平行四边形练习题及答案

20.1 平行四边形的判定

一、选择题

1．四边形ABCD，从（1）AB∥CD；（2）AB=CD；（3）BC∥AD；（4）BC=AD这四个条件中任选两个，其中能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）

A．3种 B．4种 C．5种 D．6种

2．四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为一组对边边长，c，d?为另一组对边边长且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则这个四边形是（）

A．任意四边形 B．平行四边形

C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形

3．下列说法正确的是（）

A．若一个四边形的一条对角线平分另一条对角线，则这个四边形是平行四边形

B．对角线互相平分的四边形一定是平行四边形

C．一组对边相等的四边形是平行四边形

D．有两个角相等的四边形是平行四边形

二、填空题

4．在□ABCD中，点E，F分别是线段AD，BC上的两动点，点E从点A向D运动，点F 从C?向B运动，点E的速度m与点F的速度n满足_______关系时，四边形BFDE为平行四边形．

5．如图1所示，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，连结EF，若再增加一个条件_______，就可以推出BE=DF．

图1 图2

6．如图2所示，AO=OC，BD=16cm，则当OB=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形．

三、解答题

7．如图所示，四边形ABCD中，对角线BD=4，一边长AB=5，其余各边长用含有未知数x的代数式表示，且AD⊥BD于点D，BD⊥BC于点B．问：四边形ABCD?是平行四边形吗？为

什么？

四、思考题

8．如图所示，在□ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AF=CE，?则线段DE?与BF的长度相等吗？

参考答案

一、1．B 点拨：可选择条件（1）（3）或（2）（4）或（1）（2）或（3）（4）．

故有4种选法．

2．B 点拨：a2+b2+c2+d2=2ab+2cd即（a-b）2+（c-d）2=0，

即（a-b）2=0且（c-d）2=0．所以a=b，c=d，即两组对边分别相等，

所以四边形为平行四边形．

3．B 点拨：熟练掌握平行四边形的判定定理是解答这类题目的关键．

二、4．相等点拨：利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来确定． 5．AE=CF 点拨：本题答案不惟一，只要增加的条件能使四边形EBFD?是平行四边形即可．

6．8 点拨：根据对角线互相平分的四边形为平行四边形来进行判别．

三、7．解：如图所示，四边形ABCD是平行四边形．理由如下：

在Rt △BCD中，根据勾股定理，得BC2+BD2=DC2，

即（x-5）2+42=（x-3）2，解得x=8．

所以AD=11-8=3，BC=x-5=3，DC=x-3=8-3=5，

所以AD=BC，AB=DC．所以四边形ABCD是平行四边形．

点拨：本题主要告诉的是线段的长度，故只要说明AD=BC，AB=DC即可，本题也可在Rt△ABD中求x的值．

四、8．解：线段DE与BF的长度相等；连结BD交AC于O点，连结DF，BE，

如图所示．在ABCD中，DO=OB，AO=OC，又因为AF=EC，

所以AF-AO=CE-OC，即OF=OE，所以四边形DEBF是平行四边形，所以DE=BF．

D A C

F O E B

点拨：本题若用三角形全等，也可以解答，但过程复杂，学了平行四边形性质后，要学会应用．

20.2 矩形的判定

一、选择题

1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）

A ．对角相等

B ．对边相等

C ．对角线相等

D ．对角线互相垂直

2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ）

①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3．下列命题中，正确的是（ ）

A ．有一个角是直角的四边形是矩形

B ．三个角是直角的多边形是矩形

C ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形

D ．有三个角是直角的四边形是矩形

二、填空题

4．如图1所示，矩形ABCD 中的两条对角线相交于点O ，∠AOD=120°，AB=4cm ，则矩形的对角线的长为_____．

图1 图2

5．若四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相等，且互相平分于点O ，则四边形ABCD?是_____形，若∠AOB=60°，那么AB ：AC=______．

