据，判断下列说法错误的是 （ ）
A ．KNO 3和NaCl 的溶解度相等的温度范围在20℃～30℃
B ．在20℃时，NaCl 和KNO 3固体各34g 分别加入两只各盛有100g 水的烧杯中，均不能形成饱和溶液
C ．在60℃时，KNO 3的饱和溶液105g 中含有溶质的质量为55g
D ．从含有少量NaCl 的KN03饱和溶液中得到较多的KNO 3晶体，通常可采用冷却热饱和溶液的方法
【答案】B
【解析】
分析图表，KNO 3和NaCl 的溶解度曲线在20℃～30℃温度范围内相交；
B 、根据20℃时NaCl 和KNO 3的溶解度及溶解度的定义分析解答；
C 、依据60℃时KNO 3的溶解度是110g 分析解答；
D 、根据NaCl 和KNO 3的溶解度随温度的变化趋势分析提纯硝酸钾的方法。
解：A 、分析图表，KNO 3和NaCl 的溶解度曲线在20℃～30℃温度范围内有相同的时候，所以两种物质的溶解度曲线在此范围内相交，正确；
B 、在20℃时，NaCl 的溶解度是36.0g ，KNO 3的溶解度是31.6g ；所以分别将两种物质34g 加入两只各盛有100g 水的烧杯中，可形成氯化钠的不饱和溶液，硝酸钾的饱和溶液，故错误；
C 、60℃时KNO 3的溶解度是110g ，相当于210g 溶液最多溶解硝酸钾110g ；则105g 饱和溶液溶液含有硝酸钾55g ，正确；
D、根据图表可知：氯化钠的溶解度受温度的变化影响较小，硝酸钾的溶解度随温度的升高而逐渐增大，且变化较大；所以从含有少量氯化钠的硝酸钾饱和溶液中得到较多的硝酸钾晶体，可以采取冷却热饱和溶液的方法，正确。
故选B。
点睛：重点是抓住溶解度的实质进行分析，结合图表所提供的信息即可解决。
8．下列有关溶液的说法符合实际的是（）
A．将澄清的饱和石灰水加热，无白色浑浊出现
B．20℃时氯化钠溶解度是36g，将30g氯化钠放入50g水中充分搅拌，得到80g溶液C．硫酸溶液中存在的阳离子全部是H+
D．溶液一定是无色透明的液体
【答案】C
【解析】
A、氢氧化钙的溶解度随温度的升高而减小，升温会使溶质析出出现浑浊，故此选项错误．
B、由20℃时氯化钠溶解度可知，30g氯化钠不能都溶解在50g水中，只能溶解18g形成68g溶液，故此选项错误．
C、硫酸在水中电离时会出现氢离子与硫酸根离子，除氢离子外再无其他带正电的离子，故此选项正确．
D、溶液一定透明但不一定无色，例如硫酸铜的溶液是蓝色的，故此选项错误．
故选C
9．甲、乙、丙三种物质的溶解度曲线如图所示。下列说法错误的是( )
A．t1℃时，甲、乙、丙三种物质的溶解度由大到小的顺序是：乙＞甲=丙
B．t2℃时，30g甲物质加入50g水中，充分搅拌后，所得溶液的溶质的质量分数为37.5% C．将相同质量的甲、乙、丙三种物质的饱和溶液从t2℃降温到t1℃，析出晶体最多的是甲D．欲将丙物质的不饱和溶液变为饱和溶液，可以采取升高温度的方法
【答案】B
【解析】
【详解】
A、通过分析溶解度曲线可知，t1℃时，甲、乙、丙三种物质的溶解度由大到小的顺序是：乙＞甲=丙，故A正确；
B、t2℃时，甲物质的溶解度是50g，所以30g甲物质加入50g水
中，充分搅拌后，所得溶液的溶质的质量分数为×100%=33.3%，故B错误；C、将相同质量的甲、乙、丙三种物质的饱和溶液从t2℃降温到t1℃，甲物质的溶解度变化最大，所以析出晶体最多的是甲，故C正确；D、丙物质的溶解度随温度的升高而减小，所以欲将丙物质的不饱和溶液变为饱和溶液，可以采取升高温度的方法，故D正确。故选B。
【点睛】
根据固体的溶解度曲线可以：①查出某物质在一定温度下的溶解度，从而确定物质的溶解性，②比较不同物质在同一温度下的溶解度大小，从而判断饱和溶液中溶质的质量分数的大小，③判断物质的溶解度随温度变化的变化情况，从而判断通过降温结晶还是蒸发结晶的方法达到提纯物质的目的。
10．右图是NaCl、MgSO4的溶解度曲线．下列说法正确的是（）
A．只有在t1℃时，NaCl和MgSO4的溶解度才相等
B．t1℃～t3℃，MgSO4的溶解度随温度升高而增大
C．在t2℃时，MgSO4饱和溶液的溶质质量分数最大
