全等三角形的存在性

第十七讲：全等三角形的存在性（讲义）

一、知识点睛

全等三角形存在性的处理思路

1. 分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图

形间的对应关系及不变特征考虑分类．

2. 画图求解：

①目标三角形确定时，根据对应关系分类，借助边相等、角相等列方程求解；

②目标三角形不确定时，先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑边、角的对应相等和不变特征后列方程求解．

3. 结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．

二、精讲精练

1. 如图，抛物线C 1经过A ，B ，C 三点，顶点为D ，且与x 轴的另

一个交点为E ．

（1）求抛物线C 1的解析式．

（2）设抛物线C 1的对称轴与x 轴交于点F ，另一条抛物线C 2经过点E （抛物线C 2与抛物线C 1不重合），且顶点为

M (a ，b )，对称轴与x 轴交于点G ，且以M ，G ，E 为顶点的三

角形与以D ，E ，F 为顶点的三角形全等，求a ，b 的值．（只

需写出结果，不必写出解答过程）

-13

D y

C (2，3)

A O

B E

-13D

C (2，3)

A O

B E

2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++与x 轴的一

个交点为A (-2，0)，与y 轴的交点为C ，对称轴是直线x =3，对称轴与x 轴交于点B ．（1）求抛物线的函数表达式．

（2）若点D 在x 轴上，在抛物线上是否存在点P ，使得 △PBD ≌△PBC ？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

C A

O B x

3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与

y 轴

交于点C (0，4)，对称轴直线2x =与x 轴交于点D ，顶点为M ，且DM =OC +OD ．（1）求该抛物线的解析式．

（2）设点P (x ，y )是第一象限内该抛物线上的一动点，△PCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．

（3）设点Q 是y 轴右侧该抛物线上的一动点，若经过点Q 的直线QE 与y 轴交于点E ，是否存在以O ，Q ，E 为顶点的三角形与△OQD 全等？若存在，求出直线QE 的解析式；若不存在，请说明理由．

O y

D M

x =2x

O y

D M

x =2P

x =2

4. 如图，在平面直角坐标系中，直线1l 过点A (1，0)且与

y 轴平

行，直线2l 过点B (0，2)且与x 轴平行，直线1l 与2l 相交于点P ．点

E 为直线2l 上一点，反比例函数k y x

=（0k >）的图象过点E 且

与直线1l 相交于点F ．

（1）若点E 与点P 重合，求k 的值．

（2）连接OE ，OF ，EF ．若2k >，且△OEF 的面积为△PEF 面积的2倍，求点E 的坐标．

（3）是否存在点E 及y 轴上的点M ，使得以M ，E ，F 为顶点的三角形与△PEF 全等？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．

l 2

l 1y

O P

E B

A B

O x

y l 2

l 1

A B

O x

y l 2

l 1A B

O x

y l 2

l 1

【参考答案】 1. （1）223y x x =-++

（2）a =7，b =2或a =7，b =-2或a =-1，b =2或a =-1，b =-2或

a =1，

b =-4或a =5，b =-4或a =5，b =4

2. （1）213442

y x x =-++

（2）(1418241)(1418241)-+-+----，，，，

126126

(426)(426)

22-+---+，，， 3.（1）21242y x x =-++（2）21

4(0223)2

S x x x =-+<<+

（3）1

y x =+，y =6或177

24y x -=

- 4.（1）2 （2）（3，2）（3）3(2)8，，8

(2)3，

学生做题前请先回答以下问题

问题1：全等三角形的判定有哪些？

问题2：全等三角形存在性问题中如何确定分类标准，分类标准确定的依据是什么？

问题3：全等三角形存在性问题的处理思路是什么？

问题4：全等三角形存在性问题与相似三角形存在性问题处理时的异同有哪些？

全等三角形的存在性（一）

1.如图1，直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点P(x，y)在直线y=-2x+4上，过点P作AB的垂线，与x轴、y轴分别交于点E，F．若△EOF与△AOB全等，则点P的坐标为( )

