第六章 实数单元测试附解析

第六章实数单元测试附解析

一、选择题

1．对一组数(x,y)的一次操作变换记为P1(x,y)，定义其变换法则如下：P1(x,y)=(x+y,x-y)，且规定P n(x,y)=P1(P n-1(x,y))（n为大于1的整数），如：P1(1,2)=(3,-1)，P2(1,2)= P1(P1(1,2))= P1(3,-1)=(2,4)，P3(1,2)= P1(P2(1,2))= P1(2,4)=(6,-2)，则P2017(1,-1)=（）．

A．（0，21008） B．（0，-21008） C．（0，-21009） D．（0，21009）

2．下列说法正确的个数有（）

①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；

②垂线段最短；

③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的；

④算术平方根和立方根都等于它本身的数是0和1；

⑤5的小数部分是51

-．

A．1B．2C．3D．4

3．16的算术平方根是（）

A．2 B．2

±C．4D．4±

4．下列结论正确的是（）

A．无限小数都是无理数

B．无理数都是无限小数

C．带根号的数都是无理数

D．实数包括正实数、负实数

5．下列说法正确的是（）

A．m

-一定表示负数B．平方根等于它本身的数为0和1

C．倒数是本身的数为1 D．互为相反数的绝对值相等

6．0，0.121221222，1

3

，25，

2

π

，

3

3

这6个实数中有理数的个数是（）

A．2 B．3 C．4 D．5

7．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是2和﹣1，则点C所对应的实数是（）

A．12B．22

+C．221D．221

8．下列说法：①±3都是27的立方根；②

1

16

的算术平方根是±

1

4

38-216

的平方根是±4；⑤﹣9是81的算术平方根，其中正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

9．22

43522

443355

+=22

444333555

+=，仔细观

察上面几道题的计算结果，试猜想222020420203

44433

3+个个等于（ ）

A ．

20174

555个

B ．

20185

555个

C ．

20195

555个

D ．

20205

555个

10．若x ，y 都表示有理数，那么下列各式一定为正数的是（ ） A ．2

12

x +

B ．()2

x y +

C ．2

2x

y +

D ．5x +

二、填空题

11．[x )表示小于x 的最大整数，如[2.3)=2，[-4)=-5，则下列判断：①[3

8

5

-)= 8-；②[x )

–x 有最大值是0；③[x ) –x 有最小值是-1；④x 1-≤[x )

的所有整数的和，N 是满足不等式x ≤

372

2

-的最大整数，则M ＋N 的平方根为________． 13．实数,,a b c 在数轴上的点如图所示，化简

()

()

2

2

2a a b c b c +

+--

-=__________．

14．若()2

320m n ++-=，则m n 的值为 ____.

15．将1,2,3,6按下列方式排列，若规定(,)m n 表示第m 排从左向右第n 个数，则（20，9）表示的数的相反数是___

16．a※b 是新规定的这样一种运算法则：a※b=a+2b，例如3※（﹣2）=3+2×（﹣2）=﹣1．若（﹣2）※x=2+x，则x 的值是_____．

17．如果一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是______. 18．23(2)0y x --=，则y x -的平方根_________．

19．34330035.12=30.3512x =-，则x =_____________．

20．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a ，b ，都有*1a b b ．例如

89914*=，那么*(*16)m m =__________．

三、解答题

21．读一读，式子“1＋2＋3＋4＋5＋…＋100”表示从1开始的100个连续自然数的

和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1＋2＋3＋4＋5

＋…＋100”表示为

100

1

n n

=

∑，这里“∑”是求和符号．例如：1＋3＋5＋7＋9＋…＋99，即从

1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为

50

1(21)

n

n =

-

∑，又知13＋23＋33＋43＋53＋63＋

73＋83＋93＋103可表示为

10

3

1

n

n

=

∑．通过对以上材料的阅读，请解答下列问题．

（1）2＋4＋6＋8＋10＋…＋100(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用求和符合可表示为_________．

（2）1＋1

2

＋

1

3

＋…＋

1

10

用求和符号可表示为_________．

（3）计算

6

2

1

1

n

n

=

-

∑()＝_________．(填写最后的计算结果)

22．定义☆运算：

观察下列运算：

（+3）☆（+15）＝ +18（﹣14）☆（﹣7）＝ +21

（﹣2）☆（+14）＝﹣16（+15）☆（﹣8）＝﹣23

0☆（﹣15）＝ +15（+13）☆ 0＝ +13

两数进行☆运算时，同号，异号．

特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算,．

（2）计算：（﹣11）☆ [0☆（﹣12）]＝．

（3）若2×（﹣2☆a）﹣1＝8，求a的值．

23．我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”，请根据图形回答下列问题：

(1)线段OA的长度是多少?(要求写出求解过程)

(2)这个图形的目的是为了说明什么?

