数列极限的几种求法
数列极限的几种求法
摘要本文通过实例，归纳总结了数列极限的若干种求法．学习并掌握这些方法，对于学好数学分析颇有益处．
关键词数列极限；级数；定积分；重要极限；单调有界数列
中图分类号Ｏ171
Several Methods of Sequence limit
Abstract：Through examples，summarized several series method for finding the limit．Learn and master these methods，mathematical analysis is quite good for studying．
Keywords：Sequence limit；Series；Definite integral；Important limit；Monotone bounded sequence
１引言
极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态．
极限的概念，可追溯到古希腊时代，德谟克里特（Democritus）是古希腊的哲学家，他博学多才，著作多到五六十种，涉及哲学、数学、天文、生物、医学、逻辑、教育与文学艺术等方面．年轻时他花尽了父亲给他的全部财产到埃及、巴比伦、印度等国家游历，获得了大量的科学知识．马克思、恩格斯称他为“经验的自然科学家和希腊人第一百个百科全书式的学者”．谟克里特以探求真理为最大快乐，他有句名言：“宁可找到一个因果的解释，不愿获得一个波斯王位．”在他的著作中有一种原子法，把物体看作是由大量微小部分叠和而成，利用这一理论，求得锥体体积是等于等高柱体体积的三分之一，这是极限思想的萌芽．公元前五世纪，希腊数学家安提丰（Antiphon）在研究化圆为方问题时创立了割圆术，即从一个简单的圆内接正多边形出发，把每边所对的圆弧二等分，连结分点，得到一个边数加倍的圆内接正多边形，当重复这一步骤多次时，所得圆内接正多边形面积之差将小于任何给定的限度．实际上，安提丰认为圆内接正多边形与圆最终将会重合．稍后，另一位希腊数学家布里松(Bryson)考虑了用圆的外切正多边形逼近圆的类似步骤．这种以直线形逼近曲边形的过程表明，当时的希腊数学家已经产生了初步的极限思想．公元前４世纪，欧多克索斯(Eudoxus)将上述过程发展为处理面积、体积等问题的一般方法，称为穷竭法，并发展为较为严格的理论，提出现在分析中通称的“阿基米德公理”．穷竭法成功地运用于面积的计算．这些都可以看作是近代极限理论的雏形．
朴素的、直观的极限思想在我国古代的文献中也有记载．如，中国古代的《墨
经》中载有“穷，或有前，不容尺也”，《庄子·天下》中载有“一尺之棰啊，日取其半，万世不竭”．公元３世纪的中国数学家刘徽所创的割圆术，从圆内接正六边形出发割圆，得到圆内接6*2n 边形序列，并指出割得越细，正多边形的面积与圆面积之差就越小，“之又割，以至于不可割．则与圆和体，面无所失矣”……，其中包括了深刻的极限思想． ２ 基本概念
定义１ 若函数f 的定义域为全体正正数集合N +，则称
:f N R +→ 或 (),f n n N +∈
为数列．因正整数集N +的元素可由小到大的顺序排列，故数列()f n 也可写作
12,,,,,n a a a ??????
或简单地记为{}n a ，其中n a 称为该数列的通项．
定义２ 设{}n a 为一数列，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正整数N ，使得当n N <时，不等式n a a ε-<都成立，那么就称常数a 是数列{}n a 的极限，或者称数列{}n a 收敛于a ，记为lim n n a a →∞
=或
()n a a n →→∞．
若数列{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛，或称{}n a 为发散数列．
３ 数列极限的几种求法
极限论包括数列极限和函数极限两类，其中计算数列极限有着多种多样的方法，除了要熟练运用极限的四则运算法则，极限和无穷小量之间的关系和初等函数的连续性以外，还要掌握和应用更多的方法和技巧．在这里，主要总结了以下几种方法：（１）四则运算法；（２）变量替换法；（３）初等变形法；（４）利用重要极限求数列极限；（５）单调有界数列法；（６）利用定积分求数列极限；（７）利用两边夹定理法；（８）级数法．下面通过实例讲述数列极限的若干种求法．
（１）用四则运算法则求极限
定理 若{}n a 与{}n b 为收敛数列，则{}n n a b +，{}n n a b -，{}n n a b ? 也都是
收敛数列，且有 ()l i m l i m l i m n n n n
n n n
a b a b →∞→∞
→∞
±=
±
，
()lim lim lim n n n n n n n a b a b →∞
→∞
→∞
?=?．
例１
求n ．
解
=
=
()111,n n +→→∞．
得
1
lim
2n n ==． （２）用变量替换求极限
有时候，为了将已知的极限化简，转化成为已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程．
例２ 设11n a -<<
，)1,2,n a n =
=??? 求(i) ()lim 41n n n a →∞
-；
(ii) ()12lim n n a a a →∞
????．
解 可令()0cos ,0,a ααπ=∈，则
1cos 2
a α
=
==． ()cos
,1,2,2n n
a n α
==???．
于是
（i ） ()22011lim 41cos lim 24arccos 222n n n n n a αα→∞→∞?
