导学案033不等式与不等关系
不等式与不等关系
考纲要求
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．
2.了解不等式(组)的实际背景. 考情分析
1.从高考内容上来看，不等关系、不等式的性质及应用 是命题的热点．
2.着重突出考查对不等式性质的灵活运用，有时与充要性的判断交汇命题，体现了化归转化思想，难度中、 低档．
3.考查题型多为选择、填空题. 教学过程
基础梳理
一、实数大小顺序与运算性质之间的关系
a －
b ＞0? ；a －b ＝0? ；a －b ＜0? . 二、不等式的基本性质
1.对称性a >b ?
2.传递性a >b ，b >c ?
3.可加性a >b ?
4.可乘性
a >
b
c >0? ，
????
?a >b c <0?
5.同向可加性
????
?a >b c >d ?
6.同向同正可乘性
?
???
?a >b >0c >d >0?
7.可乘方性a >b >0? (n ∈N ，n ≥2)
8.可开方性a >b >0? (n ∈N ，n ≥2)
两条常用性质
① a ＞b ，ab ＞0?1a ＜1
b
② 若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a ＜b ＋m
a ＋m
；
双基自测
1．若x ＋y >0，a <0，ay >0，x －y 的值为 ( ) A ．大于0 B ．等于0 C ．小于0
D ．不确定
2．(教材习题改编)已知a ，b ，c 满足c ac B ．c (b －a )<0 C ．c b 2
D ．ac (a －c )>0 3．已知a ，b ，c ，d 均为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．(教材习题改编)3＋7与25的大小关系是________． 5．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题： ①若a >b ，则a c 2 >b c 2 ； ②若a c 2 >b c 2 ，则a >b ； ③若a >b ，则a ·2c >b ·2c 以上命题中正确的是____________(请把正确命题的序号都填上)． 典例分析 考点一、比较大小 [例1] (2012·珠海模拟)已知b >a >0，x >y >0，求证： x x ＋a >y y ＋b . 变式1．(2012·杭州模拟)已知a>b≥2.现有下列不等式：①b2>3b－a；②ab>a ＋b.其中正确的是 ( ) A．①B．② C．①②D．都不正确 比较大小的方法 1．作差法： 其一般步骤是：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差． 2．作商法： 其一般步骤是：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论． 3．特例法： 若是选择题还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以用特殊值法探路. 考点二、不等式的性质 [例2](2011·全国卷)下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是() A．a>b＋1 B．a>b－1 C．a2>b2D．a3>b3 变式2．(2012·义乌模拟)设a，b∈R，若b－|a|>0，则下列不等式中正确的是() A．a－b>0 B．a＋b>0 C．a2－b2>0 D．a3＋b3<0 (1)判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质． (2)特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题. 考点三、不等式性质的应用 [例3](2011·浙江高考)若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜1 a ”的 () A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 变式3．(2012·金华质检)已知a∈R，则“a>2”是“a2>2a”成立的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条 (1)运用不等式性质解决问题时，必须注意性质成立的条件． (2)同向不等式的可加性与可乘性可推广到两个以上的不等式． 一个技巧 作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方． 一种方法 待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围． 