圆压轴八大模型题(1)-弧中点的运用

圆压轴八大模型题(1)-弧中点的运用

圆压轴题八大模型题（一）

泸州市七中佳德学校 易建洪

引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。

类型1 弧中点的运用

在⊙O 中，点C 是⌒

AD 的中点，CE ⊥AB 于点E . （1）在图1中，你会发现这些结论吗？ ①AP ＝CP ＝FP ； ②CH

＝AD ；

②AC 2＝AP ·AD ＝CF ·CB ＝AE ·A B.

（2）在图2中，你能找出所有与△ABC 相似的

三角形吗？

O

H P F E

D

C B B

（图1）

【分析】

(1)①由

等弧所对

的圆周角

相等及同

角或等角

的余角相

等得：∠

CAD＝∠B

＝∠ACE;

∠PCF＝

∠PFC,所

以AP＝

CP＝FP.

(1)②由

（图2）垂径定理

和弧中点

的性质

得，⌒DC＝

AC＝⌒AH,

⌒

再由弧叠

加得：⌒CH

＝⌒AD,所

以CH＝

A D.

(1)③由共边角相似易证：△ACE∽△ABC,△ACP ∽△ADC,△ACF∽△BCA,进而得AC2＝AE?AB;AC2＝AP?AD;AC2＝CF?CB;

(2)垂径定理的推论得：C0⊥AD,易证：Rt△ABC ∽Rt△ACE∽Rt△CBE∽Rt△ACF∽Rt△BDF∽ Rt △ACG∽Rt△CGF.

此外还有Rt△APE∽Rt△AOG∽Rt△ABD∽Rt △CPG.运用这些相似三角形可以解决相关的计算与证明题.

建议：将下列所有例题与习题转化到图1或图2上观察、比较、思考和总结。

【典例】

（2018·湖南永州）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，＝，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．（1）求证：CF＝BF；

（2）若cos∠ABE＝，在AB的延长线上取一点M，使BM＝4，⊙O的半径为6．求证：直线CM 是⊙O的切线．

【分析】

（1）延长

CD与圆

（图1-1）

相交，由

垂径定理

得到＝

，再由

＝得到

＝＝

，等弧

所对的角

相等，等

角对等

边。（2）

由垂径定

理的推论

得OC⊥

BE，再由锐角三角函数得到边BH、OH的长度，由对应边成比例得BE∥CM，由∠MCO＝∠BHO＝90°证得结论。

证明：（1）延长CD交⊙O于G，如图，

∵CD⊥AB ，∴＝，

∵＝，∴＝，

∴∠CBE＝∠GCB，∴CF＝BF；

（图4）

（2）连接OC交BE于H，如图，

∵＝，∴OC⊥BE，

在Rt△OBH中，cos∠OBH ＝＝，

∴BH ＝×6＝，OH ＝＝，

∵＝＝，＝＝，

∴＝，而∠HOB＝∠COM，

∴△OHB∽△OCM，∴∠OCM＝∠OHB＝90°，

∴OC⊥CM，∴直线CM是⊙O的切线．

【点拔】

弧中点得到弧等、弦等、圆周角等，进一步引出角平分线、垂径定理、相似三角形。再结合勾股定理、同角或等角的余角相等、中位线定理，垂径定理、相似三角形的性质定理。可以组合出综合性比较强的有关的习题组。抓边等角等是关键，要善于分解图形。

【变式运用】

1.

（2018·

四川宜

宾）如图，

AB是半圆的直

径，AC是一条

弦，D是AC的中

点，DE⊥AB于点

E且DE交AC于

点F，DB交AC

于点G，若＝

，则

＝．（）

2.（2010·泸州）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC。(1)求证：AE⊥DE；(2)设以AD为直径的半圆交AB

