指数函数和对数函数综合题目与答案(供参考)
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较,
指数函数和对数函数综合
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
【要点链接】
1.指数函数、幂函数、对数函数增长的比较:
对数函数增长比较缓慢,指数函数增长的速度最快.
2.要能熟练掌握指数函数、幂函数、对数函数的图像,并能利用它们的图像的增减情况解决 一些问题. 【随堂练习】 一、选择题
1.下列函数中随x 的增大而增大速度最快的是( )
A .1100
x
y e =
B .100ln y x =
C .100y x =
D .1002x y =? 2.若112
2
a a -<,则a 的取值范围是( )
A .1a ≥
B .0a >
C .01a <<
D .01a ≤≤
3.x
x f 2)(=,x
x g 3)(=,x
x h )2
1()(=,当x ∈(-)0,∞时,它们的函数值的大小关系
是( )
A .)()()(x f x g x h <<
B .)()()(x h x f x g <<
C .)()()(x f x h x g <<
D .)()()(x h x g x f <<
4.若b x <<1,2
)(log x a b =,x c a log =,则a 、b 、c 的关系是( )
A .c b a <<
B .b c a <<
C .a b c <<
D .b a c <<
二、填空题
5.函数x
e y x x y x y x y ====,ln ,,3
2
在区间(1,)+∞增长较快的一个是__________. 6.若a >0,b >0,ab >1,a 2
1log =ln2,则log a b 与a 2
1log 的关系是_________________.
7.函数2
x y =与x
y 2=的图象的交点的个数为____________.
三、解答题
8.比较下列各数的大小: 5
2)2(-、21)23(-、3
)3
1(-、54
)32(-.
9.设方程2
22x
x =-在(0,1)内的实数根为m ,求证当x m >时,2
22x
x >-.
答案
1.A 指数增长最快.
2.C 在同一坐标系内画出幂函数2
1
x y =及2
1-
=x
y 的图象,注意定义域,可知10< 3.B 在同一坐标系内画出x x f 2)(=,x x g 3)(=,x x h )2 1 ()(=的图象,观察图象可知. 4.D b x <<1,则0log log 1b b x b <<=,则10< y e = 指数增长最快. 6.log a b <a 2 1log 由a 2 1log =ln20>,则10<b , 则0log a ,则log a b <a 2 1log . 7.3 在同一坐标系内作出函数2 x y =与x y 2=的图象,显然在0 2 23>,4=x 时,4224=,而随着x 的 增大,指数函数增长的速度更快了,则知共有3个不同的交点. 8.解: 52)2(-=5 22、21)23(-=21)32(、3)31(-=-27 1 、54)32(-=54 )32(. ∵52)2(->1、3 )3 1(-<0,而21 )23(-、54)32(-均在0到1之间. 考查指数函数y =x )3 2(在实数集上递减,所以21 )32(>54)32(. 则52)2(->21 )23(- >54)32(->3)31(-. 9.证明:设函数2()22x f x x =+-,方程2 22x x =-在(0,1)内的实数根为m , 知()f x 在(0,1)有解x m =,则()0f m =. 用定义容易证明()f x 在(0,)+∞上是增函数,所以()()0f x f m >=, 即2()220x f x x =+->,所以当x m >时,2 22x x >-. 备选题 1.设7 210625.0=y ,7 4203.0=y ,7 832.0=y ,则( ) A .123y y y >> B .132y y y >> C .213y y y >> D .123y y y >> 1.B 74 125.0=y ,74304.0=y ,而幂函数7 4x y =在0>x 上为增函数,则132y y y >>. 2.图中曲线是对数函数y =log a x 的图象,已知a 取10 1 ,53,54, 3四个值,则相应于C 1, C 2, C 3,C 4的a 值依次为( ) A .101, 53,34,3 B .53 ,101,34,3 C .101,53,3,34 D .5 3,101,3,34 2.C 作直线1=y ,与四个函数的图象各有一个交点, 从左至右的底数是逐渐增大的,则知则相应于 C 1,C 2, C 3,C 4的a 值依次为 10 1,53,3,34. 指数函数复习 【要点链接】 1.掌握指数的运算法则; 2.熟练掌握指数函数的图像,并会灵活运用指数函数的性质,会解决一些较为复杂的 有关于指数函数复合的问题. 【随堂练习】 一、选择题 1.函数a y x +=2的图象一定经过( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 2.已知三个实数a ,a b a =,b c a =,其中10< A .b a c << B .a b c << C .a c b << D .c a b << 3.设1()()2 x f x =,x ∈R ,那么()f x 是( ) A .奇函数且在(0,)+∞上是增函数 B .偶函数且在(0,)+∞上是增函数 C .奇函数且在(0,)+∞上是减函数 D .偶函数且在(0,)+∞上是减函数 4.函数1 21 x y = -的值域是( ) A .(,1)-∞ B .(,1)(0,)-∞-+∞U C .(1,)-+∞ D .(,0)(0,)-∞+∞U 二、填空题 5.若函数()f x =_______________. 6.函数x a a a x f )33()(2 +-=是指数函数,则a 的值为_________. 7.方程2|x |=2-x 的实数解有_________个. 三、解答题 8.已知()2x f x =,() g x 是一次函数,并且点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上,点(2,5)在 函数[()]g f x 的图象上,求()g x 的解析式. 9.若函数y =1 212·---x x a a 为奇函数. (1)确定a 的值;(2)求函数的定义域;(3)讨论函数的单调性. 答案 1.A 当0=a ,图象不过三、四象限,当1-=a ,图象不过第一象限.