吉林省油田高中高三数学第一次模拟 文

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本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1．设全集U = R ，集合M = { x | x ＞0}，N = { x | x 2≥x }；则下列关系中正确的是

A M ∩N ∈M

B M ∪N = M

C M ∪N = R

D （C U M ）∩N = Φ

2．已知命题p ：函数y = 2x - 2-x 在R 上为减函数；命题q ：函数y = 2x + 2-x 在R 上为增函数；则下列命题中是真命题的是

A p ∧ q

B p ∨ q

C （┐p ）∧ q

D （┐p ）∨ q 3．命题：“?x ∈R ，x 2 + x ＞0”的否定是

A ?x ∈R ，x 2 + x ≤0

B ?x 0∈R ，x 02 + x 0＞0

C ?x 0∈R ，x 02 + x 0＜0

D ?x 0∈R ，x 02 + x 0≤0

4．已知：函数f （x ）= ???2-x x ∈（-∞，1]log 81x x ∈（1，+∞）

；则满足f （x ）= 1

4 的x 的值为

A 2

B 12

C 3

D 1

3 5．设α是第四象限角，且tan α = - 5

12，则sin α等于

A 513

B - 513

C 512

D - 512

6．已知：定义域为R 的函数f （x ）为奇函数，当x ＞0时，f （x ）= x 3 +1；则x ＜0时，f （x ）的解析式为

A f （x ）= x 3 +1

B f （x ）= x 3 -1

C f （x ）= -x 3 +1

D f （x ）= -x 3 -1 7．△ABC 中，∠A = π

3，边BC =

7 ，AB → · AC →

= 3，且边AB ＜ AC ，则边AB 的长为

A 2

B 3

C 4

D 6

8．函数y = sin （2 x + π6 ）+ cos （2 x + π

3 ）的最小正周期和最大值分别为

A π，1

B π， 2

C 2 π，1

D 2 π， 2 9．曲线y = ln x （x ＞0）的一条切线为y = 2x + m ，则m 的值为

A ln 2-1

B 1-ln 2

C 1+ln 2

D -1-ln 2

10．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列。则a 2的值为

A -4

B 4

C -6

D 6 11．数列{a n }的前n 项和S n = n 2 + n + 1；b n = (-1)n a n （n ∈N *）；则数列{b n }的前50项和为

A 49

B 50

C 99

D 100

12．设G 为△ABC 的重心，且(sinA )·GA → +(sinB )·GB → +(sinC )·GC → =0→

，则B 的大小为为

A 450

B 600

C 300

D 150

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上。

13．函数f （x ）= x + 1

x -1

（x ＞1）的最小值为

14．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1＞0，S 20 = 0，则使a n ＞0成立的n 的

最大值是 15．△ABC 中，∠A = 2π

3，BC =

3 ，向量m → =（- 13，cosB ），n → =（1，tanB ），且m → ⊥n →

，

则边AC 的长为

16．已知函数f （x ）= (1

3)x – lnx ，a ＞b ＞c ＞0，且满足f （a ）f （b ）f （c ）＜ 0，若实数d 是

函数y = f （x ）的一个零点，那么下列四个判断：

① d ＜a ； ② d ＞b ； ③ d ＜c ； ④ d ＞c ； 其中有可能成立的判断的序号为

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

已知函数f （x ）= 3

2sin 2x - sin 2x ； （1）求 f （ π

3 ）的值；

（2）当 x ∈[ 0，π

4 ] 时，求函数f （x ）的最大值。 18．（本小题满分12分）

已知：x ，y 满足约束条件????? 2 x + y - 3 ≥ 0

x - 2 y + 4 ≥ 0 3 x - y - 3 ≤ 0

；

（1）求z = x + 2 y 的最大值；

（2）求x 2 + y 2 的最大值与最小值。

19．（本小题满分12分）

通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于教师引入概念和描述问题所用的时间。讲座开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散。分析结果和实验表明，用f （x ）表示学生的接受能力，x 表示引入概念和描述问题所用的时间（单位：分钟），可有以下的公式：

f （x ）= ????

