数学建模大赛 货物运输问题

货物配送问题

【摘要】

本文是针对解决某港口对某地区8个公司所需原材料A、B、C的运输调度问题提出的方案。我们首先考虑在满足各个公司的需求的情况下，所需要的运输的最小运输次数，然后根据卸载顺序的约束以及载重费用尽量小的原则，提出了较为合理的优化模型，求出较为优化的调配方案。

针对问题一，我们在两个大的方面进行分析与优化。第一方面是对车次安排的优化分析，得出①~④公司顺时针送货，⑤~⑧公司逆时针送货为最佳方案。第二方面我们根据车载重相对最大化思想使方案分为两个步骤，第一步先是使每个车次满载并运往同一个公司，第二步采用分批次运输的方案，即在第一批次运输中，我们使A材料有优先运输权；在第二批次运输中，我们使B材料有优先运输权；在第三批次中运输剩下所需的货物。最后得出耗时最少、费用最少的方案。耗时为小时，费用为元。

针对问题二，加上两个定理及其推论数学模型与问题一几乎相同，只是空载路径不同。我们采取与问题一相同的算法，得出耗时最少，费用最少的方案。耗时为小时，费用为元。

针对问题三的第一小问，我们知道货车有4吨、6吨和8吨三种型号。我们经过简单的论证，排除了4吨货车的使用。题目没有规定车子不能变向，所以认为车辆可以掉头。然后我们仍旧采取①~④公司顺时针送货，⑤~⑧公司逆时针送货的方案。最后在满足公司需求量的条件下，采用不同吨位满载运输方案，此方案分为三个步骤：第一，使8吨车次满载并运往同一公司；第二，6吨位车次满载并运往同一公司；第三，剩下的货物若在1~6吨内，则用6吨货车运输，若在7~8吨内用8吨货车运输。最后得出耗时最少、费用最省的方案。耗时为小时，费用为。

一、问题重述

某地区有8个公司(如图一编号①至⑧)，某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。路线是唯一的双向道路(如图１)。货运公司现有一种载重6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次(车辆每出动一次为一车次)。每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里／小时(不考虑塞车现象)，每日工作不超过8小时。运输车载重运费元/吨公里，运输车

空载费用元/公里。一个单位的原材料A,B,C分别毛重4吨、3吨、1吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小件在上，大件在下。

卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，另外必须要

满足各公司当天的需求量(见表１)。问题：

1、货运公司派出运输车6辆，每辆车从港口出发(不定方向)后运输途中不允许掉头，应如何调度(每辆车的运载方案，运输成本)使得运费最小。

2、每辆车在运输途中可随时掉头，若要使得成本最小，货运公司怎么安排车辆数应如何调度

3、(1)如果有载重量为4吨、6吨、8吨三种运输车，载重运费都是元/吨公里，空载费用分别为，，元/公里，其他费用一样，又如何安排车辆数和调度方案(2)当各个公司间都有或者部分有道路直接相通时，分析运输调度的难度所在，给出你的解决问题的想法(可结合实际情况深入分析)。

图１唯一的运输路线图和里程数

二、模型假设

1)港口的容量足够大，多辆运输车同时到达港口时不会发生阻塞现象；

2)多辆运输车可以在港口同时装车，不必等待；

3)双向道路上没有塞车现象；

4)8个公司之间没有优先级别，货运公司只要满足他们的需求量就可以；货

车完成他们日常的送货任务之后，回到港口。

5)假设运输车不会因天气状况，而影响其行驶速度，和装载、卸载时间。

6)运输路不会影响运输车行驶速度。

7)运输车正常出车。

三、问题分析

运输过程的最大特点是三种原料重量不同，分为大小件，当大小件同车，卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，要区别对待运输

途中是否可以调头的费用。在问题一中，运输途中不能调头，整个送货路线是一个环形闭合回路，如果沿着某一方向同时给多家公司送货时，运输车必须为距离港口近的公司卸下小件，为距离港口远的公司运送大件；而在问题二中，运输途中可以调头，可以首先为远处公司运送小件，在返回途中为距离较近的公司卸下大件。从表面上看，这样运输能够节省车次，降低出车费用。但我们通过分析，在本题中，载重调头运输并不能降低费用。

运费最小是货运公司调度运输车的目标，运费包括派车固定成本、从港口出车成本、载重费用和空载费用。

建立模型时，要注意以下几方面的问题：

目标层：

如果将调度车数、车次以及每车次的载重和卸货点都设为变量，模型中变量过多，不易求解。由于各辆运输车之间相互独立，可以将目标转化为两个阶段的求解过程，第一阶段是规划车次阶段，求解车次总数和每车次的装卸方案；第二阶段是车辆调度阶段，安排尽量少的车辆数，每车次尽量满载，使总的运费最小。

