上海高考文科数学真题试卷有答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文

2015年上海市文科试题

一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分） 1.函数x x f 2

sin 31)(-=的最小正周期为.

2.设全集R =U .若集合}4,3,2,1{=A ，}32|{<≤=x x B ，则=)(B C A U .

3.若复数z 满足i z z +=+13，其中i 是虚数单位，则=z .

4.设)(1

x f

-为1

2)(+=

x x x f 的反函数，则=-)2(1

f . 5.若线性方程组的增广矩阵为

??0213????21c c 解为???==5

3

y x ，则=-21c c . 6.若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a .

7.抛物线)0(22

>=p px y 上的懂点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p . 8. 方程2)23(log )59

(log 1212+-=---x x 的解为.

9.若y x ,满足0

20x y x y y -≥??

+≤??≥?

，则目标函数2f x y =+的最大值为.

10. 在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）. 11.在6

2

)12(x x +

的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）. 12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为14

22

=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为

13.已知平面向量、、满足⊥，且}3,2,1{|}||,||,{|=c b a ，则||c b a ++的最大值是

14.已知函数x x f s i n

)(=.若存在1x ，2x ，???，m x 满足π6021≤

为

二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.

15. 设1z 、C ∈2z ，则“1z 、2z 均为实数”是“21z z -是实数”的（ ）.

A. 充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件 16. 下列不等式中，与不等式

23

28

2<+++x x x 解集相同的是（ ）.

A. 2)32)(8(2

<+++x x x B. )32(282

++<+x x x

C. 8

2

3212+<

++x x x D. 218322>+++x x x 17. 已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3

π

至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）.

A.

233 B. 2

3

5 C.

211 D. 2

13 18. 设),(n n n y x P 是直线)(1

2*∈+=

-N n n n

y x 与圆222=+y x 在第一象限的交点，则极限=--∞

→1

1

lim

n n n x y ( ).

A. 1-

B. 2

1-

C. 1

D. 2

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19.(本题满分12分)

如图，圆锥的顶点为P ，底面圆为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点，已知2,1PO OA ==，求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 和OE 所成角的大小.

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知函数2

1

()f x ax x

=+

，其中a 为常数 (1)根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； (2)若(1,3)a ∈，判断函数()f x 在[1,2]上的单调性，并说明理由.

21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，,,O P Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米，现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时，乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地，2t t =时，乙到达Q 地.

(1)求1t 与1()f t 的值；

(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当12t t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在12[,]t t 上的最大值是否超过3？说明理由

.

22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

已知椭圆2

2

21x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D ，记A O C ?的面积为S .

(1)设1122(,),(,)A x y C x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12211

2

S x y x y =-；

（2）设1:l y kx =

，33C ?

??

，1

3S =，求k 的值;

(3)设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 和2l 如何变动，面积S 保持不变.

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分8分.

已知数列{}n a 与{}n b 满足112(),*n n n n a a b b n N ++-=-∈. (1)若35,n b n =+且11a =,求{}n a 的通项公式;

(2)设{}n a 的第0n 项是最大项,即0(*)n n a a n N ≥∈,求证:{}n b 的第0n 项是最大项;

(3)设130a λ=<,(*)n

n b n N λ=∈,求λ的取值范围,使得对任意,*m n N ∈，0n a ≠，且

1,66m n a a ??∈ ???

答案 一、（第1题至第14题）

1. π

2.{1.4}

3. 1142i +

4. 2

3

- 5.16 6. 4 7. 2 8. 2

9. 3 10. 120 11.240 12. 22

144

x y -=

13. 3 14.8 二、（第15题至第18题）

15 .A 16.B 17.D 18.A 三、（第19题至第23题） 19.[解] 111

2323

P AOC V -=??= 因为A C

O E ,所以PAC ∠为异面直线PA 与OE 所成的角或其补

角

由2,1PO OA OC ===,

得PA PC ==

AC =在PAC

中，由余弦定理得cos 10PAC ∠=

,故异面直线PA 与OE

所成的角的大小为arccos 10

20.[解]（1）()f x 的定义域为{0,}x x x R ≠∈,关于原点对称，

2211()()f x a x ax x x

-=-+

=--， 当0a =时，()()f x f x -=-为奇函数

当0a ≠时，由(1)1,(1)1f a f a =+-=-，知(1)(1)f f -≠-，故()f x 即不是奇函数也不是偶函数。

（2）设1221x x ≤≤＜，则 22212121122112111()()()()f x f x ax ax x x a x x x x x x ??