两条常用性质 (1)倒数性质： ①a＞b，ab＞0?1 a ＜ 1 b ； ②a＜0＜b?1 a ＜ 1 b ； ③a＞b＞0,0＜c＜d?a c ＞ b d ； ④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?1 b ＜ 1 x 1 a (2)若a＞b＞0，m＞0，则 ①真分数的性质： b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m (b －m ＞0)； ②假分数的性质： a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －m b －m (b －m ＞0)． 本节检测 1．(2011·长沙一模)若a ，b ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．若a >b ，则a 2>b 2 B ．若|a |>b ，则a 2>b 2 C ．若a >|b |，则a 2>b 2 D ．若a ≠|b |，则a 2≠b 2 2．(2011·泉州质检)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M B ．M >N C ．M ＝N D ．不确定 3．设a ，b 是非零实数，若a A ．a 2 B ．ab 2 1ab 2<1 a 2b D.b a 4．设0 A ．ab B ．12 log b <12 log a <0 C ．2b <2a <2 D ．a 2 5. 12－1 与3＋1的大小关系为________． 6. (2011·陕西)设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )． A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2 B ．a ＜ab ＜a ＋b 2＜b C ．a ＜ab ＜b ＜ a ＋ b 2 D.ab ＜a ＜ a ＋b 2 b 自我反思 3.1.1从算式到方程 [学习目标]能根据题意用字母表示未知数，然后分析出等量关系,再根据等量关系列出方程。[学习重点]能根据题意用字母表示未知数，然后分析出等量关系,再根据等量关系列出方程。 [学习难点]体会找等量关系，会用方程表示简单实际问题。 [学习过程] 问题1：根据条件列出式子 1、数的关系： ①比a大10的数：； ②b的一半与7的差：； ③x的2倍减去10：； ④某数x的30%与这个数的2倍的积：； ⑤a的3倍与a的2的商：； 2、基本图形关系： ①正方形的边长为a，则面积为，周 长为； ②长方形的长为a，宽为b，则面积为， 周长为； ③圆的半径为r，则周长为，面积 为； ④三角形的三边长分别为a、b、c，则周长 为，若长为a的边上的高为h，则 面积为； ⑤正方体的棱长为a，则体积为， 表面积为； ⑥长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则长方 体的体积为，表面积 为； ⑦圆柱的底面圆半径为r，高为h，则侧面积 为，体积为； ⑧梯形的上、下底长分别为a、b，高为h，则面 积为。3、其他关系： ①某商品原价为a元，降价20%后售价 为元； ②某商品原价为a元，升价20%后售价 为元； ③某商品原价为a元，打七五折后售价 为元； ④某商品每件x元, 买a件共要花元； ⑤汽车每小时行驶v千米，行驶t小时后的路为千米； ⑥某建筑队一天完成一件工程的 12 1，x天完成这件工程的； 练习一根据条件列出式子 ①比a小7的数：； ②x的三分之一与9的和：； ③x的3倍减去x的倒数：； ④某数x的一半与b的积：； ⑤x与y的平方差：； 问题2：根据条件列出等式： ①比a大5的数等于8：； ②b的一半与7的差为6 ：； ③x的2倍比10大3：； ④比a的3倍小2的数等于a与b的和：； ⑤某数x的30%比它的2倍少34：；问题3：根据下面实际问题中的数量关系，设未知数列出方程： ①用一根长为24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长为多少？ 解：设正方形的边长为x cm，列方程得：。 ②某校女生人数占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？ 解：设这个学校学生数为x，则女生数为，男生数为，依题意得方程： 不等关系与基本不等式同步练习题（一） （时间：120分钟 满分：150分） A.基础卷 一、选择题（5×8=40分） 1．函数)2(2 1 >-+ =x x x y 的最小值为( ) A. 2 B ． 3 C ． 4 D ．23 2．不等式0)31(>-x x 的解集是（ ） A ．)31,(-∞ B ． )31,0()0,( -∞ C ． ),31(+∞ D ．)3 1,0( 3．已知,R b a ∈、且0>ab ，则下列不等式不正确的是( ) A ．b a b a ->+ B ．b a b a +<+ C ．b a ab +≤2 D ． 2≥+b a a b 4．已知无穷数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，则有（ ） Ａ． 8 6 64a a a a ≤ Ｂ． 8664a a a a < Ｃ．8664a a a a > Ｄ．8664a a a a ≥ ５．已知01,0<<-> Ｂ．a ab ab >>2 Ｃ．2 ab a ab >> Ｄ．