带通滤波器设计

￥

实验八有源滤波器的设计

一．实验目的

1．学习有源滤波器的设计方法。 2．掌握有源滤波器的安装与调试方法。 3．了解电阻、电容和Q 值对滤波器性能的影响。

;

二．预习要求

1．根据滤波器的技术指标要求，选用滤波器电路，计算电路中各元件的数值。设计出满足技术指标要求的滤波器。

2. 根据设计与计算的结果，写出设计报告。

3. 制定出实验方案，选择实验用的仪器设备。

三．设计方法

，

有源滤波器的形式有好几种，下面只介绍具有巴特沃斯响应的二阶滤波器的设计。巴特沃斯低通滤波器的幅频特性为： n

uo u A j A 21)(???

? ??+=

ωωω ， n=1，2，3，. . . （1）

写成：

u A j A 211)

(???

? ??+=ωωω （2） )(ωj A u

其中A uo 为通带内的电压放大倍数， C A uo 为截止角频率，n 称为滤波器的阶。从（2）式中可知，当=0时，（2）式有最大值1；。

=C 时，（2）式等于，即A u 衰减了 n=2

3dB ；n 取得越大，随着的增加，滤波器 n=8 的输出电压衰减越快，滤波器的幅频特性越接近于理想特性。如图1所示。 0 C

当 >>

时，

c uo u A j A ???

??≈ωωω1

)( （3）图1低通滤波器的幅频特性曲线两边取对数，得： lg

20c

uo u n A j A ωω

ωlg

20)(-≈ （4）此时阻带衰减速率为： 20ndB/十倍频或6ndB/倍频，该式称为衰减估算式。

[

表1列出了归一化的、n 为1 ~ 8阶的巴特沃斯低通滤波器传递函数的分母多项式。

n 归一化的巴特沃斯低通滤波器传递函数的分母多项式 1 1+L s 2 122++L L s s

》 3 )1()1(2+?++L L L s s s

4 )184776.1()176537.0(2

2++?++L L L L s s s s 5

)1()161803.1()161807.0(22+?++?++L L L L L s s s s s

6 )193185.1()12()151764.0(222++?++?++L L L L L L s s s s s s

[ 7

)1()180194.1()124698.1()144504.0(2

22+?++?++?++L L L L L L L s s s s s s s 8 )196157.1()166294.1()111114.1()139018.0(2222++?++?++?++L L L L L L L L s s s s s s s s

在表1的归一化巴特沃斯低通滤波器传递函数的分母多项式中，S L = c

ω，

是低通

滤波器的截止频率。

对于一阶低通滤波器，其传递函数： c

uo u s A s A ωω+=

)( （5）

归一化的传递函数： 1

)(+=

L uo

L u s A s A （6）对于二阶低通滤波器，其传递函数：2

22)(c c

c uo u s Q

s A s A ωωω++

（7）

归一化后的传递函数： 1

1)(2

++=

L L uo

L u s Q

s A s A （8）

由表1可以看出，任何高阶滤波器都可由一阶和二阶滤波器级联而成。对于n 为偶数的高阶滤波器，可以由

2n 节二阶滤波器级联而成；而n 为奇数的高阶滤波器可以由2

1-n 节二阶滤波器和一节一阶滤波器级联而成，因此一阶滤波器和二阶滤波器是高阶滤波器的基础。

有源滤波器的设计，就是根据所给定的指标要求，确定滤波器的阶数n ，选择具体的电路形式，算出电路中各元件的具体数值，安装电路和调试，使设计的滤波器满足指标要求，具体步骤如下：

