高中数学课程的主线之我见
高中数学课程的主线及对其的理解
高中的数学课程是一个整体，打好基础，首先要抓住贯穿高中数学课程的一些主要的东西，即主线。函数思想、几何思想、算法思想、运算思想、随机思想等都是高中数学课程的主线。
一、函数思想是贯穿整个高中数学课程始终的重要思想之一。为了更好的理解高中数学课程，需要弄清中、小学数学课程中函数思想的发展脉络。
（1）在义务教育阶段，特别是在小学时期，数、量、图、数据（一批数）是引导儿童进入数学的源泉。在开始阶段，数和量常常是交织在一起，通常我们总说数量，数是用来刻画量的大小的一种工具，对于学生来说，我们更需要强调它们之间的联系。以重量、时间、长度、面积、路程等量为背景，对我们理解数的概念、数的表示、数的运算等是十分重要的。
在日常生活中，有两种量——常量和变量。在义务教育阶段，首先，帮助学生理解常量，或者理解数量，理解数量的大小，理解数量的加、减、乘、除，等等。
有些量是已知的，有一些是未知的，渗透未知量的概念，这是对量认识的一个飞跃，在小学阶段，经历了一个很长的过程。例如，在引入减法时，我们常常会使用这样的例子，5加多少等于9，即5+？=9。现在，在小学5、6年级，初步地形成方程的概念，这是对量认识飞跃的一个标志，对方程的认识也是一个很长的过程，把对方程的认识纳入到函数体系，这是克莱因思想的组成部分，是非常重要的。在近代数学中，用算子理论认识微分方程，这两者本质上是一样的。
从常量到变量，这是认识函数思想的另一个飞跃。这件事在小学就开始做了。通过大量的事实，帮助学生了解在日常生活中存在各种变量，例如，时间，路程、速度、加速度、温度、湿度等等。有些变量和变量之间没有依赖关系，例如，速度和湿度就没有依赖关系。有些变量和变量之间存在着依赖关系，一个量的变化引起另一个量的变化。例如，在物理中刻画物体运动时，路程随着时间的变化而变化，又如，世界人口数量是随着时间的变化而变化的。这些变量之间都有着密切的依赖关系。这样的例子比比皆是。
通过大量的实例，就建立起了反映变量之间相互依赖关系的概念——函数关系。虽然这样的描述并不是十分严格，但是这是认识函数关系的重要视角。有人认为这是对函数的初步认识，这种说法不完全，变量与变量的依赖关系，从一个方面，揭示了函数的本质。函数是一个变量与另一个变量之间的一座桥，学习了映射，会对“桥”有更深入的理解
。（2）在高中阶段，学习的知识更加丰
富了。我们利用更丰富的实例引导学生认识到，函数是刻画日常生活和其他学科规律的重要数学模型。在高中数学中，函数模型应该占有很重要的地位。我们在任何一个生活情景中，例如，邮局、加油站、机场等等，都会发现许多描述规律的函数关系。在其他学科，如物理、化学、生物、地理、社会、经济等学科中，描述规律的函数关系比比皆是。
（3）在此基础上，进一步抽象概括出函数的严格数学定义。函数关系像一座桥梁把两个变量联系起来，形象的说，在直角坐标系中，函数图像就像一座桥梁把变量x和y联系起来了。
（4）知道了函数的定义之后，再去研究它的性质。
我们先让学生认识一些具体函数的模型，例如，分段函数，简单的幂函数、指数函数与对数函数、三角函数。结合这些函数，我们引入了刻画函数变化的单调性、周期性、奇偶性等基本的性质。
单调性是中学阶段函数最基本的性质之一。一旦我们弄清了一个函数的单调性，就能刻画出这个函数图形的基本形状，以及这个函数变化的基本状况。例如，简单的幂函数y=x3，当我们知道它在整个实数范围内是单调递增的，那么就可以刻画出函数y=x3的图形的基本形状以及它的变化。
周期性也是中学阶段函数的一个最基本的性质。我们生活在一个周期变化的世界里。因此，学会用周期的观点来看待周围事物的变化是非常重要的。周期函数，比如，正余弦函数、正余切函数都是刻画周期变化的函数模型。用周期的观点来研究函数，可以使我们集中研究函数在一个周期里的变化，在此基础上，就可以了解函数在整个定义域内的变化情况。
