2020高中物理必修二同步讲义第七章 1 2 功

1追寻守恒量——能量

2功

[学习目标]1.了解势能、动能的概念，领会寻找守恒量是科学研究的重要思想方法.2.理解功的概念，知道W＝Fl cos α的适用范围，会用功的公式进行计算.3.理解正、负功的概念，会根据公式计算多个力所做的总功.

一、追寻守恒量——能量

1.伽利略的斜面实验探究如图1所示.

图1

(1)过程：将小球由斜面A上某位置由静止释放，小球运动到斜面B上.

(2)现象：小球在斜面B上速度变为0(即到达最高点)时的高度与它出发时的高度相同.

(3)结论：这一事实说明某个量是守恒的，在物理学上我们把这个量叫作能量或者能.

2.动能和势能

(1)动能：物体由于运动而具有的能量.

(2)势能：相互作用的物体凭借其位置而具有的能量.

二、功

1.功的定义：一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，这个力就对物体做了功.

2.功的公式：W＝Fl cos α，其中F、l、α分别为力的大小、位移的大小、力与位移方向的夹角.

3.单位：国际单位制中，功的单位是焦耳，符号是J.

三、正功和负功

1.力对物体做正功和负功的条件 由W ＝Fl cos α可知

(1)当0≤α<π

2

时，W >0，力对物体做正功；

(2)当π

2<α≤π时，W <0，力对物体做负功，或称物体克服这个力做功；

(3)当α＝π

2时，W ＝0，力对物体不做功.

2.总功的计算

几个力对一个物体做功的代数和，等于这几个力的合力对这个物体所做的功. [即学即用]

1.判断下列说法的正误.

(1)公式W ＝Fl cos α中的l 是物体运动的路程.(×) (2)物体只要受力且运动，该力就一定做功.(×) (3)功有正负之分，所以功是矢量.(×)

(4)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动.(√)

2.如图2所示，静止在光滑水平面上的物体，在与水平方向成60°角斜向上的力F 作用下运动10 m ，已知F ＝10 N ，则拉力F 所做的功是 J.

图2

答案 50

一、对功的理解 [导学探究]

1.观察图3，分析图中的哪个人对物体做了功？

图3

答案 小川拉重物上升的过程，小川对重物做了功，其他三人都没有做功.

2.如图4所示，物体在与水平方向夹角为α的力F 的作用下前进了l ，则力F 对物体做的功如何表示？

图4

答案如图把力F沿水平方向和竖直方向进行正交分解，物体在竖直方向上没

有发生位移，竖直方向的分力没有对物体做功，水平方向的分力F cos α所做的

功为Fl cos α，所以力F对物体所做的功为Fl cos α.

[知识深化]对公式W＝Fl cos α的理解

1.力F对物体做的功，只与l、α有关，与物体的运动状态及物体是否还受其他作用力等因素无关.

2.计算力F的功时要特别注意，F与l必须具有同时性，即l必须是力F作用过程中物体发生的位移.

3.功是标量，没有方向，但是有正负.

4.公式W＝Fl cos α适用于计算恒力做功，若是变力，此公式不再适用.

例1如图5所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F 作用下，沿水平地面向右移动了一段距离l.已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，则雪橇受到的()

图5

A.支持力做功为mgl

B.重力做功为mgl

C.拉力做功为Fl cos θ

D.滑动摩擦力做功为－μmgl

答案 C

解析支持力和重力与位移垂直，不做功，A、B错误；拉力和摩擦力做功分别为W1＝Fl cos θ，W2＝－μ(mg－F sin θ)l，C正确，D错误.

二、正负功的判断

[导学探究]某物体在力F作用下水平向右运动的位移为l，拉力的方向分别如图6甲、乙所示，分别求两种情况下拉力对物体做的功.

图6

答案

3

2Fl－

3

2Fl

[知识深化]

1.正、负功的意义

功是标量，只有正、负，没有方向，功的正负不表示大小，只表示能量转移或转化的方向，即：动力对物体做正功，使物体获得能量，阻力对物体做负功，使物体失去能量.

2.判断力是否做功及做功正负的方法

(1)根据力F的方向与位移l的方向间的夹角α——常用于恒力做功的情形.

(2)根据力F的方向与速度v的方向间的夹角α——常用于曲线运动的情形.

若α为锐角则做正功，若α为直角则不做功，若α为钝角则做负功.