1．根据阻带衰减速率要求，确定滤波器的阶数n 。 2．选择具体的电路形式。

3．根据电路的传递函数和表1归一化滤波器传递函数的分母多项式，建立起系数的方程组。

4．解方程组求出电路中元件的具体数值。 5．[

6．安装电路并进行调试，使电路的性能满足指标要求。

例1．要求设计一个有源低通滤波器，指标为：

截止频率 f C =1kHz ，

通带电压放大倍数：A uo =2，

在f = 10f c 时，要求幅度衰减大于30dB 。设计步骤

1）由衰减估算式：20ndB/倍频，算出n = 2。 \ 2）选择附录中图3电路作为低通滤波器的电路形式。该电路的传递函数： 2

22)(c c

c uo u s Q

s A s A ωωω++

（9）

其归一化函数： 1

1)(2

++=

L L uo

L u s Q

s A s A （10）

将上式分母与表1归一化传递函数的分母多项式比较得：

通带内的电压放大倍数： 3

1R R A A f uo +

===2 （11）滤波器的截止角频率：c c f C C R R πω212

121==

=3102?π （12）

212111

)1(11C R A C R C R Q

uo c

-++=

ω21023??=π （13） 4321//R R R R =+ （14）

在上面四个式子中共有六个未知数，三个已知量，因此有许多元件组可满足给定特性的

要求，这就需要先确定某些元件的值，元件的取值有几种：

① 当A f =1时，先取R 1=R 2=R ，然后再计算C 1和C 2。 ② 当A f ≠1时，取R 1=R 2=R ，C 1=C 2=C 。

③ 先取C 1=C 2=C ，然后再计算R 1和R 2。此时C 必须满足：)(10

21F f C C C c

μ=== ④ 先取C 1，接着按比例算出C 2=KC 1，然后再算出R 1和R 2的值。其中K 必须满足条件：K ≤A f -1+

41Q

对于本例，由于A f =2，因此先确定电容C 1=C 2的值，即取： F F F f C C C μμμ01.0)(10

)(103021===

==， @

将C 1=C 2=C 代入（12）和（13）式，可分别求得： Ω?=????==

311026.111001.021021πωC Q R c Ω?=???=

-3

321052.2210

01.010221πωC

Q R c Ω?=?+?=+=3

2141056.6710)52.2226.11(2)(R R A R f

Ω?=-?=-=33

431056.671

21056.671f A R R

例2．要求设计一个有源高通滤波器，指标要求为：截止频率 f C =500Hz ，

通带电压放大倍数为：A uo =1 R 4 R 5 ; 在f =时，要求幅度衰减大于50dB 。

设计步骤： u i C 1 C 2 A 1 C 3 A 2 u o 1) 由衰减估算式：20ndB/十倍频

算出n = 3。 R 1 R 2 R 3 2) 选择附录中图5电路再加上一级一阶高通滤波电路构成该高通滤波器。

如图2所示：图2 三阶压控电压源高通滤波器 !

该电路的传递函数： )()()(21s A s A s A u u u ?= 2

221

1c uo c c uo s s

A s Q

s s A ωωω+?

（15）

将上式归一化： )

1()11()(2

L L L uo

L u s s s Q

A s A +?++=

（16）

将上式分母与表1归一化传递函数的分母多项式比较得：

因为通带内的电压放大倍数为： 121=?=uo uo uo A A A 所以取： 121==uo uo A A

第一级二阶高通滤波器的截止角频率： c c f C C R R πω212

1211==

=5002?π=c ω （17）

，

1122121

)1(11C R A C R C R Q

uo c -++=

ω15002??=π （18）

第二级一阶高通滤波器的截止角频率：3

321

C R c =

ω=c c f πω2= （19）上面三个式子中共有六个未知数，先确定其中三个元件的值，取： F F F f C C C C c μμμ02.0)(500

10)(10321===

=== 将C 1=C 2=C 3=C 代入（17）、（18）和（19）式，可求得： Ω?=?????=

-3

1110962.710

02.0500212121πωC

Q R c Ω?=????==

-36

121085.311002.050021

22πωC Q R c Ω?=???=

-3

231092.1510

02.0500211

πωC

R c -

为了达到静态平衡，减小输入偏置电流及其漂移对电路的影响：

取： Ω?==3

241085.31R R

Ω?==3

351092.15R R

例3．要求设计一个有源二阶带通滤波器，指标要求为：通带中心频率 Hz f 5000=

通带中心频率处的电压放大倍数：10=uo A 带宽：Hz f 50=? 设计步骤：

1） ,

2）选用附录中图8电路。

3）该电路的传输函数：2

2)(o

u s Q

s s

A s A ωωω++

（20）

品质因数： f f Q ?=

01050

500== （21）通带的中心角频率：50021112123?=???

? ??+=

πωR R C R o （22）通带中心角频率o ω处的电压放大倍数：1021

-=-

=R R A uo （23）

CR Q

ω （24）取F F F f C μμμ02.0)(500

10)(100===

，则： Ω?=??-??-=-

=-3

011092.15500

2)10(1002.010πωuo CA Q R 《

032ωC Q R =

Ω?=????=-3

105.318500

21002.0102π

Ω=-?????=+=

-838)

10102(50021002.010

)2(2

6202πωuo A Q C Q R 例4．要求设计一个有源二阶带阻滤波器，指标要求为：通带中心频率： Hz f 5000= 通带电压放大倍数：1=uo A 带宽：Hz f 50=?