于F，连接DF交AE于G，已知CD＝5，AE＝8，求FG

AF

值。

（1）证明：在 ABCD中，

∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°∵AE与DE平分∠BAD和∠ADC

∴∠EAD＝1

2

∠BAD，∠EDA＝

1

2

∠ADC，

∴∠AED＝180°－（∠EAD＋∠EDA）

＝180°－（1

2

∠BAD＋

1

2

∠ADC）

＝180°－1

2

（∠BAD＋∠ADC）

＝180°－90°＝90°

∴AE⊥DE

（2）解：在 ABCD中，∵AD∥BC

∴∠EAD＝∠AEB，且∠BAE＝∠DAE

∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，

同理：DC＝EC＝5

又∵AB＝DC，∴AB＝BE＝DC＝EC＝5，∴BC＝AD＝10

在Rt△AED中，由勾股定理可得：

（图1-2）

（图1-3）

A

B C

D

E

F

G

图9

DE ＝22221086AD AE -=-= ∵∠BAE ＝∠EAD ，∠AFD ＝∠AED ＝90° ∴△AFG ∽△AED ， ∴8463

AF AE FG ED ===

3. （2012·泸州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，C 是?AD 的中点，

弦CE ⊥AB 于点H ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ，连结BD 。

(1)求证：P 是线段AQ 的中点； (2)若⊙O 的半径为5，AQ ＝，求弦CE 的长。

（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，弦CE ⊥AB ，

∴⌒AC ＝⌒AE ．又∵C 是⌒AD 的中点，∴⌒AC ＝⌒

CD ， ∴⌒AE ＝⌒

CD ．∴∠ACP ＝∠CAP ．∴PA ＝PC ， ∵AB 是直径．∴∠ACB ＝90°．

∴∠PCQ ＝90°﹣∠ACP ，∠CQP ＝90°﹣∠CAP ， ∴∠PCQ ＝∠CQP ．∴PC ＝PQ ． ∴PA ＝PQ ，即P 是AQ 的中点；

（2）解：∵⌒AC ＝⌒

CD ，∴∠CAQ ＝∠AB C ． 又∵∠ACQ ＝∠BCA ，∴△CAQ ∽△CB A ．

∴15

32104

AC AQ BC AB ===． 又∵AB ＝10，∴AC ＝6，BC ＝8．

根据直角三角形的面积公式，得：AC ?BC ＝AB ?CH ，∴6×8＝10CH ．

∴CH ＝

24

5

．又∵CH ＝HE ， ∴CE ＝2CH ＝48

5

．

4．（2014?泸州）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，AC 和BD 相交于点E ，且DC 2＝CE ?C A ． （1）求证：BC ＝CD ； （2）分

（图1-4）

延长A B ，D C 交于点P ，过点A 作A F ⊥C D 交C D 的延长线于点F ，若P B ＝O B ，C D ＝

求D F 的长．

（1）证明：∵DC 2＝CE ?CA ， ∴

DC CA

CE DC

=

，△CDE ∽△CAD ， ∴∠CDB ＝∠DAC ，∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴BC ＝CD ；

（2）解：方法一：如图，连接OC ， ∵BC ＝CD ，

∴∠DAC ＝∠CAB ，又∵AO ＝CO ， ∴∠CAB ＝∠ACO ，∴∠DAC ＝∠ACO ， ∴AD ∥OC ，∴

PC PO

PD PA

=

， ∵PB ＝OB ，CD ＝22，

∴

2

322PC =+

∴PC ＝42

又∵PC ?PD ＝PB ?PA

∴42?（42＋22）＝OB ?3OB ∴OB ＝4，即AB ＝2OB ＝8，PA ＝3OB ＝12， 在Rt △ACB 中， AC ＝

22228(22)214AB BC -=-=，

∵AB 是直径，∴∠ADB ＝∠ACB ＝90° ∴∠FDA ＋∠BDC ＝90°， ∠CBA ＋∠CAB ＝90° ∵∠BDC ＝∠CAB ，∴∠FDA ＝∠CBA ， 又∵∠AFD ＝∠ACB ＝90°， ∴△AFD ∽△ACB ∴

214

722

AF FD

AC CB =

== 在Rt △AFP 中，设FD ＝x ，则AF ＝7x ， ∴在Rt △APF 中有，2

2

2

(7)(62)12x x ++=，

（图1-5）

图a

求得DF＝32

2

．

方法二；连接OC，过点O作OG垂直于CD，

易证△PCO∽△PDA，可得PC PO PD PA

=，

△PGO∽△PFA，可得PG PO PF PA

=，

可得，PC PG

PD PF

=，由方法一中PC＝42代入

2

2222

PC

PC PC DF

+

=

+++

，

即可得出DF＝32

2

．

5．（2015?泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A 作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．

