第六章 实数单元测试题

第六章 实数单元测试题

一、选择题

1．下列说法正确的个数有（ ）

①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②垂线段最短；

③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的； ④算术平方根和立方根都等于它本身的数是0和1； ⑤5的小数部分是51-． A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．如图将1、2、3、6按下列方式排列．若规定(,)m n 表示第m 排从左向右第n 个数，则(5,4)与(15,8)表示的两数之积是（ ）．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．6

3．已知280x y -++=，则x y +的值为( )

A ．10

B ．-10

C ．-6

D ．不能确定 4．下列各式的值一定为正数的是 （ ）

A ．a

B ．2a

C ．2(100)a -

D ．20.01a +

5．按照下图所示的操作步骤，若输出y 的值为22，则输入的值x 为（ ）

A ．3

B ．-3

C ．±3

D ．±9

6．观察下列各等式：

231-+= -5-6+7+8=4

-10-l1-12+13+14+15=9

-17-18-19-20+21+22+23+24=16 ……

根据以上规律可知第11行左起第11个数是（ ） A ．-130

B ．-131

C ．-132

D ．-133

7．下列命题中，①81的平方根是916±2；③?0.003没有立方根；④?64的立方根为±45 ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

8．如图，数轴上,A B两点表示的数分别为1,

2

--，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（）

A．12

-B．21

-C．22

-D．22

-

9．若33=0

x y

+，则x和y的关系是( )．

A．x＝y＝0B．x和y互为相反数

C．x和y相等D．不能确定

10．估计20的算术平方根的大小在（）

A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间

二、填空题

11．已知a n＝()2

1

1

n+

(n＝1，2，3，…)，记b1＝2(1－a1)，b2＝2(1－a1)(1－a2)，…，b n＝2(1－a1)(1－a2)…(1－a n)，则通过计算推测出表达式b n＝________ (用含n的代数式表示)．12．若已知x-1+（y+2）2=0，则(x+y)2019等于_____．

13．一个正数的平方根是21

x-和2x

-，则x的值为_______．

14．若|x|＝3，y2＝4，且x＞y，则x﹣y＝_____．

15．2

(2)

-的平方根是 _______ ；3

8a的立方根是 __________．

16．对任意两个实数a，b定义新运算：a⊕b=

()

()

a a b

b a b

≥

?

?

?

若

若＜

，并且定义新运算程序仍然是先做括号内的，那么（5⊕2）⊕3=___．

17．27的立方根为．

18．比较大小：

51

2

-

__________0.5．（填“>”“<”或“=”）

19．将

2

π

，

9

3

，

3-27

2

这三个数按从小到大的顺序用“<”连接________．

20．已知实数x的两个平方根分别为2a+1和3-4a，实数y的立方根为-a，则2

x y

+的值为______．

三、解答题

21．如图，长方形ABCD的面积为300cm2，长和宽的比为3：2．在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为147cm2的圆（π取3），请通过计算说明理由．

22．据说，我国著名数学家华罗庚在一次访问途中，看到飞机邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数32768，它是一个正数的立方，希望求它的立方根，华罗庚不假思索给出了答案，邻座乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘，你知道华罗庚是怎样准确计算出的吗？请按照下面的问题试一试：

（1）由33101000,1001000000==，因为1000327681000000<<______位数；

（2）由32768的个位上的数是8________，划去32768

后面的三位数768得到32，因为3

3

3=27,4=64_____________

(3)已知13824和110592-分别是两个数的立方，仿照上面的计算过程，请计算：

________= 23．阅读下面文字： 对于5231591736342??????-+-++- ? ? ??

??

?

??

可以如下计算：

原式()()()5231591736342??????????????=-+-+-+-+++-+- ? ? ? ?????????????????????

()()()5231591736342??

??????=-+-++-+-+-++-?? ? ? ??????

???????

1014??

=+- ???

114

=-

上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 仿照上面的方法，计算： （1）115112744362????-+-++- ? ?????