D．把MgSO4饱和溶液的温度从t3℃降至t2℃时，有晶体析出
【答案】C
【解析】
根据两物质的溶解度曲线不难看出，两物质的溶解度曲线有两个交点，即t1℃和t2℃时，两物质的溶解度相等，故A错误；由硫酸镁的溶解度曲线可知，在t1℃～t3℃时，硫酸镁的溶解度先随温度的升高而增大，后随温度的升高而减小，故B错误；在t2℃时，由于硫酸镁的溶解度大于氯化钠的溶解度，所以硫酸镁饱和溶液中溶质的质量分数大，故C正确；由于在t2﹣t3℃，硫酸镁的溶解度随温度的降低而增大，因此把MgSO4饱和溶液的温度从t3℃降至t2℃时，溶液会由饱和溶液变成不饱和溶液，而不会有晶体析出，故D错误。
【答案】B
【解析】饱和溶液是在一定温度下、一定量的溶剂里不能再溶解某物质的溶液叫该物质的饱和溶液，反之为不饱和溶液。判断溶液是否饱和的方法是：向溶液中在加入少量同种溶质，搅拌，如能继续溶解，原溶液是不饱和溶液；如不能溶解，原溶液为饱和溶液。A. 温度不变时，向该溶液中加入少量水，溶质的质量分数都变小；B. 温度不变时，向该溶液中加入少量KNO3晶体，晶体不再溶解，可证明原溶液是饱和溶液；C. 取少量该溶液，升温后无KNO3晶体析出，可能是升温时物质的溶解度变大，使溶液由饱和溶液变成不饱和溶液；D. 取少量该溶液，降温到10℃时，有KNO3晶体析出，是因为降温时，物质的溶解度变小。选B
点睛：证明溶液是否饱和的关键是清楚饱和溶液与不饱和溶液是的区别。
11．甲、乙两物质的溶解度曲线如图所示，下列叙述中正确的是( )
A．t1℃时，甲和乙的溶解度相等，都是30
B．t1℃时，将甲、乙两种物质的饱和溶液分别恒温蒸发等质量的水，析出晶体的质量一定相等
C．温度从t2℃降至t1℃时，甲和乙的饱和溶液中析出晶体的质量甲大于乙
D．t2℃时，甲溶液的溶质质量分数一定大于乙溶液的溶质质量分数
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
A．溶解度的单位为克；
B．是恒温蒸发，蒸发的水的质量相等，所以析出晶体质量也相等；
C．温度从t2℃降至t1℃时，甲和乙的饱和溶液都有晶体析出，但析出晶体的质量要看原来溶液的质量，不一定是甲大于乙；
D．t2℃时，甲的溶解度大于乙，但甲溶液的质量分数与乙溶液的质量分数无法比较，因为两种溶液不一定是饱和溶液，故选B。
12．下表是氯化钠、硝酸钾在不同温度时的溶解度。据此判断：下列说法不正确的是
温度/℃102030405060
溶解度/g 氯化钠35.836.036.336.637.037.3硝酸钾20.931.645.863.985.5110
A．氯化钠和硝酸钾的溶解度曲线在20℃~30℃温度范围内会相交
B．在20℃时，向68g饱和氯化钠溶液中加入32g水，此时溶液中溶质的质量分数为18％C．从含有少量氯化钠的饱和硝酸钾溶液中得到较多的硝酸钾晶体，可采用冷却热饱和溶液使其结晶的方法
D．分别将20℃时一定质量的饱和氯化钠溶液、饱和硝酸钾溶液升温至40℃，此时硝酸钾溶液中溶质的质量分数大于氯化钠溶液
【答案】D
【解析】
A、氯化钠和硝酸钾的溶解度在20℃～30℃温度范围内分别从36g--36.3g、31.6g--45.8g，所以曲线会相交，故A正确；
B、在20℃时，氯化钠的溶解度是36g，所以68g的变化溶液中含有氯化钠18g，所以向
68g饱和氯化钠溶液中加入32g水，此时溶液中溶质的质量分数为×100%=18%，故B 正确；
C、硝酸钾的溶解度随温度的升高而增大，所以从含有少量氯化钠的饱和硝酸钾溶液中得到较多的硝酸钾晶体，通常可采用冷却热饱和溶液使其结晶的方法，故C正确；
D、升高温度，氯化钠、硝酸钾的溶解度增大，20℃时的饱和氯化钠溶液的溶质质量分数大于饱和硝酸钾溶液的溶质质量分数，所以分别将20℃时的饱和氯化钠溶液、饱和硝酸钾溶液升温至40℃，饱和氯化钠溶液的溶质质量分数仍大于饱和硝酸钾溶液的溶质质量分数，故D错误。
点睛：
固体的溶解度表可以：①查出某物质在一定温度下的溶解度，从而确定物质的溶解性，②比较不同物质在同一温度下的溶解度大小，从而判断饱和溶液中溶质的质量分数的大小，③判断物质的溶解度随温度变化的变化情况，从而判断通过降温结晶还是蒸发结晶的方法达到提纯物质的目的。