（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；

（2）若AE＝6，CD＝5，求OF的长．

【解答】（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A，

∴∠EAC＝∠ABC，∵AB＝AC

∴∠ABC＝∠ACB，∴∠EAC＝∠ACB，

∴AE∥BC，∵AB∥CD，

∴四边形ABCE是平行四边形；

（2）解：如图，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD与点N，M，

∵AE是⊙O的切线，

由切割线定理得，AE2＝EC?DE，

∵AE＝6，CD＝5，

∴62＝CE（CE＋5），解得：CE＝4，（已舍去负数），

由圆的对称性，知四边形ABDC是等腰梯形，且AB＝AC＝BD＝CE＝4，

又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC，

设OF＝x，OH＝y，FH＝z，

∵AB＝4，BC＝6，CD＝5，

∴BF＝1

2

BC﹣FH＝3﹣z，

DF＝CF＝1

2

BC＋FH＝3＋z，

易得△OFH∽△DFM∽△BFN，

∴DF

OF

DM

OH

=，

BF

OF

BM

OH

=，

即

5

32

z

x y

+

=，①

32

z

x y

-

=②，

（图1-6）

图b

图c

①＋②得：

692x y =，①÷②得：3534

z z +=-， 解6923534x y z z ?=???+?=?-?得3413y x z ?=????=

?

?，∵x 2＝y 2＋z 2， ∴2

291169x x =+，

∴x ＝

4721， ∴OF ＝47

21

． 6.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、P 是弧AB 上的两点，AB ＝13，AC ＝5.

(1) 如图①，若P 是弧AB 的中点，求PA 的长； (2) 如图②，若P 是弧BC 的中点，求PA 的长.

解：（1）如答图①，连接PB ，

∵AB 是⊙O 的直径且P 是⌒

AB 的中点， ∴∠PAB ＝∠PBA ＝45°，∠APB ＝90° 又∵在等腰三角形△ABC 中有AB ＝13，

∴

（2）如答图②，连接BC ，与OP 相交于M 点，作PH ⊥AB 于点H ， ∵P 点为⌒

BC 的中点，∴OP ⊥BC ，∠OMB ＝90°， 又∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°.

∴∠ACB ＝∠OM B. ∴OP ∥A C.∴∠CAB ＝∠PO B.

又∵∠ACB ＝∠OHP ＝90°，∴△ACB ∽△0HP .

（图1-7）

图

d

图

①

图

②

∴ AB OP ＝AC OH 又∵AB ＝13,AC ＝5,OP ＝132

，

∴

，解得OH ＝52

∴AH ＝OA ＋OH ＝9. ∵在Rt △OPH 中，有 。

∴在Rt △AHP 中 有

.

∴PA ＝

7.如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径．∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作⊙O 的切线PD 交CA 的延长线于点P ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F ． （1）求证：DP ∥AB ；

（2）若AC ＝6，BC ＝8，求线段PD 的长．

解：（1）证明：如图，连接OD ，

∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.

∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝45°.

∴∠DAB ＝∠ABD ＝45°。∴△DAB 为等腰直角三角形。 ∴DO ⊥A B.

∵PD 为⊙O 的切线，∴OD ⊥P D.

（图1-8） 图

e

∴DP∥A B.

（2）在Rt△ACB中，，

∵△DAB为等腰直角三角形，

∴.

∵AE⊥CD，∴△ACE为等腰直角三角形。

∴.

f

在Rt△AED中，

，

∴.

∵AB∥PD，∴∠PDA＝∠DAB＝45°.∴∠PAD＝∠PCD。

又∵∠DPA＝∠CPD，∴△PDA∽△PC D.

∴.

∴PA＝PD，PC＝P D.

又∵PC＝PA＋AC，∴PD＋6＝PD，解得PD＝.