a ab ab >>2 ６.已知,1117,32-≤<-<≤-y x 则1 2 -y x 的取值范围是（ ） Ａ．??? ??-- 92,43 Ｂ．??? ??-0,43 Ｃ．??? ??-0,21 Ｄ．??? ??-0,43 ７．若 ,11 <++b a a b 则b a 与中必（ ） Ａ．一个大于１，一个小于１ Ｂ．两个都大于１ Ｃ．两个都小于１ Ｄ．两个的积小于１ 8．已知,,d c b a >>则（ ） Ａ． d b c a ->- Ｂ． c b d a > Ｃ．a d b c ->- Ｄ．bd ac > 2.1 不等式的基本性质 随堂练习1 姓名 不等式的一个等价关系（充要条件） 从实数与数轴上的点一一对应谈起 0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-? 例2 求证：x 2 + 3 > 3x 证：∵(x 2 + 3) - 3x = 04 3 )23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x ∴x 2 + 3 > 3x 例3 解关于x 的不等式（m-1）x >x+m 练习 解关于x 的不等式：)1(232≠+>+-a x a a ax ． 2.1 不等式的基本性质 课后巩固1 姓名 1 比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小 2 已知0>>b a ，试比较2 222b a b a -+与b a b a -+的值的大小 此题作差后x 分大于0 ，等于0 ，小于0三种情况讨论差的符号 1． 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m ≠ n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？ 解：设从出发地到指定地点的路程为S ， 甲乙两人走完全程所需时间分别是t 1, t 2， 则 ： 21122,22t n S m S S n t m t =+=+ 可得： mn n m S t n m S t 2) (,221+= += ∴) (2)()(2])(4[2)(22 221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵S , m , n 都是正数，且m ≠ n ，∴t 1 - t 2 < 0 即：t 1 < t 2 从而：甲先到到达指定地点。 3 设 x ∈R 且x ≠－1，比较1 1＋x 与1－x 的大小． 八年级数学下册2.3 不等式的解集导学案（新 版）北师大版 【学习目标】 【学习过程】 一、温故知新： 1、设a＞b,用“＜”或“＞”号填空。（1）a+1 b+1；（2）a－3 b－3；（3）3a3b；（4）；（5）－－；（6）－ a －b。 二、新知探究： 【探究一】 1、研读课本 p47页的探究。 2、根据题意可得引火线的长度x应满足的关系式为： 。 3、利用不等式的基本性质，得x的取值范围是。 【探究二】 4、认真研读课本p47页的“ 想一想”。 （1）x=2，5，7， 8、3能使不等式x>5成立吗？（2）你还能找出一些使不等式x＞5成立的x的值吗？ 【探究三】 (1)方程2x=4的解有个； (2) 不等式2x<4的解有个； (3)不等式5x≥-10的解集是。 三、交流研讨 【研讨一】 5、认真研读课本p47页的有关概念。(1)能使不等式成立的，叫做不等式的解。例如:在4，5，-7,10, 13、9这些数中，是不等式x<7的解，而不是不等式x<7的解。(2)一个含有未知数的，组成这个不等式的解集。(3)求不等式的过程叫做解不等式。(4)不等式的解集在数轴上的表示方法:在数轴上表示不等式≥－2的解集，正确的是（） A B C D 【研讨二】 尝试判断 1、-2是不等式 x<4的一个解； ( ) 2、x=7是不等式 x＞3的解集； ( ) 3、x=3是不等式8-x<0的一个解； ( ) 4、不等式3x-12<0的解集是x＞4。 ( ) 四、课堂内化：(你学到了什么?) 五、课后作业 1、如图所示，在数轴上表示x＞-2的解集，正确的是（） 2、在数轴上表示下列不等式的解集：（1）x≥3；（2）x≤－4；（3） x＜0；（4）x＞－2 。 第三章 不等式 §3.1 不等关系与不等式 材拓展 1．不等式的基本性质 对于任意的实数a ，b ，有以下事实： a>b ?a －b>0； a ＝ b ?a －b ＝0； ab>0，m>0，要比较a ＋m b ＋m 与a b 的大小，就可以采用以下方法： a ＋m b ＋m －a b ＝bm －am b (b ＋m )＝m (b －a )b (b ＋m ) . ∵m>0，a>b>0，∴b －a<0， ∴m (b －a )b (b ＋m )<0，∴a ＋m b ＋m b ，b>c ?a>c. (2)a>b ，c>d ?a ＋c>b ＋d. (3)a>b ，c>0?ac>bc. (4)a>b ，c<0?ac 9.2.一元一次不等式（第一课时） 一、单元导入明确目标 1、单元导入 形式：知识树、知识框架；目的：知识系统化，引入课题。 2、学习目标 1、能说出什么叫一元一次不等式。 