而由图象知 函数a y x +=2的图象总经过第一象限. 2.C 由10< a a a b a >>,即a c b <<. 3.D 因为函数1()()2x f x ==?? ???≥) 0(,2) 0(,)21(<x x x x ,图象如下图. 由图象可知答案显然是D . 4.B 令12-=x t ,02>x ,则12->x ,又作为分母,则1->t 且0≠t , 画出t y 1 = 的图象,则1->t 且0≠t 时值域是(,1)(0,)-∞-+∞U . 5.(,0]-∞ 由1-2x 0≥ 得2x ≤1,则x ≤0. 6.2 知1332 =+-a a , 0>a 且1≠a ,解得2=a . 7.2 在同一坐标系内画出y=2|x | 和 y=2-x 的图象,由图象知有两个不同交点. 8.解:∵()g x 是一次函数,可设为)0()(≠+=k b kx x g , 则[()]f g x b kx +=2,点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上, 可得b k +=22 2,得12=+b k . 又可得[()]g f x b k x +?=2,由点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上, 可得b k +=45. 由以上两式解得3,2-==b k , ∴()23g x x =-. 9.解:先将函数y =1212·---x x a a 化简为y =1 21 --x a . (1)由奇函数的定义,可得f (-x )+f (x )=0,即 121---x a +1 21--x a =0,∴2a +x x 2121--=0,∴a =-21 . (2)∵y =-21-1 21-x ,∴x 2-1≠0. ∴函数y =-21-1 21 -x 定义域为{x |x ≠0}. (3)当x >0时,设0<x 1<x 2, 则y 1-y 2=1212-x -1211-x =) 12)(12(2212 2 1---x x x x . ∵0<x 1<x 2,∴1<12x <22x . ∴12x -22x <0,12x -1>0,22x -1>0. ∴y 1-y 2<0,因此y =-21-121 -x 在(0,+∞)上递增. 同样可以得出y =-21-1 21 -x 在(-∞,0)上递增. 备选题 1.函数(1)x y a a =>在区间[0,1]上的最大值是4,则a 的值是( ) A .2 B .3 C .4 D .5 1.C 函数(1)x y a a =>在区间[0,1]上为增函数,则最大值是=1 a 4,则4=a . 2.函数y =x x a 22-(a >1)的定义域___________,值域___________. 2. {x |x ≥2,或x ≤0} {y |y ≥1} 由022 ≥-x x ,得定义域为{x |x ≥2,或x ≤0}; 此时022≥-x x ,则值域为{y |y ≥1}. 对数函数 【要点链接】 1.掌握对数的运算法则; 2.熟练掌握对数函数的图像,并会灵活运用对数函数的性质,会解决一些较为复杂的 有关于对数函数复合的问题. 【随堂练习】 一、选择题 1.4 1 2 3log = x ,则x 等于( ) A .9 1 =x B .33=x C .3=x D .9=x 2.函数y =lg (x -12 -1)的图象关于( ) A .y 轴对称 B .x 轴对称 C .原点对称 D .直线y =x 对称 3.已知log 0log log 31212>==+x x x a a a , 0 A .x 3 B .x 2 C .x 1 D .x 2 4.若函数1 ()log ( )(011 a f x a a x =>≠+且) 的定义域和值域都是[0,1],则a 等于( ) A .1 2 B C .2 D .2 二、填空题 5.函数23log 12-=-x y x 的定义域是 . 6.设函数()f x 满足21 ()1()log 2 f x f x =+?,则(2)f = . 7.已知3lo g 2 1=a ,31log 2 1 =b ,21log 3 1=c ,则a 、b 、c 按大小关系排列为___________. 三、解答题 8.若)(x f 3log 1x +=, )(x g 2log 2x =,试比较)(x f 与)(x g 的大小. 9.若不等式0log 2 <-x x m 在(0, 2 1 )内恒成立,求实数m 的取值范围. 答案 1.A 2log 2412 3-== x ,则2log 3-=x ,则9132==-x . 2.C y =lg (x -12-1)=x x -+11lg ,易证)()(x f x f -=-,所以为奇函数, 则图象关于原点对称. 3.D ∵0 2 ,∴x 2<1 11 1 21≤+≤x ,要使值域也是[0,1],就有0)(≥x f ,则10< 则)(x f 在[0,1]为增函数,则01log =a ,121log =a ,解得=a 1 2 . 5.2(,1)(1,)3+∞U 可知023>-x ,012>-x 且112≠-x ,解得3 2 >x 且1≠x . 6.2 3 由已知得2log )21(1)21(2?+=f f ,则21)21(=f ,则x x f 2log 211)(?+=, 则=?+=2log 211)2(2f 2 3 . 7.b c a << 03log 2<-=a ,13log 2>=b ,2log 3=c ,则10< 8.解:4 3log 4log )3(log )()(x x x g x f x x x =-=-. 当10< 3log >x x ,则)()(x g x f >; 当34=x 时,143=x ,则)()(x g x f =; 当341< x ,则)()(x g x f <; 当34>x 时,143>x ,则043log >x x ,则)()(x g x f >. 9.解:由0log 2<-x x m 得x x m log 2 <. 在同一坐标系中作2 x y =和x y m log =的图象. 要使x x m log 2 <在(0, 21 )内恒成立, 只要x y m log =在(0,2 1)内的图象在2 x y =的上方,于是0 ∵x=21时y=x 2=41,∴只要x=21时21log m y =≥41. ∴21≤m 41 ,即16 1≤m. 又0 1 ≤m<1. 备选题 1.下列函数中,是奇函数,又在定义域内为减函数的是( ) A .1()2 x y = B .x y 1 = C .)(log 3x y -= D .3x y -= 1.D A 、C 是非奇非偶函数,B 是奇函数,但在定义域内不为减函数,则选D . 