6．如图2所示，已知矩形ABCD 周长为24cm ，对角线交于点O ，OE⊥DC 于点E ， OF⊥AD 于点F ，OF-OE=2cm ，则AB=______，BC=______．

三、解答题

7．如图所示，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H两点，试说明四边形EFGH是矩形．

四、思考题

8．如图所示，△ABC中，CE，CF分别平分∠ACB和它的邻补角∠ACD．AE ⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB，AC于M，N两点，则四边形AECF是矩形吗？为什么？

参考答案

一、1．C 点拨：A与B都是平行四边形的性质，而D是一般矩形与平行四边形都不具有的性质．

2．B 点拨：③是矩形的判定定理；④中对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故④能判定矩形，应选B．

3．D 点拨：选项D是矩形的判定定理．

二、4．8cm

5．矩；1：2 点拨：利用对角线互相平分来判定此四边形是平行四边形，再根据对角线相等来判定此平行四边形是矩形．由矩形的对角线相等且互相平分，?可知△AOB是等腰

三角形，又因为∠AOB=60°，所以AB=AO=1

2 AC．

6．8cm；4cm

三、7．解：在□ABCD中，因为AD∥BC，所以∠DAB+∠CBA=180°，

又因为∠HAB=1

2

∠DAB，∠HBA=

1

2

∠CBA．

所以∠HAB+∠HBA=90°，所以∠H=90°．

同理可求得∠HEF= ∠F= ∠FGH=90°，

所以四边形EFGH是矩形．

点拨：由于“两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直”，所以很容易求出四边形EFGH 的四个角都是直角，从而求得四边形EFGH是矩形．

四、8．解：四边形AECF是矩形．理由：因为CE平分∠ACB，?CF?平分∠ACD，?

所以∠ACE=1

2

∠ACB，∠ACF=

1

2

∠ACD．所以∠ECF=

1

2

（∠ACB+∠ACD）=90°．

又因为AE⊥CE，AF⊥CF，?所以∠AEC=∠AFC=90°，所以四边形AECF是矩形．

点拨：?本题是通过证四边形中三个角为直角得出结论．还可以通过证其为平行四边形，再证有一个角为直角得出结论．

20.3 菱形的判定

一、选择题

1．下列四边形中不一定为菱形的是（）

A．对角线相等的平行四边形 B．每条对角线平分一组对角的四边形

C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形

2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD= BC；

⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）．

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种

3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和43cm B．4cm和83cm C．8cm和83cm D．4cm和43cm

二、填空题

4．如图1所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，?添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）

图1 图2

5．如图2所示，D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE 是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）

6．菱形ABCD 的周长为48cm ，∠BAD： ∠ABC= 1：?2，?则BD=?_____，?菱形的面积是______．

7．在菱形ABCD 中，AB=4，AB 边上的高DE 垂直平分边AB ，则BD=_____，AC=_____．

三、解答题

8．如图所示，在四边形ABCD 中，AB∥CD，AB=CD=BC ，四边形ABCD 是菱形吗？?说明理由．

四、思考题

9．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，PD∥AC，PC∥BD，PD ，PC 相交于点P ，四边形PCOD 是菱形吗？试说明理由．

参考答案

一、1．A 点拨：本题用排除法作答．

2．D 点拨：根据菱形的判定方法判断，注意不要漏解．

3．C 点拨：如图所示，若∠ABC=60°，则△ABC 为等边三角形，?

所以AC=AB=14×32=8（cm ），AO=12

AC=4cm ． 因为AC⊥BD，

在Rt△AOB 中，由勾股定理，得OB=

222284AB OA -=-=43（cm ），?