2、知道解方程得移项法则对解不等式同样适用；能归纳出一元一次不等式的解法（解法步骤） 3、能正确运用不等式基本性质3，正确地解一元一次不等式，并把解集在数轴上表示出来。 学习重点：熟练并准确地解一元一次不等式 学习难点：熟练并准确地解一元一次不等式 学习指导： 二、自主合作展示点拨 （一）探究新知 活动1：复习引入【学习方式：独立完成学案，展示点拨】 1、( )叫做一元一次不等式？一元一次不等式的最简形式是( )？一元一次不等式的标准形式是( ) ？ 2、解一元一次不等式与解( ) 相类以，但依据是( ) 3、解一元一次不等式时，两边都乘以或除以同一个负数时，最需要注意( ) 4、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： （1）x+3＞2 (2) -2x＜10 (3) 3x+1＜2x-5 (4) 2-5x≥8-2x 活动2：探究如何把一元一次不等式为x>a 或x1 B ．2x>1 C ．2x 2≠1 D ．2<1x 2．判断正误： （1）12 x+3>-5是一元一次不等式 （ ） （2）x+2y ≤0是一元一次不等式 （ ） （3）1x >-8不是一元一次不等式 （ ） 3．方程26-8x=0的解是______，不等式26-8x>0的解集是______，不等式26-8x 不等关系与不等式 【学习目标】 1．了解不等式(组)的实际背景． 2．掌握比较两个实数大小的方法． 3．掌握不等式的八条性质． 【学法指导】 1．不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言” 转化成“数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步．只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即可． 2．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻底，当不能“定号”时注意分类讨论． 3．不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形． 一、知识温故 a－b＞0?； a－b＝0?； a－b＜0?. 3．常用的不等式的基本性质 (1)a>b?b a(对称性)； (2)a>b，b>c?a c(传递性)； (3)a>b?a＋c b＋c(可加性)； (4)a>b，c>0?ac bc；a>b，c<0?ac bc； (5)a>b，c>d?a＋c b＋d； (6)a>b>0，c>d>0?ac bd； (7)a>b>0，n∈N，n≥2?a n b n； (8)a>b>0，n∈N，n≥2?n b. 二、经典范例 问题探究一实数比较大小 问题1(实数比较大小的依据) 在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左 边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质： 如果a－b是正数，那么； 如果a－b是负数，那么； 如果a－b等于零，那么. 以上结论反过来也成立，即a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a＝b. 问题2(作差法比较实数的大小) 向一杯a克糖水中加入m克糖，糖水变得更甜了．你能把这一现象用一个不等式表示出来吗？并证明你的结论． 问题探究二不等式的基本性质 问题3在实数大小比较的基础上，可以给出不等式八条基本性质的严格证明．证明时，可以利用前面的性质推证后续的性质． 请同学们借助前面的性质证明性质6： 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd. 9.1.1 不等式及其解集 学习目标 1.了解不等式概念，会列不等式； 2.理解不等式的解与解集，能正确表示不等式的解集。培养数感，渗透数形结 合的思想. 重点：不等式的解集的表示 活动1 自学教材P114-115思考并完成下列问题（先独立思考后小组交流完善）问题：一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50千米，要在12：00正好到达A地，车速应满足什么条件？ 1.变式： 一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50千米，要在12：00之前驶过 ．．．．A地，车速应满足什么条件？ 2.不等式的概念 3.不等式的解和解集 ⑴什么叫做不等式的解？ ⑵什么叫做不等式的解集？怎样表示不等式的解集？ 4.解不等式的含义 总结： ⑴不等式分两大类：①表示大小关系的不等式，其符号类型有：“＞”、“＜”、 “≤”、“≥”.“≤”读作“小于或等于”也可以说是“不大于”；“≥”读作“大于或等于”也可以说“不小于”.②表示不等关系的不等式，其符号为“≠”，读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不明确谁大，谁小. 