2018年青浦区高考数学二模含答案

2018.04

（满分150分，答题时间120分钟）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．不等式|3|2x -<的解集为__________________．

2．若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 3．若1sin 3α=

，则cos 2πα?

?-= ??

?_______________．

4．已知两个不同向量(1,)OA m =u u u r ，(1,2)OB m =-u u u r

，若OA AB ⊥u u u r u u u r ，则实数m =____________．

5．在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，若51S =，则10S =．

6．若,x y 满足2,10,20,x x y x y ≤??

-+≥??+-≥?

则2z x y =-的最小值为

____________．

7．如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为__________．

8．621

(1)x x

++展开式中2x 的系数为______________．

9．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +

的概率分别为

78、34、512

，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A +

的概率是．

10．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21x

f x =-，函数

2()2g x x x m =-+. 如果对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x ≤，

则实数m 的取值范围是.

．已知曲线C y =：2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的

点Q ，使得0AP AQ +=u u u r u u u r r

，则m 取值范围是．

12．已知22

s 1

(,,0)cos 1

a a in M a a a a θθθ-+=∈≠-+R ，则M 的取值范围是．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．设,αβ是两个不同的平面，b 是直线且b β?≠．则“b α⊥”是“αβ⊥”的（）

．（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件

（D ）既不充分又不必要条件

14．若已知极限sin lim

0n n n

→∞=，则3sin lim sin 2n n n

n n →∞--的值为（）．

（A ）3-

（B ）3

（C ）1-

（D ）12

- 15．已知函数()f x 是R 上的偶函数，对于任意x ∈R 都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当[]12,0,3x x ∈，

且12x x ≠时，都有

1212

()()

0f x f x x x ->-．给出以下三个命题：

①直线6x =-是函数()f x 图像的一条对称轴； ②函数()f x 在区间[]9,6--上为增函数； ③函数()f x 在区间[]9,9-上有五个零点．问：以上命题中正确的个数有（）．（A ）0个

（B ）1个

（C ）2个

（D ）3个

16．如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形.去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星.设正八角星的中心为O ，并且

12,OA e OB e ==u u u r u r u u u r u u r

．若将点O 到正八角星16个顶点的向量都写成 12e e λμλμ+∈R u r u u r

，、的形式，则λμ+的取值范围为（）．

（A

）2??-??

（B

）?-?

（C

）1?--+?

（D

）12??-??

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸

的相应位置写出必要的步骤．

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，在正四棱锥P ABCD -

中，PA AB ==E ，F 分别为PB ，PD 的中点．（1）求正四棱锥P ABCD -的全面积；

（第16题图）

（2）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求平面AEM F 与平面ABCD 所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知向量(cos ,1)2x m =-u r ，2,cos )22

x x n =r ，设函数()1f x m n =?+u r r ．

（1）若[0,

x π

∈，11

()10

f x =

，求x 的值；

（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是c b a ,,且满足2cos 2,b A c ≤求()f B 的取值范围．

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知椭圆22

22C 1(0)x y a b a b

+=>>：的一个顶点坐标为(2,0)A ，且长轴长是短轴长的两倍．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过点(1,0)D 且斜率存在的直线交椭圆于G H 、，G 关于x 轴的对称点为G '，求证：直线G H '恒过定点()4,0．

20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.

设函数()2

()5f x ax a x

-+∈R ．（1）求函数的零点；

（2）当3a =时，求证：()f x 在区间(),1-∞-上单调递减；

（3）若对任意的正实数a ，总存在[]01,2x ∈，使得0()f x m ≥，求实数m 的取值范围．

21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.

给定数列{}n a ，若数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”. （1）已知数列{}n a 的通项公式为3n

n a =，试判断{}n a 是否为封闭数列，并说明理由；

（2）已知数列{}n a 满足122++=+n n n a a a 且212=-a a ，设n S 是该数列{}n a 的前n 项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”{}n a ，使得对任意n ∈*

N 都有0≠n S ，且

12111111818

n S S S <+++

（3）证明等差数列{}n a 成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数1m ≥-，使1a md =．

青浦区2017学年高三年级第二次学业质量调研测试

数学参考答案及评分标准 2018.04

一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.

1．{}

15x x <<或(1,5)； 2．5

2i 2

-； 3．13

；

4．1； 5．33；

6．1

； 7．

π4

；

8．30；

151

192

；

10.5m ≥-；11．1

[,1]2

； 12

4433

M ≤≤. 二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.A ；14.D ； 15．B ；16.C .

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为正四棱锥P ABCD -，取AB 中点G ，连接PG

，

PA AB ==Q

，PG ∴=

=482

S S S +=+??=+侧全底

（2）连接AC ，连接BD ，记AC BD O =I ，因为OA ，OB ，OP 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系O xyz -

．因为PB AB ==Rt Rt POB AOB ?△△．

所以2OA OP ==．

所以(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,0,0)C -，(0,2,0)D -，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(0,1,1)F -．

所以(2,1,1)AE =-u u u r ，(2,1,1)AF =--u u u r

．

设平面AEMF 的法向量为(,,)n x y z =r ，所以0,0,n AE n AF ??=???=??r u u u r

r u u u r

即20,

20.x y z x y z -++=??--+=?

