立体几何大题的答题规范与技巧

立体几何大题的答题规范与技巧

一、对于空间中的定理与判定，除公理外都要明确写出条件，才有结论。需要多个条件时， 要逐个写出。对于平面几何中的结论，要求写出完整的条件，可以省略部分证明过程。

二、一般地，有多个小题时，前几小题应该用几何法，可以节省时间。最后一小题若几何法 较复杂，可以用坐标法。

三、建坐标系的要求：使更多的点在坐标轴上，坐标系最好在几何体的内部。

四、采用坐标法时，要千方百计的给出点、向量的坐标。对未知的坐标可以先设。 若某个未知的点P 在直线AB 上变化，则可以用三点共线设出点P 的坐标。 如：A(0，1，2)，B(2，2，3)，点P 在线段AB 上改变，则设P(x ，y ，z)， 因为λ=，由此坐标化后，得P(2,1,2++λλλ )，10≤≤λ。

五、证明线线平行的方法

1、平行公理：b a //，c a c b ////?；

2、线面平行?线线平行：α//a ，β?a ，b a b //?=?βα；

3、面面平行?线线平行：βα// ，a =?αγ，b a b //?=?βγ；

4、α⊥a ，b a b //?⊥α；

5、CD AB CD AB //?=λ。

六、证明线面平行的方法

1、线线平行?线面平行：b a //，α?b ，αα//a a ??；

2、面面平行?线面平行：βα// ，βα//a a ??；

3、0=?，αα//AB AB ??。（其中是平面的一个法向量）

七、证明面面平行的方法

1、线面平行?面面平行：α//a ，α//b ，β?b a ,，βα//?=?P b a ；

2、α⊥a ，βαβ//?⊥a ；

3、线线平行?面面平行：α?b a ,，β?''b a ,，P b a =?，a a '//，βα////?'b b ；

4、21n n λ=。

八、证明线线垂直的方法

1、b a //，c b c a ⊥?⊥；

2、勾股定理（适用于证明两相交直线垂直）；

3、线面垂直?线线垂直：α⊥a ，b a b ⊥??α（适用于两异面直线垂直）；

4、CD AB ⊥?=?0。

九、证明线面垂直的方法

1、线线垂直?线面垂直：b a ⊥，c a ⊥，α?c b ,，α⊥?=?a P c b ；

2、α⊥a ，ββα⊥?a //

； 3、b a //，αα⊥?⊥a b ； 4、面面垂直?线面垂直：βα⊥，b =?βα，α?a ，β⊥?⊥a b a ；

5、αλ⊥?=AB n AB 。

十、证明面面垂直的方法

1、线面垂直?面面垂直：β⊥a ，??αa βα⊥；

2、βα⊥?=?021n n 。 十一、求异面直线所成的角（简称线线角）]2,0(π

θ∈

1、 平移法（几何法）：⑴利用三角形的中位线平移（减半平移）；

⑵利用平行四边形平移（等长平移）。

2、用几何法是一定写出“角某某是直线AB 与CD 所成的角或其补角”！

3、公式法（坐标法）：||||cos CD AB ?=θ。 十二、求直线与平面所成的角的方法（简称线面角）]2,0[π

θ∈

1、找射影法（几何法）

如图，找到直线与平面的交点B （斜足），过直线上一

点A 作平面的垂线，找到垂足（O ），连OB ，∠ABO 就

是直线AB 与平面所成的角。

2、当直线AB 与CD 平行时，直线AB 、CD 与平面所成的角相等。

3、用几何法是一定写出“∵α⊥AO ∴∠ABO 是直线AB 与平面所成的角”！

4、公式法：||||sin n AB ?=θ（坐标法）；

|

|sin AB h A =θ（其中A h 表示点A 到平面的距离，可以用等体积法求得） 十三、求二面角的方法

1、找平面角法（几何法）

⑴定义法：在棱上找一点O ，分别在两半平面内作棱的垂线OA 、OB ，∠AOB 就是

二面角的平面角；（点O 往往是线段的中点或一些特征点）

⑵垂线法：在其中一个面内取一点A ，过A 作另一面的垂线AB （B 为垂足），

过B 作棱的垂线AO （O 为垂足），∠AOB 就是二面角的平面角。

2、用几何法时一定写出“∵m AO ⊥，m BO ⊥(m 为棱)∴∠AOB 是直线AB 与平

面所成的角”！

3、有时可以把二面角分割成二个二面角之和。

4、公式法：|||||cos |2121n n ?=θ 或AO

h A =θsin （其中A h 表示点A 到平面的距离，AO 表示A 到棱m 的距离） 此公式的计算结果，θ一般有两解，需要根据空间感判断二面角是锐角或钝角后才 能最后确定其大小。

十四、几点强调

1、求任何一种角，平移其中的任何一个要素（直线或平面）都不会改变角度的大小。

2、求多面体的外接球的半径时，可以借助于长方体，即在长方体中的8个顶点中选择 几个顶点画出此多面体。如此长方体的外接球半径就是多面体外接球的半径。

3、证明线面平行时，一般要在平面内找一直线与其平行，找此平行线的模型有：

4、过平面外一点作平面的垂线，找垂足的过程：

先过这个点作平面内某一直线的垂线，找到垂足，再证明此垂线与平面内的另一直

线也垂直（相交直线），即此垂线垂直平面。

5、求点到平面的距离，当找不到垂足时，可以用等体积法求点到平面的距离。

君有所悟，吾心足矣。