13．列表和作图是常用的数据处理方法．结合所绘图表判断下列说法正确的是（）
氢氧化钠、碳酸钠分别在水、酒精中的溶解度
氢氧化钠碳酸钠
20℃40℃20℃40℃
水109g129g21.8g49g
酒精17.3g40g不溶不溶
A．图象与表格均能反映温度对固体物质溶解度的影响，其中表格的优点是变化规律更直观
B．由表格数据可知，物质的溶解度只受温度影响
C．40℃时，将50g NaOH分别投入到100g水和酒精中都能得到饱和溶液
D．40℃时，将CO2通入饱和的NaOH酒精溶液中有沉淀生成
【答案】D
【解析】
由题中信息知，A. 图象与表格均能反映温度对固体物质溶解度的影响，其中图像的优点是变化规律更直观。故A错误。B. 由表格数据可知，物质的溶解度受温度和溶剂种类影响。故B错误。C. 40℃时，将50g NaOH分别投入到100g水和酒精中能得到饱和溶液是酒精，水得到不饱和溶液。故C错误。D. 40℃时，将CO2通入饱和的NaOH酒精溶液中有沉淀生成，碳酸钠不溶于酒精。故D正确。
点睛∶本题主要考查常用的数据处理方法－－列表和作图。
14．如图是甲、乙两种固体物质的溶解度曲线．下列说法错误的是( )
A．T℃时，甲、乙两物质的溶解度相等 B．乙的饱和溶液降温时，溶质质量分数保持不变
C．甲中混有少量乙，可采用降温结晶的方法提纯甲 D．T℃时，甲的饱和溶液溶质质
量分数为20%
【答案】D
【解析】
试题分析：从图示看：T℃时，甲、乙两物质的溶解度相等；乙的饱和溶液降温时，溶质的溶解度变大，所以不会有溶质结晶析出，溶质质量分数保持不变；甲中混有少量乙，可采用降温结晶的方法提纯甲，因为降温乙的溶解度变大，不会析出；T℃时，甲的饱和溶液溶质质量分数为＝20／120×100%．故选D．
考点：溶解度和溶解度曲线
15．下图中,图一为四种物质的溶解度曲线,在图二中分别向两支试管内滴加一定量的水后,X和Y的饱和溶液均变混浊,则下列说法错误的是
A．10℃时,物质溶解度大小关系为:①>③>②>④
B．X为Ce2(SO4)3,Y不一定是NH4H2PO4
C．若NHH2PO4中混有少量的NaCl杂质,可在较高温度配成饱和溶液,再降温结晶除去D．20℃时,将40NaCl加入到100g水中,所得溶液中溶质和溶剂的质量比是2:5
【答案】D
【解析】
A、通过分析溶解度曲线可知，10℃时，物质溶解度关系为①＞③＞②＞④，故A正确；
B、氢氧化钠溶于水使溶液温度升高，Ce2(SO4)3的溶解度随温度的升高而减小，溶液中析出的晶体为Ce2(SO4)3；硝酸铵溶于水使溶液温度升高降低，NHH2PO4和NaCl的溶解度随温度的升高而减小，溶液中析出的晶体是NHH2PO4或NaCl，故B正确；
C、磷酸二氢铵受温度
变化影响较大，所以若NH4H2PO4中混有少量NaCl杂质，提纯NH4H2PO4可用降温结晶的方法，故C正确；D、22℃时，氯化钠的溶解度是36g，将40NaCl加入到100g水中,所得溶液中溶质和溶剂的质量比是36g:100g=9:25，故D错误。故选D。
点睛：根据固体的溶解度曲线可以：①查出某物质在一定温度下的溶解度，从而确定物质的溶解性，②比较不同物质在同一温度下的溶解度大小，从而判断饱和溶液中溶质的质量分数的大小，③判断物质的溶解度随温度变化的变化情况，从而判断通过降温结晶还是蒸发结晶的方法达到提纯物质的目的。
16．烧杯中盛有溶质质量分数一定的NaCl溶液，溶液全部倒出后，用蒸馏水洗涤2次，每次用20 mL蒸馏水，若烧杯内每次残留0.5 mL溶液，经2次洗涤后烧杯内残留的NaCl溶液中溶质的质量分数约为原NaCl溶液的（NaCl溶液的密度均按1 g/cm3计算）
A．1/81 B．1/400 C．1/820 D．1/1681
【答案】D
【解析】
【详解】
根据NaCl溶液的密度均按1g/cm3计算，0.5mL氯化钠溶液即0.5g；20mL蒸馏水的质量为20g
假设原氯化钠溶液的质量分数为a，
经过第一次洗涤后溶液的质量分数=
0.5g a 0.5g20g
?
+
×100%=
a
41
；
再进行第二次洗涤，洗涤后溶液的质量分数=
a
0.5g
41
0.5g20g
?
