夺分宝典--高中数学必修一知识梳理和易错点分析(1)
高中数学必修一知识梳理和易错点分析
第一章 集合
§1.1 集合的概念与运算 一、知识导学
1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.
2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.
3.子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（若A a ?则B a ∈），则称 集合A 为集合B 的子集，记为A ?B 或B ?A ；如果A ?B ，并且A ≠B ，这时集合A 称为集合B 的真子集，记为A B 或B
A.
4.集合的相等：如果集合A 、B 同时满足A ?B 、B ?A ，则A=B.
5.补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记 为
A
C s .
6.全集：如果集合S 包含所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常 记作U.
7.交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集， 记作A ?B.
8.并集：一般地，由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并 集，记作A ?B.
9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作Φ. 10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集. 11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.
12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.
13.常用数集的记法：自然数集记作N ，正整数集记作N+或N *
，整数集记作Z ，有理数集记作Q ，实数集记作R. 二、疑难知识导析 1.符号?，，?，
，=，表示集合与集合之间的关系，其中“?”包括“”和“=”
两种情况，同样“?”包括“”和“=”两种情况.符号∈，?表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.
2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.
3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.
4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=Φ易漏掉的情况.
5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.
6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.
7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、V enn 图等将有关集合直观地表示出来. 8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用. 9.含有n 个元素的集合的所有子集个数为：n
2，所有真子集个数为：n
2-1 三、经典例题导讲
[例1] 已知集合M={y|y =x2＋1,x ∈R},N={y|y =x ＋1,x ∈R}，则M∩N=（ ） A ．（0，1），（1，2） B ．{（0，1），（1，2）} C ．{y|y=1,或y=2} D ．{y|y≥1}
错解：求M∩N 及解方程组???+=+=112x y x y 得?
??==10y x 或
??
?==21
y x ∴选B
错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是实数对(x,y)，因此M 、N 是数集而不是点集,
M 、N 分别表示函数y=x2＋1(x ∈R)，y=x ＋1(x ∈R)的值域，求M∩N 即求两函数值域的交集．
正解：M={y|y=x2＋1,x ∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x ＋1,x ∈R}={y|y ∈R}． ∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y ∈R)}={y|y≥1}, ∴应选D ．
注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x ∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x ∈R}，这三个集合是不同的．
[例2] 已知A={x|x2－3x ＋2=0},B={x|ax －2=0}且A ∪B=A ，求实数a 组成的集合C ． 错解：由x2－3x ＋2=0得x=1或2． 当x=1时，a=2， 当x=2时，a=1．
错因：上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B=时，仍满足A ∪B=A. 当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}． 正解：∵A ∪B=A ∴B A 又A={x|x2－3x ＋2=0}={1，2}
∴B=或{}
{}21或 ∴C={0，1，2}
[例3]已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有： （ ） A ．m+n ∈A B. m+n ∈B C.m+n ∈C D. m+n 不属于A ，B ，C 中任意一个 错解：∵m ∈A ，∴m=2a,a Z ∈,同理n=2a+1,a ∈Z, ∴m+n=4a+1,故选C 错因是上述解法缩小了m+n 的取值范围.
正解：∵m ∈A, ∴设m=2a1,a1∈Z, 又∵n B ∈,∴n=2a2+1,a2∈ Z , ∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2∈ Z , ∴m+n ∈B, 故选B.
[例4］ 已知集合A={x|x2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p －1}．若B
A ，求实数p 的
取值范围．
错解：由x2－3x －10≤0得－2≤x≤5．
欲使B A ，只须335121
2≤≤-???
?≤-+≤-p p p
∴ p 的取值范围是－3≤p≤3.
错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设． 正解：①当B≠时，即p ＋1≤2p －1p≥2. 由B A 得：－2≤p ＋1且2p －1≤5. 由－3≤p≤3. ∴ 2≤p≤3
②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2. 由①、②得：p≤3.
点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A ∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题． [例5] 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B ，求c 的值．
分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 解：分两种情况进行讨论．
（1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac2，消去b 得：a ＋ac2－2ac=0，
a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0． ∴c2－2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解． （2）若a ＋b=ac2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac2－ac －a=0， ∵a≠0，∴2c2－c －1=0，
即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－21
．
点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.
[例6] 设A 是实数集，满足若a ∈A ，则a -11
∈A ，1≠a 且1?A.
⑴若2∈A ，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素. ⑵A 能否为单元素集合？请说明理由.
⑶若a ∈A ，证明：1－a 1
∈A.
⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.
解：⑴2∈A ? －1∈A ? 21
∈A ? 2∈A ∴ A 中至少还有两个元素：－1和21
⑵如果A 为单元素集合，则a ＝a -11
即12
+-a a ＝0
该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集
⑶a ∈A ? a -11∈A ?
a --
1111
∈A ?111---a a ∈A ，即1－a 1∈A ⑷由⑶知a ∈A 时，a -11∈A ， 1－a 1∈A .现在证明a,1－a 1, a -11
三数互不相等.①若a=a -11,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a ≠a -11 ②若a=1－a 1，即a2-a+1=0，方程无解∴a ≠1－a 1
③若1－a 1 =a -11，即a2-a+1=0，方程无解∴1－a 1≠a -11
.
综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.
点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.
