高中数学第二章知识点总结

高中数学必修2知识点总结

立体几何初步

特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'

h 为斜高，l 为母线）

ch

S =直棱柱侧面积

'21ch S =

正棱锥侧面积 ')(2121h c c S +=正棱台侧面积

rh

S π2=圆柱侧

()

l r r S +=π2圆柱表

rl

S π=圆锥侧面积

()l r r S +=π圆锥表

l

R r S π)(+=圆台侧面积

()2

2R Rl rl r S +++=π圆台表

柱体、锥体、台体的体积公式

V Sh

=柱 13V Sh =锥

'1()3V S S h =+台

2V Sh r h π==圆柱 h r V 231π=圆锥

'2211

()()33V S S h r rR R h

π=+=++圆台

（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343

R π ； S 球面=2

4R π

第二章 直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1

2 三个公理：

（1

符号表示为

A ∈L

B ∈

L => L α A ∈α B ∈α

公理1作用：判断直线是否在平面内.

（2符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α

，

使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3公理1 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线

a ∥

b

c ∥b

L

A ·

α C ·

B

·

A · α =>a ∥c

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

4 注意点：

① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；

④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 ——

有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a ∩α=A a ∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定

1简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示：

a α

b β

=> a ∥α

a ∥b

2.2.2 平面与平面平行的判定

1

符号表示：

a β

b β

a ∩

b = P β∥α a ∥α b ∥α

2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理；

（32.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1简记为：线面平行则线线平行。

2

符号表示：

a ∥α

a β a ∥

b α∩β= b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2符号表示：

α∥β

α∩γ= a a ∥b β∩γ= b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定

1、定义：如果直线L 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面α互相垂直，记作L ⊥α，直线L 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。

2注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A

梭 l β

B

α

2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β

32.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质

1

2（1）直线的倾斜角

定义：x 轴正向与直线向上方向特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为

0（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用反映直线与轴的倾斜程度。

当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当[

)

90,0∈α时，0≥k ； 当()

180,90∈α时，0

90=α时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211

21

2x x x x y y k ≠--=

（ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）

注意下面四点：(1)当21

x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

1当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所

注意：1各式的适用范围 2特殊的方程如：

（7）两条直线的交点

0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交

交点坐标即方程组??

?=++=++0

0222

111C y B x A C y B

x A 的一组解。 方程组无解//l l ? ；

方程组有无数解?1l 与2l 重合 （82y ）

是平面直角坐标系中的两个点，

（9一点)00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l

（10已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：

01=++C By Ax ，

2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 第四章 圆与方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2（1

点00(,)M x y 与圆2

22()

()x a y b r -+-=的位置关系：

当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当220

0()()x a y b -+-<2r ，点在圆内

（2当04>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为?

?

? ?

?--2,2

E D ，半径为F

E D r 42

122-+=

当0422

=-+F E D

时，表示一个点；

当042

2<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：

（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 则有相离与C l r d

?>；相切与C l r d ?=；相交与C l r d ?<

（2）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k k ，得到方程【一定两解】

(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。 设圆()()22

12

11:r b y a x C =-+-，()()2

22222:R b y a x C =-+-

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。 当r R d

+>时两圆外离，此时有公切线四条；

当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；

圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

第一章 空间几何体题

一、选择题

1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．

主视图 左视图 俯视图 (第1题)

A ．棱台

B ．棱锥

C ．棱柱

D ．正八面体

2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )．

A ．2＋

2

B ．

2

2

1＋ C ．

2

2

＋2

D ．2＋1

3．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )． A ．3

B ．23

C ．33

D ．43

4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )． A ．25π

B ．50π

C ．125π

D ．都不对

5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A ．3∶1

B ．3∶2

C ．2∶3

D ．3∶3

6．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )． A ．

2

9

π B ．

2

7

π C ．

2

5

π D ．

2

3π 7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )． A ．130

B ．140

C ．150

D ．160

8．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2

3

，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )．

A ．

2

9 B ．5 C ．6

D ．

2

15 9．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同 C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D ．水平放置的圆的直观图是椭圆