(3)这种研究和解决问题的方式体现了的数学思想方法.(将下列符合的选项序号填在横线上)

A．数形结合 B．代入 C．换元 D．归纳

24．对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反

数”

（1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立；

（2x+5的平方根是它本身，求x+y 的立方根． 25．计算：

（1）()2

3

2018

1122??

-+- ???

（23

26．已知A 、B 在数轴上对应的数分别用a 、b 表示，且2

110|2|02ab a ??++-= ???

，点P 是数轴上的一个动点．

（1）求出A 、B 之间的距离；

（2）若P 到点A 和点B 的距离相等，求出此时点P 所对应的数；

（3）数轴上一点C 距A 点c 满足||ac ac =-．当P 点满足2PB PC =时，求P 点对应的数．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D

【解析】分析：用定义的规则分别计算出P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6，观察所得的结果，总结出规律求解.

详解：因为P 1（1，-1）=（0，2）； P 2（1，-1）=P 1(P 1(1,-1）)=P 1(0,2)=(2,-2)； P 3（1，-1）=P 1（P 2(2,-2)）=(0,4)； P 4（1，-1）=P 1（P 3(0,4)）=(4,-4)； P 5（1，-1）=P 1（P 4(4,-4)）=(0,8)； P 6（1，-1）=P 1（P 5(0,8)）=(8,-8)； ……

P 2n-1（1，-1）=……=(0,2n )； P 2n （1，-1）=……=(2n ,-2n ). 因为2017=2×

1009-1， 所以P 2017=P 2×1009-1=（0，21009）. 故选D.

点睛：对于新定义，要理解它所规定的运算规则，再根据这个规则进行相关的计算；探索

数字的变化规律通常用列举法，按照一定的顺序列举一定数量的运算过程和结果，从运算过程和结果中归纳出运算结果或运算结果的规律.

2．C

解析：C

【分析】

根据平行公理的推论，垂线的性质，估算无理数的大小，算术平方根和立方根逐个判断即可．

【详解】

①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误；

②垂线段最短，故②正确；

③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，故③正确；

④算术平方根和立方根都等于它本身的数是0和1，故④正确；

2，故⑤错误；

即正确的个数是3个，

故答案为：C．

【点睛】

本题考查了平行公理的推论，垂线的性质，估算无理数的大小，算术平方根和立方根等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．

3．C

解析：C

【分析】

本题是求16的算术平方根，应看哪个正数的平方等于16，由此即可解决问题．

【详解】

∵（±4）2=16，

∴16的算术平方根是4．

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了算术平方根的运算．一个数的算术平方根应该是非负数．

4．B

解析：B

【分析】

利用无理数，实数的性质判断即可．

【详解】

A、无限小数不一定是无理数，错误；

B、无理数都是无限小数，正确；

C、带根号的数不一定是无理数，错误；

D、实数包括正实数，0，负实数，错误，

故选：B．

【点睛】

考核知识点：实数.理解实数的分类是关键.

5．D

解析：D 【分析】

当m 是负数时，-m 表示正数；平方根等于本身的数是0；倒数等于本身的数是±1；互为相反数的绝对值相等. 【详解】

A. 若m=﹣1，则﹣m=﹣（﹣1）=1，表示正数，故A 选项错误；

B. 平方根等于它本身的数为0，故B 选项错误；

C. 倒数是本身的数为1和﹣1，故C 选项错误；

D. 互为相反数的绝对值相等，故D 选项正确； 故选D 【点睛】

本题考查了平方根、倒数以及相反数的概念，熟练掌握各个知识点是解题关键.

6．C

解析：C 【分析】

根据有理数的定义：整数和分数统称为有理数即可判断． 【详解】

0是整数，是有理数，

0.121221222是有限小数，是有理数，

1

3

是分数，是有理数，

，是有理数，

2

是含π的数，是无理数，

综上所述：有理数有0，0.121221222，1

3

4个， 故选C. 【点睛】

本题考查了实数的定义，解答此题要明确有理数和无理数的概念和分类．有理数是指有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数.