[例7] 设集合A={a |a =12+n ,n ∈N+}，集合B={b |b =542
+-k k ,k ∈N+}，试证：A B ． 证明：任设a ∈A ，
则a =12
+n =(n ＋2)2－4(n ＋2)＋5 (n ∈N+), ∵ n ∈N*，∴ n ＋2∈N* ∴ a ∈B 故 ①
显然，1{}
*
2,1|N n n a a A ∈+==∈，而由
B={b |b =542+-k k ,k ∈N+}={b |b =
1)2(2+-k ，k ∈N+}知1∈B ，于是A≠B ②
由①、② 得A B ． 点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系． （2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义． 四、典型习题导练
1．集合A={x|x2－3x －10≤0，x ∈Z}，B={x|2x2－x －6＞0， x ∈ Z}，则A ∩B 的非空真子集的个数为（ ）
A ．16
B ．14
C ．15
D ．32
2．数集{1，2，x2－3}中的x 不能取的数值的集合是（ ）
A ．{2，-2 }
B ．{－2，－5 }
C ．{±2，±5 }
D ．{5，－5} 3. 若P={y|y=x2,x ∈R}，Q={y|y=x2＋1,x ∈R}，则P∩Q 等于（ ） A ．P B ．Q C ． D ．不知道
4. 若P={y|y=x2,x ∈R}，Q={(x ，y)|y=x2,x ∈R}，则必有（ ） A ．P∩Q= B ．P Q C ．P=Q D ．P Q
5．若集合M ＝｛
11|
（ ） A ．}11|{<<-x x B ．}10|{< C ．}01|{<<-x x D ．? 6.已知集合A={x|x2＋(m ＋2)x ＋1=0,x ∈R}，若A∩R ＋=，则实数m 的取值范围是_________． 7.（06高考全国II 卷）设a R ∈，函数 2 ()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ =<<≠I ，求实数a 的取值范围。 8.已知集合A={}012|2 =++b ax x x 和B={} 0|2=+-b ax x x 满足 I C A ∩B={}2，A ∩I C B={}4，I=R ，求实数a,b 的值. 第二章 函数概念与基本初等函数 §2.4 函数与方程 一、知识导学 1.函数的零点与方程的根的关系： 一般地，对于函数()y f x =（x D ∈）我们称方程()0f x =的实数根x 也叫做函数的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. 求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数()()y f x g x =-的零点. 2.函数的图像与方程的根的关系： 一般地，函数()y f x =（x D ∈）的图像与x 轴交点的横坐标就是()0f x =的根.综合方程f(x)=g(x)的根，就是求函数y ＝f(x)与y=g(x)的图像的交点或交点个数，或求方程 ()()y f x g x =-的图像与x 轴交点的横坐标. 3.判断一个函数是否有零点的方法： 如果函数()y f x =在区间[a,b]上图像是连续不断的曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间（a,b ）上至少有一个零点，即至少存在一个数(,)c a b ∈使得 ()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的一个根.对于我们学习的简单函数，可以借助()y f x =图像判断解的个数，或者把()f x 写成()()g x h x -，然后借助()y g x =、() y h x =的图像的交点去判断函数()f x 的零点情况. 4. 二次函数、一元二次方程、二次函数图像之间的关系： 二次函数2y ax bx c =++的零点，就是二次方程 20ax bx c ++=的根，也是二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴交点的横坐标. 5. 二分法： 对于区间[a,b]上的连续不断，且()()0f a f b ?<的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 二、疑难知识导析 1.关于函数()()y f x g x =-的零点，就是方程()()f x g x =的实数根，也就是()y f x =与函数()y g x =图像的交点的横坐标. 要深刻理解，解题中灵活运用. 2.如果二次函数2 ()y f x ax bx c ==++，在闭区间[m,n]上满足()()0f m f n ?<，那么方程 20ax bx c ++=在区间（m,n ）上有唯一解，即存在唯一的1(,)x m n ∈，使1()0f x =，方程2 0ax bx c ++=另一解2(,)(,) x m n ∈-∞?+∞. 3. 二次方程2 0ax bx c ++=的根在某一区间时，满足的条件应据具体情形而定.如二次方程 ()f x ＝20ax bx c ++=的根都在区间(,)m n 时 应满足：0 2()0()0b m n a f m f n ?≥???<- ? ?>? >?? 4.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是 （1）取一个区间（,a b ）使()()0f a f b ?< （2）取区间的中点，02a b x += （3）计算 0() f x ，①若 0()0 f x =，则 x 就是()0f x =的解，计算终止；②若 0()()0 f a f x ?<，则解位于区间（0 ,a x ）中，令 110 ,a a b x ==；若 0()()0 f x f b ?<则解 位于区间（ 0,x b ）令 101,a x b b == （4）取区间是（11 ,a b ）的中点， 11 12a b x += 重服第二步、第三骤直到第n 步，方程的解 总位于区间（,n n a b ）内 （5）当 ,n n a b 精确到规定的精确度的近似值相等时，那么这个值就是所求的近似解. 三、经典例题导讲 [例1]已知函数 2 ()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立，求a 的取值范围. 错解：（一）()0f x ≥Q 恒成立，∴△＝2 4(3)a a --≤0恒成立 解得a 的取值范围为62a -≤≤ 错解：（二）∵ 2 ()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立 ∴(2)0(2)0f f -≥?? ≥?即22(2)2302230a a a a ?--+-≥??++-≥?? 解得a 的取值范围为 7 73a -≤≤ 错因：对二次函数()f x ＝2 ax bx c ++当x R ∈上()f x ≥0恒成立时，△≤0 片面理解为，2ax bx c ++≥0，[2,2]x ∈-恒成立时，△≤0 ；或者理解为(2)0(2)0f f -≥??≥? 这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误.二次函数最值问题中“轴变区间定”要对 对称轴进行分类讨论；“轴定区间变”要对区间进行讨论. 正解：设()f x 的最小值为()g a （1）当2 2a - <-即a ＞4时，()g a ＝(2)f -＝7－3a ≥0，得 73a ≤故此时a 不存在； (2) 当[2,2]2a -∈-即－4≤a ≤4时，()g a ＝3－a －24a ≥0，得－6≤a ≤2 又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2； （3）2 2a - >即a ＜－4时，()g a ＝(2)f ＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a ＜－4 故－7≤a ＜－4 综上，得－7≤a ≤2 [例2]已知2 10mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内，求m 的取值范围. 错解：设2()1f x mx x =++∵ 210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内 ∴(0)(1)0f f ?<得m ＜－2 错因：对于一般()f x ，若()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间（a,b ）上至少有一个零点，但不一定唯一.对于二次函数()f x ，若()()0f a f b ?<则在区间（a,b ）上存在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立. 但方程()f x ＝0在区间（a,b ）上有且只有一根时，不仅是()()0f a f b ?<，也有可能()()0f a f b ?≤.如二次函数图像是下列这种情况时，就是这种情况. 由图可知()f x ＝0在区间（a,b ）上有且只有一根，但是 ()()0f a f b ?≤ 正解：设2 ()1f x mx x =++，（1）当m ＝0时方程的根为－1，不满足条件. （2）当m ≠0∵2 10mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内 又(0)f ＝1＞0 ∴有两种可能情形①(1)0f <得m ＜－2 或者② 1 (1)02f m =- 且0<<1 得m 不存在 综上所得，m ＜－2 [例3]已知一次函数y kx b =+与二次函数2 y ax =图像如图，其中 y kx b =+的交点与x 轴、y 轴的交点分别为A （2，0），B （0，2）；与二次函数2 y ax =的 交点为P 、Q ，P 、Q 两点的纵坐标之比为1︰4.（1）求这两个函数的解析式.（2）解方程： 2ax kx b =+ （1）错解：把 A （2，0），B （0，2）两点坐标分别代入一次函 数y kx b =+解得1 2k b =-?? =? ∴一次函数为 2y x =-+ 设P （x 1，y 1），Q （，y 2），则 y 1︰y 2＝1︰4 ∴ 2 1ax ︰ 2 2 ax ＝1︰4 ∴x 1︰x 2＝1︰2或x 1︰x 2＝（－1）︰2 当x 1︰x 2＝1︰2时，Q 点坐标为（2x 1，4y 1），把P 、Q 两点坐标分别代入直线方程即 得 1111 2422y x y x =-+??=-+?解得113 1x y =??