+
×100%=
a
1681
；
经2次洗涤后烧杯内残留的NaCl溶液中溶质的质量分数约为原NaCl溶液的1/1681；故选D。
17．如图是KNO3和NaCl固体的溶解度曲线，下列有关说法中正确的是
A．KNO3的溶解度受温度的影响比NaCl大
B．t1℃时，100gKNO3饱和溶液中含有20gKNO3
C．t2℃时，NaCl溶液与KNO3溶液中溶质质量分数相等
D．若NaCl中混有少量KNO3，可用降温结晶的方法提纯NaCl
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
A、KNO3的溶解度受温度的影响比NaCl大，故A正确；
B、t1℃时，KNO3的溶解度为20g，表示120g KNO3饱和溶液中含有20g KNO3，故B错误；
C、t2℃时，NaCl和KNO3的溶解度相同，二者饱和溶液的溶质质量分数相等，题中没有指明是饱和溶液，故C错误；
D、NaCl的溶解度随温度变化不大，若NaCl中混有少量KNO3，可用的蒸发结晶的方法提纯NaCl，故D错误。故选A。
18．甲、乙两种物质的溶解度曲线如图，下列说法正确的是( )
A．t1℃时，甲、乙两种溶液的溶质质量分数相同
B．t1℃时，取少量甲的饱和溶液，加入少量乙，不能再溶解
C．t1℃时，取少量甲的饱和溶液升温到 t2℃，变成不饱和溶液
D．t2℃时，将等质量的甲、乙分别配成饱和溶液，所得溶液质量甲＞乙
【答案】C
【解析】
A.根据t1℃时，甲、乙两种物质的溶解度相等分析解答；
B.根据饱和溶液的概念分析解答；
C.根据影响物质溶解度的因素分析解答；
D.根据物质的溶解度分析解答。
解：A. t1℃时，甲、乙两种物质的溶解度相等，溶质质量分数不一定相等。故错误；
B. 根据饱和溶液的概念可知，t1℃时，取少量甲的饱和溶液，加入少量乙，能溶解乙，但不能溶解甲。故错误；
C. 由图可知，甲的溶解度随温度的升高而增大且变化较大。故t1℃时，取少量甲的饱和溶液升温到t2℃，变成不饱和溶液。正确；
D. 由于t2℃时甲、乙两种物质的溶解度大小关系是甲>乙，即等质量的水能溶解的溶质质量为甲>乙，所以用等质量的甲、乙、配成t2℃时饱和溶液所需水的质量是乙>甲。故错误。
故本题选C。
19．甲、乙两种物质(不含结晶水)的溶解度曲线如图所示，下列叙述正确的是( )
A．甲和乙的溶解度相等且均为30g
B．甲物质的溶解度随温度的升高而减小
C．a1℃时，乙的饱和溶液中溶质与溶剂的质量比为3：7
D．将a2℃150g甲的饱和溶液降温到a1℃，有20g固体析出
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
A、由于没有确定温度，甲和乙的溶解度无法确定，错误；
B、根据溶解度曲线可知，甲的溶解度随温度的升高而增大，错误；
C、 a1℃时，乙的溶解度为30g，a1℃时，30g的乙与100g的水形成饱和溶液，乙的饱和溶液中溶质与溶剂的质量比=30g:100g=3:10，错误；
D、a2℃时，甲的溶解度为50 g，根据溶解度的意义可知，a2℃时，甲的150g饱和溶液中溶质的质量为50g，溶剂的质量为100g， a1℃时，甲的溶解度为30 g，根据溶解度的意义可知，a1℃时，100g水中最多溶解30g的甲，将a2℃150g甲的饱和溶液降温到a1℃，溶剂的质量不变，析出晶体的质量=50g-30g=20g，正确。故选D。
【点睛】
溶液在降温过程中，溶剂的量一般保持不变。
20．列表和作图是常用的数据处理方法．结合材料所绘图表判断下列说法正确的是( )
A．表格与图象均能反映温度对固体物质溶解度的影响，表格比图像更直观体现变化规律B．由表格数据可知，物质的溶解度只受温度影响
C．40℃时，将50g NaOH分别投入到100g水和酒精中都能得到饱和溶液
D．40℃时，将CO2通入饱和的NaOH酒精溶液中有沉淀生成
【答案】A
【解析】A．通过分析溶解度表和溶解度曲线可知，图象与表格均能反映温度对固体物质溶解度的影响，其中图象的优点是变化规律更直观，故A错误；B．由表格数据可知，物质的溶解度受温度和溶剂影响，故B错误；C．40℃时，氢氧化钠在水中的溶解度是
129g，氢氧化钠在酒精中的溶解度是40g，所以将50gNaOH分别投入到100g水和酒精中，在水中不能形成饱和溶液，故C错误；D．40℃时，碳酸钠在酒精中难溶，所以将CO2通入饱和的NaOH酒精溶液中有沉淀生成，故D正确；故选D。
点睛：根据固体的溶解度曲线可以：①查出某物质在一定温度下的溶解度，从而确定物质的溶解性，②比较不同物质在同一温度下的溶解度大小，从而判断饱和溶液中溶质的质量分数的大小，③判断物质的溶解度随温度变化的变化情况，从而判断通过降温结晶还是蒸发结晶的方法达到提纯物质的目的。
高中数学集合典型例题
-- -- 集 合 1．集合概念 元素:互异性、无序性、确定性 2.集合运算 全集Ｕ：如U ＝Ｒ 交集:}{B x A x x B A ∈∈=且 并集:}{B x A x x B A ∈∈=?或 补集:}{A x U x x A C U ?∈=且 ３.集合关系 空集A ?φ 子集B A ?：任意B x A x ∈?∈ B A B B A B A A B A ??=??= 注：数形结合-－-文氏图（即韦恩图、Ve ｎn 图）、数轴 典型例题 1. 集合(){}0,=+=y x y x A ,(){}2,=-=y x y x B ,则=B A ２. 已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2,那么Q P 等于 3. 设(){}R b b x b x x A ∈=++++=,0122,求A 中所有元素之和. 4. 已知集合{}24,3,22++=a a A ,{}a a a B --+=2,24,7,02，且{}7,3=B A ,求a 的值. 5. 已知(){}011=+-=x m x A ,{}0322=--=x x x B ，若B A ?，则m 的值为 6. 已知{}121-≤≤+=m x m x A ，{}52≤≤-=x x B ，若B A ?,求实数m 的取值范围． 7. 设全集{}32,3,22-+=a a S ，{}2,12-=a A ,{}5=A C S ，求a 的值. 8． 若{}Z n n x x A ∈==,2,{}Z n n x x B ∈-==,22，试问B A ,是否相等. 9. 已知(){}a x y y x M +==,,(){}2,22=+=y x y x N ,求使得φ=N M 成立的实数a 的取值范围. １0. 设集合{}R x x x x A ∈=+=,042,(){}R x R a a x a x x B ∈∈=-+++=,,011222,若A B ?，求实数a 的取值范围. １１． 设R U =,集合{}R x a ax x x A ∈=+-+=,03442，(){}R x a x a x x B ∈=+--=,0122，{}R x a ax x x C ∈=-+=,0222,若C B A ,,中至少一个不是空集，求实数a 的取值范围. 12. 设集合(){}01,2=--=x y y x A ,(){} 05224,2=+-+=y x x y x B ,(){==y y x C ,}b kx +，是否存在N b k ∈,,使得()φ=C B A ?若存在,请求出b k ,的值;若不存在,请说明理由.
集合-基础知识点汇总与练习-复习版