所以BD=2OB=83cm ．

二、4．AB=BC 点拨：还可添加AC⊥BD 或∠ABD=∠CBD 等．

5．点D 在∠BAC 的平分线上（或AE=AF ）

6．12cm ；723cm 2

点拨：如图所示，过D 作DE⊥AB 于E ，

因为AD∥BC，?所以∠BAD+∠ABC=180°．

又因为∠BAD：∠A BC=1：2，所以∠BAD=60°，

因为AB=AD ，所以△ABD 是等边三角形，所以BD=AD=12cm ．所以AE=6cm ．

在Rt △AED 中，由勾股定理，得AE 2+ED 2=AD 2，62+ED 2=122，所以ED 2=108， 所以ED=63cm ，所以S 菱形ABCD =12×63=723（cm 2）．

7．4；43 点拨：如图所示，因为DE 垂直平分AB ，

又因为DA=AB ，所以DA=DB=4．所以△ABD 是等边三角形，所以∠BAD=60°，

由已知可得AE=2．在Rt△AED 中，?AE 2+DE 2=AD 2，即22+DE 2=42，所以DE 2=12，

所以DE=23，因为12AC ·BD=AB ·DE ，即12

AC ·4=4×23，所以AC=43．

三、8．解：四边形ABCD 是菱形，因为四边形ABCD 中，AB∥CD，且AB=CD ，

所以四边形ABCD 是平行四边形，又因为AB=BC ，所以 ABCD 是菱形．

点拨：根据已知条件，不难得出四边形ABCD 为平行四边形，又AB=BC ，即一组邻边相

等，由菱形的定义可以判别该四边形为菱形．

四、9．解：四边形PCOD是菱形．理由如下：

因为PD∥OC，PC∥OD，?所以四边形PCOD是平行四边形．

又因为四边形ABCD是矩形，所以OC=OD，

所以平行四边形PCOD是菱形．

20.4 正方形的判定

一、选择题

1．下列命题正确的是（）

A．两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形

B．两条对角线互相平分且垂直的四边形是矩形

C．两条对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形

D．一组邻边相等的平行四边形是正方形

2．矩形四条内角平分线能围成一个（）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

二、填空题

3．已知点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，?要使四边形ADEF是正方形，还需要添加条件_______．

4．如图1所示，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线L?的距离分别是1和2，则正方形ABCD的边长是_______．

图1 图2 图3

D A

C F E B

5．如图2所示，四边形ABCD 是正方形，点E 在BC 的延长线上，BE=BD 且AB=2cm ，则∠E 的度数是______，BE 的长度为____．

6．如图3所示，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，BE=1，F?为AB?上一点，AF=2，P 为AC 上一动点，则当PF+PE 取最小值时，PF+PE=______．

三、解答题

7．如图所示，在Rt△ABC 中，CF 为∠ACB 的平分线，FD⊥AC 于D ，FE⊥BC 于点E ，试说明四边形CDFE 是正方形．

四、思考题 8．已知如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，且AE=BF ，?请问：

（1）AF 与DE 相等吗？为什么？

（2）AF 与DE 是否垂直？说明你的理由．

参考答案

一、1．C 点拨：对角线互相平分的四边形是平行四边形，?对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形一定是正方形，故选C ．