（2）23512019

2018201720163462

????-++-+ ? ????? 24．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一：

（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 表示的点重合； 操作二：

（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：

①3表示的点与数 表示的点重合；

②若数轴上A 、B 两点之间距离为8（A 在B 的左侧），且A 、B 两点经折叠后重合，则A 、B 两点表示的数分别是__________________； 操作三：

（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.

25．计算：

（1）()()2

3

2018311216642??-+-- ???

（2535323

26．已知

2+a b 312b +

（1）求2a －3b 的平方根；

（2）解关于x 的方程2420ax b +-=．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】

根据平行公理的推论，垂线的性质，估算无理数的大小，算术平方根和立方根逐个判断即可． 【详解】

①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误； ②垂线段最短，故②正确；

③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，故③正确； ④算术平方根和立方根都等于它本身的数是0和1，故④正确； 552，故⑤错误； 即正确的个数是3个， 故答案为：C ．

本题考查了平行公理的推论，垂线的性质，估算无理数的大小，算术平方根和立方根等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．

2．B

解析：B

【分析】

首先从排列图中可知：第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，然后抽象出第5排第4个数，第15排第8个数，然后可以得到答案．

【详解】

解：(5,4)表示第5排从左往右第4，(15,8)表示第15排第8个数，从上面排列图中可以看出奇数行1排在最中间，所以第15行最中间是1，且为第8个，所以1和

．

故本题选B．

【点睛】

本题是规律题的呈现，考查学生的从具体情境中抽象出一般规律，考查学生观察与归纳能力．

3．C

解析：C

【分析】

根据算术平方根的非负性求出x，y，然后再求x+y即可；

【详解】

解：由题意得：x-2=0，y+8=0

∴x=2，y=-8

∴x+y=2+（-8）=-6

故答案为C.

【点睛】

本题考查了算术平方根的非负性，掌握若干个非负数之和为0，则每个非负数都为0是解答本题的关键.

4．D

解析：D

【分析】

任何数的绝对值都是一个非负数.非负数(正数和0)的绝对值是它本身，非正数(负数和0)的绝对值是它的相反数.任何数的平方都是大于等于0的.

【详解】

选项A中，当a=0，则a=0；

选项B中，当a=0，则a2=0；

选项C中，当a=100，则(a-100)2=0；

选项D中，无论a取何值，a2+0.01始终大于0.

【点睛】

此题考查绝对值的非负性，算术平方根的非负性，解题关键在于掌握其性质.

5．C

解析：C 【分析】

根据操作步骤列出方程，然后根据平方根的定义计算即可得解. 【详解】

由题意得：23522x -=， ∴29x =， ∵2

(39)±=， ∴3x =±， 故选：C . 【点睛】

此题考查平方根的定义，求一个数的平方根，利用平方根的定义解方程，正确理解计算的操作步骤得到方程是解题的关键.

6．C

解析：C 【分析】

通过观察发现：每一行等式右边的数就是行数的平方，故第n 行右边的数就是n 的平方，而左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正． 【详解】

解：第一行：211=； 第二行：224=； 第三行：239=； 第四行：2416=； …… 第n 行：2n ； ∴第11行：211121=．

∵左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．

∴第11行左起第1个数是-122，第11个数是-132． 故选：C ． 【点睛】

此题主要考查探索数与式的规律，正确找出规律是解题关键．

7．A

解析：A

根据平方根的定义对①②进行判断；根据立方根的定义对③④进行判断；根据命题的定义对⑤进行判断． 【详解】

解：81的平方根是±9，所以①错误；

±2，所以②正确；

-0.003有立方根，所以③错误； ?64的立方根为-4，所以④错误；

故选：A ． 【点睛】

本题考查了立方根和平方根的应用，主要考查学生的辨析能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．

8．D

解析：D 【分析】

设点C 的坐标是x ，根据题意列得12

x

=-，求解即可. 【详解】

解：∵点A 是B ，C 的中点． ∴设点C 的坐标是x ，

则

12

x

=-，

则2x =-+

∴点C 表示的数是2-+ 故选：D . 【点睛】

此题考查数轴上两点的中点的计算公式：两点的中点所表示的数等于两点所表示的数的平均数，正确掌握计算公式是解题的关键.