?-=?== ???．
（ii ） ()122lim lim cos cos cos 222n n n n a a a ααα→∞→∞?
?????=???? ??
?
2c o s c o s c o s s i n
2222l i m s i n 2n n n n ααααα→∞?
?????? ?= ? ???
01
s i n s i n 2l i m s i n 2
n n n
αααα→∞===
（３）运用初等变形求极限
对于某些较繁的数列{}n a ，可用初等数学的方法将其变形，转化为一个简单的数列，然后再对之求极限．
例３ 求极限222111lim 11123n n →∞
?
?????--???- ??? ???????．
解 因为22211111123n ?
?????--???- ??? ???????
13251
12233n n n n -+??=????????? ???．
∴ 222111lim 11123n n →∞
?
?????--???- ??? ???????
111
l i m 22
n n n →∞+=?
=． （４）利用重要极限求数列极限
两个重要极限分别为（i ）0sin lim
1x x
x
→=； （ii ）1lim 1n
n e n →∞
??
+= ???
．
例４ 求()20
lim 1x
x x →+．
解 ()
()()211
20
lim 1lim 11x
x x x x x x x e →→??
+=+?+=????
． （５）利用单调有界数列法求极限
这一方法是利用极限理论基本定理：单调有界数列必有极限，其方法为：①判定数列是单调有界的，从而可设其极限为A ；②建立数列相邻两项之间的关系式；③在关系式两端取极限，得到一个关于A 的方程，若能解出A ，问题得解．
例５ ??????，其中()0a >的极限．
解 设)011,0,1,2,n x x x n +===???==???． 则{}n x 是单调有界数列，它要有极限，设其极限为A ．
在1n x +=
A =20A A a --=．
所以
12
A ±
=
． 因为0A >
，所以12A +=
，即1lim 2
n n x →∞+=．
（６）利用定积分求数列极限
若一个数列{}n a 是一个和式的形式，且每一项可提出一个
1
n
或其他形式的代数式，提出这些代数式后，剩下的可表示为一个通式，则可方便的用定积分法求解．
例６
求1lim n n →∞???+． 解
原式1
1
01lim n n i n →∞===
1
1
2
x
dx ππ
===
．
（７）利用两边夹定理求数列极限
当一数列极限不易直接求出时，可考虑将求极限的数列作适当的放大和缩小，使放大、缩小所得的新数列易于求极限，且两端的极限值相等，则原数列的极限值存在，且等于它们的公共值．
例７ 求22212lim 12n n n n n n n n n →∞??
++???+ ?++++++??
． 解 因为
()()
2222
112121222n n n n n n n n n n n n n n n n +++???+++???+≥=+++++++++，
()()22222
1121212121n n n n
n n n n n n n n n n n +++???+++???+≤=++++++++++． 又因为 ()()()()
2111
lim
lim 22221n n n n n n n n n n →∞→∞++==+++．
所以 22
2
12
1l i m 12
2
n n n n n n n n
n →∞?
?
+
+???+= ?++++++?
?． （８）用级数展开式求数列极限
级数是一个无穷序列和的形式，其部分和就是一个序列．有时为了方便可将数列极限看作是某个级数的部分和，这样能更方便、更简捷的求出数列的极限．
例８ 计算21lim 1sin n n n n →∞?
?- ??
?．
解 由泰勒公式知：()()3
3sin ,3!
x x x o x x =-+→∞．
令1x n =
得，()()2111sin 1,3!n n O n n ?
?-=+→∞ ??
?． 则211lim 1sin 6n n n n →∞?
?-= ??