=-? ∴P （3，－1），Q （6，－4），抛物线方程为2 9y x =- 当x 1︰x 2＝（－1）︰2时， Q 点坐标为（－2x 1，4y 1）把P 、Q 两点坐标分别代入直 线方程即得 1111 2422y x y x =-+??=+?解得111 1x y =??=? ∴P （1， 1），Q （－2， 4），抛物线方程为2 y x = 错因：在得到x 1︰x 2值之后，要注意题意判断点的位置关系，多余的解要舍去，题中Q 在第二象限，所以113 1 x y =?? =-?不合条件. 正解：（1）抛物线方程为2 y x = （2）方法一：由（1）得方程2ax kx b =+ 即为 2 2x x =-+ 解得x 1＝－2，x 2＝1. 方法二：方程2 ax kx b =+的根即为二次函数2y ax =与一次函数y kx b =+的交点的 横坐标.由（1）知它们交点的坐标分别为P （1， 1），Q （－2， 4）， ∴方程2 ax kx b =+的解为x 1＝－2，x 2＝1. [例4]是否存在这样的实数k ，使得关于x 的方程 x 2+（2k －3）x －（3k －1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定 k 的取值范围；如果没有，试说明理由. 错解：令 2 ()(23)(31)f x x k x k =+---那么由条件得到 2(23)4(31)0 (0)130 (2)42(23)(31)0k k f k f k k ??=-+-≥? =->??=+--->? 即此不等式无解 即不存在满足条件的k 值. 错因：方程两根都在0与2之间，根据图像，可知除满足上述条件外，还要考虑二次函数的对称轴在区间（0,2）内. 正解：令 2 ()(23)(31)f x x k x k =+---那么由条件得到 2(23)4(31)0 (0)130(2)42(23)(31)023022k k f k f k k k ??=-+-≥? =->???=+--->?-?< 131372 2k k k k ?+≥????< [例5]已知二次函数 2 ()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时 12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121 [()()]2f x f x +有不等实根，且必有一根属于区间 （x 1，x 2）. 解：设F （x ）＝()f x －121 [()()] 2f x f x +， 则方程 ()f x ＝121 [()()] 2f x f x + ① 与方程 F （x ）＝0 ② 等价 ∵F （x 1）＝1()f x －121[()()]2f x f x +＝121 [()()]2f x f x - F （x 2）＝2()f x －121[()()]2f x f x +＝121[()()]2f x f x -+ ∴ F （x 1）·F （x 2）＝－2 121 [()()]4f x f x -，又12()() f x f x ≠ ∴F （x 1）·F （x 2）＜0 故方程②必有一根在区间（x 1，x 2）内.由于抛物线y ＝F （x ）在x 轴上、下方均有分布，所以此抛物线与x 轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）. 点评：本题由于方程是()f x ＝121 [()()] 2f x f x +，其中因为有()f x 表达式，所以解题中 有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明()f x 的图像与x 轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证 1()f x 2() f x ＜0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F （x ）＝()f x －121 [()()] 2f x f x +的图像与x 轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在. [例6]试确定方程3 2 2420x x x --+=最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数. 分析：只要构造函数()f x ＝32 242x x x --+，计算()f x 的自变量x 取整数值时的函数值， 根据其符号，确定方程根的个数及根的分布. 解：令()f x ＝32 242x x x --+ ∵(3)f -＝－54－9＋12＋2＝－49＜0 (2)f -＝－16－4＋8＋2＝－10＜0 (1)f -＝－2－1＋4＋2＝3＞0 (0)f ＝0－0－0＋2＝2＞0 (1)f ＝2－1－4＋2＝－1＜0 (2)f ＝16－4－8＋2＝6＞0 根据(2)f -·(1)f -＜0，(0)f ·(1)f ＜0，(1)f ·(2)f ＜0 可知()f x 的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内. 因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内. 点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n 次方程最多有n 个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解. 32242x x x --+ 221 (21)2(21)2()(2) 2 1 2()(2x x x x x x x x =---=--=-+ 所以32 242x x x --+＝0 有三个根：1 2 [例7]设二次函数 2 ()(0),f x ax bx c a =++>方程0)(=-x x f 的两个根21,x x ，满足0<2 1x x . （1）当),0(1x x ∈时，证明1)(x x f x <<； （2）设函数 2 ()(0),f x ax bx c a =++>的图像关于直线0x x =对称，证明： 21 0x x < . 分析：（1）用作差比较法证明不等式1)(x x f x <<； （2）函数 2 ()(0),f x ax bx c a =++>图像关于直线0x x =对称，实际直线0x x =就是二次函数的对称轴，即 a b x 20- =，然后用已知条件证明不等式即可. 证明：（1）依题意，设))(()()(21x x x x a x x f x F --=-= 当),0(1x x ∈时，由于21x x <，∴0))((21>--x x x x ，又0>a ∴))(()()(21x x x x a x x f x F --=-=>0即)(x f x < ) 1)(()1)(()()]([)(2121111ax x x ax ax x x x F x x x F x x x f x -->-+-=--=+-=- ∵0<21x x x < < .∴01,021>->-ax x x ∴0)(1>-x f x 综合得1)(x x f x << （2）依题意知 a b x 20- =，又a b x x 1 21-- =+ ∴ a ax ax a x x a a b x 2121)(221210-+=-+=- = ∵,012<-ax ∴ 221 10x a ax x =< 点评：解决本题的关健有三：一是用作差比较法证明不等式；二是正确选择二次函数的表达 式，即本题选用两根式表示；三要知道二次函数的图像关于直线对称，此直线为二次函数的 对称轴，即 a b x 20- = [例8] 已知函数 0)1(),1(2)(2 =<<++=f b c c bx x x f ，且方程01)(=+x f 有实根. (1)求证：-3 (2)若m 是方程01)(=+x f 的一个实根，判断)4(-m f 的正负并加以证明 分析：（1）题中条件涉及不等关系的有1< 及一个等式0)1(=f ，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断)4(-m f 的符号，因而只要研究出4-m 值的范围即可定出)4(-m f 符号. (1)证明：由0)1(=f ，得1+2b+c=0,解得 21 +- =c b ，又1< 1 c c >+- >21 解得 31 3- <<-c ， 又由于方程01)(=+x f 有实根，即0122 =+++c bx x 有实根， 故0)1(442≥+-=?c b 即 0)1(4)1(2 ≥+-+c c 解得3≥c 或1-≤c ∴13≤<-c ，由 21 +- =c b ，得b ≥0. （2）c bx x x f ++=2)(2= )1)(()1(2 --=++-x c x c x c x ∵01)(<-=m f ，∴c 点评：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运用二次函数的图像及性质解题. 四、典型习题导练 1. 方程023=-+x x 的实根的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3. 2.已知抛物线 2 ()27y f x x mx m ==++-与x 轴的两个交点在（1,0）两旁，则关于x 的方程2 21(1)504x m x m ++++=的根的情况是（ ） ａ.有两个正数根 B.有两个负数根 C.有一个正数根和一个负数根 D.无实数根 3.若关于x 的方程2 210ax x --=在（0,1）内恰有一解，则a 的取值范围为（ ） A. a ＜－1 B. a ＞1 C. －1＜a ＜1 D.0＜a ＜1 4.已知函数d cx bx ax x f +++=2 3)(的图像如图所示，则b 的 取值范围是（ ） A.(-∞,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,+∞) 5.已知函数=y )(x f 对一切实数都有)2()2(x f x f -=+成 立，且方程)(x f =0恰有6个不同的实根，则这6个根的和是 . 6. 已知在二次函数的解析式 2 ()f x ax bx c =++中，(1)f ＝－3，(0)f ＝－8，且它的两个零点间的距离等于2，求这个二次函数的解析式. 7. （06年高考浙江卷）设f(x)=3ax 0.2=++++c b a c bx b 若,f(0)＞0，f(1)＞0，求证： (1)a ＞0且-2＜b a ＜-1； (2)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根. 8.