10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．

(第8题)

(第10题)

二、填空题

11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．

13．正方体ABCD－A1B1C1D1 中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－AB1D1的体积为_____________．

14．如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________．

(第14题)

15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________．

16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．三、解答题

17．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm和40 cm，求它的深度．

18 *．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[提示：过正方体的对角面作截面]

19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．

(第19题)

20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．

(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；

(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；

(3)哪个方案更经济些？

第二章 点、直线、平面之间的位置关系A 组

一、选择题

1．设 α，β为两个不同的平面，l ，m 为两条不同的直线，且l ?α，m ?β，有如下的两个命题：①若 α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则 α⊥β．那么( )．

A ．①是真命题，②是假命题

B ．①是假命题，②是真命题

C ．①②都是真命题

D ．①②都是假命题 2．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( )． A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1

D ．异面直线AD 与CB 1角为60°

3．关于直线m ，n 与平面 α，β，有下列四个命题： ①m ∥α，n ∥β 且 α∥β，则m ∥n ； ②m ⊥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ⊥n ； ③m ⊥α，n ∥β 且 α∥β，则m ⊥n ；

④m ∥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ∥n ．

其中真命题的序号是( )． A ．①②

B ．③④

C ．①④

D ．②③

4．给出下列四个命题：

①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行 ③若直线l 1，l 2与同一平面所成的角相等，则l 1，l 2互相平行 ④若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线 其中假．命题的个数是( )．A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

5．下列命题中正确的个数是( )．

①若直线l 上有无数个点不在平面 α 内，则l ∥α

②若直线l 与平面 α 平行，则l 与平面 α 内的任意一条直线都平行

③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行 ④若直线l 与平面 α 平行，则l 与平面 α 内的任意一条直线都没有公共点 A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

6． 两直线l 1与l 2异面，过l 1作平面与l 2平行，这样的平面( )． A ．不存在

B ．有唯一的一个

C ．有无数个

D ．只有两个

7．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为( )．

A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

8．下列说法中不正确的．．．．

是( )． (第2题)

A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形

B ．同一平面的两条垂线一定共面

C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内

D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 9．给出以下四个命题：

①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行 ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直 其中真命题的个数是( )． A ．4 B ．3

C ．2

D ．1

10．异面直线a ，b 所成的角60°，直线a ⊥c ，则直线b 与c 所成的角的范围为( )． A ．[30°，90°] B ．[60°，90°] C ．[30°，60°] D ．[30°，120°]

二、填空题

11．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱P A ，PB ，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，则这个三棱锥的体积为 ．

12．P 是△ABC 所在平面 α 外一点，过P 作PO ⊥平面 α，垂足是O ，连P A ，PB ，PC ． (1)若P A ＝PB ＝PC ，则O 为△ABC 的 心； (2)P A ⊥PB ，P A ⊥PC ，PC ⊥PB ，则O 是△ABC 的 心；

(3)若点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等，则O 是△ABC 的 心； (4)若P A ＝PB ＝PC ，∠C ＝90o，则O 是AB 边的 点； (5)若P A ＝PB ＝PC ，AB ＝AC ，则点O 在△ABC 的 线上． 13．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所

成角的度数为 ．

与l 所成角的取14．直线l 与平面 α 所成角为30°，l ∩α＝A ，直线m ∈α，则m 值范围是 ．

15．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为 ．

16．直二面角 α－l －β 的棱上有一点A ，在平面 α，β 内各有一条射线AB ，AC 与l 成45°，AB ?α，AC ?β，则∠BAC

J

(第13题)

＝ ．

三、解答题

17．在四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形． (1)求证：BC ⊥AD ；

(2)若点D 到平面ABC 的距离等于3，求二面角A －BC －D 的正弦值； (3)设二面角A －BC －D 的大小为 θ，猜想 θ 为何值时，四面体A －BCD 的体积

最大．(不要求证明)

18． 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点，连结ED ，EC ，EB 和DB ． (1)求证：平面EDB ⊥平面EBC ； (2)求二面角E －DB －C 的正切值.