?为所求． 总之，极限的求法很多，但如果在解题过程中能根据算式的特点注意使用适当的解题方法，则可以化难为易，使问题得到圆满解决，并可提高解题效率．
参 考 文 献
[1]华东师范大学数学系．数学分析（上册，第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，2006． [2]黄丹妹．试论极限的计算方法数列篇［Ｊ］．福建：福建省侨兴轻工学．2005(07)：18-20． [3]魏立明．一类数列极限求法的研究［Ｊ］．广西贺洲．梧州师范高等专科学校．2004(11)：75-77．
[4]裴礼文．数学分析中的典型问题与方法［Ｍ］．北京：高等教育出版社，1993． [5]孙 涛．数学分析经典习题解析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，2004． [6]陈文灯．数学复习指南［Ｍ］．北京：世界图书出版社，2005． [7]蔡子华．考研复习大全［Ｍ］．北京：现代出版社，2004．
数列的极限、数学归纳法
数列的极限、数学归纳法 一、知识要点 （一） 数列的极限 1.定义：对于无穷数列{a n }，若存在一个常数A ，无论预选指定多么小的正数ε，都能在数列中找到一项a N ，使得当n>N 时，|an-A|<ε恒成立，则称常数A 为数列{a n }的极限，记作 A a n n =∞ →lim . 2.运算法则：若lim n n a →∞ 、lim n n b →∞ 存在，则有 lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞ →∞ →∞ ±=±；lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞ →∞ →∞ ?=? )0lim (lim lim lim ≠=∞→∞ →∞→∞→n n n n n n n n n b b a b a 3.两种基本类型的极限：<1> S=?? ???-=>=<=∞ →)11() 1(1) 1(0lim a a a a a n n 或不存在 <2>设()f n 、()g n 分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别为p a 、 p b 且)(0)(N n n g ∈≠,则??? ????>=<=∞→)()() (0)()(lim q p q p b a q p n g n f q p n 不存在 4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：1 1a S q = - （|q|<1） 无穷数列{a n }的所有项和：lim n n S S →∞ = （当lim n n S →∞ 存在时） （二）数学归纳法 数学归纳法是证明与自然数n 有关命题的一种常用方法，其证题步骤为： ①验证命题对于第一个自然数0n n = 成立。 ②假设命题对n=k(k ≥0n )时成立,证明n=k+1时命题也成立. 则由①②,对于一切n ≥ 0n 的自然数,命题都成立。 二、例题（数学的极限）
专题12数列极限数学归纳法
专题三 函数 不等式 数列 极限 数学归纳法 一能力培养 1,归纳猜想证明 2,转化能力 3,运算能力 4,反思能力 二问题探讨 1 冋题1数列｛ a n ｝满足3] , a i a 2 2 问题2已知定义在R 上的函数f(x)和数列｛ a n ｝满足下列条件： a 1 a , a . f (a n 1) (n =2,3,4, ),a 2 印， f (a n ) f (a n 1) = k(a n a n 1) (n =2,3,4,),其中 a 为常数,k 为非零常数 (I) 令b n a n 1 a n ( n N )，证明数列｛b n ｝是等比数列； (II) 求数列｛ a n ｝的通项公式；(III)当k 1时，求 lim a n . n umv uuuv uuuv uuuv uuuiv uuv 问题3已知两点M ( 1,0) ,N (1,0),且点P 使MP MN , PM PN , NM NP 成公差小 于零的等差数列? uuuv uuuv (I)点P 的轨迹是什么曲线？ (II)若点P 坐标为(X g , y 。),记 为PM 与PN 的夹角，求tan 2 a n n a n ,(n N ). (I)求｛a n ｝的通项公式 (II)求丄 100n 的最小值； a n (III)设函数 f(n)是— 100n 与n 的最大者，求 f (n)的最小值.
