2015年高考广东理科数学试题与答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的．

（1）【2015年广东，理1，5分】若集合{}|(4)(1)0M x x x =++=，}{|(4)(1)0N x x x =--=，则M

N =

（ ）

（A ）{}1,4 （B ）{}1,4-- （C ）{}0 （D ）? 【答案】D

【解析】{}{}(4)(1)04,1M x x x =++==--，{}{}(4)(1)01,4N x x x =--==，M N ∴?=?故选D ． （2）【2015年广东，理2，5分】若复数i(32i)z =-（i 是虚数单位），则z =（ ）

（A ）23i - （B ）23i + （C ）32i + （D ）32i - 【答案】A 【解析】

i(32i)3i 2z =-=+，23i z ∴=-，故选A ．

（3）【2015年广东，理3，5分】

下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）

（A ）y = （B ）1y x x =+ （C ）1

22x x y =+ （D ）x y x e =+

【答案】D

【解析】A 和C 选项为偶函数，B 选项为奇函数，D 选项为非奇非偶函数，故选B ．

（4）【2015年广东，理4，5分】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋

中任取2个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为（ ）

（A ）

521 （B ）1021 （C ）11

21

（D ）1 【答案】B

【解析】111052

1510

21

C C P C ==，故选B ． （5）【2015年广东，理5，5分】平行于直线2++1=0x y 且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）

（A ）250250x y x y ++=+-=或

（B ）2020x y x y ++=或 （C ）250250x y x y -+=--=或

（D ）2020x y x y -+=-或 【答案】A

【解析】设所求直线为02=+

+c y x ，因为圆心坐标为()0,0

，

则由直线与圆相切可得d =

=，

解得5c =±，所求直线方程为250250x y x y ++=+-=或，故选A ．

（6）【2015年广东，理6，5分】若变量,x y 满足约束条件458

1302x y x y +≥??

≤≤??≤≤?

，则32z x y =+的最小值为（ ）

（A ）4 （B ）235

（C ）6

（D ）315

【答案】B

【解析】如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标函数32z x y =+，则当目标函数过点81,5??

???

，32z x y =+取

最小值为23

5

，故选B ．

（7）【2015年广东，理7，5分】已知双曲线22

22:1x y C a b

-=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C

的方程为（ ）

（A ）22143x y -= （B ）221916x y -= （C ）22

1169x y -= （D ）

22134

x y -= 【答案】C

【解析】由双曲线右焦点为2(5,0)F ，则5c =，5

44c e a a =

=∴=． 222

9b c a ∴=-=，所以双曲线方程为221169

x y -=，故选C ．

（8）【2015年广东，理8，5分】若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）

（A ）至多等于3 （B ）至多等于4 （C ）等于5 （D ）大于5 【答案】B

【解析】当3=n 时，正三角形的三个顶点符合条件；当4=n 时，正四面体的四个顶点符合条件，故可排除A ，

C ，

D 四个选项，故选B ．

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9~13）

（9）【2015年广东，理9，5分】在

4

）

的展开式中，x 的系数为 ． 【答案】6

【解析】()

()442

4

4

11r r

r

r

r

r C

C x

---=-，则当2r =时，x 的系数为()2

2

416C -=．

（10）【2015年广东，理10，5分】在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ． 【答案】10

【解析】由等差数列性质得，345675525a a a a a a ++++==，解得55a =，所以285210a a a +==．

（11）【2015年广东，理11，5分】设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =1

sin 2

B =

，6

C π

=

，则b = ．

【答案】1

【解析】15sin ,266B B ππ=∴=或，又6

C π=，故6B π=，所以，23A π=

由正弦定理得，sin sin a b

A B =，所以1b =．

（12）【2015年广东，理12，5分】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么

全班共写了 条毕业留言（用数字作答）． 【答案】1560

【解析】40391560?=．

（13）【2015年广东，理13，5分】已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，()30E X =，()20D X =，则

p = ．

【答案】1

3

【解析】()30E X np ==，()(1)20D X np p =-=，解得13p =．

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）

（14）【2015年广东，理14，5分】（坐标系与参数方程选做题）已知直线l

的极坐标方程为2sin()4

π

ρθ-=，

点A

的极坐标为7)4

A π

，则点A 到直线l 的距离为 ．

【答案

【解析

】2sin()2)4πρθρθθ-==sin cos 1ρθρθ-=．即直线l 的直角坐标方程为

110y x x y -=-+=，即，点A 的直角坐标为()2,2-，A

到直线的距离为d = （15）【2015年广东，理15，5分】（几何证明选讲选做题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是

圆O 的切线，切点为C ，1BC =，过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD = ． 【答案】8

【解析】如图所示，连结O ，C 两点，则OC CD ⊥，

OD AC

⊥90CDO ACD ∴∠+∠=?