约束层：

(1)运输车可以从顺时针或者逆时针方向送货，要考虑不同方向时的载重

用；

(2)大小件的卸车顺序要求不同原料搭配运输时，沿途必须有序卸货；

(3)每车次的送货量不能超过运输车的最大载重量；

(4)满足各公司当日需求。

四、符号说明和名词约定

五、建立模型

一、问题一

i.车次规划模型的分析

车次规划阶段只涉及到载重费用、空载费用和港口出车费用。运输途中不能掉头，所以每车次都是沿闭合回路绕圈行驶。

1)运输途中不能掉头，所以为某些公司送货时，运输车从港口出发，按顺

时针方向沿闭合回路绕行，为其它公司送货时，按逆时针方向沿闭合回路绕行。公司和港口之间存在顺时针距离和逆时针距离，如下表：

析中给出的最佳运输路径进行货物的分配运输。即若港口按顺时针和逆时针两个不同方向出发，根据货运里程短，④点为顺时针货运方向最远点，也是空载回港口的最近点，根据货运里程短，⑤点为逆时针货运方向最远点，也是空载回港口的最近点。

结论：在符合载重相对最大化情况下，①~④公司顺时针送货为最佳方案，⑤~⑧公司逆时针送货最佳方案。如下图所示：

2）根据3种原料的重量和运输车的最大运载量可以看出，A和C可以搭配运输，B和C可以搭配运输，而A与B不能同车运输。不论是以顺时针方向送货还是以逆时针方向送货，当大小件搭配运输时，必须首先卸下小件，在后续公司卸下大件。

我们把这种特点总结如下：

1、若在第j个公司卸下的是大件A，说明本车次的货物已经卸完，不能够再为后续公司运送小件C（A与B不能同车运输，更不可能有B）；

2、若在第j个公司卸下的是B，说明本车次的货物已经卸完，不能够再为后续公司运送小件C。

ii.模型建立

基于以上约束条件建立如下模型：

第一步：根据车载重相对最大化的基本思想。可以分为两小步：

分为两种满载方案：第1种为每个车次装载1单位A和2单位C；第2种是每个车次装载2个单位B。并使每一车次在同一公司卸货。满载运载方案如下表1：

表1

权，在保证满足各公司对A需求量条件下，1C与1A搭配满足载重相对最大化方法运输；第二批次运输，我们使B材料有优先运输权，在此次运输我们满足各公司尚缺B材料的量小于或等于2个单位；第三批次运输剩下所需的货物。

具体运输方式：首先优先考虑A货物的处理方法，可知1公司还需1个车次的1A和一个车次的1A1C，4公司还需要2个车次的1A，8公司还需要4个车次的1A和1个车次的1A1C；接着处理B货物，1公司和2公司共需要1个车次的2B,8公司和4公司共需要1个车次的2B;最后处理C货物，5、6、7公司共需要1个车次的6C。由此可知共出车28次。如下表2：

表2

所需运费及时间如下表3：

表3

运费最小是货运公司调度运输车的目标，运费包括派车固定成本、从港口出车成本、载重费用和空载费用。

最后经过模型的计算得到最少费用为：元，最少耗时为：小时。

二、 问题二

i. 车次规划模型的分析

两个定理的证明

定理一、车辆当且仅当运完最后一件货物时才调头

途中允许调头，运输车可以先为较远的公司送去小件原料，然后调头，为比较近的公司送去大件。从表面上看，这样运输能够节省车次，降低出车费用。但我们通过分析，在本题中，载重调头运输并不能降低费用。证明过程如下：

在上图中，记O 点为港口，N 、M 为两公司。M 到港口的距离是S1，NM 两个公司之间的距离为S2。假设将两种货物a 和b （重量分别为x 吨、y 吨），分别运往N 和M 两公司，现有两种运输方案：

1.若先运货a 、b 到N ，将a 卸到N ，调头返回，将货物b 运往M ，那么a 必为C 原料（x ＝1），b 为A 或B （34y ≤≤），记运费用为f 1

2.若先单独运送货物a 到N ，返回港口后，再次出车，将货物b 运往M ，即

出车两次，记运费用为f 2。

? 两种方案需要的车辆相同时，

为比较两种运输方式费用的大小，两种运输的种类质量均相同，记：12f f f =-

若f > 0恒成立，则载重调头送货不节省费用，通过数据处理提取函数： 因为 43y ≥≥ 并且N 、M 两公司在本题中的最小距离24s = 代入到 f 中，化简得到