7．D

解析：D 【分析】

设点C 所对应的实数是x ，根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可

列方程求解即可． 【详解】

设点C 所对应的实数是x ．

则有x ﹣（﹣1），

解得+1． 故选D ． 【点睛】

本题考查的是数轴上两点间距离的定义，根据题意列出关于x 的方程是解答此题的关键．

8．A

解析：A 【分析】

根据平方根，算术平方根，立方根的定义找到错误选项即可． 【详解】

①3是27的立方根，原来的说法错误； ②

116的算术平方根是1

4

，原来的说法错误；

2是正确的；

4，4的平方根是±2，原来的说法错误； ⑤9是81的算术平方根，原来的说法错误． 故其中正确的有1个． 故选：A ． 【点睛】

本题考查了立方根，平方根，算术平方根的知识；用到的知识点为：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个正数的平方根有2个；任意一个数的立方根只有1个．

9．D

解析：D 【分析】

当根号内的两个平方的底数为1位数时，结果为5，当根号内的两个平方的底数为2位数时，结果为55，当根号内的两个平方的底数为3位数时，结果为555，据此即可找出规律，根据此规律作答即可． 【详解】

5，

55=，

555=，

……

20205

55

5

个．

故选：D ． 【点睛】

本题主要考查了与算术平方根有关的数的规律探求问题，解题的关键是由前三个式子找到规律，再根据所找到的规律解答．

10．A

解析：A 【分析】

根据平方的非负性、绝对值的非负性以及实数的分类进行判断即可得解． 【详解】 解：A.∵20x ≥

∴2

1122x +

≥ ∴2

12

x +一定是正数；

B. ∵()2

0x y +≥ ∴()2

x y +一定是非负数； C.∵20x ≥，20y ≥ ∴2

2

0≥+x y ∴2

2x

y +一定是非负数；

D. ∵50x +≥ ∴5x +一定是非负数． 故选：A 【点睛】

本题考查了平方的非负性、绝对值的非负性以及实数的分类，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．

二、填空题

11．③，④ 【分析】

①[x) 示小于x 的最大整数，由定义得[x)x≤[x)+1，[)<<-8，[)=-9即可， ②由定义得[x)x 变形可以直接判断， ③由定义得x≤[x)+1，变式即可判断， ④由定义

解析：③，④ 【分析】

①[x) 示小于x的最大整数，由定义得[x)

3

8

5

-)<

3

8

5

-<-8，[

3

8

5

-)=-9即可，

②由定义得[x)

③由定义得x≤[x)+1，变式即可判断，

④由定义知[x)

由定义知[x)

①[

3

8

5

-)=-9①不正确，

②[x)表示小于x的最大整数，[x)

③x≤[x)+1，[x)-x≥-1，[x)–x有最小值是-1，③正确，

④由定义知[x)

由x≤[x)+1变形的x-1≤[x)，

∵[x)

∴x1

-≤[x)

④正确．

故答案为：③④．

【点睛】

本题考查实数数的新规定的运算，阅读题给的定义，理解其含义，掌握性质[x)

12．±2

【分析】

首先估计出a的值，进而得出M的值，再得出N的值，再利用平方根的定义得出答案．

【详解】

解：∵M是满足不等式－的所有整数a的和，

∴M＝－1＋0＋1＋2＝2，

∵N是满足不等式x≤的

解析：±2

【分析】

首先估计出a的值，进而得出M的值，再得出N的值，再利用平方根的定义得出答案．【详解】

解：∵M a

<

∴M＝－1＋0＋1＋2＝2，

∵N是满足不等式x≤

2

2

的最大整数，

∴N＝2，

∴M ＋N ＝±2． 故答案为：±2． 【点睛】

此题主要考查了估计无理数的大小，得出M ，N 的值是解题关键．

13．0 【分析】

由数轴可知，，则，即可化简算术平方根求值. 【详解】

解：由数轴可知，， 则， ，

故答案为：0. 【点睛】

此题考查数轴上数的大小关系，算术平方根的性质，整式的加减计算.