19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， SA ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝１，AD ＝

2

1． (1)求四棱锥S —ABCD

的体积；

(2)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． (提示：延长 BA ，CD 相交于点 E ，则直线 SE 是 所求二面角的棱.)

20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积．(提示：在 AA 1

上取

(第18题)

(第17题)

一点 P ，过 P 作棱柱的截面，使 AA 1 垂直于这个截面.)

(第20题)

第三章 直线与方程 A 组

一、选择题

1．若直线x ＝1的倾斜角为 α，则 α( )． A ．等于0

B ．等于π

C ．等于

2

π D ．不存在

2．图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )． A ．k 1＜k 2＜k 3

B ．k 3＜k 1＜k 2

C ．k 3＜k 2＜k 1

D ．k 1＜k 3＜k 2

3．已知直线l 1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)、(x ，6)，且l 1∥l 2，则x ＝( )． A ．2

B ．－2

C ．4

D ．1

4．已知直线l 与过点M (－3，2)，N (2，－3)的直线垂直，则直线l 的倾斜角是( )． A ．

3

π B ．

3

2π C ．

4

π D ．

4

3π 5．如果AC ＜0，且BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )． A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

6．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )．

A ．x ＋y －5＝0

B ．2x －y －1＝0

C ．2y －x －4＝0

D ．2x ＋y －7＝0

7．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )． A ．19x －9y ＝0

B ．9x ＋19y ＝0

C ．19x －3y ＝ 0

D ．3x ＋19y ＝0

8．直线l 1：x ＋a 2y ＋6＝0和直线l 2 : (a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0没有公共点，则a 的值是( )． A ．3

B ．－3

C ．1

D ．－

1

(第2题)

9．将直线l 沿y 轴的负方向平移a (a ＞0)个单位，再沿x 轴正方向平移a ＋1个单位得直线l'，此时直线l' 与l 重合，则直线l' 的斜率为( )．

A ．

1

＋a a

B ．1

＋－

a a C ．

a

a 1

＋

D ．a

a 1

＋－

10．点(4，0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点是( )． A ．(－6，8)

B ．(－8，－6)

C ．(6，8)

D ．(－6，－8)

二、填空题

11．已知直线l 1的倾斜角 1＝15°，直线l 1与l 2的交点为A ，把直线l 2绕着点A 按逆时针方向旋转到和直线l 1重合时所转的最小正角为60°，则直线l 2的斜率k 2的值为 ．

12．若三点A (－2，3)，B (3，－2)，C (

2

1

，m )共线，则m 的值为 ． 13．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0，1)，B (1，0)，C (3，2)，求第四个顶点D 的坐标为 ． 14．求直线3x ＋ay ＝1的斜率 ．

15．已知点A (－2，1)，B (1，－2)，直线y ＝2上一点P ，使|AP |＝|BP |，则P 点坐标为 ． 16．与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是 ．

17．若一束光线沿着直线x －2y ＋5＝0射到x 轴上一点，经x 轴反射后其反射线所在直线的方程是 ． 三、解答题

18．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6(m ∈R ，m ≠－1)，根据下列条件分别求m 的值： ①l 在x 轴上的截距是－3；

②斜率为1．

19．已知△ABC 的三顶点是A (－1，－1)，B (3，1)，C (1，6)．直线l 平行于AB ，交AC ，BC 分别于E ，F ，△CEF 的面积是△CAB 面积的

4

1

．求直线l 的方程．

20．一直线被两直线l 1：4x ＋y ＋6＝0，l 2：3x －5y －6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程．

.