三习题探讨 选择题 2 1数列｛a n ｝的通项公式a n n kn ,若此数列满足a n a n ,(n N ),则k 的取值范围是 A, k 2 B, k 2 C,k 3 D, k 3 2等差数列｛ a n ｝,｛ b n ｝的前n 项和分别为S n ,T n ,若」 --- ，贝V —= T n 3n 1 b n 2 2n 1 2n 1 2n 1 A,— B,- C,- D,- 3 3n 1 3n 1 3n 4 3已知三角形的三边构成等比数列 ，它们的公比为q ,则q 的取值范围是 若AF , BF , CF 成等差数列，则有 1 6在 ABC 中,ta nA 是以4为第三项,4为第七项的等差数列的公差，ta nB 是以-为 3 第三项,9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是 A,钝角三角形 B,锐角三角形 C,等腰直角三角形 D,以上都不对 填空 2m 项之和S 2m ___________________________________ 11等差数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项和且S 6 S 7，S 7 S 8,则①此数列的公差 d 0, 1苗 A, (0, 丁) B,(1 5 1 、5 1 、、 5 c,[1, 丁) D,( 1_5) 2 4在等差数列｛a n ｝中,a 1 8 B ,75 1 ，第10项开始比1大，记 25 t 色 25 4 C , 75 [ im A (a n n n _3 50 S n ) t ,则t 的取值范围是 4 D ,75 t 5o 5 设 A (x i , y i ),B (X 2, y 2),C (X 3, y 3)是椭圆 2 y b 2 1(a 0)上三个点 ,F 为焦点， A, 2X 2 X ] x 3 B,2y 2 y 1 y 3 2 C,— X 2 2 D, X X 1 X 3 X 1 X 3 7等差数列｛a n ｝前n (n 6)项和& 324，且前6项和为36,后6项和为180，则n 22 32 23 33 62 63 {a n }中』m(a 1 a ? 10 一个数列{a n },当n 为奇数时，a . 9在等比数列 2n 3n 6n ,则 lim S n 1 a n ) ，则a 1的取值范围是 ________________ 15 n 5n 1 ；当n 为偶数时，a n 22 .则这个数列的前
高等数学求极限的14种方法(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在： （1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 （5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （1）“0 0”“∞ ∞”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成
求数列极限的方法总结
求数列极限的方法总结 万学教育 海文考研 教学与研究中心 贺财宝 极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大.极限的计算是核心考点，考题所占比重最大.熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键. 极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数. 熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键, 极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算.以下我们就极限的内容简单总结下. 极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法. 四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限. 与极限计算相关知识点包括：1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验0()f x '存在的定义是极限000(+)-()lim x f x x f x x ???→ 存在；3、渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)；4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在. 下面我们重点讲一下数列极限的典型方法. 重要题型及点拨 1.求数列极限 求数列极限可以归纳为以下三种形式. ★抽象数列求极限 这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除. 此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证. ★求具体数列的极限,可以参考以下几种方法： a.利用单调有界必收敛准则求数列极限.
数列极限数学归纳法综合能力训练
1 mn 4(m n) mn 2(m n) 【综合能力训练】 一、选择题 1?数列｛a n ｝是等比数列，下列结论中正确的是（ ） A. a n ? a n+1 >0 B. a n ? a n+1 ? a n+2>0 C. a n ? a n+2 >0 D. a n ? a n+2 ? a n+4>0 2.在等比数列｛a n ｝中，a 1=sec 0 （ B 为锐角），且前n 项和S n 满足lim S n = ，那么B 的 n a 1 取值范围是（ ） A. （0, ） B. （0, ） C. （0, ） D. （0, 2 3 6 4 3.已知数列｛a n ｝中，a n =p^ （n € N ），则数列｛a n ｝的最大项是（ ） n 156 A.第12项 B.第13项 C.第 项或13 . D.不存在 4.三个数成等差数列，如果将最小数乘 2，最大数加上 7,所得三数之积为 1000,且成 等比数列，则原等差数列的公差一定是（ ) A.8 B.8 或—15 C. ± 8 D. ± 15 112 1 2 3 1 2 9 1 5.已知数列｛a n ｝： , + , + +-, + + …+ ” , ... 那么数列｛ 2 3 3 4 4 4 10 10 10 a n ?a n 1 的所有项的和为（ ) A.2 B.4 C.3 D.5 n 1 | n n 1 . n 6.已知a 、b € —?a -> lim n ，贝V a 的取值范围是（ ） n a n a A. a>1 B. — 1
高数求极限的16种方法(超经典)高彦辉总结
L .+'''+.+'''+. + 天天快乐+ '+. .+' "+.+" 爱 爱爱 爱祝爱 爱愿爱 爱你爱 爱永爱 爱远爱 爱被爱 爱爱爱 爱包爱 爱围爱 爱爱 爱爱 爱爱 爱 漂亮吧!送给你,希望你会幸福一生,梦想成真！ 高数中求极限的16种方法 假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。首先，对极限的总结如下: 极限的保号性很重要，就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。 1 .极限分为一般极限，数列极限（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2.解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？） 1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2 LHopital 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是X趋近而不是N 趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0LHopital 法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6夹逼定理（主要对付的是数列极限！） 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化10 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）11 还有个方法，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！x的x次方快于x！快于指数函数快于幂数函数 快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!!!!!当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换
数列极限求法及其应用-毕业论文
数 列 极 限 的 求 法 及 其 应 用 2012年 9 月 28 日
容提要 数列极限可用N ε-语言和A N -语言进行准确定义，本文主要讲述数列极限的不同求法，例如：极限定义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求法、函数极限法、定积分定义法、Stoltz 公式法、几何算术平均收敛公式法、级数法、收缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求. 最后我们还简要介绍了数列极限在现实生活中的应用，如几何中推算圆面积，求方程的数值解，研究市场经营的稳定性及购房按揭贷款分期偿还问题.通过这些应用使我们对数列极限有一个更系统立体的了解. 关键词 ε-定义；夹逼准则；Stoltz公式；函数极限 N
On the Solutions and the Applications as to the Sequence Limit Name: Yang NO. 07 The guidance of teachers: Dong Titles: Lecturer Abstract The limit of a sequence can be accurately defined by N ε-language and A N - language. This paper mainly describes different solutions to finding sequence limit, for example, definition of sequence limit method, fundamental operations of sequence limit method, squeezing law method, the monotone convergence theorem method, function limits method, definite integrals definition method, Stoltz formula method, geomeric and arithmetic convergence formula method, series method, contraction method, etc. We'll also find that different methods can be used to solve the same limit. Finally, we also briefly introduce the applications of sequence limit in real life, such as, infering the area of a circle in geometry, finding the numerial solution of equations, studying the stability of the market operation and the amortization problems of purchase mortgage loans.