例2(多选)质量为m的物体，静止在倾角为θ的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离l，如图7所示.物体相对斜面静止，则下列说法正确的是()

图7

A.重力对物体m做正功

B.合力对物体m做功为零

C.摩擦力对物体m做负功

D.支持力对物体m做正功

答案BCD

解析物体的受力和位移如图所示.支持力F N与位移l的夹角α<90°，故支持力做正功，D选项正确；重力与位移垂直，故重力不做功，A选项错误；摩擦力F f与位移l的夹角大于90°，故摩擦力做负功，C选项正确；物体做匀速运动，所受合力为零，合力不做功，故B选项正确.

三、总功的求解思路

例3如图8所示，一个质量为m＝2 kg的物体，受到与水平方向成37°角斜向上方的力F ＝10 N作用，在水平地面上从静止开始向右移动的距离为l＝2 m，已知物体和地面间的动摩擦因数为0.3，g取10 m/s2，求外力对物体所做的总功.(cos 37°＝0.8，sin 37°＝0.6)

图8

答案7.6 J

解析物体受到的摩擦力为：F f＝μF N＝μ(mg－F sin 37°)＝0.3×(2×10－10×0.6)N＝4.2 N

解法1：先求各力的功，再求总功.

拉力F对物体所做的功为：

W1＝Fl cos 37°＝10×2×0.8 J＝16 J

摩擦力F f对物体所做的功为：

W2＝F f l cos 180°＝－4.2×2 J＝－8.4 J

由于重力、支持力对物体不做功，故外力对物体所做的总功W等于W1和W2的代数和，即W ＝W1＋W2＝7.6 J.

解法2：先求合力，再求总功.

物体受到的合力为：

F合＝F cos 37°－F f＝3.8 N，

所以W＝F合l＝3.8×2 J＝7.6 J.

几个力对物体做功的计算

当物体在多个力的共同作用下发生一段位移时，合力对物体所做的功等于各分力对物体做功的代数和.故计算合力的功有以下两种方法：

(1)先由W＝Fl cos α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3……然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋….

(2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合l cos α计算总功，此时α为F合的方向与l的方向间的夹角.

注意：当在一个过程中，几个力作用的位移不相同时，只能用方法(1).

针对训练如图9所示，平行于斜面向上的拉力F使质量为m的物体匀加速地沿着长为L、倾角为α的斜面的一端向上滑到另一端，物体与斜面间的动摩擦因数为μ.求作用在物体上的各力对物体所做的总功.

图9

答案FL－mgL sin α－μmgL cos α

解析选物体为研究对象，其受力如图所示：

解法一：拉力F对物体所做的功为：W F＝FL.

重力mg对物体所做的功为：

W G＝mgL cos(90°＋α)＝－mgL sin α.

摩擦力对物体所做的功为：W f＝F f L cos 180°＝－F f L＝－μmgL cos α.

弹力F N对物体所做的功为：

W N＝F N L cos 90°＝0.

故各力的总功为：W＝W F＋W G＋W f＋W N

＝FL－mgL sin α－μmgL cos α

解法二：物体受到的合力为：F合＝F－mg sin α－F f＝F－mg sin α－μmg cos α

所以合力做的功为：

W＝F合L＝FL－mgL sin α－μmgL cos α.

1.(对功的理解)(多选)下列说法中正确的是()

A.功是矢量，正负表示其方向

B.功是标量，正负表示的是外力对物体做功还是物体克服外力做功

C.力对物体做正功还是做负功取决于力和位移的方向关系

D.力对物体做的功总是在某过程中完成的，所以功是一个过程量

答案BCD

解析功是标量，正负表示的是外力对物体做功还是物体克服外力做功，A错误，B正确；

力对物体做正功还是做负功取决于力和位移的方向关系，故C正确；有力作用在物体上，物体在力的方向上移动了距离，力对物体做的功总是在某过程中完成的，所以功是一个过程量，故D正确.

2. (正负功的判断)如图10所示，重物P放在一长木板OA上，将长木板绕O端转过一个小角度的过程中，重物P相对于木板始终保持静止，关于木板对重物P的摩擦力和支持力做功的情况是()

图10

A.摩擦力对重物做正功

B.摩擦力对重物做负功

C.支持力对重物不做功

D.支持力对重物做正功

答案 D

解析重物受到的摩擦力方向始终与速度方向垂直，故不做功，支持力方向始终与速度方向相同，故做正功.