2．D 点拨：由题意画出图形后，利用“一组邻边相等的矩形是正方形”来判定．

二、3．△ABC 是等腰直角三角形且∠BAC=90°

点拨：还可添加△ABC 是等腰三角形且四边形ADEF 是矩形或∠BAC=90°且四边形ADEF 是菱形等条件．

4．5 点拨：观察图形易得两直角三角形全等，由全等三角形的性质和勾股定理得正方形的边长为2221+=5．

5．67.5°；22cm

点拨：因为BD 是正方形ABCD 的对角线，

所以∠DBC=45°，AD=?AB=2cm ．

在Rt△BAD 中，由勾股定理得AD 2+AB 2=BD 2，即22+22=BD 2，

所以BD=22cm ，所以BE=BD=22（cm ），

又因为BE=BD ，所以∠E=∠EDB=12

（180°-45°）=67.5°． 6．17 点拨：如图所示，作F 关于AC 的对称点G ．连结EG 交AC 于P ，

则PF+?PE=PG+PE=GE 为最短．过E 作EH⊥AD．

在Rt△GHE 中，HE=4，HG=AG-AH=AF-BE=1，所以GE=22

41+=17，?即PF+PE=17．

三、7．解：因为∠FDC=∠FEC=∠BCD=90°，所以四边形CDFE 是矩形，

因为CF?平分∠ACB，FE⊥BC，FD⊥AC，所以FE=FD ，所以矩形CDFE 是正方形．

点拨：本题先说明四边形是矩形，再求出有一组邻边相等，?还可以先说明其为菱形，再求其一个内角为90°．

四、8．解：（1）相等．理由：在△ADE 与△BAF 中，AD=AB ，∠DAE=∠ABF=90°，AE=BF ， 所以△ADE≌△BAF（S ．A ．S ．），所以DE=AF ．

（2）AF 与DE 垂直．理由：如图，设DE 与AF 相交于点O ．

因为△ADE≌△BAF，?所以∠AED=∠BFA．又因为∠BFA+∠EAF=90°，

所以∠AEO+∠EAO=90°，所以∠EOA= 90°，所以DE⊥AF．

20.5 等腰梯形的判定

一、选择题

1．下列结论中，正确的是（）

A．等腰梯形的两个底角相等 B．两个底角相等的梯形是等腰梯形

C．一组对边平行的四边形是梯形 D．两条腰相等的梯形是等腰梯形

2．如图所示，等腰梯形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

则图中全等三角形有（）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对

3．课外活动课上，?老师让同学们制作了一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm，则两条对角线所用的竹条长度之和至少为（）

A．302cm B．30cm C．60cm D．602cm

二、填空题

4．等腰梯形上底，下底和腰分别为4，?10，?5，?则梯形的高为_____，?对角线为______． 5．一个等腰梯形的上底长为5cm，下底长为12cm，一个底角为60°，则它的腰长为____cm，周长为______cm．

6．在四边形ABCD中，AD∥BC，但AD≠BC，若使它成为等腰梯形，则需要添加的条件是__________（填一个正确的条件即可）．

三、解答题

7．如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，DE=AC，AD≠EC．

求证：?四边形ADCE是等腰梯形．

四、思考题

8．如图所示，四边形ABCD中，有AB=DC，∠B=∠C，且AD

参考答案

一、1．D 点拨：梯形的底角分为上底上的角和下底上的角，?因此在等腰梯形的性质和判别方法中必须强调同一底上的两个内角（?指上底上的两个内角或下底上的两个内角），否则就会出现错误，因此A，B选项都不正确，而C选项中漏掉了限制条件另外一组对边不平行，若平行该四边形就形成了平行四边形了，因此应选D．

2．B 点拨：因为△ABC≌△DCB，△BAD≌△CDA，△AOB≌△DOC，

所以共有3对全等的三角形．

3．C 点拨：设该等腰梯形对角线长为Lcm，因为两条对角线互相垂直，?

所以梯形面积为1

2

L2=450，解得L=30，

所以所用竹条长度之和至少为2L=2×30=60（cm）．

二、4．4：65

点拨：如图所示，连结BD，过A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．易知△BAE≌△CDF，在四边形AEFD为矩形，所以BE=CF=3，AD=EF=4．