新人教高考数学总复习专题训练数列极限和数学归纳法
新人教高考数学总复习专题训练数列极限和数学归 纳法 Last revision date: 13 December 2020.
数列、极限和数学归纳法 安徽理（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是____________ (11)15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n 项和. 【解析】由算法框图可知(1) 1232 k k T k +=++++=，若T ＝105，则 K ＝14，继续执行循环体，这时k ＝15，T >105，所以输出的k 值为15. （18）（本小题满分12分）在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1tan tan ,n n n b a a +=求数列{}n b 的前n 项和n S . （本小题满分13分）本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的 正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力. 解：（I ）设221,,,+n l l l 构成等比数列，其中,100,121==+n t t 则 ,2121++????=n n n t t t t T ①， ,1221t t t t T n n n ????=++ ② ①×②并利用得),21(1022131+≤≤==+-+n i t t t t n i n .1,2lg ,10)()()()()2(2122112212≥+==∴=????=+++++n n T a t t t t t t t t T n n n n n n n n （II ）由题意和（I ）中计算结果，知.1),3tan()2tan(≥+?+=n n n b n 另一方面，利用,tan )1tan(1tan )1tan())1tan((1tan k k k k k k ?++-+= -+= 得.11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=?+k k k k 所以∑∑+==?+==2 3 1tan )1tan(n k n k k n k k b S 23 tan(1)tan tan(3)tan 3( 1)tan1tan1 n k k k n n +=+-+-=-=-∑ 安徽文（7）若数列}{n a 的通项公式是()()n a n =-13-2,则a a a 1210++= （A ） 15 (B) 12 (C ) -12 (D) -15 （7）A 【命题意图】本题考查数列求和.属中等偏易题. 【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论； 法二：12349103a a a a a a +=+= =+=，故a a a 1210++ =3?5=15.故选A.
极限的常用求法及技巧.
极限的常用求法及技巧 引言 极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法,它是人们从有限认识无限，从近似认识精确,从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑,它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。 极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强,灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结, 我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限(定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限,x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍．我们在解决极限及相关问题时,可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解,尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三,触类旁通 。 1数列极限的常用求法及技巧 数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解．本章节就着重介绍数列极限的一些求法。 1.1利用定义求数列极限 利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。若对任给的正数N,使得n 大于N 时有 ε<-a a n 则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限,并记作,lim n a n a =∞ →或 )(,∞→∞→n a n
数列、极限、数学归纳法 归纳、猜想、证明 教案
数列、极限、数学归纳法·归纳、猜想、证明·教案 张毅 教学目标 1．对数学归纳法的认识不断深化． 2．帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维方法． 3．培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系．教学重点和难点 用不完全归纳法猜想出问题的结论，并用数学归纳法加以证明． 教学过程设计 （一）复习引入 师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法．请问：它适用于哪些问题的证明？ 生：与连续自然数n有关的命题． 师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？ 生：共有两个步骤： （1）证明当n取第一个值n0时结论正确； （2）假设当n=k（k∈N，且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确． 师：这两个步骤的作用是什么？ 生：第（1）步是一次验证，第（2）步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程． 师：这实质上是在说明这个证明具有递推性．第（1）步是递推的始点；第（2）步是递推的依据．递推是数学归纳法的核心．用数学归纳法证题时应注意什么？ 生：两个步骤缺一不可．证第（2）步时，必须用归纳假设．即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立．师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题． 今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题．请看例1． （二）归纳、猜想、证明 1．问题的提出 a3，a4，由此推测计算an的公式，然后用数学归纳法证明这个公式． 师：这个题目看起来庞大，其实它包括了计算、推测、证明三部分，我们可以先一部分、一部分地处理．（学生很快活跃起来，计算工作迅速完成，请一位同学口述他的计算过程，教师板演到黑板上） 师：正确．怎么推测an的计算公式呢？可以相互讨论一下．