9．B

解析：B 【解析】

分析：先移项，再两边立方，即可得出x=-y ，得出选项即可． 详解：

,

= ∴x=-y ，

即x 、y 互为相反数， 故选B ．

点睛：考查了立方根，相反数的应用，解此题的关键是能得出x=-y ．

10．C

解析：C 【解析】

试题分析：∵16＜20＜25， ∴

∴4＜5．

故选C ．

考点：估算无理数的大小．

二、填空题 11．． 【解析】 【详解】

根据题意按规律求解：b1=2(1-a1)=，b2=2(1-a1)(1-a2)=，…，所以可得：bn=． 解：根据以上分析bn=2（1-a1）（1-a2）…（1-an ）=． “

解析：

12

++n n ． 【解析】 【详解】

根据题意按规律求解：b 1=2(1-a 1)=1312

21-4211

+???== ?+??，b 2=2(1-a 1)(1-a 2)=

314221-29321+???== ?+??，…，所以可得：b n =1

2++n n ． 解：根据以上分析b n =2（1-a 1）（1-a 2）…（1-a n ）=

1

2

++n n ． “点睛”本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题中表示b 值时要先算出a 的值，要注意a 中n 的取值．

12．-1 【分析】

根据非负数的性质先求出x 与y ，然后代入求解即可. 【详解】

解：∵+（y+2）2=0

∴(x+y)2019=-1

故答案为：-1.

【点睛】

本题主要考查了非负数的性质，熟

解析：-1

【分析】

根据非负数的性质先求出x与y，然后代入求解即可.【详解】

（y+2）2=0

∴

10

20 x

y

-=

+=?

?

?

1

2 x

y

=

?

∴?

=-

?

∴(x+y)2019=-1

故答案为：-1.

【点睛】

本题主要考查了非负数的性质，熟练掌握性质，并求出x与y是解题的关键.

13．-1

【分析】

根据“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数”列出方程求解即可．【详解】

解：∵一个正数的平方根是2x-1和2-x，

∴2x-1+2-x=0，

解得：x=-1．

故答案为：-

解析：-1

【分析】

根据“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数”列出方程求解即可．

【详解】

解：∵一个正数的平方根是2x-1和2-x，

∴2x-1+2-x=0，

解得：x=-1．

故答案为：-1．

【点睛】

本题主要考查的是平方根的性质以及解一元一次方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关

14．1或5．

【分析】

根据题意，利用绝对值的代数意义及平方根定义求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．

【详解】

解：根据题意得：x＝3，y＝2或x＝3，y＝﹣2，

则x﹣y＝1或5．

故答案为1

解析：1或5．

【分析】

根据题意，利用绝对值的代数意义及平方根定义求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．

【详解】

解：根据题意得：x＝3，y＝2或x＝3，y＝﹣2，

则x﹣y＝1或5．

故答案为1或5．

【点睛】

此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

15．2a

【分析】

根据平方根的定义及立方根的定义解答.

【详解】

的平方根是，的立方根是2a，

故答案为：，2a.

【点睛】

此题考查平方根及立方根的定义，利用定义求一个数的平方根及立

解析：

【分析】

根据平方根的定义及立方根的定义解答.

【详解】

3

8a的立方根是2a，

故答案为：，2a.

【点睛】

此题考查平方根及立方根的定义，利用定义求一个数的平方根及立方根.