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c. (1)若a>b>c 且f(1)=0，证明：f(x)的图像与X 轴相交； (2)证明：若对x1、x2R ∈，且f(x1)≠f(x2),则方程 2) ()()(21x f x f x f += 必有一实根在 区间（x1,x2）内； (3)在（1）的条件下，是否存在实数m ，使f(m) = －a 成立时,f(m+3)>0. §2.5 函数的综合运用 一、知识导学 1.在应用中深化基础知识.在复习中基础知识经历一个由分散到系统，由单一到综合的发展过程.这个过程不是一次完成的，而是螺旋式上升的.因此要在应用深化基础知识的同时，使基础知识向深度和广度发展. 2.以数学知识为载体突出数学思想方法.数学思想方法是观念性的东西，是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识.函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形结合的思想.此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法.解较综合的数学问题要进行一系列等价转化或非等价转化.因此本课题也十分重视转化的数学思想. 3.要重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养.函数是数学复习的开始，还不可能在大范围内综合运用知识.但从复习开始就让学生树立综合运用知识解决问题的意识是十分重要的.推理论证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题中加强对这方面的考查，尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的.本课题在例题安排上作了这方面的考虑. 4.函数应用题主要研究如何利用函数思想解决生产实践中的实际问题，要求各位同学有较宽的知识面，能读懂题意，然后对问题进行分析，灵活运用所学过的数学知识，建立量与量的函数关系，把实际问题材转化为函数问题，通过对函数问题材的解决达到实际问题解决目的. 二、疑难知识导析 1.为了能较快地解决函数综合问题，要求各位学生 ⑴在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力. ⑵掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养. ⑶初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识解决问题的能力. ⑷树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题. 2.对数学应用题的学习，是提高分析问题、解决问题能力的好途径.不少人在数学应用题面前，束手无策；有的读不懂题意；有的不会归纳抽象、建模，因此要解好应用题，首先应加强提高阅读理解能力，然后将普通语言转化为数学语言和数学符号，实际问题转化为数学问题，再运用数学方法、数学思想去解决问题. 三、经典例题导讲 [例1] 不等式 ). 23(log )423(log 2)2(2)2(22+->--++x x x x x x 错解： ,122>+x Θ ,2342322+->--∴x x x x . 223 ,0622-<>∴>-+∴x x x x 或 错因： 当2=x 时，真数0232 =+-x x 且2=x 在所求的范围内（因 23 2> ），说明解法 错误.原因是没有弄清对数定义.此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错误，表现出思维的不严密性. 正解 122 >+x Θ ?????+->-->+->--∴2 34230230 423222 2x x x x x x x x ??????? ??-<><>-<+>∴2231231313131x x x x x x 或或或 .22-<>∴x x 或 [例2]将进价为8元的商品，按每件10元售出，每天可销售0件，若每件售价涨价0.5元， 其销售量就减少10件，问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出这个最大利润. 错解：设每件售价提高x 元，利润为y 元， 则y= )20200)(8(x x -+]81)1([202 +--=x ∴x =1时，1620max =y （元） 错因：没理解题意，每天销售0件是在定价10元时的情况下，所设的应理解为在定价目10 元的基础上，再每件售价提高x 元，故利润每件应为（2+x ）元，此时的销售量为（0－20x ）元 正解：设每件售价提高x 元，利润为y 元，则y=)20200)(2(x x -+= 720)4(202 +--x 故当4=x ，即定价为14元时，每天可获得最大利润为720元. [例3]某工厂改进了设备，在两年内生产的月增长率都是m ，则这两年内第二年三月份的产值比第一年三月份的产值的增长率是多少？ 错解：设第一年三月份的产值为a ，则经过二年，三月份的产值是a(1+m)11,则所求增长率为 1 )1()1(1111-+=-+m a a m a ，或把第二年三月份的产值写为a(1+m)13. 错因：对增长率问题的公式x p N y )1(+=未透彻理解而造成错解，或者是由于审题不细致 而造成题意的理解错误.若某月的产值是a ，则此后第x 月的产值为x m a )1(+，指数x 是基数所在时间后所跨过的时间间隔数. 正解：设第一年三月份的产值为a ，则第四个月的产值为a(1+m)，五月份的产值为a(1+m)2， 从此类推，则第二年的三月份是第一年三月份后的第12个月，故第二年的三月份的产值是 a(1+m)12，又由增长率的概念知，这两年的第二年的三月份的产值比第一年的三月份的产值 的增长率为1 )1()1(1212-+=-+m a a m a [例4]在一个交通拥挤及事故易发生路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段内的车速v （单位：km/h ）的平方和车身长l （单位：m ）的乘积与车距d 成正比，且最小车距不得少于半个车身长.假定车身长均为l （单位：m ）且当车速为50（km/h ）时，车距恰为车身长，问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使在此路段的车流量Q 最大？ (车流量=车身长车距车速 +) 错解：l kv d 2 =，将50=v ，l d =代入得 25001= k ，∴l v d 225001=，又将 l d 21 =代入得225=v ， 由题意得 l v d 2 25001= （225≥v ） 将Q=l d v +1000=) 25001(10002 v l v +（225≥v ） ∵l v v l v v l v l v 250002500121000)25001(1000) 25001(10002 = ??≤+=+ ∴当且仅当50=v 时， l Q 25000 max = 综上所知，50=v （km/h ）时，车流量Q 取得最大值. 错因：上述解法中结果虽然正确，但解题过程中是错误的，即虽然车速要求225≥v ，但在行驶过程中车速有可能低于252（km/h ），所以解题材中应分两类情形求解，得分段函数. 正解：（1）依题意， ?????? ?≤>=)225(2 1)225(2500 12 v l v l v d 则???????? ?≤>+=+=) 225(231000)225() 25001(100010002 v l v v v l v l d v Q 显然当225≤v 时，Q 是关于v 的增函数，∴当225=v 时， l l v Q 32 50000231000max = 当225>v 时，Q=l d v +1000=l v v l v v l v l v 25000 2500121000) 25001(1000)25001(10002 =? ?≤+=+ 当且仅当50=v 时，上式等号成立. 综上所述，当且仅当50=v 时，车流量Q 取得最大值. [例5] 定义在R 上的函数() f x 满足：对任意实数,m n ，总有 ()()() f m n f m f n +=?， 且当0x >时，()01 f x <<. （1）试求()0f 的值； （2）判断() f x 的单调性并证明你的结论； （3）设 ()()()(){}( )({}2 2 ,1,,1,A x y f x f y f B x y f ax y a R = ?>=-=∈，若 A B ?=?，试确定a 的取值范围. （4）试举出一个满足条件的函数() f x . 解：（1）在()()() f m n f m f n +=?中，令1,0m n ==.得： ()()() 110f f f =?. 因为 ()10f ≠，所以， ()01 f =. （2）要判断() f x 的单调性，可任取 12,x x R ∈，且设 12 x x <. 在已知条件 ()()() f m n f m f n +=?中，若取 21 ,m n x m x +==，则已知条件可化为： ()()() 2121f x f x f x x =?-. 由于 210 x x ->，所以 ()2110 f x x >->. 为比较()() 21f x f x 、的大小，只需考虑 () 1f x 的正负即可. 在 ()()() f m n f m f n +=?中，令m x =，n x =-，则得()()1 f x f x ?-=. ∵ 0x >时，()01 f x <<， ∴ 当0x <时，()() 1 10f x f x = >>-. 又()01 f =，所以，综上，可知，对于任意 1x R ∈，均有 ()10 f x >. ∴ ()()()()2112110f x f x f x f x x -=-- ∴ 函数 () f x 在R 上单调递减. （3）首先利用 () f x 的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含f 的式子. ()()()222211 f x f y f x y ?>+<即， (() 10f ax y f -== ，即0ax y -+=. 由A B ?=? ，所以，直线0ax y -+=与圆面 22 1x y +<无公共点.所以， 1 ≥. 解得 11a -≤≤. （4）如 ()12x f x ?? = ? ??. 点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令1,0m n ==；以及 21 ,m n x m x +==等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到 一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决. [例6]（02年高考）设a 为实数，函数 1||)(2 +-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值. 