求极限的方法及例题总结
1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→
课时考点数列极限数学归纳法
课时考点数列极限数学 归纳法 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
课时考点6 数列、极限、数学归纳法 考纲透析 考试大纲： 数学归纳法，数列的极限，函数的极限，极限的四则运算，函数的连续性。 高考热点： 数学归纳法，数列的极限 1专题知识整合 1.无穷递缩等比数列(q ?0,|q |<1)各项和1 1a S q = - 2.归纳法证猜想的结论，用数学归纳法证等式和不等式。 3.含有n 的无理式，如lim n →∞ 需分子有理化，转化为 0n = 4.指数型，如111lim n n n n n a b a b +++→∞-+，分子、分母同除以|a|n +1或|b|n +1转化为求lim n n q →∞ 热点题型1：数列与极限 样题1： (05全国卷II)已知{a n }是各项均为正数的等差数列，lga 1、lga 2、lga 4成等差数列．又21 n n b a = ，n=1,2，3，…． （Ⅰ）证明{b n }为等比数列； （Ⅱ）如果无穷等比数列{b n }各项的和1 3 S =，求数列{a n }的首项a 1和公差d ． （注：无穷数列各项的和即当n ??时数列前n 项和的极限） 解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，依题意，由 2142lg lg lg a a a =+ 得 2214a a a =
即)3()(1121d a a d a +=+，得d =0 或 d =a 1 因 1 221 +=+n n a a b b n n ∴ 当d =0时，{a n }为正的常数列 就有 11 221 ==++n n a a b b n n 当d =a 1时，1112112)12(,)12(1a a a a a a n n n n -+=-+=++,就有 1221+= +n n a a b b n n 2 1 = 于是数列{b n }是公比为1或 2 1 的等比数列 （Ⅱ）如果无穷等比数列{b n }的公比q =1，则当n →∞时其前n 项和的极限不存在。 因而d =a 1≠0，这时公比q =21，11 2b d = 这样{b n }的前n 项和为11[1()] 22112 n n d S -=- 则S=11[1()] 122lim lim 112 n n n n d S d →+∞→+∞-==- 由1 3 S =，得公差d =3，首项a 1=d =3 变式题型1 设数列{a n }是等差数列，a 1=1，其前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，b 2=4， 其前n 项和为T n . 又已知lim n →∞ T n =16,S 5=2T 2+1.求数列{a n }、{b n }的通项公式。 样题2： (05天津)已知：u n =a n +a n -1b+a n -2b 2+…+ab n -1+b n (n ?N*,a >0,b >0)。 （Ⅰ）当a = b 时，求数列{a n }的前n 项和S n ； （Ⅱ）求1 lim n n n u u →∞-。 解：（I ）当a = b 时，u n =(n+1)a n ，它的前n 项和 ()232341n n S a a a n a =+++++ ① ①两边同时乘以a ，得 ()23412341n n aS a a a n a +=+++ ++ ②
最新10.数学归纳法,数列极限
10.数学归纳法,数列 极限
第10讲数学归纳法、数列极限 一、知识要点 1.数学归纳法及其证明步骤 2.数列极限 3.数列极限的四则运算性质 4.无穷数列的各项和 二、经典例题 1.数学归纳法 例1.用数学归纳法证明: （1）?Skip Record If...? （2）设?Skip Record If...?，证明对一切?Skip Record If...?的自然数，等式 ?Skip Record If...?均成立 例2.?Skip Record If...?，用数学归纳法证明： （1）?Skip Record If...?能被13整除 （2）?Skip Record If...?能被9整除 例3.（1）数列?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?，猜想并证明?Skip Record If...?的一个通项公式 （2）数列?Skip Record If...?的前?Skip Record If...?项和为?Skip Record If...?， 当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?，求?Skip Record If...?，并求证 ?Skip Record If...?是等比数列
2.数列的极限 例4.求下列各个数列极限 （1）?Skip Record If...? （2）?Skip Record If...? （3）?Skip Record If...? 例5.求下列各个数列极限 （1）?Skip Record If...? （2）?Skip Record If...? 例6.求下列各个数列极限： （1）?Skip Record If...? （2）?Skip Record If...? 例7.计算：（1）?Skip Record If...? （2）?Skip Record If...? （3）?Skip Record If...? （4）?Skip Record If...?