有些不等式不含未知数，有些不等式含未知数. ⑵不等式的解集的表示方法：①用最简的不等式表示：如26 x-<的解集为8 x<.②用数轴表示：如x a >在表示a的点上用空心圆圈表示不包括这一点，x a ≥在表示a的点上用实心点表示包括这一点. 活动2练习巩固 1.判断下列数中哪些是不等式2 50 3 x>的解：76，73，79，80，74.9，75.1，90， 60.你还能找出这个不等式的其他解吗？这个不等式有多少个解？ 2.下列各数:-5,-4,-3,- 2,-1,0,1,2,3,4,5中,同时适合x+5<7和2x+2>0的有哪几个数? 3.用不等式表示 (1)a是正数；(2)a是负数；(3)a与5的和小于7；(4)a与2的差大于-1；（5）a的4倍大于8；（6）a的一半小于3. 4.直接想出不等式的解集，并用数轴表示： （1）x+3>6；（2）2x<8；（3）x-2≥0. 活动3课堂作业 1.用不等式表示： ⑴a与5的和是正数 ⑵b与15的差小于27 ⑶c的4倍大于或等于8 ⑷d与5的积不小于0 ⑸x的2倍与1的和是非正数 7.1生活中的不等式 班级姓名 【学习目标】 1.会用不等号“＜，＞，≤，≥，≠”等不等号连结两个数. 2.理解描述不等关系的词语，例如：大于，小于，不大于，不小于，大于或等于，小于或等于，不等于… 理解正数，非负数，负数等等用不等式表示的方法. 3.感受生活中的不等关系，理解生活中有一些描述不等关系的词语，例如：最大（小），最高（低），超 过，低于，不超过，不低于，以上，以下，少于，不少于，打破某项记录，限速，限高…会由题意列出最简单的不等式. 【学习重点】认识不等式 【学习难点】文字语言转化为数学不等式 【学习过程】 一、课前导学 1、用_______表示______关系的式子叫做不等式。 2、用不等式表示： （1）x的2倍大于x ；（2）a与b的差是非负数。 3、小明今年x岁，小强今年y岁，爷爷今年m岁，小明年龄的3倍与小强年龄的6倍和小于爷爷的年龄。 4、用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如下表： 现需配制这种原料10千克。 （1）若要求至少含有4200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x (千克)应满足的不等式； （2）若要求购买甲、乙两种有原料的费用不超过72元，那么你能写出x（千克）应满足的另一个不等式吗？ 二、合作探究 活动一：情境创设 小磊和他的妈妈、爸爸的体重分别为30kg、55kg和75kg.春节期间，去公园游乐场玩跷跷板，小磊和妈妈玩时，谁会向上跷？若小磊和妈妈坐一头，爸爸坐在另一头时，谁会向上跷？你能知道游戏的结果吗？为什么？ 活动二：探究学习 1．尝试：你能用数学式子表示下面数量之间的关系吗？ （1）一辆轿车在公路上正常行驶的速度是a km/h,已知公路对轿车的限速（不超过）是100 km/h,那么你如何表示a 与100的大小关系？ （2）某种袋装牛奶中，每100g 牛奶含xg 蛋白质、yg 脂肪．该种牛奶的营养成份含量如右表． 2．概括总结． 像x ≥2.9，y ≥3.1，100-x-y ≥8.1，x+2<48，a ≤100等，那样用 式子叫做不等式．常用的不等号有： ． 3.概念巩固： （1）下列式子中，哪些是不等式？哪些不是? (1) –2＜ 0 ； (2) 2a ＞ 3-a ； (3)3x +5； (4)2 (-1)a ≥0； (5) s = vt ； (6)2 23x x +≠； (7)3＞5； (8)5x ≤4x -1. （2）你还能举出其它具有不等关系的实例吗？和你的同桌交流交流． 4.探究：（1）如何表示下面气温之间的关系？某城市某天的最低气温是-2℃,最高气温是6℃,该市这天某一时刻的气温是t ℃. （2）建设中的三峡水电站的水库水位在145-175m （包括145m ，175m ）时，发电机能正常工作，设水库水位为x （m ）．你能用关于x 的一个式子刻画水位需满足的高度要求吗？ 三、例题精析 例1、用不等式表示： (1)a 是正数； (2)b 是非负数； (3)x 的一半小于-1； (4)y 与4的和大于0.5. 例2、列不等式： (1)一个数m 的绝对值不小于0. (2)两数m 、n 积的2倍不大于这两数的平方和. 不等关系与不等式（第一课时） 一、教学任务分析 1、感受不等关系的普遍存在 通过一系列的具体情境，使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系。 2、利用不等式（组）表示实际问题中的不等关系 通过具体问题情境，让学生学习如何利用不等式（组）研究及表示不等关系，进一步理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。 3、初步掌握运用作差比较法比较实数和代数式的大小。 二、教学重点和难点 重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。 难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。 