2.10002.11=a ,10000112.0=b ,则 =-b a 1 1( ) A .1 B .2 C .3 D .4 2.A 2.11log 11000=a ,0112.0log 1 1000=b , 则11000log 0112 .02.11log 1110001000===-b a . 3.如果函数()(3)x f x a =-,()lo g a g x x =它们的增减性相同,则a 的取值范围 是______________. 3.21< 由03>-a 且13≠-a ,及0>a 且1≠a ,得10< 或32< 当21< 第二章 函数 三 指数函数与对数函数 【考点阐述】指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数.对数.对数的运算性质.对数函数. 【考试要求】(4)理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图像和性质.(5)理解对数的概念,掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质.(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 【考题分类】 (一)选择题(共15题) 1.(安徽卷文7)设 232555 322555a b c ===(),(),() ,则a ,b ,c 的大小关系是 (A )a >c >b (B )a >b >c (C )c >a >b (D )b >c >a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数,所以a c >,2()5x y =在0x >时是减函数,所以c b >。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 2.(湖南卷文8)函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐标系 中的图像可能是 【答案】D 【解析】对于A 、B 两图,|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-11矛盾,选D 。 3.(辽宁卷文10)设525b m ==,且112a b +=,则m = (A (B )10 (C )20 (D )100 【答案】 D 解析:选A.211 log 2log 5log 102,10, m m m m a b +=+==∴= 又0,m m >∴= 4.(全国Ⅰ卷理8文10)设a= 3 log 2,b=In2,c=1 2 5 - ,则 A. a>,所以a=>,所以c,从而错选A,这也 是命题者的用苦良心之处. 【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去),或 1b a = ,所以a+2b=2 a a + 又0f(1)=1+2 1=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞). 6.(全国Ⅰ卷文7)已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且,()()f a f b =,则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】C 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在做本小 题时极易忽视a 的取值范围,而利用均值不等式求得a+b=12a a + ≥,从而错选D,这也是命 题者的用苦良心之处. 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 【学习要求】 1.了解反函数的概念及互为反函数图象间的关系; 2.掌握对数函数与指数函数互为反函数. 【学法指导】 通过探究指数函数与对数函数的关系,归纳出互为反函数的概念,通过指数函数图象与对数函数图象的关系,总结出互为反函数的图象间的关系,体会从特殊到一般的思维过程. 填一填:知识要点、记下疑难点 1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 自变量 ,而把这个函数的自变量 作为新的函数的 因变量. 我们称这两个函数 互为反函数. 即y =f(x)的反函数通常用 y =f - 1(x) 表示. 2.对数函数y =log a x 与指数函数y =a x 互为反函数 ,它们的图象关于 直线y =x 对称. 3.互为反函数的图象关于直线 y =x 对称;互为反函数的图象同增同减. 4.当a>1时,在区间[1,+∞)内,指数函数y =a x 随着x 的增加,函数值的增长速度 逐渐加快 ,而对数函数y =log a x 增长的速度 逐渐变得很缓慢. 研一研:问题探究、课堂更高效 [问题情境] 设a 为大于0且不为1的常数,对于等式a t =s,若以t 为自变量可得指数函数y =a x ,若以s 为自变量可得对数函数y =log a x.那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢?这就是本节我们要探究的主要问题. 探究点一指数函数与对数函数的关系 导引为了探究这两个函数之间的关系,我们用列表法画出函数y =2x 及y =log 2x 的图象. 问题1函数y =2x 及y =log 2x 的定义域和值域分别是什么,它们的定义域和值域有怎样的关系? 答:函数y =2x 的定义域为R,值域为(0,+∞);函数y =log 2x 的定义域为(0,+∞),值域为R.函数y =2x 的定义域和值域分别是函数y =log 2x 的值域和定义域. 问题2在列表画函数y =2x 的图象时,当x 分别取-3,-2,-1,0,1,2,3这6个数值时,对应的y 值分别是什么? 答:y 值分别是: 18, 14, 1 2 , 1, 2, 4, 8. 问题3在列表画函数y =log 2x 的图象时,当x 分别取18,14,1 2 ,1,2,4,8时,对应的y 值分别是什么? 答:y 值分别是:-3,-2,-1,0,1,2,3. 问题4综合问题2、问题3的结果,你有什么感悟? 答:在列表画y =log 2x 的图象时,可以把y =2x 的对应值表里的x 和y 的数值对换,就得到y =log 2x 的对应值表. 问题5观察画出的函数y =2x 及y =log 2x 的图象,能发现它们的图象有怎样的对称关系? 