在Rt△CDF中，FC2+DF2=CD2，即32+DF2=52，

所以DF=4，在Rt△BFD中，BF2+DF2=BD2，即72+42=BD2，所以BD=65．

5．7；31

点拨：如图所示，过点D作DE∥AB交BC于E．

因为AD∥BC，AB ∥DE，所以四边形ABED是平行四边形．

所以BE=AD=5（cm），AB=DE．

又因为AB=CD，所以DE=?DC，

又因为∠C=60°，所以△DEC是等边三角形，

所以DE=DC=EC=7（cm），所以周长为5+?12+7+7=31（cm）．

6．AB=CD（或∠A=∠D，或∠B=∠C，或AC=BD，或∠A+∠C=180°，或∠B+∠D=180°）

三、7．证明：因为AB∥ED，所以∠BAD=∠ADE．

又因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD，所以∠CAD=∠ADE，

所以OA=OD．又因为AC=DE，所以AC-OA=DE-OD即OC=OE，?所以∠OCE=∠OEC，

又因为∠AOD=∠COE，所以∠CAD=∠OCE．所以AD∥CE，

而AD≠CE，故四边形ADCE是梯形．

又因为∠CAD=∠ADE，AD=DA，AC=DE，所以△DAC≌△ADE，所以DC=?AE，

所以四边形ADCE是等腰梯形．

点拨：证明一个四边形是等腰梯形时，应先证其是梯形而后再证两腰相等或同一底上的

F B E

D C A

H

F E D C B A 两个角相等．

四、8．解：四边形ABCD 是等腰梯形．

理由：延长BA ，CD ，相交于点E ，如图所示，由∠B=∠C，可得EB=EC ．

又AB=DC ，所以EB-AB=EC-DC ，即AE=DE ，所以∠EAD= ∠EDA．

因为∠E+∠EAD+∠EDA=180°，∠E+∠B+∠C=180°，所以∠EAD=∠B．

故AD∥BC．?又AD

又AB=DC ，所以四边形ABCD 是等腰梯形．

点拨：由题意可知，只要推出AD∥BC，再由AD

华东师大版数学八年级（下）

第20章 平行四边形的判定测试

（答卷时间：90分钟，全卷满分：100分）

姓名 得分____________

一、认认真真选，沉着应战！（每小题3分，共30分）

1. 正方形具有菱形不一定具有的性质是 ( )

（A ）对角线互相垂直 （B ）对角线互相平分 （C ）对角线相等 （D ）对角线平分一组对角

2. 如图(1)，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的（ ） （A ）

51 （B ）41 （C ）31 （D ）103

）1C B A

(1) (2) (3)

3．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，那么:::A B C D ∠∠∠∠可以等于（ ）

（A ）4：5：6：3 （B ）6：5：4：3 （C ）6：4：5：3 （D ）3：4：5：6

4．如图(2)，平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，若A B C D 的周长为48，DE ＝5，DF ＝10，则ABCD 的面积等于( )

（A ）87.5 （B ）80 （C ）75 （D ）72.5

5． A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB ∥CD; ②AB=CD; ③BC ∥AD; ④BC=AD 这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ）

（A ）3种 （B ）4种 （C ）5种 （D ）6种

6．如图(3)，D 、E 、F 分别是ABC 各边的中点，AH 是高，如果5ED cm =，那么HF 的长为（ ）

（A ）5cm （B ）6cm （C ）4cm （D ）不能确定

7. 如图（4）：E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE ＝BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ ＋PR 的值是（ ）

（A ）22 （B ）2

1 （C ）3

2 （D ）2

3 8．如图（5），在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB CD =，60C ∠=?，BD 平分ABC ∠，如果这个梯形的周长为30，则AB 的长 （ ）

（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7

9．右图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．

已知其中每个菱形的边长为20cm ，墙上悬挂晾衣架的两

个铁钉A 、B 之间的距离为203cm ，则∠1等于( ) （A ）90° （Ｂ）60°

（Ｃ）45° （Ｄ）30° 10．某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式．结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a 、b ， 都有a+b ≥2ab 成立．某同学在做一个面积为3 600cm 2，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述规律，求得用来做对角线用的竹条至少需要准备x cm ． 则x 的值是（ ）

(A) 1202 (B) 602 (C) 120 (D) 60

E D C B A R Q

P （4） D C B A （5）

A B C D l N M D C B

A 二、仔仔细细填，记录自信！(每小题2分，共20分)