-=+

--=-+-????

， 由1221x x ≤≤＜，得21x x -＞0， 2＜12x x +＜4, 1＜12x x ＜4，

1211

4

1x x --

＜＜-，又1＜a ＜3,所以2＜12()a x x +＜12, 得12()a x x +-12

1

x x ＞0，从而21()()f x f x -＞0，即21()()f x f x ＞，故当(1,3)a ∈时， ()f x 在[1,2]上单调递增。

21.[解]（1）138

t =

记乙到P 时甲所在地为R ，则

OR=

15

8

千米。 在OPR 中，PR 2=OP 2

+OR 22OP ·ORcos ∠O,所以13

()418

f t PR ==（千米） （2）278

t =

, 如图建立平面直角坐标系。设经过t 小时，甲、乙所在位置分别为M,N.

当37,88

t ??∈????

时，(3,4),N(3,83),M t t t -

222()(3t 3)(4t 3)254218f t t t =-+-+=-+

()f t 在37,88??

????

上的最大值是

3341

88f ??= ???

，不超过3

22.[证]（1）直线1l ：0yx xy -=，点C 到1l 的距离12122

21

1

y x x y d x y

-=

+

因为2211OA x y =+

所以122111

22S OA d x y x y =

=-. [解]（2）由22

21

y kx x y =??+=?,得2

12112x k =+

由（1）

，122112S x y x y x =

-=-=

13

=，解得1

5k =-或-1

[解]（3）设1l ：y kx =，则2l ：m y x k

=. 设1,1A()x y ,22C(,)x y 由22

21

y kx

x y =??

+=?，得2

12

1

12x k

=

+ 同理22

222

1212k x k m m k ==+??

+ ?

??

、 由（1）,

2

1212212112111222k m

x mx S x y x y x kx x x k k -?=-=-?=??

, 整理得24222222

(81)k (4162)k (81)0S S S m m S m -++++-=

由题意知S 与k 无关，则222

81041620

S S S m m ?-=??++=??，得218

12

S m ?=????=-??，所以12m =- 23.[解](1)由13n n b b +-=，得16n n a a +-=，

所以{}n a 是首项为1，公差为6的等差数列， 故{}n a 的通项公式为n a =65n -,n N

∈

[证]（2）由()112n n n n a a b b ++-=-，得1122n n n n a b a b ++-=- 所以{}2n n a b -为常数列，1122n n a b a b -=-，即1122n n a b a b =+- 因为0n n a a ≥，n N ∈,所以011112222n n b a b b a b +-≥+-，即 0n n b b ≥ 故{}n b 的第0n 项是最大项

[解]（3）因为n n b λ=，所以112()n n

n n a a λλ++-=-，

当2n ≥时，()()n-1n-1n-2n n a a a a a =-+-+…+()211a a a -+

= ()()1122

2n n n n λ

λλλ----+-+…()223λλλ+-+

= 2n

λλ++

当1n =时，13a λ=，符合上式

所以2n

n a λλ=+

因为13a λ=＜0，且对任意n N ∈,11,66n a a ??

∈ ???

，故n a ＜0，特别地2λλ-＜0 于是1,02λ??

∈-

???

此时对任意n N ∈，0n a ≠ 当12

-

＜λ＜0时，2211212,a 2n n n n a λλλλλλ--=+>=-+<，由指数函数的单调性知，

{}n a 的最大值为2220a λλ=+<，最小值为13a λ=，由题意，m n

a

a 的最大值及最小值分别为

12321a a λ=+。由21136λ+>及321λ+<6,解得104

λ-<< 综上所述，λ的取值范围为1,04??

- ???

.