令 min 131.60.40f s =-< 得到 175s >

而港口到所有公司最短路的最大值为29公里，所以

min 0f >恒成立。

说明前一种花费较高。

? 方案二比方案一需要的车辆多时

第二种方案是出车两次，运输时间较长，在8小时的工作时间内，可能会比调头载重运输时多安排车辆，派车费用增加。我们考虑一种最差情况，因多运一次而增派一辆车，此时有

得到 1s 29≥ 因为港口到所有公司的最短路径 129s ≤ 所以 min 0f ≥

综上，载重调头运输花费较高。证明了以运费用最小为目标时，车辆当且仅当运完最后一件货物时才调头。

定理一的推论：运载里程与空载里程相同（表四中的第28车次例外），且每次出车均不绕圈工作。

定理二、车辆载重行程是各公司到港口的最短路，且载重费用固定不变 在定理一的基础上，车辆当且仅当运完最后一件货才调头，且每次出车均不绕圈工作，那么每一单位的原料都可以由最短路径运至需货公司。我们变换视角，从宏观的角度看去，对8个公司所需货物的数量分别乘以公司和港口的最短距离和载重单价（元/吨公里）就是将货物运至公司的载重费用，载重费用因子：货物的数量、公司和港口的最短距离、载重单价都是定值，因此，载重费用是固定不变的。

车次规划阶段只涉及到载重费用、空载费用和港口出车费用。运输途中可以掉头，即货车可以送完货沿原路返回港口。

ii. 模型建立

根据问题一约束条件：在符合载重相对最大化情况下，①~④公司顺时针送货为最佳方案，⑤~⑧公司逆时针送货最佳方案。此结论也可以适用货车可以掉头的情况。加上上面两个定理，数学模型与问题一几乎相同，只是空载路径不同。

故同样分为两步骤：

第一步分为两种满载方案：第1种为每个车次装载1单位A和2单位C；第2种是每个车次装载2个单位B。并使每一车次在同一公司卸货。

第二步我们采用批次运输方案：第一批次运输，我们使A材料有优先运输权，在保证满足各公司对A需求量条件下，C与A搭配满足载重相对最大化方法运输；第二批次运输，我们使B材料有优先运输权，在此次运输我们满足各公司尚缺B材料的量小于2个单位；第三批次运输剩下的货物。

最终车次运载方案如下表4：

表4

运费最小是货运公司调度运输车的目标，运费包括派车固定成本、从港口出车成本、载重费用和空载费用。

由表4得知，第二问的总费用charge(2)=+20*4+10*28=元

总时间Time(2)=元

三、问题三

1)第一小问：

结论：这次运货不需要使用4吨货车。只使用6吨、8吨货车搭配运输即可。

i.模型建立

我们经过上述论证，排除了4吨货车的使用。题目没有规定车子不能变向，所以认为车辆可以掉头。我们仍旧采取①~④公司顺时针送货，⑤~⑧公司逆时针送货的方案。

根据上述条件我们建模如下：

第一步，使8吨车次满载并运往同一公司；

第二步，使6吨位车次满载并运往同一公司；

运载方案如下表5：

表5

第三步，从上表可知只剩下2,3,4,6,7公司需要C货物10吨，必须要用至少两个车次来运。我们已经论证排除了4吨货车的使用，为了使费用降低，我们决定用2个6吨车次来运货，具体运载方案如下表6：

表6

第四步，上述三个步骤，不记派车成本和出车成本的21车次方案所需运费及时间如下表7：

表7

运费最小是货运公司调度运输车的目标，运费包括派车固定成本、从港口出车成本、载重费用和空载费用。

由表3得知，第一问的总费用charge(d)=+20*3+10*21=元

总时间Time(d)=元

九、附录

程序一：求解出问题一的答案

>> s1=[8,15,24,29,23,15,11,5];

s2=[52,45,36,21,37,45,49,55];

q=[4 1 2 3 1 0 2 5;

1 5 0 1

2 4 2 3;

5 2 4 2 4 3 5 1;];

w=[21 6 12 14 6 0 12 21;

0 12 0 0 6 12 6 6;];

times=[4 1 2 3 1 0 2 5;

0 2 0 0 1 2 1 1;];

ttd=;

yd=;

sum1=0;

sum2=0;

sum3=0;

for n=1:8

for j=1:2

sum1=sum1+*s1(1,n)*w(j,n); sum2=sum2+*s2(1,n)*times(j,n); sum3=sum3+10*times(j,n);

end

end

charge=yd+sum1+sum2+sum3 charge =

+003

>> tt=0;

>> for n=1:8

for j=1:2

tt=tt+times(j,n)*(1+5/12); end

end

>> ttd=ttd+tt

ttd =

>>

对车次规划阶段，以每次运输量

P为决策变量，规划车次阶段的最小运费为

ijk

目标，建立混合动态规划模型