解：（1）当0=a 时，函数 )(1||)()(2 x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数 当0≠a 时，1)(2+=a a f ， 1||2)(2 ++=-a a a f ， )()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠ 此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数 （2）（i ）当a x ≤时，43 )21(1)(22+ +-=++-=a x a x x x f 当 21 ≤ a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为 1)(2+=a a f . 若 21> a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且) ()21 (a f f ≤. （ii ）当a x ≥时，函数43 )21(1)(22+ -+=+-+=a x a x x x f 若 21- ≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且) ()21(a f f ≤- 若 21 - >a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为 1)(2+=a a f . 综上，当 21- ≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43 当21 21≤ <-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a 当 21> a 时，函数)(x f 的最小值为a +43 . 点评：（1）探索函数的奇偶性，可依据定义，通过)()(x f x f =-代入有 1||1||)(22+-+=+--+-a x x a x x ，即||||a x a x -=+ 高考数学考前提醒：高中知识点易错点梳理 一、集合、简易逻辑、函数 1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜ x ｜,y},且A=B,则x+y= 2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜ y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2 +1,x ∈R}求M ∩N 的区别。 3． 集合 A 、B ，?=?B A 时，你是否注意到“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合的子集B A ?时是否忘记?. 例如：()()012222 <--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论 了a ＝2的情况了吗？ 4． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2， 12-n ， 12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有多少个 5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中 7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。{21,}{41,}M x x k k x x k k ==+∈==±∈Z Z 7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A = A B ??； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表: 9、 互 互 互 为 互 否 逆 逆 否 否 否 否 否 否 互 逆 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. 10、你对映射的概念了解了吗？映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性，哪几 种对应能够成映射？ 11、函数的几个重要性质： ①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或f （2a-x ）=f （x ），那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称. ②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称； 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称； 函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称. ③若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数． ④若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数． ⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数 ()a x f y +=()0(a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数 ()x f y =+a )0( 高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合： 或 ，整数集合： ，有理数集合： ，实数集合： . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 . 2、如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作： . 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作： . 3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念 1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，在集合B中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数，记作： . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设 那么 上是增函数； 上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设 1 高中数学必修2 重点题型 2 1、六棱柱的两底面是正六边形，侧面是全等的矩形，它的底面边长为4，3 高为12，则它的全面积 4 2、五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别为4cm和6cm，侧面是全5 等的等腰梯形，侧棱长是5cm，则它的侧面积是；体积6 为。 7 正三棱锥的底面边长是a，高是a2，则它的全面积为。 8 3、圆台的两个底面半径是2cm、4cm，截得这个圆台的圆锥的高为6cm，则9 这个圆台的体积是。 10 4、长方体的过一个顶点的三条棱的长分别为3，4，5，且它的八个顶点都11 在同一个球面上，则这个球的表面积是 12 5、一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，13 则该球的体积是 14 6、把一个半径为R的实心铁球熔化后铸成两个小球（不记损耗），两个小球15 的半径之比为1:2，则其中较小球的半径为 . 16 17 7、如图所示：一个几何体的三视图均为全等的等腰直 18 角三角形，且直角边长为1，则这个几何体的体积为、 19 8、已知某个几何体的三视图如下图所示， 20 由图中标出的尺寸，可得 21 这个几何体的体积为 22 23 9、如图，四面体A BCD 为正四面体，E 、F 分别24 为BC 和AD 25 的中点，求异面直线A E 、CF 所成角的余弦值． 26 27 28 10、 如左图，在空间四边形ABCD 中，已知3,1==BC AD ， 29 且BC AD ⊥，对角线213,23==AC BD ， 30 求AC 与BD 所成的角。 31 32 33 11、如右图，四棱锥ABCD O -中，底边长为1的菱形， 34 ⊥=∠OA ABC ,4π面ABCD ，1=OA ，N M , 35 分别为BC OA ,的中点。①求证OCD MN 面//；②求AB 36 与MD 所成的角。 37 38 12、在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，E 为PC 的中点， 39 高中高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 高二数学易错知识点归纳五篇 高二这一年，是成绩分化的分水岭，成绩会形成两极分化：行则扶摇直上，不行则每况愈下。下面就是给大家带来的高二数学知识点，希望能帮助到大家！ 高二数学知识点1 1.不等式证明的依据 (2)不等式的性质(略) (3)重要不等式：①|a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、b∈R) ②a2+b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号) 2.不等式的证明方法 (1)比较法：要证明ab(a0(a-b0)，这种证明不等式的方法叫做比较法. 用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号. (2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法. (3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法. 证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等. 