集合知识点总结 一、集合的概念 教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问 题，掌握集合问题的常规处理方法． 教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用．： 一)主要知识： 1．集合、子集、空集的概念； 2．集合中元素的3个性质，集合的3 种表示方法； 3. 若有限集A有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n 1，非空子集有2n 1个，非空真子集有2n 2个． 二、集合的运算 教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性 质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握 集合问题的常规处理方法. 教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用. 一)主要知识： 1. 交集、并集、全集、补集的概念； 2. AI B A A B，AUB A A B； 3. C U AI C U B C U (AUB)，C U AUC U B C U(AI B). 二)主要方法： 1. 求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；
2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出 问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键． 考点要点总结与归纳 一、集合有关概念 1. 集合的概念：能够确切指定的一些对象的全体。 2. 集合是由元素组成的 集合通常用大写字母A、B、C,…表示，元素常用小写字母a b、c, …表示。 3. 集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性。 (1)确定性：一个元素要么属于这个集合,要么不属于这个集 合,绝无模棱两可的情况。如：世界上最高的山 (2)互异性：集合中的元素是互不相同的个体,相同的元素只能 出现一次。如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} ( 3)无 序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。 女口：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 4. 元素与集合的关系 (1)元素a是集合A中的元素，记做a€ A，读作“ a属于集合A”； (2)元素a不是集合A中的元素，记做a?A，读作“a不属于集合A”。 5. 集合的表示方法：自然语言法, 列举法,描述法,图示法。 ( 1)自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。如大于等于2 且小于等于8 的偶数
数列知识点总结及题型归纳
数列 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位 置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2010年各省参加高考的考生人数。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就 叫这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 14131211 ，，，，… 数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈）， 数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。 说明： ① {}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈? +=?； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列 实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值 (1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。 例：画出数列12+=n a n 的图像. （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1 (1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 例：已知数列}{n a 的前n 项和322+=n s n ，求数列}{n a 的通项公式
集合典型例题
集合·典型例题 能力素质 例用符号∈或填空1 ? 1________N ， 0________N ， －3________N ， 0.5N N ，；2 1________Z ， 0________Z ， －3________Z ， 0.5Z Z ，；2 1________Q ， 0________Q ， －3________Q ， 0.5Q Q ，；2 1________R ， 0________R ， －3________R ， 0.5R R ，；2 分析元素在集合内用符号∈，而元素不在集合内时用符号． ? 解∈， ∈，－，，； 1N 0N 3N 0.5N N ???2 1Z 0Z 3Z 0.5Z Z 1Q 0Q 3Q ∈， ∈，－∈，，；∈，∈，－∈，??2 0.5Q Q 1R 0R 3R 0.5R R ∈，； ∈，∈，－∈，∈，； 22?? 说明：要注意符号的规范书写． 例2 (1)用列举法表示不超过10的非负偶数的集合，并用另一种方法表示出来； (2)设集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N}，试用列举法表示集合A ； 分析 (1)中集合含的元素为0、2、4、6、8、10；(2)中集合所含的元素是点(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)． 解 (1){0，2，4，6，8，10｝；用描述法表示为{不超过10的非负偶数}，或|x|x ＝2n ，n ∈N ，n ＜6}． (2)A ＝{(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)}． 说明：注意(2)中集合A 的元素是点的坐标．
集合经典例题总结
集合经典例题讲解 集合元素的“三性”及其应用 集合的特征是学好集合的基础，是解集合题的关键，它主要指集合元素的确定性、互异性和无序性，这些性质为我们提供了解题的依据，特别是元素的互异性，稍有不慎，就易出错． 例1 已知集合Ａ＝｛a ，a ＋b ，a ＋2b ｝，Ｂ＝｛a ，a q ，a 2q ｝，其中a 0≠，Ａ＝Ｂ，求q 的值． 例2 设Ａ＝｛ｘ∣2x ＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和． 例3 已知集合=A {2，3,2a +4a +2}，B ＝{0,7,2a +4a -2,2-a }，且A I B={3,7},求a 值． 分析： 集合易错题分析 1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2．你会用补集的思想解决有关问题吗？ 3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ 1、忽略φ的存在： 例题1、已知A={x|121m x m +≤≤-}，B={x|25x -≤≤}，若A ?B ，求实数m 的取值范围． 2、分不清四种集合：{}()x y f x =、{}()y y f x =、{},)()x y y f x =（、{}()()x g x f x ≥的区别. 