解析：0 【分析】

由数轴可知，0b c a <<<，则0,0a b b c +<-<，即可化简算术平方根求值. 【详解】

解：由数轴可知，0b c a <<<， 则0,0a b b c +<-<，

||()()0c a a b c b c a a b c b c =-+++-=--++-=，

故答案为：0. 【点睛】

此题考查数轴上数的大小关系，算术平方根的性质，整式的加减计算.

14．【分析】

根据非负数的性质列式求出m 、n 的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】

由题意得，m+3=0，n-2=0， 解得m=-3，n=2， 所以，mn=（-3）2=9． 故答案为9． 【

解析：【分析】

根据非负数的性质列式求出m 、n 的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】

由题意得，m+3=0，n-2=0，

解得m=-3，n=2，

所以，m n=（-3）2=9．

故答案为9．

【点睛】

此题考查绝对值和算术平方根非负数的性质，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．

15．【分析】

根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：

1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列

解析：

【分析】

根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．

【详解】

（20，9）表示第20排从左向右第9个数是从头开始的第1+2+3+4+…+19+9=199个数，

÷=……，即1中第三个数

∵1994493

故答案为．

【点睛】

此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目找准变化是关键．

16．4

【解析】根据题意可得（﹣2）※x=﹣2+2x，进而可得方程﹣2+2x=2+x，解得：x=4.

故答案为：4．

点睛：此题是一个阅读理解型的新运算法则题，解题关键是明确新运算法则的特点，然后直接根

解析：4

【解析】根据题意可得（﹣2）※x=﹣2+2x，进而可得方程﹣2+2x=2+x，解得：x=4.

故答案为：4．

点睛：此题是一个阅读理解型的新运算法则题，解题关键是明确新运算法则的特点，然后直接根据新定义的代数式计算即可.

17．0

试题解析：平方根和它的立方根相等的数是0．

解析：0 【解析】

试题解析：平方根和它的立方根相等的数是0．

18．【分析】

根据算术平方根的性质及乘方的性质解答，得到y=3，x=2，再进行计算即可. 【详解】 解：，且， ∴y-3=0，x-2=0， ． ．

的平方根是． 故答案为：. 【点睛】 此题考查算术平 解析：±1

【分析】

根据算术平方根的性质及乘方的性质解答，得到y=3，x=2，再进行计算即可. 【详解】

解：

23(2)0y x -+-=20,(2)0x -≥，

∴y-3=0，x-2=0，

3,2y x ∴==．

1y x ∴-=．

y x ∴-的平方根是±1．

故答案为：±1. 【点睛】

此题考查算术平方根的性质及乘方的性质，求一个数的平方根，根据算术平方根的性质及乘方的性质求出x 与y 的值是解题的关键.

19．－0.0433 【分析】

三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x 的值． 【详解】

从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添

解析：－0.0433

三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x的值．

【详解】

从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添加了“－”

∴根据规律，三次根式内的式子应该缩小1000000倍，且添加“－”

故答案为：－0.0433

【点睛】

本题考查三次根式的规律，二次根式规律类似：二次根号内的式子扩大或缩小100倍，则得到的结果扩大或缩小10倍．

20．+1

【分析】

首先正确理解题目要求，然后根据给出的例子进行计算即可．

【详解】

m*（m*16）

=m*（+1）

=m*5

=+1．

故答案为：+1．

【点睛】

此题考查实数的运算，解题的关键是要

【分析】

首先正确理解题目要求，然后根据给出的例子进行计算即可．

【详解】

m*（m*16）

=m*

）

=m*5

=．

．

【点睛】

此题考查实数的运算，解题的关键是要掌握运算法则．三、解答题

21．（1）

50

12

n

n =

∑；（2）10

11

n

n =

∑；（3）50

（1）根据题中的新定义得出结果即可； （2）根据题中的新定义得出结果即可；

（3）利用题中的新定义将原式变形，计算即可得到结果． 【详解】

解：解：（1）根据题意得：2+4+6+8+10+…+100=50

12n n =∑；

（2）1＋1

2＋13

＋…＋110=1011n n =∑；

（3）原式=1-1+4-1+9-1+16-1+25-1+36-1=85． 故答案为：（1）50

12n n =∑；（2）

10

1

1

n n =∑；（3）85． 【点睛】

此题考查了有理数的加法和减法运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．

22．（1）得正，再把绝对值相加；得负，再把绝对值相加；等于这个数的绝对值；（2）-23；（3）a=-5

2

【分析】

（1）通过观察表中各算式，然后从两数的符号关系或是否有0出发归纳出☆运算的法则； （2）根据（1）归纳的☆运算的法则进行计算，注意先算括号内的，再与括号外的计算； （3）根据（1）归纳出的运算法则对a 的取值进行分类讨论即可得到答案． 【详解】