答:函数y =2x 与y =log 2x 的图象关于直线y =x 对称. 问题6我们说函数y =2x 与y =log 2x 互为反函数,它们的图象关于直线y =x 对称,那么对于一般的指数函数y =a x 与对数函数y =log a x 又如何? 答:对数函数y =log a x 与指数函数y =a x 互为反函数.它们的图象关于直线y =x 对称. 探究点二 互为反函数的概念 问题1对数函数y =log a x 与指数函数y =a x 是一一映射吗?为什么? 答:是一一映射,因为对数函数y =log a x 与指数函数y =a x 都是单调函数,所以不同的x 值总有不同的y 值与之对应,不同的y 值也总有不同的x 值与之对应. 问题2对数函数y =log a x 与指数函数y =a x 互为反函数,更一般地,如何定义互为反函数的概念? 答:当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新 的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.函数y =f(x)的反函数通常用y =f - 1(x)表示. 问题3 如何求函数y =5x (x ∈R)的反函数? 答:把y 作为自变量,x 作为y 的函数,则x =y 5,y ∈R.通常自变量用x 表示,函数用y 表示,则反函数为y =x 5 ,x ∈R. 例1 写出下列函数的反函数: (1)y =lg x; (2)y =log 1 3 x; (3)y =????23x . 解:(1)y =lg x(x>0)的底数为10,它的反函数为指数函数y =10x (x ∈R). (2)y =log 13x (x>0)的底数为1 3 ,它的反函数为指数函数y =????13x (x ∈R). (3)y =????23x (x ∈R)的底数为23,它的反函数为对数函数y =log 2 3x (x>0). 小结:求给定解析式的函数的反函数的步骤: (1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域; (2)从y =f(x)中解出x; (3)x 、y 互换并注明反函数的定义域. 跟踪训练1 求下列函数的反函数:(1)y =3x -1; (2)y =x 3+1 (x ∈R); (3)y =x +1 (x≥0); (4)y =2x +3 x -1 (x ∈R,x≠1). 东山中学指数与对数函数同步练习 一、选择题:(本题共12小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1、下列所给出的函数中,是幂函数的是 ( B ) A .3 x y -= B .3-=x y C .3 2x y = D .13 -=x y 2、下列命题中正确的是 ( D ) A .当0=α时函数α x y =的图象是一条直线 B .幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点 C .若幂函数αx y =是奇函数,则α x y =是定义域上的增函数 D .幂函数的图象不可能出现在第四象限 3、已知32a =,那么33log 82log 6-用a 表示是 ( ) A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 4、2log (2)log log a a a M N M N -=+,则 N M 的值为 ( ) A 、 4 1 B 、4 C 、1 D 、4或1 5、下列各式中成立的一项 ( ) A .71 7 7)(m n m n = B .3124 3)3(-=- C .4 343 3)(y x y x +=+ D . 33 39= 6、化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 ( ) A .a 6 B .a - C .a 9- D .2 9a 7、已知732log [log (log )]0x =,那么12 x -等于 ( ) A 、 1 3 B C D 8、函数2lg 11y x ?? =- ?+?? 的图像关于 ( ) 指数函数和对数函数 知能目标 1. 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质. 掌握指数函数的概念、图象和性质. 2. 理解对数的概念, 掌握对数的运算性质. 掌握对数函数的概念、图象和性质. 3. 能够运用指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 综合脉络 1. 以指数函数、对数函数为中心的综合网络 2. 指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据): 0a (N log b N a a b >=?=且)1a ≠ 指数函数与对数函数互为反函数, 它们的图象关于直线x y =对称, 指数函数与对数函数 的性质见下表: 3. 指数函数,对数函数是高考重点之一 指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函 数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性 质并能进行一定的综合运用. (一) 典型例题讲解: 例1.设a >0, f (x)= x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f - 1 (x)的奇偶性与单调性. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )=)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 例3. 已知x 满足≤+6x 2a a 4x 2x a a +++)1a ,0a ( ≠>, 函数y =)ax (log x a 1 log 2 a 12 a ? 的值域为]0 ,8 1[-, 求a 的值. (二) 专题测试与练习: 指数函数和对数函数知识点总结及练习题 一.指数函数 (一)指数及指数幂的运算 n m n m a a = s r s r a a a +=? rs s r a a =)( r r r b a ab =)( (二)指数函数及其性质 1.指数函数的概念:一般地,形如x a y =(0>a 且1≠a )叫做指数函数。 2.