高二数学知识点2 第一章：集合和函数的基本概念，错误基本都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就是五分没了。次一级的知识点就是集合的韦恩图，会画图，集合的“并、补、交、非”也就解决了，还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。 第二章：基本初等函数：指数、对数、幂函数三大函数的运算性质及图像。函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现，单调性、增减性、极值、零点等等。关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习基本就没多大问题。函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及 【易错题】高中必修二数学下期中模拟试卷(及答案) 一、选择题 1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为 30o ，则该长方体的体积为（ ） A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 2．陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ） A ．1073 π B ． 32 453 π+ C ． 16323π+ D ．32333 π+ 3．已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ?是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（ ） A ．48π B ．24π C ．16π D ．323π 4．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A ．202π+ B ．203π+ C ．242π+ D ．243π+ 5．已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,∞∞--?+ C ．[]1,1- D ．][() ,11,∞∞--?+ 6．下列命题正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面 B ．经过一条直线和一个点确定一个平面 C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D ．四边形确定一个平面 7．圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ） A ．22(1)(1)5x y ++-= B ．22(1)(1)5x y -++= C ．22(1)(1)5x y -++= D ．22(1)(1)5x y ++-= 8．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB V 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为 43 3 ，则球O 的半径为( ) A ．3 B ．1 C ．2 D ．4 9．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ） A ． 12 B ．12 - C ． 3 D ．3- 10．如图1，ABC ?是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，T 为线段AC 的中点，G 是 BC 的中点，ABE ?与BCF ?分别是以AB 、BC 为底边的等边三角形，现将ABE ?与 BCF ?分别沿AB 与BC 向上折起（如图2），则在翻折的过程中下列结论可能正确的个数为（ ） 图1 图2 （1）直线AE ⊥直线BC ；（2）直线FC ⊥直线AE ； （3）平面//EAB 平面FGT ；（4）直线//BC 直线AE . 高一数学必修一知识点整理归纳 【集合与函数概念】 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法：https://www.360docs.net/doc/6e5957646.html, 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集：N*或N+ 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 1)列举法：{a,b,c……} 2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{x?R|x-3>2},{x|x-3>2} 3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4)Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。AíA ②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ③如果AíB,BíC,那么AíC ④如果AíB同时BíA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 4.子集个数： 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集 三、集合的运算 运算类型交集并集补集 定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝. 高中数学高考易错知识点归纳 忽视零截距致误 解决有关直线的截距问题时应注意两点：一是求解时一定不要忽略截距为零这种特殊 情况;二是要明确截距为零的直线不能写成截距式。因此解决这类问题时要进行分类讨论，不要漏掉截距为零时的情况。 忽视圆锥曲线定义中条件致误 利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件。如在双 曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值;其二，2a<|F1F2|。如果不满足第一 个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是 双曲线的一支。 误判直线与圆锥曲线位置关系 过定点的直线与双曲线的位置关系问题，基本的解决思路有两个：一是利用一元二次 方程的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零，当二次项 系数为零时，直线与双曲线的渐近线平行或重合，也就是直线与双曲线最多只有一个交点;二是利用数形结合的思想，画出图形，根据图形判断直线和双曲线各种位置关系。在直线 与圆锥曲线的位置关系中，抛物线和双曲线都有特殊情况，在解题时要注意，不要忘记其 特殊性。 两个计数原理不清致误 分步加法计数原理与分类乘法计数原理是解决排列组合问题最基本的原理，故理解 “分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提，在解题时，要分析计数对象的本质 特征与形成过程，按照事件的结果来分类，按照事件的发生过程来分步，然后应用两个基 本原理解决.对于较复杂的问题既要用到分类加法计数原理，又要用到分步乘法计数原理，一般是先分类，每一类中再分步，注意分类、分步时要不重复、不遗漏，对于“至少、至多”型问题除了可以用分类方法处理外，还可以用间接法处理。 排列、组合不分致误 为了简化问题和表达方便，解题时应将具有实际意义的排列组合问题符号化、数学化，建立适当的模型，再应用相关知识解决.建立模型的关键是判断所求问题是排列问题还是 组合问题，其依据主要是看元素的组成有没有顺序性，有顺序性的是排列问题，无顺序性 的是组合问题。 混淆项系数与二项式系数致误 高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 【易错题】高中必修二数学下期末试题附答案 一、选择题 1．设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，//m β，则//αβ C ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥ D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥ 2．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3 D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3 3．已知集合{} {}2 |320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件 A C B ??的集合 C 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 5．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1 7 是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ． 53 B ． 103 C ． 56 D ． 116 6．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ） A ．2 B ．422+ C ．442+ D ．642+ 7．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱 111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体 积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为 A 21 B 31 C ． 23 2 D 33 +8．当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．[)0,+∞ C ．[)0,4 D ．（0，4） 高中数学 必修3知识点 第一章 算法初步 一，算法与程序框图 1，算法的概念：按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。 2，算法的三个基本特征：明确性，有限性，有序性。 （1）顺序结构：顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。 （2）条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。 （3）循环结构：直到型循环结构，当型循环结构。一个完整的循环结构，应该包括三个内容：1）循环体；2）循环判断语句；3）与循环判断语句相关的变量。 二，基本算法语句（一定要注意各种算法语句的正确格式） 1，输入语句 2，输出语句 3，赋值语句 注意：“=”的含义是赋值，将右边的值赋予左边的变量 4，条件语句 5，循环语句： 直到型 当型 注意：提示内容用双引号标明，并 与变量用分号隔开。 三，算法案例 1，辗转相除法： 例：求２１４６与１８１３的最大公约数 ２１４６＝１８１３×１＋３３３ １８１３＝３３３×５＋１４８ ３３３＝１４８×２＋３７ １４８＝３７×４＋０ ．．．．．．．．．．．．．．余数为０时计算终止。 为最大公约数 2，更相减损术：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。 3，秦九韶算法：将1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 改写成 1210()(()))n n n f x a x a x a x a x a --=+++++ 再由内及外逐层计算。 4，进位制：注意K 进制与十进制的互化。 1）例：将三进制数(3)10212化为十进制数 10212(3)=2+1×3+2×32+0×33+1×34=104 2）例：将十进制数１０４化为三进制数 １０４＝３×３４＋２ ．．．．．．． 最先出现的余数是三进制数的最右一位 ３４＝３×１１＋１ １１＝３×３＋２ ３＝３×１＋０ １＝３×０＋１ ．．．．．．．．．．．． 商数为0时计算终止 １０４=(3)10212 第二章 统计 一，随机抽样 1，简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽取到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。（关键词）逐个，不放回，机会相等 2，随机数表法的步骤： 1）编号； 2）确定起始数字；3）按一定规则读数（所读数不能大于最大编号，不能重复）。 3，系统抽样的步骤： 1）编号； 2）分段（若样本容量为n ，则分为n 段）；分段间隔N k n = ，若N n 不是整数，则剔除余数，再重新分段； 3）在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号； 4）按照 一定的规则在后面每段内各取一个编号，组成整个样本。 4，分层抽样的步骤： 1）确定抽样比； 2）根据个体差异分层，确定每层的抽样个体数（抽样比乘以各层的个体数，如果不是整数，则通过四舍五入取近似值）；3）在每一层内抽取样本（个体数少就用简单随机抽样，个体数多则用系统抽样），组成整个样本。 5，三种抽样方法的异同点 直到型和当型循环可以相互演变，循环体相同，条件恰好互补。 高一数学必修一知识点整理 【导语】高一新生要作好充分思想准备，以自信、宽容的心态，尽快融入集体，适应新同学、适应新校园环境、适应与初中迥异的纪律制度。记住：是你主动地适应环境，而不是环境适应你。因为你走向社会参加工作也得适应社会。以下内容是为你整理的《高一数学必修一知识点整理》，希望你不负时光，努力向前，加油！【篇一】高一数学必修一知识点整理 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋大西洋印度洋北冰洋} 1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}B={12345} 2.集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a:A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2} 4、集合的分类： 1.有限集含有有限个元素的集合 2.无限集含有无限个元素的集合 3.空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝ 高中数学易错题集锦 指导教师：任宝安 参加学生：路栋胡思敏 李梅张大山 ?【例1②×2①×2③+b a 和 993)3(f ∴3 3在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是 思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα 有的学生一看到4 49 - ，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的体现。如 果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。 原方程有两个实根βα、 ∴0)6k (4k 42≥+-=??.3k 2k ≥-≤或 当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8； 当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18 这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。 (2)已知(x+2)2+=1,求x 2+y 2的取值范围。 错解∴当分析∴ x 2 【例3错解)2的最小 值是分析2 1 ,第二 原式 由ab ∴原式≥2×17+4=2(当且仅当a=b=2时，等号成立)， ∴(a+a 1)2+(b+b 1 )2的最小值是。 ●不进行分类讨论，导致错误 【例4】已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a 错误解法.222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 错误分析显然，当1=n 时，1231111=≠==-S a 。 错误原因：没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是。 高一数学必修一易错题集锦答案 1. 已知集合M={y |y =x 2 ＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ） 解：M={y |y =x 2 ＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }． ∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, 注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2 ＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2 ＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的． 2 .已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或∴C={0，1，2} 3 。已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有：m +n ∈ (填A,B,C 中的一个) 解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z , ∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B 。 4 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，求实数p 的取值范围． 解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5. 由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3 ②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2. 由①、②得：p≤3. 点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题． 5 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2 }．若A=B ，求c 的值． 分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 解：分两种情况进行讨论． （1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2 －2ac=0， a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0． ∴c 2 －2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解． （2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2 －ac －a=0， ∵a≠0，∴2c 2 －c －1=0， 即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－ 21． 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设A 是实数集，满足若a∈A，则 a -11∈A ，1≠a 且1?A. ⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明理由. ⑶若a∈A，证明：1－ a 1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素. 高中数学易错知识点梳理 高中数学易错知识点梳理 集合与简单逻辑 第一、遗忘空集是任何非空集合的真子集，因此对于集合B，就有B=A、φ≠B、B≠φ三种情况出现。在实际解题中，如果考生思 维不够缜密，就有可能忽视第三种情况，导致结果出错。尤其是在 解含有参数的集合问题时，要充分注意当参数在某个范围内取值时 所给的集合可能是空集这种情况。空集是一个特殊集合，考生因思 维定式遗忘集合导致结果出错或不全面是常见的错误，一定要倍加 当心。 第二、忽视集合元素的三性集合元素具有确定性、无序性、互异性的特点，在三性中，数互异性对答题的影响最大，尤其是带有字 母参数的集合，实际上就隐含着对考生字母参数掌握程度的要求。 在考场答题时，考生可先确定字母参数的范围，再一一具体解决。 