A. B.

2.如图2，已知点A，B 在抛物线上，且点A在第四

象限，点B在第一象限，A，B

两点的横坐标

满足方程

．连接OB，OA，AB，将线段OB绕点O顺时针旋转90°

得到线段OC．若D是坐标平面内一点，且△OAB和△OCD全等，

则符合题意的点D的坐标为( )

图

图2

3.如图3，抛物线经过三

点，线段BC与抛物线的对称轴相交于点D．P为该抛物线的顶点，

连接PA，AD，DP，线段AD与y轴相交于点E．若Q为平面直角坐

标系中的一点，且以Q，C，D为顶点的三角形与△ADP全等，则

图3 点Q的坐标为( )

A. B.

学生做题前请先回答以下问题

问题1：全等三角形的判定有哪些？

问题2：全等三角形存在性问题的处理思路是什么？

全等三角形的存在性（二）

1.如图1已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，直线与x轴交于点D．在第一象限内，若直线上存在点P，使得以P，B，D为顶点的三角形与△OBC全等，则点P的坐标为( )

A.（4，1），（0，3）

B.（4，1），（3，2）或（1，2）

C.（4，1），（0，3）或（3，2）

D.（4，1），（4，-1），（3，2）或（3，-2）

2.如图2，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是直线上不与A，B重合的动点．过点C的另一直线CD与y轴相交于点D，若以B，C，D为顶点的三角形与△AOB全等，则点C的坐标为( )

A. B.

D.图1

图2

3.如图3所示，

抛物线的顶点为A，直线与

y轴的交点为B ，其中．若Q为抛物线的对称轴直线l上一

个动点，在对称轴左侧的抛物线上存在点P，使以P，Q，A为顶

点的三角形与△OAB全等，则点P的坐标为( )

学生做题后建议通过以下问题总结反思

问题1：结合试题1分析，如何确定分类标准？

问题2：画图求解时需要根据分析得到的不变特征，结合两个三

角形全等的判定进行分析，试题1中利用的是哪一个全等三角形

的判定？

问题3：全等三角形存在性问题与相似三角形存在性问题处理时

的异同有哪些？

图3

学生做题前请先回答以下问题

问题1：在处理全等三角形的存在性问题时首先要分析不变特征，那么如何分析不变特征？

问题2：在全等三角形存在性问题处理时，依据不变特征处理的核心依据是什么？

问题3：课堂所讲解示范的，一般会用哪个判定？

问题4：全等三角形存在性处理时都需要考虑哪些方面？

问题5：已经学习了平行四边形，菱形，矩形，正方形，相似三角形以及全等三角形等各种存在性，存在性问题处理的框架是什么？

全等三角形的存在性（三）

1.如图1，已知抛物线与x轴的交点为A，D （A在D的右侧），与y轴的交点为C，点B与点C关于对称轴对称．点M是抛物线上的一点，使得△CMD≌△CMB，则点M的坐标为( )

A. B. C. D.

2.如图2，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D．M 为抛物线上一点，E是x轴上的一点，使得△DMC≌△DME，则点M 的坐标为( )

图

图2

3.如图3，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与

y轴交于C点．若点E在x轴上，点P是抛物线在第一象限上的

图3 点，△APC≌△APE，则点P的坐标为( )

A. B. C. D.

学生做题后建议通过以下问题总结反思

问题1：结合第2题考虑全等三角形存在性问题的处理框架是什

么？

学生做题前请先回答以下问题

问题1：全等三角形的判定有哪些？

问题2：全等三角形存在性问题的处理思路是什么？

问题3：试题1中如何分析不变特征？

问题4：试题1中分析不变特征，确定△OPC≌△POQ利用的是全等三角形的哪一个判定？

全等三角形的存在性（四）

1.如图1，抛物线与y轴交于点C，P是x轴上一个动点，Q是抛物线上异于点C的一个动点．若△OPC≌△POQ，则点Q 的坐标为( )