16．【分析】

根据“⊕”的含义，以及实数的运算方法，求出算式的值是多少即可．

【详解】

(⊕2)⊕3=⊕3=3，

故答案为3．

【点睛】

本题考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关

解析：【分析】

根据“⊕”的含义，以及实数的运算方法，求出算式的值是多少即可．

【详解】

2)⊕3=3，

故答案为3．

【点睛】

本题考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

17．3

【解析】

找到立方等于27的数即可．

解：∵33=27，

∴27的立方根是3，

故答案为3．

考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算

解析：3

【解析】

找到立方等于27的数即可．

解：∵33=27，

∴27的立方根是3，

故答案为3．

考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算

18．＞

【分析】

首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．【详解】

∵，

∵-2＞0，

∴＞0． 故＞0.5． 故答案为：＞. 【点睛】

此题考查实数大小比较，解题关键在于

解析：＞ 【分析】

首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小． 【详解】

∵

1112

-0.5=-=

2222

，

＞0，

＞0．

＞0.5． 故答案为：＞. 【点睛】

此题考查实数大小比较，解题关键在于掌握比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．

19．＜＜ 【分析】

先根据数的开方法则计算出和的值，再比较各数大小即可． 【详解】 ==，==， ∵＞3＞2， ∴＜＜，即＜＜， 故答案为：＜＜ 【点睛】

本题考查实数的大小比较，正确化简得出和的值是解

＜2

π

【分析】

先根据数的开方法则计算出3

的值，再比较各数大小即可．

【详解】

3=33=22

=32-=3

2， ∵π＞3＞2，

∴22＜32＜2π＜2

π

，

故答案为：3

＜2

π

【点睛】

的值是解题关键． 20．3 【分析】

利用平方根、立方根的定义求出x 与y 的值，即可确定的值． 【详解】

解：根据题意的2a+1+3-4a=0， 解得a=2， ∴， ，

故答案为：3． 【点睛】

本题考查了平方根和立方根，熟

解析：3 【分析】

利用平方根、立方根的定义求出x 与y 的值． 【详解】

解：根据题意的2a+1+3-4a=0， 解得a=2，

∴25,8x y ==-，

∴=

，

故答案为：3． 【点睛】

本题考查了平方根和立方根，熟练掌握相关的定义是解题的关键．

三、解答题

21．不能，说明见解析.

【分析】

根据长方形的长宽比设长方形的长DC为3xcm，宽AD为2xcm，结合长方形ABCD的面积为300cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值，从而得出AB的长，再根据圆的面积公式以及圆的面积147cm2，即可求出圆的半径，从而可得出两个圆的直径的长度，将其与AB的长进行比较即可得出结论．

【详解】

解：设长方形的长DC为3xcm，宽AD为2xcm．

由题意，得3x?2x=300，

∵x＞0，

∴x=

∴AB=，BC=cm．

∵圆的面积为147cm2，设圆的半径为rcm，

∴πr2=147，

解得：r=7cm．

∴两个圆的直径总长为28cm．

<=?=<，

∵382428

∴不能并排裁出两个面积均为147cm2的圆．

22．（1）两；（2）2，3；（3）24，-48．

【分析】

（1）根据题中所给的分析方法先求出这32768的立方根都是两位数；

（2）继续分析求出个位数和十位数即可；

（3）利用（1）（2）中材料中的过程进行分析可得结论．

【详解】

解：（1）由103=1000，1003=1000000，

∵1000＜32768＜100000，

∴10100，

故答案为：两；

（2）∵只有个位数是2的立方数是个位数是8，

2

划去32768后面的三位数768得到32，

因为33=27，43=64，

∵27＜32＜64，

∴3040．

3．

故答案为：2，3；

（3）由103=1000，1003=1000000， 1000＜13824＜1000000，

∴10100，

∵只有个位数是4的立方数是个位数是4，

4

划去13824后面的三位数824得到13， 因为23=8，33=27， ∵8＜13＜27，

∴2030．

；

由103=1000，1003=1000000， 1000＜110592＜1000000，

∴10100，

∵只有个位数是8的立方数是个位数是2，

8， 划去110592后面的三位数592得到110， 因为43=64，53=125， ∵64＜110＜125，

∴4050．

； 故答案为：24，-48． 【点睛】

此题考查立方根，解题关键在于理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数． 23．（1）14-（2）124

- 【分析】

（1）根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答； （2）根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答. 【详解】

（1）1151127

44362????-+-++- ? ?????