(1)由表中各算式，可以得到：同号得正，再把绝对值相加； 异号得负，再把绝对值相加；特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算,结果等于这个数的绝对值； （2）由（1）归纳的☆运算的法则可得：

原式=（﹣11）☆|-12|=（﹣11）☆12= -（|（﹣11）|+|12|）= -23；

（3）①当a=0时，左边=()22012213?--=?-=☆，右边=8，两边不相等，∴a≠0； ②当a>0时，2×（﹣2☆a）﹣1＝2×[-（2+a ）]﹣1＝8,可解得13

2

a =-

（舍去）， ③当a<0时，2×（﹣2☆a）﹣1＝2×（|﹣2|+|a|）﹣1＝8，可解得a=52

-， 综上所述：a=-52

． 【点睛】

本题考查新定义的实数运算，通过观察实例归纳出运算规律是解题关键． 23．

；(2)数轴上的点和实数是一一对应关系；(3)A. 【分析】

（1）首先根据勾股定理求出线段OB 的长度，然后结合数轴的知识即可求解；

（2）根据数轴上的点与实数的对应关系即可求解；

（3）本题利用实数与数轴的对应关系即可解答．

【详解】

解：(1)OB2＝12+12＝2，

∴OB，

∴OA＝

(2)数轴上的点和实数是一一对应关系

(3) 这种研究和解决问题的方式，体现的数学思想方法是数形结合．

故选A.

【点睛】

本题主要考查了实数与数轴之间的关系，此题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉平方根的定义．也要求学生了解数形结合的数学思想．

24．（1）成立，例子见解析；（2）﹣2

【分析】

（1

（2）根据互为相反数的和为0，列等式可得y的值，根据平方根的定义得：x+5＝0，计算x+y并计算它的立方根即可．

【详解】

解：（10，则2+（﹣2）＝0，即2与﹣2互为相反数；

所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立；

（2

＝0，

∴8﹣y+2y﹣5＝0，

解得：y＝﹣3，

∵x+5的平方根是它本身，

∵x+5＝0，

∴x＝﹣5，

∴x+y＝﹣3﹣5＝﹣8，

∴x+y的立方根是﹣2．

【点评】

本题考查立方根和平方根的知识，难度一般，注意互为相反数的和为0，知道这一知识是本题的关键．

25．（1）-34；（2）3

【分析】

（1）利用乘方、立方、二次根式、开立方等概念分别化简每项，再整理计算即可；（2）利用绝对值的意义化简每一项，再整理计算即可．

【详解】

解：（1）()2

3

2018

11

22??

-+- ???

()()118444

=-+-?+-?

()1321=--+-

=-34；

（23

3=-

+-

+

-

3=

【点睛】

此题考查了有理数的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

26．（1）12；（2）-4；（3）2--或14-【分析】

（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得a 、b 的值，根据两点间的距离，可得答案；

（2）根据A 和B 所对应的数，可得AB 中点所表示的数，即为点P 所表示的数； （3）根据题意可以得到c 的值，然后利用分类讨论的方法即可求得点P 对应的数. 【详解】

解：（1）∵2

110|2|02ab a ??++-= ???

， ∴

1

1002

ab +=，20a -=， 解得：a=2，b=-10，

∴A 、B 之间的距离为：2-（-10）=12； （2）∵P 到A 和B 的距离相等， ∴此时点P 所对应的数为：

()21042

+-=-；

（3）∵|ac|=-ac ，a=2＞0，

∴c ＜0，又|AC|=

∴c=2-BC=12- ∵2PB PC =，

①P 在BC 之间时，点P 表示(2

101223

-+?-=--

②P 在C 点右边时，点P 表示(1021214-+?-=-

∴点P 表示的数为：2--或14- 【点睛】

本题主要考查数轴上的点与绝对值的关系和平方与绝对值的非负性，另外此题有一个易错点，第（3）题中，要注意距离与数轴上的点的区别．