2020-2021学年湘教新版九年级下册数学《第1章 二次函数》单元测试卷(有答案)

2020-2021学年湘教新版九年级下册数学《第1章二次函数》单

元测试卷

一．选择题

1．设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（）A．a＝﹣1，b＝3，c＝0B．a＝﹣1，b＝0，c＝3

C．a＝﹣1，b＝3，c＝3D．a＝1，b＝0，c＝3

2．若将抛物线y＝x2﹣3向上平移5个单位长度，则得到的新抛物线的顶点坐标为（）A．（0，2）B．（0，﹣8）C．（5，﹣3）D．（﹣5，﹣3）3．二次函数y＝x2+3x+化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果正确的是（）A．B．

C．D．

4．小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数y＝﹣x2+x+，则小强此次成绩为（）

A．8米B．10米C．12米D．14米

5．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）

A．B．

C．D．

6．抛物线y＝3（x+1）2﹣3的顶点是（）

A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）7．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则（）

A．a＞0，b＞0B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0D．a＜0，b＜0 8．若点A（﹣2，y1），B（0，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝ax2﹣2a+1（a是常数，且a＜0）的图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）

A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2

9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③△DEF的面积最小值为2；④在此运动变化的过程中，四边形CDFE的始终为面积4；⑤△CDE 面积的最大值为3．其中正确的结论是（）

A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤

10．如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx+m的图象相交于点A（﹣3，5），B（7，2），则能使y1≤y2成立的x的取值范围是（）

A．2≤x≤5B．x≤﹣3或x≥7C．﹣3≤x≤7D．x≥5或x≤2二．填空题

11．如图，某名运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，此运动员将铅球推出的距离是m．

12．某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），12月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式是．13．设y1与y2都是x的二次函数（y1有最小值），且y1+y2＝﹣x2﹣8x+4，已知当x＝m时，y1＝y2＝﹣8，当x＝﹣m时，y1＝y2＝8，则m的值为．

14．下表是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的对应关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x的值大约是（精确到0.1）

x 6.1 6.2 6.3 6.4 y＝ax2+bx+c﹣0.3﹣0.10.20.4 15．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣3），且过点（2，0），则这个二次函数的解析式．

16．若点P（a，b）在抛物线y＝﹣2x2+2x+1上，则a﹣b的最小值为．

17．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝5；当x＝﹣1时，y＝﹣2．下列结论一定正确的有（填序号即可）．

①a+b+c＝5；

②b＝；

③3a﹣2b+3c＝1；

④若a＜0，则a﹣b+3c＞﹣1．

18．若抛物线y＝x2﹣x﹣k（k为常数）与x轴的两个交点都在x轴的正半轴上，则k的取值范围是．

19．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与一次函数y＝kx+1图象交于A（﹣3，m），B（1，n）两点，则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c≥1的解集为．

20．如图，抛物线y＝的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y正半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP．

①点E在⊙M的内部；

②CD的长为；

③若P与C重合，则∠DPE＝15°；

④在P的运动过程中，若AP＝，则PE＝

⑤N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是2π．

以上5个结论正确的是；（填写序号）

三．解答题

21．已知：二次函数y＝x2﹣1．

（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；

（2）画出它的图象．

22．已知抛物线y＝x2﹣mx+2m﹣1过定点H．

（1）求出H的坐标．

（2）若抛物线经过点A（0，1），求证：该抛物线恒在直线y＝﹣2x﹣1上方．

23．如图，函数y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）的图象记为L1，最大值为M1；函数y＝﹣x2+2cx+1（1≤x≤2020）的图象记为L2，最大值为M2．L1的右端点为A，L2的左端点为B，L1，L2合起来的图形记为L．

（1）当c＝1时，求M1，M2的值；

（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A，B重合时，求L上“美点”

的个数；

（3）若M1，M2的差为，直接写出c的值．

24．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示：求二次函数的函数表达式．

25．已知：抛物线y＝x2﹣4x+3．

（1）它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为，顶点坐标为．（2）在坐标系中画出此抛物线．

26．已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1），m是常数．

（1）若这个函数是一次函数，求m的值；

（2）若这个函数是二次函数，求m的值．

27．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（6，0）．

（1）若点（0，1）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式．

（2）若该抛物线与直线y＝3只有一个交点P，抛物线上任意不同两点（x1，y1），（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜3时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当3＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，OB交l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．