? -0.1x 2 + 2.6 x + 43， 0＜x ≤10 59， 10＜x ≤16 -3 x + 107， 16＜x ≤30

（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？

（2）一道数学难题，需要55的接受能力以及13分钟，教师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？ 20．（本小题满分12分）

已知函数f （x ）= 12 x 2 + alnx （a 为常数，a ∈R ），g （x ）= f （x ）- 2

3 x 3； （1）讨论函数f （x ）的单调性；

（2）当a = 1 时，判断函数g （x ）的零点的个数，并说明理由。

21．（本小题满分12分）

设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 与S n 满足a n +S n =2（n ∈N *）； （1）求数列{a n }的通项公式； （2）令b n = S n +λS n +1 （n ∈N *）；求使数列{b n }为等比数列的所有实数λ的值。

请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

已知⊙O 的弦AB 长为4，将线段AB 延长到点P ，使BP = 2；过点P 作直线PC 切⊙O 于点C ；

（1）求线段PC 的长；

（2）作⊙O 的弦CD 交AB 于点Q （CQ ＜DQ ），且Q 为AB

中点，又CD = 5，求线段CQ 的长。

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程：

已知圆C 的参数方程为??? x = 2 +2 cos φ

y = 2 sin φ

（φ为参数）；

（1）把圆C 的参数方程化成直角坐标系中的普通方程；

（2）以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，把（1）中的圆C 的普通方程化成极坐标方程；设圆C 和极轴正半轴的交点为A ，写出过点A 且垂直于极轴的直线的极坐标方程。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数f （x ）= | x - a | + | x + 2 |（a 为常数，且a ∈R ）； （1）当a = 1时，解不等式f （x ）≤ 5； （2）当a ≥1时，求函数f （x ）的值域。

数学（文）试卷参考答案

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

CDDCB BAADC BA

二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．3 14．10 15．2

3 16．①②③④ 三、 解答题：本大题共6小题，共70分。 17．（本小题满分12分）解：

（1）f （π3）= 3 2sin 2π

3-sin 2π3=34-34=0。（4分）

（2）因为f （x ）= 3 2sin2x-sin 2x=f （x ）= 3 2sin2x+12cos2x-1

2=sin （2x+π6）-12。所以当x ∈[0，π4]时，π6≤2x+π6≤2π3，所以：12≤sin （2x+π6）≤1，所以f （x ）的最大值为12。（12分）

21．（本小题满分12分）解：

（1）令n=1，有2 a 1=2得 a 1=1，由a n+1+S n+1=2，a n +S n =2，得：2a n+1-a n =0

（n ∈N *），所以a n+1a n =12，所以{ a n }是以1为首项，12为公比的等比数

列，所以a n = 1

2n-1；（6分）

（2）由（1）知S n =2 - 12n-1，所以b n = S n +λS n+1=2+2λ-（λ+2）12n （n ∈N *），b 1=2+3λ2，b 2=6+7λ4，b 3=14+15λ

8，因为{ b n }为等比数列，

所以b 22= b 1·b 3，解得λ= -1或λ= -2，当λ= -1时，b n = - 1

2n ，{ b n }为等比数列，当λ=-2时，b n = -2，{ b n }为等比数列；综上，使数列{ b n }为等比数列的实数λ的值为-1或-2；（12分）

22．（本小题满分10分）解：

（1）由切割线定理：PC 2=PA ·PB=（2+4）×2=12。所以PC=2 3 。（4分）

（2）由相交弦定理：CQ ·QD=AQ ·QB ，所以CQ （5-CQ ）=4，得：CQ 2-5CQ+4=0，解得：CQ=5（舍去）或CQ=1，所以CQ 的长为1。（10分）

23．（本小题满分10分）解：

（1）由sin 2φ+cos 2φ=1及2 cos φ=x-2，2sin φ=y 得圆C 的普通方程为（x-2）2+y 2=4 。（4分）

（2）由?

??x=ρcos θ

y=ρsin θ 得：（ρcos θ-2）2+ρ2sin 2θ=4，得圆C 的极坐标方程为ρ=4cos

θ；因为圆C 与极轴正半轴交点为（4，0），所以所求直线的极坐标方程为ρcos θ=4 。

（10分） 24．（本小题满分10分）解：

（1）当a=1时，f （x ）= |x-1|+|x+2|。设数轴上与-2，1对应的点为A ，B ，将A ，B 分别向左，右平移1个单位得点A 1，B 1，则|A 1A|+|A 1B|=5，|B 1A|+|B 1B|=5，所以不等式f （x ）≤5的解集为[-3，2]。（4分）

（2）f （x ）= |x-a|+|x+2|=?????-2x+a-2 x ＜-2

a+2 -2≤x ≤a 2x-a+2 x ＞a

由于f （x ）在x ＜-2时为减函数，在x ＞a

时为增函数，所以f （x ）的值域为[a+2，+∞）。（10分）