指数函数的图象和性质 10<a 6 54321 -1 -4-2 2460 1 6 5 4 3 2 1 -1 -4-2 246 1 定义域 R 定义域 R 值域y >0 值域y >0 在R 上单调递减 在R 上单调递增 非奇非偶函数 非奇非偶函数 定点(0,1) 定点(0,1) 二.对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =(0>a 且1≠a ),那么x 叫做以a 为底N 的对数,记作N x a log =,其中a 叫做底数,N 叫做真数,N a log 叫做对数式。 2.指数式与对数式的互化 幂值 真数 x N N a a x =?=log 底数 指数 对数 3.两个重要对数 (1)常用对数:以10为底的对数N lg (2)自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数N ln (二)对数的运算性质(0>a 且1≠a ,0,0>>N M ) ①MN N M a a a log log log =+ ②N M N M a a a log log log =- ③M n M a n a log log = ④换底公式:a b b c c a log log log =(0>c 且1≠c ) 关于换底公式的重要结论:①b m n b a n a m log log = ②1log log =?a b b a (三)对数函数 1.对数函数的概念:形如x y a log =(0>a 且1≠a )叫做对数函数,其中x 是自变量。 2对数函数的图象及性质 01 32.5 2 1.51 0.5-0.5 -1-1.5-2-2.5 -1 1 23456780 1 1 32.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -1 1 2345678 1 1 定义域x >0 定义域x >0 值域为R 值域为R 在R 上递减 在R 上递增 定点(1,0) 定点(1,0) 高一指数函数对数函数 测试题及答案精编版 MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】 指数函数和对数函数测试题 一、选择题。 1、已知集合A={y|x y 2log =,x >1},B={y|y=( 21)x ,x >1},则A ∩B=() A.{y|0<y <21}B.{y|0<y <1}C.{y|2 1<y <1}D.φ 2、已知集合M={x|x <3}N={x|1log 2>x }则M ∩N 为() φ.{x|0<x <3}C.{x|1<x <3}D.{x|2<x <3} 3、若函数f(x)=a (x-2)+3(a >0且a ≠1),则f(x)一定过点() A.无法确定 B.(0,3) C.(1,3) D.(2,4) 4、若a=π2log ,b=67log ,c=8.02log ,则() >b >>a >>a >>c >a 5、若函数)(log b x a y +=(a >0且a ≠1)的图象过(-1,0)和(0,1)两点,则a ,b 分别为() =2,b==2,b==2,b==2,b=2 6、函数y=f(x)的图象是函数f(x)=e x +2的图象关于原点对称,则f(x)的表达式为() (x)=(x)=-e x +(x)=(x)=-e -x +2 7、设函数f(x)=x a log (a >0且a ≠1)且f(9)=2,则f -1(2 9log )等于() 2422229log 、若函数f(x)=a 2log log 32++x x b (a ,b ∈R ),f(2009 1)=4,则f(2009)=() 、下列函数中,在其定义域内既是奇函数,又是增函数的是() =-x 2log (x >0)=x 2+x(x ∈R)=3x (x ∈R)=x 3(x ∈R) 10、若f(x)=(2a-1)x 是增函数,则a 的取值范围为() <21B.2 1<a <>≥1 11、若f(x)=|x|(x ∈R),则下列函数说法正确的是() (x)为奇函数(x)奇偶性无法确定 (x)为非奇非偶(x)是偶函数 12、f(x)定义域D={x ∈z|0≤x ≤3},且f(x)=-2x 2+6x 的值域为()A.[0,29]B.[29,+∞]C.[-∞,+2 9]D.[0,4] 2015级建筑部3月份月考数学测试题 第Ⅰ卷(选择题,共60分) 一、选择题(本大题共20小题,每小题3分,共60分。在每小题所给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,不选、多选、错选均不得分) 1、下列函数是幂函数的是( ) A 3+=x y ; B 3 x y =; C x y 3=; D x y 2log = 2、数列-3,3,-3,3,…的一个通项公式是( ) A. n a =3(-1) n+1 B. n a =3(-1)n C. n a =3-(-1)n D. n a =3+(-1)n 3、对数1log 3的值正确的是( ). A. 0 B.1 C. 2 D. 以上都不对 4、将对数式24 1 log 2 -=化成指数式可表示为( ) A.224 1-= B.412 2 =- C.2412 =?? ? ??- D.2412 -=?? ? ?? 5、若指数函数的图像经过点?? ? ??21,1,则其解析式为( ) A.x y 2= B.x y ??? ??=21 C. x y 4= D. x y ??? ??=41 6、下列运算中,正确的是( ) A.5553443=? B.435÷5534= C.55 3 44 3=??? ? ? ? D.0554343=?- 7、已知3log 2log a a >,则a 的取值范围是( ) A 1>a ; B 1a a 或 8、将对数式ln 2x =化为指数式为 ( ) A. 210x = B. x = 2 C. x = e D. x = e 2 9、4 32813?-的计算结果为( )。 A .3 B.9 C.3 1 D.1 指数函数与对数函数知识点总结 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次 方根,其中n >1,且n ∈N * . 