①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．

②求证：NM平分∠ONB．

参考答案与试题解析

一．选择题

1．解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3；

故选：B．

2．解：将抛物线y＝x2﹣3向上平移5个单位长度，则所得到抛物线为：y＝x2+2．则平移后的抛物线的顶点坐标为：（0，2）．

故选：A．

3．解：y＝x2+3x+＝（x2+6x+9﹣9+5）＝（x+3）2+2．

故选：A．

4．解：在y＝﹣x2+x+中，当y＝0时，﹣x2+x+＝0，

解得x1＝﹣2（舍去），x2＝10，

即小强此次成绩为10米，

故选：B．

5．解：∵y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，

∴a＜0，

∵对称轴在y轴的左侧，

∴b＜0，

∴一次函数y＝ax+b的图象经过二，三，四象限．

故选：C．

6．解：由y＝3（x+1）2﹣3，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣3），故选：D．

7．解：如图，抛物线的开口向下，则a＜0，．

抛物线的对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即b＜0．

综上所述，a＜0，b＜0．

故选：D．

8．解：y＝ax2﹣2ax+1（a是常数，且a＜0），

对称轴是直线x＝﹣＝1，

即二次函数的开口向下，对称轴是直线x＝1，

即在对称轴的左侧y随x的增大而增大，

∵﹣2＜﹣＜0＜1，

∴y2＞y3＞y1，

故选：C．

9．解：连结CF，如图，

∵△ABC为直角三角形，

∴∠A＝45°，

∵F是等腰直角△ABC斜边上的中点，

∴CF＝AF＝BF，CF⊥AB，∠1＝45°，

在△ADF和△CEF中，

，

∴△ADF≌△CEF（SAS），

∴DF＝EF，∠3＝∠2，

∵∠3+∠CFD＝90°，

∴∠2+∠CFD＝90°，即∠DFE＝90°，

∴△DEF为等腰直角三角形，所以①正确；

当FD⊥AC时，FE⊥BC，则AD＝CE＝AC，此时四边形CDFE为正方形，所以②错误；

∵△DEF为等腰直角三角形，

∴DE＝FD，

当FD ⊥AC 时，FD 的长度最小，此时FD ＝AC ＝2， ∴△DEF 的面积最小值为＝2，所以③正确；

∵△ADF ≌△CEF ， ∴S △ADF ＝S △CEF ，

∴四边形CDFE 的面积＝S △ACF ＝S △ABC ＝×4×4＝4，所以④正确；

∵S △CDE ＝S 四边形CDFE ﹣S △DEF ＝4﹣S △DEF ，

而当FD ⊥AC 时，FD 的长度最小，此时FD ＝AC ＝2， ∴S △DEF 的最小值为×2×2＝2，

∴△CDE 面积的最大值为4﹣2＝2，所以⑤错误． 故选：C ．

10．解：由图可知，能使y 1≤y 2成立的x 的取值范围是﹣3≤x ≤7； 故选：C ． 二．填空题

11．解：由题意得：当y ＝0时，0＝﹣x 2+x +，

∴x 2﹣8x ﹣9＝0， ∴（x +1）（x ﹣9）＝0，

∴x 1＝﹣1（不合题意，舍去），x 2＝9． ∴此运动员把铅球推出9m ． 故答案为：9． 12．解：由题意可得， y ＝100（1+x ）2，

故答案为：y ＝100（1+x ）2． 13．解：∵当x ＝m 时，y 1＝y 2＝﹣8，

∴y 1+y 2＝﹣m 2﹣8m +4＝﹣8+（﹣8）＝﹣16，

∵当x＝﹣m时，y1＝y2＝8，

∴y1+y2＝﹣m2+8m+4＝8+8＝16，

解得m＝2，

故答案为：2．

14．解：由表可知，当x＝6.2时，y的值最接近0，

所以，方程ax2+bx+c＝0一个解的近似值为6.2，

故答案为：6.2．

15．解：设此二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3．

∵其图象经过点（2，0），

∴a（2﹣1）2﹣3＝0，

∴a＝3，

∴y＝3（x﹣1）2﹣3，即y＝3x2﹣6x，

故答案为y＝3x2﹣6x．

16．解：∵点P（a，b）在抛物线y＝﹣2x2+2x+1上，

∴b＝﹣2a2+2a+1，

∴a﹣b＝a﹣（﹣2a2+2a+1）＝2a2﹣a﹣1，

∵a﹣b＝2a2﹣a﹣1＝2（a﹣）2﹣，

∴a﹣b的最小值为﹣，

故答案为﹣．

17．解：在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝5；当x＝﹣1时，y＝﹣2．∴a+b+c＝5，a﹣b+c＝﹣2，故①正确；