21．直线l过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．

第四章圆与方程

一、选择题

1．若圆C的圆心坐标为(2，－3)，且圆C经过点M(5，－7)，则圆C的半径为()．

A．5B．5 C．25 D．10

2．过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()．

A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 3．以点(－3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是()．

A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16 C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝19 4．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为()．

A．0或2 B．2 C．2D．无解

5．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝20在x轴上截得的弦长是()．

A．8 B．6 C．62D．43

6．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系为()．

A．内切B．相交C．外切D．相离

7．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是()．A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0

8．圆x2＋y2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的公切线有且仅有()．

A．4条B．3条C．2条D．1条

9．在空间直角坐标系中，已知点M(a，b，c)，有下列叙述：

点M关于x轴对称点的坐标是M1(a，－b，c)；点M关于y oz平面对称的点的坐标是M2(a，－b，－c)；

点M关于y轴对称的点的坐标是M3(a，－b，c)；点M关于原点对称的点的坐标是M4(－a，－b，－c)．其中正确的叙述的个数是()．

A．3 B．2 C．1 D．0

10．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(2，－1，6)的距离是()．

A．243B．221C．9 D．86

二、填空题

11．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为．

12．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1，0)的圆的方程为．

13．以点C(－2，3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是．

14．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，试确定常数a的值．

15．圆心为C(3，－5)，并且与直线x－7y＋2＝0相切的圆的方程为．

16．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3，1)，则直线AB的方程是．

三、解答题

17．求圆心在原点，且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．

18．求过原点，在x轴，y轴上截距分别为a，b的圆的方程(ab≠0)．

19．求经过A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．

20．求经过点(8，3)，并且和直线x ＝6与x ＝10都相切的圆的方程．

期末测试题

考试时间：90分钟 试卷满分：100分

一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．在直角坐标系中，已知A (－1，2)，B (3，0)，那么线段AB 中点的坐标为( )． A ．(2，2)

B ．(1，1)

C ．(－2，－2)

D ．(－1，－1)

2．右面三视图所表示的几何体是( )．

A ．三棱锥

B ．四棱锥

C ．五棱锥

D ．六棱锥

3．如果直线x ＋2y －1＝0和y ＝kx 互相平行，则实数k 的值为( )． A ．2

B ．

2

1 C ．－

2 D ．－

2

1 4．一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为( )． A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

5．下面图形中是正方体展开图的是( )．

A

正视图 侧视图

俯视图

(第2题)

B C D (第5题)

6．圆x 2＋y 2－2x －4y －4＝0的圆心坐标是( )． A ．(－2，4)

B ．(2，－4)

C ．(－1，2)

D ．(1，2)

7．直线y ＝2x ＋1关于y 轴对称的直线方程为( )． A ．y ＝－2x ＋1

B ．y ＝2x －1

C ．y ＝－2x －1

D ．y ＝－x －1

8．已知两条相交直线a ，b ，a ∥平面 α，则b 与 α 的位置关系是( )． A ．b ?平面α

B ．b ⊥平面α

C ．b ∥平面α

D ．b 与平面α相交，或b ∥平面α

9．在空间中，a ，b 是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列条件中可推出a ∥b 的是( )． A ．a ?α，b ?β，α∥β

B ．a ∥α，b ?β

C ．a ⊥α，b ⊥α

D ．a ⊥α，b ?α

10． 圆x 2＋y 2＝1和圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0的位置关系是( )． A ．外切

B ．内切

C ．外离

D ．内含

11．如图，正方体ABCD —A'B'C'D'中，直线D'A 与DB 所成的角可以表示为

( )．

A ．∠D'D

B B ．∠AD' C'

C ．∠ADB

D ．∠DBC'

12． 圆(x －1)2＋(y －1)2＝2被x 轴截得的弦长等于( )． A ． 1

B ．

2

3

C ． 2

D ． 3

13．如图，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形

A 1

B 1

C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是( )．

A ．CC 1与

B 1E 是异面直线 B ．A

C ⊥平面A 1B 1BA

C ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1

D ．A 1C 1∥平面AB 1E

14．有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4 cm ，高为12 cm ．现要为100个这种相同规格的笔筒涂色(笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计)． 如果每0.5 kg 涂料可以涂1 m 2，那么为这批笔筒涂色约需涂料．

A ．1.23 kg

B ．1.76 kg

C ．2.46 kg

D ．3.52 kg

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 15．坐标原点到直线4x ＋3y －12＝0的距离为 ．

C

B

A

D A ' B '

C '

D ' (第11题)