A. B.

2.如图2，抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴

交于点B．D是x轴上的一个动点，P是抛物线上的一个动点，使

得△DPB≌△ABP，求点P的坐标．

（1）要求点P的坐标有如下考虑：分析可知，需要结合A，D和

图2 公共边BP的相对位置进行分类讨论．当A，D在BP的同侧时，以

A，D，B，P组成的四边形为_________（填“平行四边形”或“等

腰梯形”或“梯形”）；当A，D在BP的异侧时，此时以A，D，

B，P组成的四边形为_________（填“平行四边形”或

“等腰梯形”或“梯形”）．

A.平行四边形，梯形

B.梯形，平行四边形

C.平行四边形，等腰梯形

D.等腰梯形，平行四边形

( )

（2）（上接第2题）当A，D在BP的异侧时，点P的坐标为Array

A.(6，4）

4.如图4，抛物线与x轴交于A（-2，0），B（1，0）

两点，与y轴交于点C（0，2），P为抛物线x轴上方的一个动点，

Q为y轴负半轴上的一个动点．若△ABP≌△BAQ，则点P的坐标

为( )

A. B.（-1，2） C. D.条件不足，无法求解图4

学生做题前请先回答以下问题

问题1：全等三角形存在性问题的处理思路是什么？

问题2：已经学习了平行四边形，菱形，矩形，正方形，相似三角形以及全等三角形等各种存在性，存在性问题处理的框架是什么？

全等三角形的存在性（五）

1.如图1，二次函数的顶点为A，与y轴的交点为B．若⊙M 的圆心为，半径为r，过点A向该圆作切线，切点为N，若△AMN与△ABO全等，则满足题意的m，r的值分别为( )

A. B.

2.如图2，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点为抛物线的顶点，点B在x轴上．若P是抛物线的第二象限的图象上的一点，使得△POB与△POC全等，则点P 的坐标为( )

A. B.

图

1 图2

3.直角坐标系中，O是坐标原点，D 是过

三点的抛物线上的一点（不与点A重合）．若以D，O，C为顶点的三角形与△AOC全等，则点D的坐标为( )

A. B. C.

4.如图4，在平面直角坐标系中，直线l 经过．M 为x 轴上的一点且，点P，Q在线段AB上．若以O，P，Q为顶点的三角形与△OMP全等，则点P的坐标为( )

学生做题后建议通过以下问题总结反思

问题1：结合第2题考虑不变特征是什么？分类标准是什么？

问题2：结合第4题考虑不变特征是什么？如何确定分类标准？

依据是什么？

图4

学生做题前请先回答以下问题

问题1：动点问题的处理思路是什么？

问题2：动点问题分析运动过程，需要关注四要素是什么？、

问题3：全等三角形的判定有哪些？

问题4：全等三角形存在性问题的处理思路是什么？

全等三角形的存在性（六）

1.如图1，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D为AB的中点．点

P在BC边上以3cm/s的速度由点B向点C运动；同时点Q在AC

边上以相同的速度由点C向点A运动，其中一个点到达终点时另

一个点也随之停止运动．当△BPD与△CQP全等时，点P运动的时

间为( )

图1 A. B. C. D.

2.如图2，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴

交于点C．点P是x轴上一动点，点Q是x轴上方抛物线上的一

( )

个动点．若△AQC与△AQP全等，则点Q的坐标为

A. B. C. D.

3.如图3，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射

线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H．在抛物线

上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与

△AOH全等，则符合条件的点A的坐标为( )

图3 A. B.

学生做题后建议通过以下问题总结反思

问题1：结合试题1考虑，不变特征是什么？△BPD与△CQP利用

的是三角形全等的哪一个判定？

问题2：试题2中，如何确定分类标准？