由题意得，

两式相减得，2b＝7，

解得，b＝，故②正确；

两式相加得，2a+2c＝3，

∴a+c＝，

∴3a+3c＝，

∴3a﹣2b+3c＝﹣2×＝﹣，故③错误；

∵3a+3c＝，

∴3c＝﹣3a，b＝，

∴a﹣b+3c＝a﹣+﹣3a＝1﹣2a，

∵a＜0，

∴1﹣2a＞1，

∴a﹣b+3c＞﹣1，故④正确；

故答案为①②④．

18．解：若抛物线y＝x2﹣x﹣k与x轴的两个交点都在x轴正半轴上，

则方程x2﹣x﹣k＝0的两根大于0，即最小的根x＝＞0，

当1+4k＝0，即k＝﹣时，x最小，即﹣＜k＜0．

故答案是：﹣＜k＜0．

19．解：函数大概图象如下：

根据题意得出当ax2+bx+c≥kx+1时，则ax2+（b﹣k）x+c≥1，

则从图象看，关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c≥1的解集为﹣3≤x≤1，

故答案为﹣3≤x≤1．

20．解：抛物线y＝的图象与坐标轴交于点A，B，D，

则点A、B、D的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣），则点M（1，0），顶点E的坐标为：（1，﹣2），AB＝4，CO＝，OD＝，故点D不在⊙M上；