90ACD CBA CBA CAB ∠=∠∠+∠=?，，CDO CAB ∴∠=∠，所以

OD OC

AB BC

=

， 所以8OD =．

三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（16）【2015年广东，理16，12分】在平面直角坐标系xOy 中，

已知向量2m ?= ??

，()sin ,cos n x x =，0,2x π??∈ ???

． （1）若m n ⊥，求tan x 的值；

（2）若m 与n 的夹角为3

π

，求x 的值．

解：（1

）()2sin ,cos sin 4m n x x x x x π??

??=?==- ?????

，m n ⊥，0m n ∴?=，即

sin 04x π?

?-= ??

?，

sin 04x π??-= ???，又0,2x π??

∈ ???

，444x πππ∴-<-<，04x π∴-=．即4x π=，tan tan 14x π∴==．

（2）依题意sin cos

3

4x m n m n

ππ

π?

?- ?

???

=

=

- ???

??， 1sin 42x π?

?-= ???，又,444x πππ??-∈- ???，46x ππ∴-=，即56412x πππ=+=．

（17

）【

2015年广东，理17，12分】某工厂36名工人的年龄数据如下表：

为44，列出样本的年龄数据； （2）计算（1）中样本的均值x 和方差2s ；

（3）36名工人中年龄在x s -与x s +之间有着多少人？所占的百分比是多少（精确到0．01%）？ 解：（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34的年龄数据为样本．

则样本的年龄数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．

（2）由（1）中的样本年龄数据可得，

()1

444036433637444337409x =++++++++=，则

()()()()()()()()1

222222222444040403640434036403740444043409s ?=-+-+-+-+-+-+-+-?

?

()23740?+-??= 9100

．

（3）由题意知年龄在100100404099??-+???

?，之间，即年龄在[]3743，之间， 由（1）中容量为9的样本中年龄、在[]3743，

之间的有5人， 所以在36人中年龄在[]3743，

之间的有536209?=（人），则所占百分比为20

100%55.56%36

?≈． （18）【2015年广东，理18，14分】如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，

4PD PC ==，6AB =，3BC =，点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线

段AB ，BC 上，且2AF FB ==，2CG GB =． （1）证明：PE FG ⊥；

（2）求二面角P AD C --的正切值； （3）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值． 解：（1）PD PC =PDC ∴?为等腰三角形，E 为CD 边的中点，所以PE DC ⊥，

PDC ABCD

⊥平面平面，

PDC ABCD DC ?=平面平面， 且PE PDC ?平面，∴PE ABCD ⊥平面FG ABCD ?平面，PE FG ∴⊥． （2）由长方形ABCD 知， AD DC ⊥，PDC ABCD ⊥平面平面，PDC ABCD DC ?=平面平面， 且AD ABCD ?平面AD PDC ∴⊥平面

PD PDC ?平面，PD AD ∴⊥

DC AD PD AD PC PDA DC CAD ⊥⊥??由，，且平面，平面．PDC P AD C ∴∠--即为二面角，

由长方形ABCD 得6DC AB ==，E 为CD 边的中点，则1

32

DE DC ==，

43PD DE PE DC PE ==⊥∴==，，

，tan PE PDC DE ∠=

=

即二面角P AD C --

． （3）如图，连结A ，C ，22AF FB CG GB ==，

BF BG

AB BC

∴=

，//FG AC ，PAC ∴∠为直线PA 与直线FG 所成角． 由长方形ABCD 中63AB BC ==，得

：AC 由（2）知AD PD ⊥，

34AD BC PD ===，

5AP ∴=，由题意知4PC =，

222cos 2AP AC PC PAC AP AC +-∴∠==

??，所以，直线PA 与直线FG

． （19）【2015年广东，理19，14分】设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-．

（1）求()f x 的单调区间；

（2）证明：()f x 在()+∞∞-,上仅有一个零点；

（3）若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m a 的切线与直线OP 平行（O 是坐标原

点），证明

：1m ≤． 解：（1）

2()(1)x f x x e a =+-，22()=2(1)(1)x x x f x xe x e x e '∴++=+，x R ∈时，()0f x '≥恒成立．