A 1

B 1

C 1

A

B

E

C

(第13题)

16．以点A (2，0)为圆心，且经过点B (－1，1)的圆的方程是 ．

17．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1——ABCD 的体积与

长方体的体积之比为_______________．

18．在平面几何中，有如下结论：三边相等的三角形内任意一点

到三边

的距离之和为定值．拓展到空间，类比平面几何的上述结论，可得：四个面均为等边三角形的四面体内任意一点_______________________________________．

三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．已知直线l 经过点(0，－2)，其倾斜角是60°． (1)求直线l 的方程；

(2)求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积．

20．如图，在三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ， AB ⊥BC ，D ，E 分别是AB ，PB 的中点．

(1)求证：DE ∥平面P AC ； (2)求证：AB ⊥PB ；

(3)若PC ＝BC ，求二面角P —AB —C 的大小．

21．已知半径为5的圆C 的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切． (1)求圆C 的方程；

(2)设直线ax －y ＋5＝0与圆C 相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；

(3) 在(2)的条件下，是否存在实数a ，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．

A

B

C D

D 1

C 1

B 1

A 1

(第17题)

A

C

P

B

D

E

(第20题)

期末测试题 参考答案

一、选择题

1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．D 7．A 8．D 9．C 10．A

11．D

12．C

13．C

14．D

二、填空题 15．

5

12． 16．(x －2)2＋y 2＝10． 17．1:3．

18．到四个面的距离之和为定值． 三、解答题

19．解：(1)因为直线l 的倾斜角的大小为60°,故其斜率为tan 60°＝3，又直线l 经过点(0，－2)，所以其方程为3x －y －2＝0．

(2)由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是

3

2，－2，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S ＝

21·3

2

·2＝

3

3

2．

20．(1)证明：因为D ，E 分别是AB ，PB 的中点，

所以DE ∥P A ．

因为P A ?平面P AC ，且DE ?平面P AC ， 所以DE ∥平面P AC ．

(2)因为PC ⊥平面ABC ，且AB ?平面ABC ，

所以AB ⊥PC ．又因为AB ⊥BC ，且PC ∩BC ＝C ． 所以AB ⊥平面PBC ． 又因为PB ?平面PBC ，

所以AB ⊥PB ． (3)由(2)知，PB ⊥AB ，BC ⊥AB ，

A

C

P

B

D

E

(第20题)

所以，∠PBC 为二面角P —AB —C 的平面角． 因为PC ＝BC ，∠PCB ＝90°， 所以∠PBC ＝45°，

所以二面角P —AB —C 的大小为45°． 21．解：(1)设圆心为M (m ，0)(m ∈Z )．

由于圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且半径为5，所以，5

294 m ＝5，

即|4m －29|＝25． 因为m 为整数，故m ＝1．

故所求的圆的方程是(x －1)2＋y 2＝25．

(2)直线ax －y ＋5＝0即y ＝ax ＋5．代入圆的方程，消去y 整理，得 (a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0．

由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点，故△＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)＞0， 即12a 2－5a ＞0，解得a ＜0，或a ＞

12

5． 所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(

12

5

，＋∞)． (3)设符合条件的实数a 存在，由(2)得a ≠0，则直线l 的斜率为－

a 1，l 的方程为y ＝－a

1

(x ＋2)＋4， 即x ＋ay ＋2－4a ＝0．由于l 垂直平分弦AB ，故圆心M (1，0)必在l 上．所以1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝43．由于43∈(12

5

，＋∞)，故存在实数a ＝

4

3

，使得过点 P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB ．

第一章 空间几何体参考答案A 组

一、选择题 1．A

解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台．

2．A 解析：原图形为一直角梯形，其面积S ＝

2

1

(1＋2＋1)×2＝2＋2． 3．A 解析：因为四个面是全等的正三角形，则S 表面＝4×4

3

＝3． 4．B 解析：长方体的对角线是球的直径， l ＝2225＋4＋3＝52，2R ＝52，R ＝

2

2

5，S ＝4πR 2＝50π． 5．C 解析：正方体的对角线是外接球的直径．