第11讲 数列的极限与数学归纳法 教案
第十一讲 数列的极限与数学归纳法 教案 【考点简介】 1．数列极限与数学归纳法在自主招生中的考点主要有：数列极限的各种求解方法；无穷等比数列各项和；数列的应用题；常用级数；数学归纳法证明等式与不等式。 【知识拓展】 1．特殊数列的极限 （1）1 lim 0(0,a n a a n →∞=>是常数） （2） lim 0(0)!n n a a n →∞=> （3）lim 0k n n n a →∞=（1a ＞，k 为常数） （4） 111 lim 1,lim 1n n n n e n n e →∞→∞ ????+=-= ? ????? 公式（4）证明：令11n M n ?? =+ ??? ，取自然对数得到1ln ln 1M n n ??=+ ???， 令1x n = ，得ln(1) ln x M x +=， 由洛比达法则得00ln(1)1 lim lim()11x x x x x →→+==+，即0limln 1x M →=， 所以，limln 1n M →∞=，则lim n M e →∞=，即1lim 1n n e n →∞ ?? += ??? 。 另外，数列11n n ???? ??+?? ?????? ?是单调递增的，理由如下：由11n n G A ++≤（1n +个正实数的几何平均数≤ 它们的算术平均数）有111 11111111n n n n n n n ?? ++ ?++??=+?<==+? ? +++? ?? ， 所以1 11111n n n n +??? ?+<+ ? ? +???? 。 2．洛比达法则 若lim ()0x f x →∞ =（或∞），lim ()0x g x →∞ =（或∞），则()'() lim lim ()'() x x f x f x g x g x →∞ →∞=。 3．夹逼定理 如果数列{}n x 、{}n y 以及{}n z 满足下列条件： （1）从某项起，即当0n n ＞（其中0n N ∈），有n n n x y z ≤≤（123n =，，）； （2）lim n n x a →∞ =且lim n n z a →∞ =；
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 限是否存在在： （i ）数列{} n x a 的 （ii ）x f x ∞ →lim )( (iii) x f x x =→lim )( (iv)单调有界准则 （v （vi ）柯西收必要条件是： ε?>?,01.2.洛必达（L ’ x 趋近告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()()(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。
3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； 3211253)! 32(cos )1()!12()1(!5!3sin ++++-++-+-+-=m m m m x m x m x x x x x θ cos=221242)!22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ 1132+-n n n n x x x x 4.5.6.1）设0>>>c b a ， n x =n n ∞ →∞ →a x n n =∞ → （2）求??????++++∞→222)2(1)1(11lim n n n n 解：由n n n n n n n 1 111)2(1)1(1102222 22 =+++<++++< ，以及01 0lim lim ==∞ →∞ →n n n 可知，原式=0 (3)求???? ??++ ++++∞→n n n n n 2 22 1 2 11 1 lim 解 ： 由 n n n n n n n n n n n n n n n n +=+++++<++++++<=++222222111121111111 , 以 及
不等式数列极限数学归纳法复习资料
不等式、数列、极限与数学归纳法 湖南省常德市一中曹继元 不等式、数列是高中数学的主干知识，也是高考的重点内容之一，每年都有与此相关的大题。其中，选择题和填空题一般以考查基础知识、基本方法为主，而解答题以考查数学思想方法、思维能力、以及创新意识为主。总体看来，本节内容对运算能力和逻辑推理能力有较高的要求。预测今年高考关于这一部分的内容, 仍然是以考能力为主，稳中有变，“小”中有新。与往年一样，可能出现基本题型、综合题型、应用题型等，个别题型还将会命出新意，把不等式、数列知识和现实生活、市场经济、理化生知识等紧密结合起来，甚至还会出现有较新创意的应用型题目。因此，我们必须引起高度重视。 1.不等式. 1.1 近三年湖南省高考考查情况统计