奇偶性也是我们在中学阶段要研究的函数的性质，但是它不是最基本的性质。奇偶性反应的是函数图形的对称性质，可以帮助我们更加准确和集中地研究函数的变化规律。
（5）在高中数学课程中，通过函数的学习逐步形成了映射的思想和映射的定义，函数是两个实数集合之间的一种对应关系，而映射是两个集合之间的一种对应关系。映射能够帮助我们更好的理解两类物体之间的“桥梁关系”。映射的思想和函数的思想在本质上是一样的，只是它们连接的两类对象不同。在运用函数（映射）的思想解决问题的过程中，会不断加深对于函数桥梁作用的理解。
（6）函数的思想在其他部分数学内容的学习中发挥着重要作用。
当我们用函数的观点来看待方程的时候，由函数y=f(x)所决定的方程是y=f(x)=0，求方程的解就变成了思考函数图形与x轴的相交关系
，变成了考虑函数的局部性质。能否运用函数整体的性质去讨论方程的求解问题
呢？在高中课程中我们介绍了二分法求解方程。这种二分法解方程体现了这样一种思想：用函数的整体性质讨论函数的局部性质。具体来说，在[a,b]上，给定一个连续函数，若f(a)与f(b)的符号不相同，那么函数图像会从（a, f(a)）点出发穿过x轴到达（b, f(b)）点。这样的性质就能帮助我们运用二分法近似的求出方程的解。
用函数的观点来讨论不等式的问题会有很大的“好处” 。不等式是高中必修课程中一个重要的内容，例如，一元二次不等式，简单的线性规划问题，用函数的观点看待这些问题，有助于更好的理解这些知识本身。
在高中课程中，函数与数列、函数与导数及其应用、函数与算法、函数与概率中的随机变量、函数与选修3、4中的大部分专题内容都有着密切的联系。用函数（映射）的思想去理解这些内容，是非常重要的一个出发点。反过来，通过这些内容的学习，更加深了对于函数思想的认识。
（7）在大学的数学中，函数（映射）的思想依然发挥着重要的作用。例如，数学系的课程中，数学分析、实变函数、复变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等。这些学科都是从不同角度研究函数所构成的课程。值得一提的是，在对其他课程的学习中，函数（映射）思想仍然起到了重要的作用，例如，群结构中的同态、同构；度量结构中的保距；拓扑结构中的连续、同胚；序结构中的保序、同构；等等。这些都是极其重要的映射。
综上所述，函数思想是高中数学课程的一条主线，从一个角度链接起了高中数学课程的许多内容。有了这条主线就可以把数学的知识编织在一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些。
我们学习数学是“线性序”，但数学本身不是“线性的”。我们可以从一个知识出发，推出后面的知识，同样我们也可以从另一个知识出发，按照一定的顺序推出来。如果我们对这个网有了深刻的认识，可以从不同的角度从局部到整体，再从整体到局部，把所学的知识有机地联系起来。
为了在高中数学课程中贯穿这一主线，在教学时，应把握以下几点。
（1）对函数的研究一定不能停留在抽象的讨论。教师应该帮助学生在头脑中建立起几个重要的模型，并把这些留在头脑中。
学生应该在头脑中留下几个具体的实际模型，比如，分段函数，以及基本的函数模型，比如，简单的幂函数、指数函数与对数函数、三角函数。结合这些函数，不断地加深对于函数的定义、性质以及函数研
究方法的理解。再通过这些模型，理解函数与其他数学知识之间的联系，例如，指数函数的性质：a α+β=aα?aβ 。不严格地
说，它把定义域中的加法运算变成了函数值的乘积运算。所以当a>1时，指数函数增长得很快的原因就在于此。