3.(功的计算)用水平恒力F作用于质量为m的物体上，使之在光滑的水平面上沿力的方向移动距离l，恒力F做功为W1；再用该恒力作用在质量为2m的物体上，使之在粗糙的水平面上沿力的方向移动同样的距离l，恒力F做功为W2，则两次恒力做功的关系是()

A.W1>W2

B.W1

C.W1＝W2

D.无法判断

答案 C

解析物体沿力的方向运动，恒力做功就是指力F做的功，根据W＝Fl cos α，两次做功中的

F、l、α均相同，所以两次F做功相同，即W1＝W2.

4.(总功的计算)如图11所示，质量m＝50 kg的滑雪运动员从高度h＝30 m的坡顶由静止下滑，斜坡的倾角θ＝37°，滑雪板与雪面之间的动摩擦因数μ＝0.1.则运动员滑至坡底的过程中：(g 取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，装备质量不计)

图11

(1)滑雪运动员所受的重力对他做了多少功？

(2)各力对运动员做的总功是多少？

答案(1)1.5×104 J(2)1.3×104 J

解析(1)重力做的功为：

W G＝mgh＝50×10×30 J＝1.5×104 J

(2)运动员所受合力：

F合＝mg sin 37°－μmg cos 37°＝260 N

合力方向沿斜坡向下，沿合力方向的位移l＝

h

sin 37°＝50 m

合力做的功W合＝F合·l＝260×50 J＝1.3×104 J.

课时作业

一、选择题(1～8为单项选择题，9～11为多项选择题)

1.下列选项所示的四幅图是小华提包回家的情景，其中小华提包的力不做功的是()

答案 B

2.如图所示，力F大小相等，A、B、C、D选项中物体运动的位移l也相同，哪种情况F做功最少()

答案 D

解析A选项中，拉力做功W＝Fl；B选项中，拉力做功W＝Fl cos 30°＝

3

2Fl；C选项中，

拉力做功W＝Fl cos 30°＝

3

2Fl；D选项中，拉力做功W＝Fl cos 60°＝

1

2Fl，故D选项中拉力F

做功最少.

3.如图1所示，人站在超市自动扶梯的斜面上，与扶梯一起沿斜面匀速上升.在这个过程中，人脚所受的静摩擦力()

图1

A.等于零，对人不做功

B.沿斜面向上，对人不做功

C.沿斜面向上，对人做负功

D.沿斜面向上，对人做正功

答案 D

解析人脚受到的静摩擦力沿斜面向上，位移沿斜面向上，故摩擦力做正功，故D正确. 4.如图2所示，一小孩和一大人都以水平的力匀速推动相同的木箱在相同的路面上走相同的位移(推箱的速度大小如图中所示)，比较此过程中两人分别对木箱做功的多少()

图2

A.大人做的功多

B.小孩做的功多

C.大人和小孩做的功一样多

D.条件不足，无法判断

答案 C

解析由平衡条件知大人与小孩的推力相等(即都等于各自木箱受到的滑动摩擦力，两木箱的滑动摩擦力相等)，又由于两只木箱的位移相同.故由W＝Fl知两人做功一样多.

5.一人乘电梯从1楼到20楼，在此过程中经历了先加速，后匀速，再减速的运动过程，则电梯对人的支持力的做功情况是()

A.加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功

B.加速时做正功，匀速和减速时做负功

C.加速和匀速时做正功，减速时做负功

D.始终做正功 答案 D

解析 在加速、匀速、减速的过程中，支持力与人的位移方向始终相同，所以支持力始终对人做正功，故D 正确.

6.如图3所示，质量为m 的物体A 静止在倾角为θ的斜面体B 上，斜面体B 的质量为M .现对该斜面体B 施加一个水平向左的推力F ，使物体A 随斜面体B 一起沿水平方向向左匀速运动，当移动的距离为l 时，斜面体B 对物体A 所做的功为( )

图3

A.Fl

B.mgl sin θ·cos θ

C.mgl sin θ

D.0

答案 D

解析 对物体A 进行受力分析，其受到重力mg 、支持力F N 、静摩擦力F f ，如图所示，由于物体A 做匀速运动，所以支持力F N 与静摩擦力F f 的合力即斜面体B 对物体A 的作用力竖直向上，而位移方向水平向左，所以斜面体B 对物体A 的作用力的方向与位移方向垂直，斜面体B 对物体A 所做的功为0，D 正确.