例题2、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合 ()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x I 中元素的个数为…………………………………………………………………………（） （A ）1（B ）0（C ）1或0（D ）1或2 3、搞不清楚是否能取得边界值： 例题3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m 或x>1＋m}且B ?A ，求m 的范围. 例4、已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2，那么Q P I 等于（） A.（0,2）,(1,1)B.{(0,2),(1,1)}C.{1,2}D. {}2≤y y 集合与方程 例1、已知{}φ=∈=+++=+R A R x x p x x A I ,,01)2(2，求实数p 的取值范围。 例2、已知集合(){}(){}20,01,02,2≤≤=+-==+-+=x y x y x B y mx x y x A 和，如果φ≠B A I ,求 实数a 的取值范围。 例3、已知集合()(){} 30)1()1(,,123,2=-+-=??????+=--=y a x a y x B a x y y x A ，若φ=B A I ，求实数a 的值。 集合学习中的错误种种 数学是一门严谨的学科，在集合学习中，由于对概念理解不清或考虑问题不全面等，稍不留心就会不知不觉地产生错误，本文归纳集合学习中的种种错误，认期帮助同学们避免此类错误的再次发生． 一、混淆集合中元素的形成 例 集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则A B =I 忽视空集的特殊性 例 已知{}|(1)10A x m x =-+=，{}2|230B x x x =--=，若A B ?，则m 的值为 没有弄清全集的含义
1.高考数学考点与题型全归纳——集合
第一章 集合与简易逻辑 第一节 集 合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 1. 2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 1.3.元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图： N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2. 集合间的基本关系 2.1.子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B(或B ?A)． 2.2.真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ，A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B. 两集合相等：A ＝B ?? ??? ? A ? B ，A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性． 2.4.空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}．
3. 集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A∩B ，即A∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x|x ∈A ，或x ∈B}． (3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }． 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 已知a ，b ∈R ，若? ?? ? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可 知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． [题组训练]
高一数学集合练习题及答案-经典
选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2|20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A= }{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈，{}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U= {}22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________.
(完整版)集合知识点点总结
集合概念 一：集合有关概念 1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西， 并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3.集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。 例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人…… （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 （1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有 A?（或B?Ａ） 包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，； 注意：B （2）A与B是同一集合。 ?/B或B?/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) 或若集合A?B，存在x∈B且x A，则称集合A是集合B的真子集。 ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
集合典型题总结和方法分析
集合类型题 一、有关参数类集合关系问题 1、已知集合{x A =|}0232=+-x ax 至多有一个元素，则a 的取值范围 ；若至少有一个元素，则a 的取值范围 。 2、（2013山西运城模拟题） （1）已知A=｛x |-3
高中数学集合基础知识及题型归纳复习
集合基础知识及题型归纳总结 1、集合概念与特征： 例：1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 例：下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合； （3）36 11,,,,0.5242 -这些数组成的集合有5个元素； （4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2、元素与集合、集合与集合间的关系 元素集合的关系：∈?或 集合与集合的关系=?或 例：下列式子中，正确的是（ ） A ．R R ∈+ B ．{}Z x x x Z ∈≤?-,0| C ．空集是任何集合的真子集 D ．{}φφ∈ 3、集合的子集：（必须会写出一个集合的所有子集） 例：若集合}8,7,6{=A ，则满足A B A =?的集合B 的个数是 4、集合的运算:(交集、并集、补集) 例1：已知全集}{5,4,3,2,1,0=U ,集合}{5,3,0=M ,}{5,4,1=N ,则=N C M U I 例2：已知 {}{}=|3217,|2A x x B x x -<-≤=< （1）求A ∩B ； （2）求（C U A ）∪B 例3：已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?,求m 的取值范围 例4：某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人 例5：方程组? ??=-=+9122y x y x 的解集是（ ） A ．()5,4 B ．()4,5- C ．(){}4,5- D ．(){}4,5-