设计步骤： (

1）选用附录中图9电路。

2）该电路的传递函数：

221222122121

)(C R R s C R s R R C s A s A f u ++???? ??+= 2222

)(o

o uo s Q

s s A ωωω+++= （25）其中，通带的电压放大倍数：1==uo f A A 阻带中心处的角频率为：O o f C R R πω21

21==

5002?=π （26）

品质因数： 1050

5000==?=

f f Q （27）阻带带宽： C

R Q

BW 20

ω （28）

13111R R R += （29） '

取：F F F f C μμμ02.0)(500

10)(100===

，则： Ω=?????=

-2.7961002.050021021

216

01πωC

Q R

Ω?=????==

-3

02105.31810

02.050021022πωC Q R Ω=?+??=+=2.79410

5.3182.796105.3182.7963

21213R R R R R

四．实验内容与方法

（一）按以下指标要求设计滤波器，计算出电路中元件的值

【

1．设计一个低通滤波器，指标要求为：

截止频率：kHz f c 1=

通带电压放大倍数： 1=uo A

在c f f 10=时，要求幅度衰减大于35dB 。 2．设计一个高通滤波器，指标要求为：

截止频率：Hz f c 500=，通带电压放大倍数：5=uo A

在c f f 1.0= 时，幅度至少衰减30dB 。

3．（选作）设计一个带通滤波器，指标要求为：通带中心频率：kHz f 10= 通带电压放大倍数：2=uo A 通带带宽：Hz f 100=?。

（二）将设计好的电路，在计算机上进行仿真

（三）按照所设计的电路，将元件安装在实验板上。（四）对安装好的电路按以下方法进行调整和测试

1．仔细检查安装好的电路，确定元件与导线连接无误后，接通电源。》

2．在电路的输入端加入U i =1V 的正弦信号，慢慢改变输入信号的频率（注意保持U i 的值不变），用晶体管毫伏表观察输出电压的变化，在滤波器的截止频率附近，观察电路是否具有滤波特性，若没有滤波特性，应检查电路，找出故障原因并排除之。

3．若电路具有滤波特性，可进一步进行调试。对于低通和高通滤波器应观测其截止频率是否满足设计要求，若不满足设计要求，应根据有关的公式，确定应调整哪一个元件才能使截止频率既能达到设计要求又不会对其它的指标参数产生影响。然后观测电压放大倍数是否满足设计要求，若达不到要求，应根据相关的公式调整有关的元件，使其达到设计要求。 4．当各项指标都满足技术要求后，保持U i = 2V 不变，改变输入信号的频率，分别测量滤波器的输出电压，根据测量结果画出幅频特性曲线，并将测量的截止频率c f 、通带电压放大倍数uo A 与设计值进行比较。

五．实验报告要求

按以下内容撰写实验报告：

1．实验目的

2． … 3．根据给定的指标要求，计算元件参数，列出计算机仿真的结果。 4．绘出设计的电路图，并标明元件的数值。 5．实验数据处理，作出A u ~ f 曲线图。

6．对实验结果进行分析，并将测量结果与计算机仿真的结果相比较。

附录

有源二阶滤波电路的形式与特点

）

常用的有源二阶滤波电路有压控电压源二阶滤波电路和无限增益多路负反馈二阶滤波电路。

压控电压源二阶滤波电路的特点是：运算放大器为同相接法，滤波器的输入阻抗很高，输出阻抗很低，滤波器相当于一个电压源。其优点是：电路性能稳定，增益容易调节。

无限增益多路负反馈二阶滤波电路的特点是：

运算放大器为反相接法，由于放大器的开环增益无限大，反相输入端可视为虚地，输出端通过电容和电阻形成两条反馈支路。其优点是：输出电压与输入电压的相位相反，元件较少，但增益调节不方便。

（一）有源二阶低通滤波电路

1．压控电压源二阶低通滤波电路电路如图3所示。其传输函数为：

212122121

122

12111

)1(111)(R

R C C s C R A C R C R s R R C C A s A uo uo

u +???