()115112744362??

=--+-+--+- ???

104??=+- ???

14

=-

（2）原式()235120192018201720163462??

=-+-++-

+-+ ???

124??=-+- ???

124

=-

【点睛】

此题考察新计算方法，正确理解题意是解题的关键，根据例子即可仿照计算.

24．（1）2 (2)①2--5，3（3）71937,,288

【分析】

（1）根据对称性找到折痕的点为原点O ，可以得出-2与2重合； （2）根据对称性找到折痕的点为-1，

a 表示的点重合，根据对称性列式求出a 的值；

②因为AB=8，所以A 到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为-1，由此得出A 、B 两点表示的数；

（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x ，如图1，当AB ：BC ：CD=1：1：2时，所以设AB=a ，BC=a ，CD=2a ，得a+a+2a=9，a=9

4

，得出AB 、BC 、CD 的值，计算也x 的值，同理可得出如图2、3对应的x 的值． 【详解】 操作一，

（1）∵表示的点1与-1表示的点重合， ∴折痕为原点O ，

则-2表示的点与2表示的点重合， 操作二：

（2）∵折叠纸面，若使1表示的点与-3表示的点重合， 则折痕表示的点为-1，

表示的点与数a 表示的点重合，

（-1）=-1-a ，

②∵数轴上A 、B 两点之间距离为8， ∴数轴上A 、B 两点到折痕-1的距离为4， ∵A 在B 的左侧，

则A、B两点表示的数分别是-5和3；

操作三：

（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，

设AB=a，BC=a，CD=2a，

a+a+2a=9，

a=9

4

，

∴AB=9

4

，BC=

9

4

，CD=

9

2

，

x=-1+9

4

+

9

8

=

19

8

，

如图2，当AB：BC：CD=1：2：1时，

设AB=a，BC=2a，CD=a，

a+a+2a=9，

a=9

4

，

∴AB=9

4

，BC=

9

2

，CD=

9

4

，

x=-1+9

4

+

9

4

=

7

2

，

如图3，当AB：BC：CD=2：1：1时，

设AB=2a，BC=a，CD=a，

a+a+2a=9，

a=9

4

，

∴AB=9

2

，BC=CD=

9

4

，

x=-1+

92+98=378

， 综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是198

或72或378．

25．（1）-34；（2）3 【分析】

（1）利用乘方、立方、二次根式、开立方等概念分别化简每项，再整理计算即可； （2）利用绝对值的意义化简每一项，再整理计算即可． 【详解】

解：（1）()2

3

2018

11

22??

-+- ???

()()118444

=-+-?+-?

()1321=--+-

=-34；

（23

3=-

+-

+

-

3=

【点睛】

此题考查了有理数的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 26．（1）23a b -的平方根为4±；（2）3x =±． 【分析】

（1）先由相反数的定义列出等式，再根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性求出a 、b 的值，然后代入，根据平方根的定义求解即可； （2）先将a 、b 的值代入，再利用平方根的性质求解即可． 【详解】

（1）由相反数的定义得：20a b ++=

由绝对值的非负性、算术平方根的非负性得：20

3120a b b +=??+=?

解得2

4a b =??=-?

则23223(4)41216a b -=?-?-=+= 故23a b -的平方根为4±；

（2）方程2420ax b +-=可化为2

24(4)20x +?--=

整理得22180x -=

29

x=

x=±．

解得3

【点睛】

本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性、算术平方根的非负性、平方根的定义等知识点，利用绝对值的非负性、算术平方根的非负性求解是常考知识点，需重点掌握．