()f x ∴的单调递增区间为R ．

（2）由（1）可知()f x 在R 上为单调递增函数，

当x =

+)(1)f a a a -=+-1，

1a >

，0f ∴>，()f x ∴在(,)-∞+∞仅有一个零点． （3）令点P 为00(,)x y ，曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，0200()=(1)0x f x x e '∴+=，

0=1x ∴-，2(1,)P a e

--，∴直线OP 斜率为221op a

e k a e -=

=--， 在点(),M m n 处的切线与直线OP 平行，22

()(1)m f m m e a e

'∴=+=-．

要证明1m ≤，即证32(1)m a e

+≤-． 要证明32(1)(1)m m +≤+，需证明1m m e +≤，设()1m g m e m =--，()1m g m e '∴=-，

令()0,0g m m '==，()g m ∴在∞(-,0)上单调递减，在+∞(0，)上单调递增，()(0)0g m g ∴≥=， 10m e m ∴--≥，1m e m ∴≥-，命题得证．

（20）【2015年广东，理20，14分】已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，

B ．

（1）求圆1C 的圆心坐标；

（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；

（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若

不

存在，说明理由．

解：（1）由题意知：圆1C 方程为：22(3)4x y -+=，∴圆1C 的圆心坐标为()3,0． （2）由图可知，令()11,M x y

，1|||OM C M =

22211||||||OC OM C M =+，2222211113(3)x y x y ∴=++-+，221139()24

x y ∴-+=， ∵直线L 与圆1C 交于A 、B 两点，∴直线L 与圆1C 的距离：02d ≤<

22110(3)4x y ∴≤-+<，2211930(3)()442x x ∴≤-+--<，15

33

x ∴<≤ ∴轨迹C 的方程为：22395

()(,3]243

x y x -+=∈．

（3）∵直线L ：(4)y k x =-与曲线2239

()24

x y -+=仅有1个交点， 联立方程：

22

(4)

5(,3]393()24

y k x x x y =-??

∈?-+=??， 得：2222(1)(83)160k x k x k +-++=，在区间5

(,3]3

有且仅有1个解．

当222

2=(83)64+1=k k k ?+-（

）0时，43

k =±，此时，125

(,3]53

x =∈，仅有一个交点，符合题意． 当0?≠时，令2222()(1)(83)16g x k x k x k =+-++，则有：5

()(3)0

g g ≤

解得：

[k ∈，∴k 的取值范围为：[k ∈或4

3k =±．

（21）【2015年广东，理21，14分】数列{}n a 满足：*1212

24,2

n n n a a na n N -++++=-?．

（1）求3a 的值；

（2）设求数列{}n a 的前n 项和n T ； （3）令11111

1

,(1)(2)23

n n n T b a b a n n n

-==

+++++?，证明：数列{}n a 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+． 解：（1）由题意知：1212

242n n n a a na -+++

+=-，当=2n 时，121222=42

a a ++-；

当=3n 时，1232322+3=42a a a ++-，321322233=4(4)224a ++---=，31=4a ． （2）1212242n n n a a na -+++

+=-， 1213

2+(+1)42n n n n a a na n a ++∴+++=-，，

1

11123243111(+1)()()222222

n n n n n

n n n n n n n n n n a a a -++-+++--+=

-==∴=∴=

∴{}n a 是首相为1，公比为12的等边数列，∴1111()1122()212212

n

n n n T ---==-=--．

（3）由（2）得：1122n n T -=-1111(2)(1)22n n S n -∴=-++，已知不等式：111

ln(1)23n n

+<+

设()ln(1),01x

f x x x x =+->+2()01x f x x

'∴=

>+，()f x 在()∞0,+单调递增， ()ln(1)(0)01x f x x f x ∴=+-

>=+，ln(1)1x

x x

∴+>

+在()∞0,+上恒成立． 令1

=

x n

，1ln(1)ln(1)ln ln ln(1)ln 2ln1ln n n n n n n +=+-+--++-=，

1111ln(1)231n n +>++++111

ln 231

n n ∴>+++

+，

11111

1

(2)(1)2(1)2(1ln 2)22ln 2222n n S n n

-∴=-

++<++<+=+．