当n 是奇数时, a a n n =,当n 是偶数时, ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3)s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数, 记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化 幂值 真数 (二)对数的运算性质 如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○ 1 M a (log ·=)N M a log +N a log ; ○ 2 =N M a log M a log -N a log ; ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式 a b b c c a log log log = (0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ; 0>b ). 利用换底公式推导下面的结论 (1)b m n b a n a m log log =; (2)a b b a log 1log =. (二)对数函数 指数函数和对数函数单元测试题 一选择题 1 如果,那么a、b间的关系是【】 A B C D 2 已知,则函数的图象必定不经过【】 A第一象限 B第二象限 C第三象限D第四象限 3 与函数y=x有相同图象的一个函数是【】 A B,且 C D,且 4 已知函数的反函数为,则的解集是【】 A B C D 5已知函数在上是x的减函数,则a的取值范围是【】 A B C D 6 已知函数的值域是,则它的定义域是【】 A B C D 7已知函数在区间是减函数,则实数a的取值范围是【】 A B C D 8 已知,则方程的实数根的个数是【】 A1 B 2 C 3D 4 9 函数的定义域为E,函数的定义域为F,则【】 A B C D 10有下列命题:(1)若,则函数的图象关于y轴对称;(2)若,则函数的图象关于原点对称;(3)函数与的图 象关于x轴对称;(4)函数与函数的图象关于直线对称。其中真命题是【】 A(1)(2) B(1)(2)(3)C(1)(3)(4) D (1)(2)(3)(4) 二填空题 11函数的反函数是______ 。12 的定义域是______ 。 13 函数的单调减区间是________。 14 函数的值域为R,则实数a的取值范围是__________. 三解答题 1 求下列函数的定义域和值域 (1)(2) 2 求下列函数的单调区间 (1)(2) 3 已知函数 (1)求的定义域;(2)讨论的单调性;(3)解不等式。 4 已知函数 (1)证明:在上为增函数;(2)证明:方程=0没有负数根。 参考答案 一选择题BADBC BCBDD 二填空题11121314或 三解答题 1 求下列函数的定义域和值域 (1)(2) 定义域定义域 值域值域且 2 求下列函数的单调区间 (1)(2) 减区间,增区间减区间, 3 已知函数 (1)求的定义域;(2)讨论的单调性;(3)解不等式。解(1),又,所以,所以定义域。 (2)在上单调增。 (3),,即 ,所以,所以解集 2 已知函数 (1)证明:在上为增函数;(2)证明:方程=0没有负数根。 例1.设a >0, f (x)=x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f - 1 (x)的奇偶性与单调性. 解:(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a 1 0) 0(f >=?=-? =, (2) =-?∈++=--)x (f )R x (2 4 x x ln )x (f 121 -=++-24x x ln 2=++2 4x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数. 用定义法可证)x (f 1 -为单调增函数. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )=)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解:设x ax ) x (u 2-=, 对称轴a 21x = . (1) 当1a >时, 1a 0 )2(u 2 a 21>??????>≤; (2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4 a 21 ≤?? ???>≥. 综上所述: 1a > 1.(安徽卷文7)设 232 555 322555a b c ===(),(),() ,则a ,b ,c 的大小关系是 (A )a >c >b (B )a >b >c (C )c >a >b (D )b >c >a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数,所以a c >,2 ()5x y =在0x >时是减函数,所以c b >。 2.(湖南卷文8)函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可 能是【答案】D 【解析】对于A 、B 两图,|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-1 《指数函数与对数函数》测试题 一、选择题: 1、已知(10)x f x =,则(5)f =( ) A 、510 B 、10 5 C 、lg10 D 、lg5 2、对于0,1a a >≠,下列说法中,正确的是( ) ①若M N =则log log a a M N =; ②若log log a a M N =则M N =; ③若2 2 log log a a M N =则M N =; ④若M N =则2 2 log log a a M N =。 A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 3、设集合2 {|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈,则S T 是 ( ) A 、? B 、T C 、S D 、有限集 4、函数22log (1)y x x =+≥的值域为( ) A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞ 5、设 1.5 0.90.48 12314,8 ,2y y y -??=== ? ?? ,则( ) A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、123y y y >> 6、在(2)log (5)a b a -=-中,实数a 的取值范围是( ) A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 7、计算()()2 2 lg 2lg 52lg 2lg 5++?