7.起重机以1 m /s 2的加速度将质量为1 000 kg 的货物匀加速地向上提升，若g 取10 m/s 2，则在第1 s 内起重机对货物所做的功是( ) A.500 J B.4 500 J C.6 000 J D.5 500 J 答案 D

解析 对货物受力分析，由于是匀加速上升，根据牛顿第二定律F －mg ＝ma ，可计算出起重机对货物的拉力F ＝11 000 N ，位移l ＝1

2at 2＝0.5 m.则在第1 s 内起重机对货物所做的功W ＝

Fl cos α＝11 000×0.5×1 J ＝5 500 J ，D 正确.

8. 如图4所示，同一物体分别沿斜面AD 和BD 自顶点由静止开始下滑，该物体与两斜面间的动摩擦因数相同.在滑行过程中克服摩擦力做的功分别为W A 和W B ，则( )

图4

A.W A>W B

B.W A＝W B

C.W A

D.无法确定

答案 B

解析设斜面AD、BD与水平面CD所成夹角分别为α、β，根据功的公式，得W A＝μmg cos α·l AD ＝μmgl CD，W B＝μmg cos β·l BD＝μmgl CD，所以B正确.

9.下面关于功的计算式W＝Fl cos α的说法正确的是()

A.F必须是恒力

B.l是路程

C.l是位移

D.α是力与位移两矢量的夹角

答案ACD

10.一物体在两个力F1、F2的共同作用下发生了一段位移，力F1、F2做功分别为W1＝6 J、W2＝－6 J，下列说法正确的是()

A.这两个力一定大小相等、方向相反

B.F1是动力，F2是阻力

C.这两个力做的总功为0

D.F1比F2做的功多

答案BC

解析由力F1、F2做功的正负可以确定力F1、F2与位移的夹角分别为小于90°、大于90°，但这两个力不一定大小相等、方向相反，A错；F1做正功一定是动力，F2做负功一定是阻力，但正负不表示功的大小，B对，D错；两个力做的总功等于这两个力所做功的代数和，C对.

11.物体在运动过程中克服某个力做功，说明()

A.这个力一定阻碍物体的运动

B.这个力不一定阻碍物体的运动

C.这个力与物体运动方向的夹角α>90°

D.这个力与物体运动方向的夹角α<90°

答案AC

解析如果一个力对物体做负功，我们也可以说物体克服这个力做功.做负功表示这个力阻碍

物体的运动，因为这个力与物体运动方向的夹角α>90°.故选A 、C. 二、非选择题

12.一物体放在水平地面上，如图5甲所示，已知物体所受水平拉力F 随时间t 的变化关系如图乙所示，物体相应的速度v 随时间t 的变化关系如图丙所示.求：

图5

(1)0～6 s 时间内物体的位移；

(2)0～10 s 时间内物体克服摩擦力所做的功. 答案 (1)6 m (2)30 J

解析 (1)由题图丙可知0～6 s 时间内物体的位移为： l ＝6－22

×3 m ＝6 m.

(2)由题图丙可知，在6～8 s 时间内，物体做匀速运动，于是有摩擦力F f ＝2 N. 0～10 s 时间内物体的总位移为： l ′＝(8－6)＋(10－2)2

×3 m ＝15 m.

物体克服摩擦力所做的功：W ＝F f l ′＝2×15 J ＝30 J.

13. 如图6所示，用沿斜面向上、大小为800 N 的力F ，将质量为100 kg 的物体沿倾角为37°的固定斜面由底端匀速地拉到顶端，斜面长L ＝5 m ，物体与斜面间的动摩擦因数为0.25.求这一过程中：(g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

图6

(1)物体的重力所做的功； (2)摩擦力所做的功；

(3)物体所受各力的合力所做的功. 答案 (1)－3 000 J (2)－1 000 J (3)0 解析 物体受力情况如图所示

(1)W G ＝－mgL sin θ＝－3 000 J

(2)F f＝μF N＝μmg cos θ

W f＝－F f L＝－μmg cos θ·L

＝－1 000 J

(3)解法一W F＝FL＝4 000 J

W＝W F＋W G＋W f＝0

解法二物体做匀速运动，F合＝0 故W＝0.