集合典型例题
1。集合得含义及其表示 (一)集合元素得互异性 1、已知,则集合中元素x所应满足得条件为 变式:已知集合,若,则实数得值为_______ 2。中三个元素可以构成一个三角形得三边长,那么此三角形可能就是 ①直角三角形②锐角三角形③钝角三角形④等腰三角形 (二)集合得表示方法 １. 用列举法表示下列集合 (1) ____＿__＿_____＿＿＿＿＿＿＿______ 变式:已知a,ｂ,c为非零实数,则得值组成得集合为__＿ (2) ＿＿＿_ 变式1: 变式２: (3)集合用列举法表示集合B (4)已知集合Ｍ=,则集合M中得元素为 变式:已知集合Ｍ=,则集合M中得元素为 2。用描述法表示下列集合 (1)直角坐标系中坐标轴上得点＿＿_＿_＿＿_＿__＿__＿＿___＿_____＿__＿__ 变式:直角坐标平面中一、三象限角平分线上得点_________＿__＿_ (2)能被３整除得整数_______＿___________＿_＿_、 3.已知集合,, (1)用列举法写出集合;(2)研究集合之间得包含或属于关系 4。命题(1) ;(２);(3);(4)表述正确得就是、 5、使用与与数集符号来替代下列自然语言:
(1)“255就是正整数” (２)“2得平方根不就是有理数” (３)“3、1416就是正有理数” (4)“-1就是整数” (5)“不就是实数” 6、用列举法表示下列集合: (1)不超过3０得素数(２)五边形得对角线 (3)左右对称得大写英文字母(4)60得正约数 7。用描述法表示:若平面上所有得点组成集合, (1)平面上以为圆心,5为半径得圆上所有点得集合为____＿＿_＿_ (2)说明下列集合得几何意义:; 8。当满足什么条件时,集合就是有限集？无限集？空集？ 9、元素0、空集、、三者得区别? 10. 请用描述法写出一些集合,使它满足: (i)集合为单元素集,即中只含有一个元素; (ii)集合只含有两个元素; (ｉiｉ)集合为空集 11.试用集合概念分析命题:先有鸡还就是先有鸡蛋？ 解释:表述问题时把有关集合得元素说清楚,大有好处。先有鸡还就是先有鸡蛋？让我们运用集合概念来分析它。设地球上古往今来得鸡组成一个集合,孵出了最早得鸡得蛋算不算鸡蛋呢？这就是关键问题。设所有得鸡蛋组成集合,要确定得元素,就得立个标准,说定什么就是鸡蛋,一种定义方法就是:鸡生得蛋才叫鸡蛋;另一种定义方法就是:孵出了鸡得蛋与鸡生得蛋都叫鸡蛋。如果选择前一种定义,问题得答案只能就是先有鸡;选择后一种定义,答案当然就是先有鸡蛋。至于如何选择,不就是数学得任务,那就是生物学家得事。 (三)空集得性质 1.若?｛x｜ｘ2≤ａ,a∈R｝,则实数ａ得取值范围就是_______＿ ２、已知ａ就是实数,若集合｛x| ax＝1｝就是任何集合得子集,则a得值就是_______.0?
集合知识点总结
集合知识点总结 Prepared on 22 November 2020
辅导讲义：集合与常用逻辑用语 1、集合：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 集合的常用表示法：列举法、描述法。 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性。 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为 A ? B ，或B ?A ，读作“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”。 即：若A a ∈则B a ∈，那么称集合A 称为集合B 的子集 注：空集是任何集合的子集。 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为A ?B 或B ?A ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作 U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作 B A ?（读作“A 交B ”），即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 B A ?=A B ?，B A ?B B A A ???，。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作 B A ?（读作“A 并B ”），即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 B A ?=A B ?，?A B A ?，?B B A ?。 8、元素与集合的关系：有属于和不属于两种，集合与集合间的关系，用包含、真包含
高中数学必修一集合经典题型总结(高分必备)
慧诚教育2017年秋季高中数学讲义 必修一第一章复习 知识点一集合的概念 1．集合 一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示． 2．元素 构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示． 3．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为?. 知识点二集合与元素的关系 1．属于 如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A. 2．不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A. 知识点三集合的特性及分类 1．集合元素的特性 ________、________、________. 2．集合的分类 (1)有限集：含有________元素的集合． (2)无限集：含有________元素的集合． 3．常用数集及符号表示 名称非负整数集(自然数集)整数集实数集 符号N N*或N＋Z Q R 知识点四集合的表示方法 1．列举法 把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．描述法 用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．知识点五集合与集合的关系 1．子集与真子集 定义符号语言图形语言(Venn图) 子集如果集合A中的________元素 都是集合B中的元素，我们就 说这两个集合有包含关系，称 集合A为集合B的子集 ________(或 ________) 真子集如果集合A?B，但存在元素 ________，且________，我们 称集合A是集合B的真子集 ________(或 ________) 2.子集的性质 (1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________． (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________． (3)如果A?B，B?C，则________． (4)如果A?B，B?C，则________． 3．集合相等 定义符号语言图形图言(Venn图) 集合相等如果集合A是集合B的子集 (A?B)，且 ________________，此时， 集合A与集合B中的元素是 一样的，因此，集合A与集 合B相等 A＝B 4.集合相等的性质 如果A?B，B?A，则A＝B；反之，________________________.