? ??-+++=

c c

c uo s Q

s A ωωω++

！

其归一化的传输函数： 1

1)(2

++=

L L uo

L u s Q

s A s A

其中： c

L s

s ω=

，Q 为品质因数

通带内的电压放大倍数： 3

1R R A uo +

滤波器的截止角频率：c c f C C R R πω212

121==

212111

)1(11C R A C R C R Q

uo c

-++=

ω 为了减少输入偏置电流及其漂移对电路的影响，应使： 4321//R R R R =+ 将上述方程与3

1R R A uo +

= 联立求解，可得： ~

)(214R R A R f += 1

3-=

f A R R

u o u i o ·

图3 压控电压源二阶有源低通滤波器图4 无限增益多路负反馈二阶低通滤波电路

2．无限增益多路负反馈二阶低通滤波电路电路如图4所示，其传输函数为：

221321122

121111111

)(R R C C s R R R C s R R C C s A u +???? ??+++-

=222c c c uo s Q s A ωωω++=

其归一化的传输函数： 1

1)(2

++=

L L uo

L u s Q

s A s A

其中： c

L s

s ω=

，Q 为品质因数。

通带内的电压放大倍数： 1

R R A uo -

= 滤波器的截止角频率： c c f C C R R πω212

132==

（二）有源二阶高通滤波器

1．压控电压源二阶高通滤波器电路如图5所示，其传输函数为： 2

12111221222

1)1(11)(R R C C s C R A C R C R s s A s A uo uo u +???? ??-+++=

c c

uo s Q

s s A ωω++

归一化的传输函数： 1

1)(2

++=

L L uo

L u s Q

s A s A

其中： s

s c

L ω=

，Q 为品质因数。

通带增益： 3

1R R A uo +

截止角频率： c c f C C R R πω212

121==

122121

)1(11C R A C R C R Q

uo c

-++=

ω R 3 R 3

u i C u i u o

(

R 1 R 2 R 1

图5压控电压源二阶高通滤波器图6 无限增益多路负反馈二阶高通滤波器 2．无限增益多路负反馈二阶高通滤波器电路如图6所示,该电路的传输函数为：

132233212

11111)(R R C C C C C C C R s s C C s A u +?

??? ??+++

c c

uo s Q

s s A ωω++

归一化的传输函数： 1

1)(2

++=

L L uo

L u s Q

s A s A

、

其中： s

s c

L ω=

,通带增益： 3

C C A uo -

截止角频率： c c f C C R R πω212321==

???

? ??++=

323212

111C C C C C R Q

ω （三）有源二阶带通滤波器 1．压控电压源二阶带通滤波器

电路如图7所示，电路的传输函数为：

???? ??++???

? ??-+++=

212321321111)1(1121)(R R C R s A R R R C s s

R A s A f f

u 22

uo s Q

s s

A ω

ωω++

上式中：21ωωω?=

o 是带通滤波器的中心角频率。1ω、2ω分别为带通滤波器

、

的高、低截止角频率。

中心角频率：???? ??+=

212

3111R R C R o ω 、 ???

? ??-++=)1(11212130f A R R R C Q ω 中心角频率o ω处的电压放大倍数： ?

???+-+=

111)1(11R A R R R A A f f

上式中： 4

1R R A f +

= 通带带宽：12ωω-=BW 或 12f f f -=?

???

? ??-++==)1(1

1212130

f A R R R C Q BW ω f

f BW

Q ?=

ω 时）0(ω<

R 4R

u o u i o %

图 7 压控电压源二阶带通滤波器图8 无限增益多路负反馈有源二阶带通滤波器

2．无限增益多路负反馈二阶带通滤波器

电路如图8所示，电路的传输函数：

???

??+++

213232111121)(R R R C s C R s s C

R s A u 2

s Q

s s

A ωωω++

上式中：21ωωω?=o 为带通滤波器的中心角频率。1ω、2ω分别为带通滤波器

的高、低截止角频率。

中心角频率： ???

? ??+=

212

3111R R C R o ω 通带中心角频率o ω处的电压放大倍数： 1

2R R A uo -

CR Q

ω 品质因数： f

f BW

Q ?=

ω 时）0(ω<

电路如图9所示。电路的传输函数：

2122212

2121)(C R R s C R s R R C s A s A f u ++???? ??+=2

222

)(o o o uo s Q

s s A ωωω+++= 其中，通带电压放大倍数：1==uo f A A

131

11R R R += 阻带中心处的角频率： o o f C

R R πω21

21==

R Q

BW 20

ω 品质因数： 1

1R R Q =

1 22.无限增益多路负反馈二阶带阻滤波器该电路由二阶带通滤波器和一个加法器

组成，如图10所示。电路的传输函数为： C C

???

??+++?

??????? ??++-=21233221322461112111)(R R C R s C R s R R R C s R R s A u R 3

222

)

o uo s Q

s s A ωωω++

图9 压控电压源二阶带阻滤波器

其中： 51432R R R R =

通带电压放大倍数：5

1634

62R R R R R R A uo -

阻带中心角频率：???? ??+=

21230111R R C R ω

阻带带宽： C

R Q

BW 30

图10 无限增益多路负反馈二阶带阻滤波器