11．一个四边形四条边顺次是a 、b 、c 、d ，且bd ac d c b a 222222+=+++，则这个四边

形是_______________．

12．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，从（1）AB CD =；（2）AB CD ∥；

（3）OA OC =；（4）OB OD =；（5）AC BD ⊥；（6）AC 平分BAD ∠这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD 是菱形．如（1）（2）（5）?ABCD 是菱形，再写出符合要求的两个： ?A B C D

是菱形； ?A B C D

是菱形． 13. 如图，已知直线l 把ABCD 分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线l 所在位置需满足的条件是____________________.（只需填上一个你认为合适的条件）

(第13题) (第16题)

14. 梯形的上底长为6cm ，过上底的一顶点引一腰的平行线，与下底相交，所构成的三角形

周长为21cm ，那么梯形的周长为_________cm 。

15. 已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为________.

16．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC BD ⊥，且8AC =cm ，6BD =cm ，则此梯形的高为 cm ．

17. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC,∠B 与∠C 互余，AD=5,BC=13,M 、N 分别为AD 、BC 的中点，则MN 的长为_________.

(第17题) (第18题) (第19题)

18. 如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD 的形状，并使其面积为

矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于 .

19. 如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，

P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是 ．

20．如图，正方形是由k 个相同的矩形组成，上下各有2个水平放置

的矩形，中间竖放若干个矩形，则k = .

三、平心静气做，展示智慧！

21．(8分)已知：如图，□ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，AE CF =，M 、N 分别是DE 、BF 的中点。求证：四边形ENFM 是平行四边形。

A D C

B …… N M F E D C

B A

A B E C D 22．(8分)如图所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ， AB=CD ，点E 为梯形外一点，且AE=DE 。求证：BE=CE ．

23．(10分)如图，在矩形ABCD 中，F 是BC 边上的一点，AF 的延长线交DC 的延长线于G ，DE ⊥AG 于E ，且DE ＝DC ，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。

24．(12分)如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连结BE 、DG ．

（1）观察猜想BE 与DG 之间的大小关系，并证明你的结论；

（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．

25．(12分)如图1、 2，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F 。

⑴如图1，当点E 在AB 边的中点位置时：

①通过测量DE ，EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是 ；

②连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是 ； ③请证明你的上述两猜想。

⑵如图2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N ，使得NE=BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系。

A E

F G

C B

D 图1 图2

参考答案

一、1—5：CBABB 6—10：AACBA

二、 11．平行四边形

12．略

13．略

14．33

15．96

16． 4.8

17. 4

18．30?

19． 3

20．8

三、21．提示：先证四边形DEBF 为平行四边形，再证ME NF =

22．证明：在等腰梯形ABCD 中，AB=CD ，∴∠BAD=∠CDA ，∵EA=ED ，∴∠EAD=∠EDA ，∴∠EAB=∠EDC ．在△ABE 和△DCE 中，∵AB=DC ，∠EAB=∠EDC ，EA=ED ，∴△ABE ≌△DCE ，∴EB=EC ．

23．证△ABF ≌△DEA

24．（1）BE DG =．

证明：在△BCE 和△DCG 中，

∵四边形ABCD 和四边形ECGF 都是正方形，

∴B C D C =，EC GC =，

90BCE DCG ∠=∠=

∴，

∴△BCE ≌△DCG ，

B E D G

=∴． （2）由（1）证明过程知，存在，是Rt △BCE 和Rt △DCG ． 将Rt △BCE 绕点C 顺时针旋转90 ，可与Rt △DCG 完全重合．

25．⑴①DE=EF ；②NE=BF 。

③证明：∵四边形ABCD 是正方形，N ，E 分别为AD ，AB 的中点，

∴DN=EB

∵BF 平分∠CBM ，AN=AE ，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°

∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF

∴△DNE ≌△EBF

∴ DE=EF ，NE=BF

⑵在DA 边上截取DN=EB （或截取AN=AE ），连结NE ，点N 就使得NE=BF 成立（图略）

此时，DE=EF