(完整版)一元一次不等式组知识点及题型总结(可编辑修改word版)
x 一元一次不等式与一元一次不等式组 一、不等式 考点一、不等式的概念 不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。不等号包括 . 题型一 会判断不等式 下列代数式属于不等式的有 . ① -x≥5 ② 2x -y ＜0 ③ 2 + 5 ≥ 3 ④ -3＜0 ⑤ x=3 ? x 2 + xy + y 2 ⑦ x≠5 ⑧ x 2 - 3x + 2＞0 ⑨x + y ≥ 0 题型二 会列不等式 根据下列要求列出不等式 ①.a ②.m 的 5 倍不大于 3 可表示为 . ③.x 与 17 的和比它的 2 倍小可表示为 . ④.x 和 y 的差是正数可表示为 . ⑤. x 的3 5 与 12 的差最少是 6 可表示为 . 考点二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 逆定理：不等式两边都乘以（或除以）同一个数，若不等号的方向不变，则这个数是正数. 基本训练：若 a ＞b ，ac ＞bc ，则 c 0. 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 逆定理：不等式两边都乘以（或除以）同一个数，若不等号的方向改变，则这个数是负数。 基本训练：若 a ＞b ，ac ＜bc ，则 c 0. 4、如果不等式两边同乘以 0，那么不等号变成等号，不等式变成等式。 练习:1、指出下列各题中不等式的变形依据 ①.由 3a>2 得 a> 2 理 3 由： . ②. 由 a+7>0 得 a>-7 理 由： -1 . 5 ③.由-5a<1 得 a> 理
由：. ④.由 4a>3a+1 得 a>1 理 由：. 2、若x＞y，则下列式子错误的是（） A.x-3＞y-3 B.x ＞ y 3 3 3、判断正误 ①. 若a＞b，b＜c 则a＞c. （） ②.若a＞b，则ac＞bc. （） ③.若ac2＞bc2，则a＞b. （） ④.若a＞b，则ac2＞bc2. （） ⑤.若 a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1） C. x+3＞y+3 D.-3x＞-3y （） ?. 若a＞b，若c 是个自然数，则ac＞bc. （） 考点三、不等式解和解集 1、不等式的解：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 练习：1、判断下列说法正确的是（） A.x=2 是不等式x+3＜2 的解 B.x =3 是不等式3x＜7 的解。 C.不等式3x＜7 的解是x＜2 D.x=3 是不等式3x≥9的解 2.下列说法错误的是（） A.不等式 x＜2 的正整数解只有一个 B.-2 是不等式 2x-1＜0 的一个解 C. 不等式-3x＞9 的解集是 x＞-3 D.不等式 x＜10 的整数解有无数个 2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 题型一会求不等式的解集 练习：1、不等式x-8＞3x-5 的解集是. 2、不等式x≤4的非负整数解是. 3、不等式2x-3≤0的解集为. 题型二知道不等式的解集求字母的取值范围 2、如果不等式（a-1）x＜（a-1）的解集是x＜1，那么a 的取值范围是. x＜ 1
高一数学集合知识点归纳
高一数学集合知识点归纳 高一数学的集合学习以及总结需要把集合相关知识点进行归纳，只有把知识点归纳好才可以学好高一数学集合，以下是我总结了高一数学的知识点，希望帮到大家更好地归纳好集合的知识点同时复习好集合。 一、知识点总结 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性、互异性和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：N，Z，Q，R，N* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈A都有x∈B，则AB(或AB); 2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;记为AB(或，且) 3)交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}
4)并集：A∪B={x|x∈A或x∈B} 5)补集：CUA={x|xA但x∈U} 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号。 4.有关子集的几个等价关系 ①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB; ④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。 5.交、并集运算的性质 ①A∩A=A，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪B=B∪A; ③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB; 6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 二、集合知识点整合 集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素。例如:1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集:紧急~。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素:有理数的~。3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论:集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。康托(Cantor，G.F.P.，1845年—1918年，德国数学家先驱，是集合论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。 集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念?基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下“定义”。 集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体(或称为单体)，这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称
高一数学集合练习题及答案经典
发散思维培训班测试题 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ，{}2|20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集
8、设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D } {2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={}22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|20x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2+2x-8=0}, B={x| x 2-5x+6=0}, C={x| x 2-mx+m 2-19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2x ax b ++,A=}{}{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式
集合知识点总结
第一章集合与函数概念 课时一：集合有关概念 1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3.集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。例：世界上最高的山、中国古代四大美女、(优秀的， 漂亮的，聪明的，难的，简单的，都不可以构成集合) （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {x R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 课时二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 （1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：B A?（或B?Ａ）注意：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，（2）A与B是同一集合。