（2）函数的教学一定要突出函数图形的地位。不管是用解析式、图表法还是图像法去刻画一个具体函数时，我们都要让学生在脑子里形成一个图形。只有把握住图形才能把握住一个函数的整体情况，这样的学习习惯有助于提高运用几何思想、把握图形的能力。所以，我们常常说学习函数要体现数形结合。
（3）函数是刻画客观世界的一个基本数学模型。因此，对于函数的学习，应该与体会、感受和运用函数解决问题有机的结合起来。应该引导学生去思考函数的应用问题，特别是思考函数在日常生活和其他学科的应用。可以在教学中渗透数学建模的思想。
（4）在学习与函数知识有关内容时，理解函数思想。实际上，在整个高中数学课程中，都需要不断地体会、理解“函数思想”给我们带来的“好处”。
二、“运算思想”是高中数学课程的主线之一 ，（1）运算思想是数学中最重要的思想之一。代数问题就是运用运算法则可以解决的问题。学生进入学校的第一课，就要学习认识数，进行数的计算。我们做过对数学理解的调查，“数学就是算”，这是最多的回答，“运算”是数学教育最深入人心的内容和思想。对运算思想来说，运算对象和运算规律是最基本的东西。在中小学的数学教育，有三次大的飞跃需要给与特别的关注。数和数的运算是中小学数学课程的最基本的内容；字母代替数，代数式的运算是一次重大的飞跃，它奠定了表示各种数学规律的基础，运用运算规律进行恒等变形构成学习、理解数学的基本技能；引入向量和有关向量的各种运算，这是又一次飞跃，形成了一个新的运算体系，其中的运算比实数要丰富得多。向量不仅是代数对象，也是几何的对象，从而向量成为联系代数和几何的一座“天然的桥梁”，这为我们开辟了数学的一个新的天地。“运算”不仅自成体系，更重要的是它渗透到数学的每一个“角落”。
（2）从自然数、整数、有理数、实数、复数，构成了一个数系扩充的链。实际的需求是数系扩充的动力之一，保持运算的封闭和保持基本运算法则成立是数系扩充的另一个动力。
（3）字母代替数，字母构成的代数式，以及它们所保持的运算法则等，是呈现高中课程内容的基本载体。灵活的运用这些运算法则进行恒等变形，是掌握高
中课程内容的基本技能。
（4）向量进入中学，这是中学课程的一个重大的变化，向量是一个重要的运算对象，向量的加法、向量的减法是向量自身的运算，向量
的数乘是两种运算对象的运算，向量与向量的数量积是一种新的运算形式，它们蕴含着一些运算的规律。从代数上来说，向量极大的丰富了运算规律，使得我们对运算的认识提高到一个新的水平。（V , R, + ,·）构成了代数的新的运算模型，它是线性空间最生动的范例。(V， R，+，.，║║)构成了代数与拓扑密切联系的模型，它是泛函分析中线性赋范空间最生动的范例。还要特别指出的是，尽管向量的内涵很丰富，但是，作为数学研究对象来说，它还是简单、易懂并且容易掌握的。用向量解决几何问题，充分体现了运算的作用。运算在研究其他数学问题中也发挥重要的作用。
（5）在高中课程中，有两部分内容集中的介绍了运算：一部分是向量，包括平面向量和空间向量；另一部分是数系的扩充与复数。
（6）在高中课程的其他内容中，也渗透了一些其他的运算对象和运算规律，例如，在指数、对数、三角函数等内容的学习中，蕴含着一些新的运算法则。掌握这些特殊的运算规律，是理解相关的数学概念的基础。
（7）高中数学课程中，有各种各样的恒等变形。这些恒等变形就是运用各种运算法则进行的。全面地梳理高中课程中的运算对象和运算法则是非常有意义的，比较不同运算对象、不同的运算法则，发现、思考它们之间的联系。例如，在不等式等的学习中，无论是证明，还是求解，都是在运用各种运算法则进行恒等变形，通过恒等变形把我们不会解的问题变成我们会解的问题。