所以0y =．令1x =，2z =，所以(1,0,2)n =r

．

因为平面平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m =u r

设m u r 与n r 的夹角为?

，cos 5m n m n ??==

=-?u r r

u r

r ??= 所以平面AEM F 与平面ABCD

所成锐二面角的大小是． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1

）21cos ()cos cos 112222

x x x x

f x x +=-+=-+

111

cos sin()2262

x x x π=

-+=-+ ∵113() sin(); [0,]10652

f x x x ππ

∴-=∈Q 又 ∴33arcsin arcsin 6565

x x π

π-

=?=+ （2）由A C A B a c A b sin 3sin 2cos sin 232cos 2-≤-≤得

2sin cos 2sin()B A A B A ?≤+

2sin cos 2[sin cos cos sin )B A A B A B A ?≤+

2sin cos cos (0,]6

A B A B B π

?≥?≥

?∈

∴111sin()(,0],()sin()()(0,]62622

B f B B f B π

π-

∈-=-+?∈即 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：（1）因为椭圆22

22C 1(0)x y a b a b

+=>>：的一个顶点坐标为(2,0)A ，即2a =

又长轴长是短轴长的两倍，即241a b b =?=，

所以椭圆方程2

214

x y +=；

（2）解一：设直线GH 的方程为(1)y k x =- ,点1122,,x y x y G （）,H()则11,x y '-G (）联立方程组222222

(1)

(14)844044

y k x y k x k x k x y =-?+-+-=?

+=?消去可得

由韦达定理可得22121222

844

,,1414k k x x x x k k

-+==++ 直线21

1121

(),y y y y x x x x ++=

--，

G H ：

21121221112121

4()

4(4)=y y y x x y y y x y y x x x x x +--++==-+

---当时，

222212122121844

[528][5()28]1414=k k k k x x x x k k x x x x -?-?-+--++=--

222221

4088

[8]1414==0k k k k k x x ---++-

所以直线则H 'G 过定点（4,0）

20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分. 解：（1）①当0a =时，函数的零点为2

x =-

； ②当25

a a ≥-

≠且

时，函数的零点是52x a ±=；

③当25

a <-

时，函数无零点；

（2）当3a =时，2()3+5f x x x =

-，令2

()3+5g x x x

=- 任取12,(,1)x x ∈-∞-，且12x x <，

则()211212121212

()232

2()()3535x x x x g x g x x x x x x x -+??-=-+--+=

??? 因为12x x <，12,(,1)x x ∈-∞-，所以210x x ->，121x x >，从而

()

211212

()230x x x x x x -+>

即1212()()0()()g x g x g x g x ->?>故()g x 在区间(),1-∞-上的单调递减

当(),1x ∈-∞-时，()()6,g x ∈+∞22

()3+5=3+5()f x x x g x x x

∴=

--= 即当3a =时，()f x 在区间(),1-∞-上单调递减；

（3）对任意的正实数a ，存在[]01,2x ∈使得0()f x m ≥，即0max ()f x m ≥，

当()0,x ∈+∞时，

255,022()+525,ax x x a

f x ax x ax x x

?-+<

即()f x

在区间? ??

上单调递减，在区间?+∞????上单调递增；所以{}{}

0max ()max (1),(2)max 7,62f x f f a a ==--，又由于0a >，{}

8max 7,623a a --≥

，所以8

m ≤． 21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分. 解：（1）{}n a 不是封闭数列．

因为取1,2n n ==，则123912a a +=+=，23

3123<<即123,m

a a m +≠∈*

N 从而{}12n a a a +?，所以

{}n a 不是封闭数列；

（2）因为122++=+n n n a a a ，所以{}n a 是等差数列，又212=-a a ，所以()121-+=n a a n ，

若{}n a 是“封闭数列”，所以对任意,s t ∈*

N ，必存在p ∈*

N ，使得

()()()111212121a s a t a p +-++-=+-，即()121a p s t =--+，故1a 是偶数，又对任意n ∈*N 都有

0≠n S ，且

12111111818n S S S <+++

811

a <<，故1a 可取的值为2,4,6经检验得：41=a 或61=a ；

（3）证明：（必要性）任取等差数列的两项,()s t a a s t ≠，若存在k a ，使s t k a a a +=，则

1112(2)(1)(1)a s t d a k d a k s t d ++-=+-?=--+，故存在1m k s t =--+∈Z ，使1a md =

下面证明1m ≥- ①当0d =时，显然成立

②当0d ≠时，若1m <-时则取2p m =-≥，对不同的两项1,p a a ，存在q a ，使1p q a a a +=，即

2(1)(1)0md m d md q d qd +--=+-?=，这与0,0q d >≠矛盾，故存在整数1m ≥-，使1a md =

（充分性）若存在整数1m ≥-，使1a md =，则任取等差数列的两项,()s t a a s t ≠，于是

111+(1)(1)(1)(1)s t a a a s d a t d a s d md t d =+-++-=+-++-11(2)s m t a s m t d a ++-=+++-=，由于

3,1s t m +≥≥-，1s t m ∴++-为正整数，即{}1s m t n a a ++-∈证毕．