等于( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 8、已知3log 2a =,那么33log 82log 6-用a 表示是( ) A 、52a - B 、2a - C 、2 3(1)a a -+ D 、2 31a a -- 9、若210 25x =,则10x -等于( ) A 、15 B 、15- C 、150 D 、1625 指数函数和对数函数 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==,l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01 且。 因为若a <0时,()y x =-4,当x = 1 4 时,函数值不存在。 a =0 ,y x =0,当x ≤0,函数值不存在。 a =1 时,y x =1对一切x 虽有意义,函数值恒为1,但y x =1的反函数不存在, 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ???=212 10,, 的图象的认识。 图象特征与函数性质: 图象特征 函数性质 (1)图象都位于x 轴上方; (1)x 取任何实数值时,都有a x >0; (2)图象都经过点(0,1); (2)无论a 取任何正数,x =0时,y =1; (3)y y x x ==210,在第一象限内的纵坐标都大于1,在第二象限内的纵坐标都小于1,y x =?? ? ? ?12的图象正好相反; (3)当a >1时,x a x a x x >><????0101, 则,则 当01<<<>?????0101, 则, 则 (4)y y x x ==210,的图象自左到右逐渐(4)当a >1时,y a x =是增函数, 指数函数与对数函数检测题 一、选择题: 1、已知(10)x f x =,则(5)f =( ) A 、510 B 、105 C 、lg10 D 、lg 5 2、对于0,1a a >≠,下列说法中,正确的是( ) ①若M N =则log log a a M N =;②若log log a a M N =则M N =; ③若22log log a a M N =则M N =;④若M N =则22 log log a a M N =。 A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 3、设集合2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈,则S T 是 ( ) A 、?B 、T C 、S D 、有限集 4、函数22log (1)y x x =+≥的值域为( ) A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞ 5、设 1.5 0.90.4812314,8,2y y y -?? === ???,则( ) A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、123y y y >> 6、在(2)log (5)a b a -=-中,实数a 的取值X 围是( ) A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 7、计算()()22lg 2lg52lg 2lg5++?等于( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 8、已知3log 2a =,那么33log 82log 6-用a 表示是( ) A 、52a - B 、2a - C 、23(1)a a -+ D 、231a a -- 9、若21025x =,则10x -等于( ) 指数函数和对数函数 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数 y a x ,y log a x 在 a 1及 0 a 1两种不同情况。 1、指数函数: y x 且a 叫指数函数。 定义:函数 aa 0 1 定义域为 R ,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数 y a x 中的 a 必须 a 0且a 1 。 因为若 a 0时, y 4 x ,当 x 1 时,函数值不存在。 4 a 0 , y 0x ,当 x 0 ,函数值不存在。 a 时, y 1 x x 虽有意义,函数值恒为 1,但 1 对一切 y 1x 的反函数不存在, 因 为 要 求 函 数 y a x 中 的 a 0且 a 1 。 x 1、对三个指数函数 y 2 x , y 1 ,y 10x 的图象的 2 认识。 图象特征与函数性质: 图象特征 函数性质 ( 1)图象都位于 x 轴上方; ( 1) x 取任何实数值时,都有 a x 0 ; 2 0 1 ); ( 2)无论 a 取任何正数, x 0 时, y 1 ; ( )图象都经过点( , ( 3) y 2x , y 10 x 在第一象限内的纵坐 ( 3)当 a x 0,则 a x 1 1 时, 0,则 a x 1 标都大于 1,在第二象限内的纵坐标都小于 1, x 1 y 2 x x 0,则 a x 1 当 0 的图象正好相反; a 1时, 0,则 a x 1 x ( 4) y 2x , y 10 x 的图象自左到右逐渐 ( 4)当 a 1 时, y a x 是增函数, 指数函数和对数函数 知识点总结 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N * . 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。 当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.正数的分数指数幂,规定: 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质),,0(R s r a ∈> (1)r a ·s r r a a += ;(2)rs s r a a =)( ;(3) s r r a a ab =)( (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自 变量,函数的定义域为R . 