①ME＝2＝AM，∴E应该在⊙M上，故不符合题；

②C是圆M与y轴交点，圆M半径为2，M（1，0）由勾股定理得OC＝，

CD＝2×＝3，故CD的长为，符合题意；

③如图1，连接PM、PE，点E（﹣1，2），故点E在圆上，

CO＝，OM＝1，PM＝2，故∠OPM＝30°，

EM∥y轴，则∠MEP＝∠EPC，而∠MEP＝∠MPE，

∴∠DPE＝DOM＝15°，符合题意；

④如图2，连接PB、PA、AE，

∵点B、E均在圆上，则∠ABP＝∠AEP＝α，

sin∠AEP＝sin∠ABP＝＝＝sinα，则cosα＝，

过点A作AK垂直于PE于K，

则AK＝AE sinα＝2×＝，EK＝AE cosα═，则PK＝AK＝，故则PE＝，符合题意；

⑤如图3，图中实点G、N、M、F是点N运动中所处的位置，

则GF是等腰直角三角形的中位线，GF＝AB＝2，ME交AB于点R，则四边形GEFM 为正方形，

当点P在半圆任意位置时，中点为N，连接MN，则MN⊥PE，连接NR，

则NR＝ME＝MR＝RE＝RG＝RF＝GF＝1，则点N的运动轨迹为以R为圆心的半圆，则N运动的路径长＝×2πr＝π，故不符合题意；

故答案为：②③④．

三．解答题

21．解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1，

∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴；

（2）在y＝x2﹣1中，令y＝0可得0＝x2﹣1．

解得x＝﹣1或1，

令x＝0可得y＝﹣1，结合（1）中的顶点坐标及对称轴，可画出其图象如图所示：

．

22．解：（1）∵y＝x2﹣mx+2m﹣1

＝x2﹣4﹣m（x﹣2）+3

＝（x+2）（x﹣2）﹣m（x﹣2）+3

＝（x﹣2）（x+2﹣m）+3，

∴抛物线y＝x2﹣mx+2m﹣1必过定点（2，3），

故H的坐标为（2，3）；

（2）证明：∵抛物线经过点A（0，1），

∴2m﹣1＝1，解得m＝1，

∴抛物线y＝x2﹣x+1，

设y1＝x2﹣x+1，y2＝﹣2x﹣1，

则y1﹣y2＝（x2﹣x+1）﹣（﹣2x﹣1）＝x2+x+2＝（x+）2+＞0，∴y1＞y2，

∴该抛物线恒在直线y＝﹣2x﹣1上方．

23．解：（1）当c＝1时，

函数y＝﹣x2+x+c＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣）2+．

又∵﹣2020≤x≤1，

∴M1＝，

y＝﹣x2+2cx+1＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2．

又∵1≤x≤2020，

∴M2＝2；

（2）当x＝1时，y＝﹣x2+x+c＝c﹣；y＝﹣x2+2cx+1＝2c．

若点A，B重合，则c﹣＝2c，c＝﹣，

∴L1：y＝﹣x2+x﹣（﹣2020≤x≤1）；

L2：y＝﹣x2﹣x+1（1≤x≤2020）．

在L1上，x为奇数的点是“美点”，则L1上有1011个“美点”；

在L2上，x为整数的点是“美点”，则L2上有2020个“美点”．又点A，B重合，

则L上“美点”的个数是1011+2020﹣1＝3030．

（3）y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）上时，当x＝时，M1＝+c，

y＝﹣x2+2cx+1（1≤x≤2020），对称轴为x＝c，

当c≥1时，M2＝c2+1，

∴|+c﹣c2﹣1|＝，

∴c＝﹣1（舍去）或c＝2；

当c＜1时，M2＝2c，

∴|2c﹣﹣c|＝，

∴c＝3（舍去）或c＝﹣；

∴c＝﹣或2．

24．解：由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），且过点（0，﹣3），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2﹣4，

把（0，﹣3）代入解析式得a﹣4＝﹣3，

解得a＝1，

则抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．

25．解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1＝（x﹣3）（x﹣1），∴该抛物的顶点坐标为（2，﹣1），当y＝0时，x1＝3，x2＝1，当x＝0时，y＝3，∴它与x轴交点的坐标为（3，0）、（1，0），与y轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标为（2，﹣1），

故答案为：（3，0）、（1，0），（0，3），（2，﹣1）；

（2）由（1）知，它与x轴交点的坐标为（3，0）、（1，0），与y轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标为（2，﹣1），且过点（4，3），

抛物线如右图所示．

26．解：（1）依题意m2﹣m＝0且m≠0，所以m＝1

（2）依题意m2﹣m≠0，所以m≠1且m≠0．

27．解：（1）将（0，1）和点A的坐标代入抛物线表达式得：，解得：36a+6b＝﹣1；

（2）当x1＜x2＜3时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，即为当x＜3时，y随x的增大而增大，当3＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，即为当x＞3时，y随x的增大而减小，故抛物线开口下，且抛物线的对称轴为直线x＝3，

∵该抛物线与直线y＝3只有一个交点P，故点P是抛物线的顶点，即点P（3，3），

则设抛物线的表达式为y＝a（x﹣3）2+3，将点（6，0）代入上式并解得a＝﹣，故抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣3）2+3＝﹣x2+2x①；

设点B的坐标为（m，﹣m2+2m），

由点O、B的坐标知，直线OB的表达式为y＝（﹣m+2）x，

当x＝3时，y＝（﹣m+2）x＝6﹣m，故点M（3，6﹣m），

∵点M、N关于点P对称，由中点公式得，点N（3，m），

①由O、P的坐标得，OP＝＝3＝MN，则MN＝6，

即MN＝m﹣（6﹣m）＝6，解得m＝3+3，

则点B（3，﹣3），点N（3，3+3），

由点B、O的坐标知，OB2＝（3+3）2+（﹣3）2＝36+18，

同理ON2＝36+18＝OB2，BN2＝72+36＝OB2+ON2，

故△NOB为等腰直角三角形；

②连接NB，

由点O、N的坐标，同理可得，直线ON的表达式为y＝mx②，

联立①②得：﹣x2+2x＝mx，解得x＝6﹣m，设直线ON交抛物线与点H，则点H 的横坐标为6﹣m，

而点B的横坐标为m，抛物线的对称轴为x＝3，故点B、H关于抛物线对称轴（即关于MN）对称，

∴NM平分∠ONB．