三、“几何思想（把握图形）”是高中数学课程主线之一（1）在这次数学课程标准研制过程中，几何是我们花费心思最多的内容之一。在数学课程中，几何是“图”“文”并茂的内容，它把数学所特有的逻辑思维和形象思维有机地结合起来。几何思想主要体现在把握图形的能力。把握图形的能力包括空间想象力、直观洞察力、用图形的语言来思考问题的能力。借助几何这个载体，可以培养学生的逻辑推理能力。（2）几何课程的设计分为两部分，一部分是几何本身；另一部分是运用几何思想、把握图形的能力去思考其他的数学问题。重视几何内容本身是共识，但是，在学习其他数学内容时，如何运用几何思想、把握图形的能力去学习其它的数学，没有引起足够的重视。最近，我们听了很多课，最令我们感到遗憾的，教师不太喜欢“画图”，讲解析几
何也不画图，在思考一些问题时，学生常常容易“漏掉”一些解。如果教师在解决问题时，引导学生画个图，则就会一目了然。当代著名数学Atya说过‘代数是有序逻辑，几何是直观逻辑。’这是非常有道
理的。逻辑推理是数学特别关注的，所有数学都应该关注，几何也不例外，但是，我们必须重视培养学生把握图形的能力，包括空间想象力、直观洞察力、用图形的语言来思考问题的能力。“图”可以帮助思考，把抽象地东西变得直观，把难的变得容易。（3）在高中数学课程中，几何内容分为立体几何和解析几何。立体几何分为必修课程中的“立体几何初步”和选修2-1中的“空间向量与立体几何”。解析几何分为必修课程中的“解析几何初步”和选修1-1和选修2-1中的“圆锥曲线”。每一部分的定位我们将在必修、选修课程的定位中给予详细的说明。（4）我们应该把几何思想（把握图形的能力）渗透到高中数学学习的各个方面。例如，在函数的学习中，一定要突出函数图形的地位。又如，在思考数学问题的时，能画图尽量画图，目的是把抽象的东西直观的表示出来，把本质的东西显现出来。在数学学习时，应该帮助学生养成一种用直观的图形语言，刻画、思考问题习惯。
四、“算法思想”是高中数学课程的主线之一（1） 算法思想是贯穿高中课程的一条主线。算法思想就是指按照一定的步骤，一步一步去解决某个问题的程序化思想。在数学中，完成每一件工作，例如，计算一个函数值，求解一个方程，证明一个结果，等等，我们都需要有一个清晰的思路，一步一步地去完成，这就是算法的思想，程序化的思想。以前，我们没有给出算法这个名词，但是，我们一直在利用算法的思想。尤其在计算机普及的时代，程序化越来越为人们普遍接受，提高设计“算法的能力”变得很必要了。
（2） 在高中数学课程的设计中，算法分为两部分，一部分是介绍算法的基本思想和基本知识。另一部分是把算法思想渗透到高中课程的其他内容中。
（3）在高中数学课程中，我们通过以下几个步骤，介绍算法的基本思想和基本知识。
用自然语言描述算法；
用框图语言描述算法；
用基本语句（伪代码）描述算法。
有条件的地方可以使用程序语言描述算法，并上机操作。
（4） 算法思想可以很好的培养学生的逻辑推理能力。给出一个算法，实际上是给出了一种实现的方法，就是一种构造型的证明或论证。在实验的过程中，算法课程学生是欢迎的，提高了学生的逻辑思维能力。并且，很容易把这样的
思维习惯迁移到日常生活中，这正是数学教育所期待的。
对于算法的教学，应注意以下几点：
（1） 突出算法思想，强调解决问题的通性通法，而不去关注问题的特殊技巧。
（2）通过学生熟
悉的实例和数学中的实例进行教学，即案例教学；引导学生动手实践，在做中学习、体会、理解算法的基本思想。
例如，在电视台的某个娱乐节目中，要求参与者快速猜出物品价格。主持人出示某件物品，参与者每次估算出一个价格，主持人只能回答高了、低了或者正确。下面是主持人和参与者的一段对话：
参与者：800元！
主持人：高了！
参与者：400元！
主持人：低了！
参与者：600元！
主持人：低了！
……
如果你是参与者，你接下来会怎么猜？
分析：
如果我们用P表示商品的价格.