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 做以.a 为底..N 的对数,记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 说明: ○1 注意底数的限制0>a ,且a x N a =?log ;③注意对数的书 写格式. N a log 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 2、对数的运算性质:如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○1 M a (log ·=)N M a log +N a log ; ○ 2 =N M a log M a log -N a log ;③n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式a b b c c a log log log =(0>a ,且1≠a ;0>c ,且 1≠c ;0>b ) . 利用换底公式推导下面的结论 (1)b m n b a n a m log log = ; (2)a b b a log 1log =. 3、对数函数的概念:函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 叫做对数函数,其中x 是自变量, 指数函数与对数函数总结 一、 [知识要点]: x a log x 定义 图象 定义域 值域 性质 奇偶性 单 调 性 过定 点 值的分布 最值 y =a x (a>0且a ≠1) 叫指数函数 a>1 (-∞,+ ∞) (0,+∞) 非奇 非偶 增 函数 (0,1) 即a 0 =1 x>0时y>1;0 指数函数和对数函数的重点知识 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==,log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时,()y x =-4,当x = 1 4 时,函数值不存在。 a =0,y x =0,当x ≤0,函数值不存在。 a =1时,y x =1对一切x 虽有意义,函数值恒为 1,但y x =1的反函数不存在, 因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ?? ?=21210 ,,的图象的认识。 图象特征 函数性质 (1)图象都位于x 轴上方; (1)x 取任何实数值时,都有a x >0; (2)图象都经过点(0,1); (2)无论a 取任何正数,x =0时,y =1; (3)y y x x ==210,在第一象限内的纵坐 标都大于1,在第二象限内的纵坐标都小于1,y x =?? ???12的图象正好相反; (3)当a >1时,x a x a x x >><????01 01 ,则,则 当01<<<>?????0101 ,则,则 (4)y y x x ==210,的图象自左到右逐渐上升,y x =?? ? ? ?12的图象逐渐下降。 (4)当a >1时,y a x =是增函数, 当01< 2019年高中数学单元测试试题 指数函数和对数函数 (含答案) 学校: __________ 第I 卷(选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题 1.若函数f(x)=21 2 log ,0,log (),0x x x x >?? ?-?,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是( ) (A )(-1,0)∪(0,1) (B )(-∞,-1)∪(1,+∞) (C )(-1,0)∪(1,+∞) (D )(-∞,-1)∪(0,1)(2010天津理8) 2.若点(),a b 在lg y x =图象上,1a ≠,则下列点也在此图象上的是( ) (A )1,b a ?? ??? (B )()10,1a b - (C )10,1b a ?? + ??? (D ))2,(2b a (2011安徽文5) 3.对实数a 与b ,定义新运算“?”:,1, , 1.a a b a b b a b -≤??=? ->? 设函数 ()()22()2,.f x x x x x R =-?-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点,则 实数c 的取值范围是( )(2011年高考天津卷理科8) A .(]3,21, 2? ?-∞-?- ??? B .(]3,21,4? ?-∞-?-- ??? C .11,,44???? -∞?+∞ ? ????? D. 4 . 已 知 0, a a >≠,则 l a a 等于 ( ) A .2 B . 1 2 C . D .与a 的具体数值有关 5.若函数()|21|x f x =-,当a b c <<时,有()()()f a f c f b >>,则下列各式中正确的是( ) A.22a c > B.22a b > C.222a c +< D.2 2a c -< 第II 卷(非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 6.方程lg(42)lg 2lg3x x +=+的解x = . 7.函数x y a log =和)1,0(log 1≠>=a a x y a 的图象关于 对称. 8.3)72.0(-与3)75.0(-的大小关系为_____________ 9.比较下列各组值的大小; (1)3 .02 2,3.0; (2)5 25 2529.1,8.3,1.4- . 10.函数)0(1 21 )(≠+-= x a x f x 是奇函数,则a = . 311,,44???? --?+∞ ?? ????? 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 知识点一:反函数 1.已知函数y =f(x)有反函数,则方程f(x)=0的根的情况是 A .有且仅有一个实根 B .至少有一个实根 C .至多有一个实根 D .0个,1个或1个以上根 2.若函数y =f(x)的反函数是y =g(x),f(a)=b ,ab≠0,则g(b)等于 A .a B .a -1 C .b D .b -1 3.若函数f(x)的图象上有一点(0,1),则其反函数f -1 (x)上一定存在点 A .(0,1) B .(1,0) C .(0,0) D .不能确定 4.已知函数y =2x -a 的反函数是y =bx +3,则a =__________,b =__________. 5.函数y =3x (0指数函数与对数函数高考题
3.2.3指数函数与对数函数的关系教案
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