在否定一个命题时，要记住“全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题”的规律。如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，不是“a，b都是奇数”。 第四、充分必要条件颠倒两个条件A与B，若A=>B成立，则A 是B的充分条件，B是A的必要条件;若B=>A成立，则A是B的必 要条件，B是A的充分条件;若A<=>B，则AB互为充分必要条件。考生在解这类题时最容易出错的点就是颠倒了充分性与必要性，一定 要根据充要条件的概念作出准确的判断。 第五、逻辑联结词理解不准确 p∨q真<=>p真或q真，p∨q假<=>p假且q假(概括为一真即真); p∧q真<=>p真且q真，p∧q假<=>p假或q假(概括为一假即假); ┐p真<=>p假，┐p假<=>p真(概括为一真一假)。 函数与导数 第一、求函数定义域题忽视细节函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，考生想要在考场上准确求出定义域，就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。 在求一般函数定义域时，要注意以下几点：分母不为0;偶次被开放式非负;真数大于0以及0的0次幂无意义。函数的定义域是非空的数集，在解答函数定义域类的题时千万别忘了这一点。复合函数要注意外层函数的定义域由内层函数的值域决定。 第二、带绝对值的函数单调性判断错误带绝对值的函数实质上就是分段函数，判断分段函数的单调性有两种方法：第一，在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，然后对各个段上的单调区间进行整合;第二，画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质能够进行直观的判断。函数题离不开函数图象，而函数图象反应了函数的所有性质，考生在解答函数题时，要第一时间在脑海中画出函数图象，从图象上分析问题，解决问题。 对于函数不同的单调递增(减)区间，千万记住，不要使用并集，指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。 在用定义进行判断时，要注意自变量在定义域区间内的任意性。 第四、抽象函数推理不严谨很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计的，在解答此类问题时，考生可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数。多用特殊赋值法，通过特殊赋可以找到函数的不变性质，这往往是问题的突破口。 抽象函数性质的证明属于代数推理，和几何推理证明一样，考生在作答时要注意推理的严谨性。每一步都要有充分的条件，别漏掉条件，更不能臆造条件，推理过程层次分明，还要注意书写规范。 高中数学基础知识整合 函数与方程区间建立函数模型 抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布 单调性：同增异减赋值法，典型的函数 零点函数的应用 A 中元素在 B 中都有唯一的象；可一对一（一一映射），也可多对一，但不可一对多 函数的基本性质 单调性奇偶性周期性 对称性 最值 1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。 2.复合函数单调性：同增异减。 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f (-x )=f (x )还是-f (x ). 2.奇函数图象关于原点对称，若x =0有意义，则f (0)=0. 3.偶函数图象关于y 轴对称，反之也成立。 f (x +T)=f (x )；周期为T 的奇函数有：f (T)=f (T/2)= f (0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。 函数的概念 定义 列表法解析法图象法 表示三要素使解析式有意义及实际意义 常用换元法求解析式 观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等 定义域 对应关系值域 函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换 基本初等函数正（反）比例函数、一次（二次）函数幂函数 指数函数与对数函数三角函数 定义、图象、性质和应用 函数 映 射 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 退出 上一页 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 导数 导数概念函数的平均变化率运动的平均速度曲线的割线的斜率 函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线的斜率 ()()的区别 与0x f x f ' '0 t t t v a S v ==，() 0' x f k =导数概念 基本初等函数求导 导数的四则运算法则简单复合函数的导数()()()()()()()().ln 1ln ln 1 log sin cos cos sin 0''' ' 1' 'x x x x a n n e e a a a x x a x x x x x x nx x c c ==== -====-；；；；；；； 为常数()()()()[]()() ()()[]()()()()()()()()()()()[]2)3()2()1(x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=? ? ????+=?±=±是可导的，则有：，设()()[]()() x u u f x g f ' ' ' ?=1.极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点； 2.闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。导数应用函数的单调性研究函数的极值与最值 曲线的切线变速运动的速度生活中最优化问题 ()()()(). 00''在该区间递减在该区间递增，x f x f x f x f ?1.曲线上某点处切线，只有一条；2.过某点的曲线的切线不一定只一条，要设切点坐标。 一般步骤：1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程；3.比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。 定 积分与微积分 定积分概念 定理应用 性质定理含意微积分基本 定理 曲边梯形的面积变力所做的功 ()的极限 和式i n i i x f ?∑-=1 1 ξ定义及几何意义 1.用定义求：分割、近似代替、求和、取极限； 2.用公式。 ()()()()[]()()()()()()()() c b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x g dx x f dx x g x f dx x f k dx x kf c b b a c a a b b a b a b a b a b a b a <<=-=±=±=?????????? .；；；()()()()()() 莱布尼兹公式牛顿则若--==?a F b F dx x f x f x F b a ,'1.求平面图形面积；2.在物理中的应用（1）求变速运动的路程： （2）求变力所作的功； ()?=b a dx x F W ()dt t v s a b ?= 1、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱： 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形. (2)棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方. (3)棱台： 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形. (5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形. (6)圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形. (7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径. 2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、 俯视图(从上向下) 注：正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度. 3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变; ②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半. 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和. (2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,为斜高,l为母线) (3)柱体、锥体、台体的体积公式 直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度. 当时,;当时,;当时,不存在. ②过两点的直线的斜率公式： 注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°; (2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到. (3)直线方程 ①点斜式：直线斜率k,且过点 注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1. 当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1. ②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b ③两点式：()直线两点,高中数学知识点易错点梳理
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