由主持人的第一个判断， P在0至800元之间；
由主持人的第二个判断， P在400至800元之间；
由主持人的第三个判断， P在600至800元之间；
根据参与者的猜测，我们知道，首先参与者需要确定商品价格的范围，数学上一般可以用区间来表示，然后报出区间中点，根据主持人的判断，将价格区间缩小一半。
因此，我们知道下一步参与者要猜的数应是700元，根据主持人的判断继续报价。
实际上，我们可以把上述过程概括如下：
（1）报出首次价格；
（2）根据主持人的判断确定价格区间。
①报价小于商品价格，则继续报出较高价格，如果报出商品准确价格，游戏结束；否则，某次价格P1会大于实际价格P，从而确定商品的价格区间为(P‘,P1)，其中P‘是P1之前报出的价格;
②如果报价大于商品价格，并记报价为P1,则商品的价格区间为(0, P1);
③如果报价等于商品价格，则游戏结束。
（3）如果游戏没有结束，并设得到的价格区间为（T1,T2）报出价格区间的中点T3；
（4）根据主持人的判断确定价格区间
①如果P> T3，则商品价格区间为（T3，T2）；
②如果P< T3，则商品的价格区间为(T2, T3);
③如果P＝T3，则游戏结束。
按照上述方法，继续判断，直到游戏结束。像这样的一系列步骤通常称为解决这个问题的一个算法。
五、统计思想”和“随机思想”函数是高中数学课程的主线之一（1）随机思想是认识随机现象和统计规律的重要思想，统计思想主要体现在把握数据的能力，养成会用数据“说事”，收集数据，整理数据，分析数据，从数据中提取信息，并利用这些信息说明问题，在这个过程中，形成对数据的敏感，养成会用数据“说事”的习惯。随机思想渗透在统计的过
程中，这两部分内容联系非常紧密。在中小学阶段，统计的分量要更大一些。在高中阶段，随机思想和统计思想的介绍分为两部分，在必修中，设计了概率初步和统计初步的内容；在选修1-2和选修2-2中，设计了统计案例；在选修2-3中，设计了对
于概率的进一步理解的内容，主要有随机变量和一些离散的随机变量模型。（2）必修的统计课程，我们希望学生对统计有一个初步的认识。希望学生通过案例体会统计的全过程：收集数据、利用图表整理和分析数据、求出数据的数字特征、进行统计推断。在这个过程中，进一步体会随机思想和统计的重要性。
（3）必修的概率课程，我们希望学生能够通过对日常生活中的随机现象，对概率的概念有一个较好的认识，例如，降水概率、彩票的中奖率等等随机现象。通过古典概型和随机模拟了解概率的意义和初步的应用。（4）在选修2-3中，我们希望学生认识到分布列是描述随机现象的规律。通过一些典型的分布列，例如二项分布、超几何分布等，进一步体会概率在研究随机现象中的作用。（5） 在选修1-2和2-2中，介绍了几种常见的统计案例。（6）随机思想与传统的数学思想有比较大的不同。有的方法看起来不难，但是理解起来还是有困难的，建议教师通过大量的具体案例来帮助学生理解。在统计课程中，案例教学是基本的教学模式，通过对案例的学习体会数据处理的过程和思想。
以上对这几种基本思想作了一个初步分析，它们彼此之间的联系是值得思考的另一个重要问题。例如，“运算思想”与“几何思想”的联系，就是解析几何的基本思想。在教学过程，应该不断地加以补充、完善。