1.2 近三年考查情况分析 从近三年的高考湖南卷来看，虽然每年都有几道不等式的题，但大都是将不等式融入其它知识之中。一般来讲，选择题、填空题主要考查不等式性质、简单不等式的解法、函数最值的运用。解答题主要考查与不等式有关的基础知识、基本方法，以及运用相关知识去分析问题和解决问题的能力。 不等式作为工具知识，在高中数学的各个分支中都有广泛的应用。如确定函数的定义域、值域，确定函数的最值，确定集合的子集关系，确定方程的解等，无一不与不等式有着密切的关系。而不等式中往往蕴含有多种数学思想方法，如等价转化、分类讨论、数形结合、函数方程的思想方法，极易使得不等式与其它知识融会交融，体现“在知识交汇处设计命题”的特点，符合“多考一点想，少考一点算”的命题理念，也能有效的测试考生的“逻辑思维能力、运算能力、以及分析问题和解决问题的能力”。所以，我们复习时，要以此为重点，强化训练，提高能力。 1.3 今年考情预测 ①不等式仍将是高考数学的重点内容之一。选择题、填空题的难度不会增大，重在基础知识、基本方法的考查，但命题角度会有所变化，设问方式会有所创新，考查内容主要分布在不等式的性质、简单不等式的解法、不等式与集合、不等式与函数、不等式与方程等知识点中。解答题仍将以能力考查为主，重在考查代数推理能力，常以高中代数的主要内容（函数、方程、不等式、数列、导数、极限、数学归纳法）以及交叉综合内容为知识背景设计问题，主要考查含参数不等式的解法、均值不等式的运用、取值范围的求法等知识点，不排除应用题中直接涉及不等式相关知识的可能。 ②以不等式为中心设计函数、方程、不等式的综合题的可能性仍然较大，特别是含绝对值
高中奥数_函数 不等式 数列 极限 数学归纳法
函数 不等式 数列 极限 数学归纳法 一 能力培养 1,归纳-猜想-证明 2,转化能力 3,运算能力 4,反思能力 二 问题探讨 问题1数列{n a }满足112 a =,212n n a a a n a ++???+=,(n N *∈). (I)求{n a }的通项公式; (II)求1100n n a -的最小值; (III)设函数()f n 是 1100n n a -与n 的最大者,求()f n 的最小值. 问题2已知定义在R 上的函数()f x 和数列{n a }满足下列条件: 1a a =,1()n n a f a -= (n =2,3,4,???),21a a ≠, 1()()n n f a f a --=1()n n k a a --(n =2,3,4,???),其中a 为常数,k 为非零常数. (I)令1n n n b a a +=-(n N * ∈),证明数列{}n b 是等比数列; (II)求数列{n a }的通项公式; (III)当1k <时,求lim n n a →∞. 问题3已知两点M (1,0)-,N (1,0),且点P 使MP MN ?,PM PN ?,NM NP ?成公差小 于零的等差数列. (I)点P 的轨迹是什么曲线? (II)若点P 坐标为00(,)x y ,记θ为PM 与PN 的夹角,求tan θ.
三 习题探讨 选择题 1数列{}n a 的通项公式2n a n kn =+,若此数列满足1n n a a +<(n N *∈),则k 的取值范围是 A,2k >- B,2k ≥- C,3k ≥- D,3k >- 2等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n n a b = A, 23 B,2131n n -- C,2131 n n ++ D,2134n n -+ 3已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是 A, B, C, D, 4在等差数列{}n a 中,1125 a = ,第10项开始比1大,记21lim ()n n n a S t n →∞+=,则t 的取值范围是 A,475t > B,837525t <≤ C,437550t << D,437550t <≤ 5设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,C 33(,)x y 是椭圆22 221x y a b +=(0a b >>)上三个点,F 为焦点, 若,,AF BF CF 成等差数列,则有 A,2132x x x =+ B,2132y y y =+ C,213 211x x x =+ D,2213x x x =? 6在ABC ?中,tan A 是以4-为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以 13为 第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是 A,钝角三角形 B,锐角三角形 C,等腰直角三角形 D,以上都不对 填空 7等差数列{}n a 前n (6n >)项和324n S =,且前6项和为36,后6项和为180,则n = . 8223323232323236666n n n n S ++++=+++???+,则lim n n S →∞= . 9在等比数列{}n a 中,121lim()15 n n a a a →∞++???+=,则1a 的取值范围是 . 10一个数列{}n a ,当n 为奇数时,51n a n =+;当n 为偶数时,22n n a =.则这个数列的前 2m 项之和2m S = . 11等差数列{}n a 中,n S 是它的前n 项和且67S S <,78S S >,则①此数列的公差0d <,