三、教学基本流程 四、教学情景设计 1、引入：章头图及古诗《题西林壁》引入，介绍不等量关系也是自然界中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在，在数学研究和数学应用中也起着重要的作用，也正是实际问题的需要我们要研究不等量关系。介绍本章将要研究表示不等量关系的不等式的基本知识。 设计意图：使学生体会不等关系的普遍存在，了解学习不等式的意义。 2、创设情境，让学生感受生活中的不等关系。 师：多媒体出示情景：（1）交通标志(限速、限高、限宽)；（2）商家打折海报（一折起、低至几折）；（3）产品含量指标。问：表示什么含义？怎么表示其中的不等关系？ 生：分析各种不等关系，口答并尝试用不等式（组）表示。 师：引导学生准确表述，给出不等式定义，板书学生口答的各问题中不等式（组）。 设计意图：进一步让学生感受生活中的不等关系，知道用不等式（组）表示这种不等关系。 3、知识探究一：具体情境中如何用不等式研究及表示不等关系。 师：多媒体出示问题1（销售收入问题）、2（实际安排生产问题）。 学生：独立思考后，与本组同学交流讨论结果。完成后交流展示，小组代表板书结果，并说明式子的含义。 师：点评学生结果，找有不同结果的小组讲解不同方法或补充，引导学生分析比较。 设计意图：问题方式给出，强化学生的问题意识，使学生在具体问题情境中经历如何利用不等式研究及表示不等关系。小组合作探究，使学生交流对于问题的认识。展示不同结果，使学生认识思考问题严谨性和不同角度。师最后介绍两问题中反映的生产要求如何解决，是本章后续章节会解决的问题。激发学生学习欲望，体会数学知识与生活的密切相关。 4、知识探究二：比较实数和代数式大小的方法——作差法。 生：结合学案上知识探究二中所填结果，与同组学生交流结论。 师：提问引导学生表述：要比较两数或代数式大小，可以让两数或两式相减，比较结果和0的大小。若结果大于0，则前者大于后者；若……。 设计意图：让学生分析作差法具体做法，明确这种比较大小的方法如何运用。 5、课堂练习：作差法比较代数式的大小。 生：可独立完成，也可与同组同学交流，在规定时间完成。 师：巡视，指导学生疑难处，找完成好的两生板演结果，并让板演学生讲解。点评学生思路，进一步总结作差法中变形结果的形式： 不等式的基本性质导学案 知识导引 不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型，在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式． 本讲的主要知识点： 1、不等号有“≠”，“＞”，“＜”，“≥”，“≤”。“≥”表示大于或等于；“≤”表示小于或等于． 2、一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，即不等式的解集． 3、不等式性质1：不等式两边同时加上或减去一个相同的数，不等号方向不变； 不等式性质2：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变； 不等式性质3：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变； 4、在数轴上表示解集，必须注意空心圈与实心点表示的不同含义． 5、不等式解集口诀：大大取大，小小取小，小大大小连起写，大大小小题无解． 6、解决与不等式相关的问题，常用到分类讨论、数形结合等相关概念和方法． 典例精析 例1：下列四个命题中，正确的有（ ） ①若a ＞b ，则a ＋1＞b ＋1；②若a ＞b ，则a －1＞b －1；③若a ＞b ，则－2a ＜－2b ；④若a ＞b ，则2a ＜2b ． A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 例1—1：已知a ，b ，c 是有理数，且a ＞b ＞c ，则下列式子中正确的是（ ） A 、ab ＞bc B 、a ＋b ＞b ＋c C 、a －b ＞b －c D 、 c b c a > 例2：若实数a ＞1，则实数a M =，32+=a N ，3 12+=a P 的大小关系为（ ） A 、P ＞N ＞M B 、M ＞N ＞P C 、N ＞P ＞M D 、M ＞P ＞N 例3：解不等式54 56110312-≥+--x x x ，并把它的解集在数轴上表示出来． 例3—1：请你写出一个满足不等式2x －1＜6的正整数x 的值： ． 例3—2：若关于x 的不等式3m －2x ＜5的解集是x ＞2，则实数m 的值为 ． 例4：某童装加工企业今年五月份，工人每人平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的 不等式的解集 学习目标： ①能够根据具体情境中的大小关系了解不等式的意义 ②能够在数轴上表示不等式 学习过程 第一环节：复习旧知识 1.什么叫不等式?什么叫方程?什么叫方程的解? 2.用不等式表示： (1)x的3倍大于1； (2)y与5的差大于零； (3)x与3的和小于6； (4)x的小于2. 3.当x取下列数值时，不等式x+3＜6是否成立? -4，，，3，0，. 第二环节：创设情境，导入新课 在某次数学竞赛中,教师对优秀学生给予奖励,花了30元买了3个笔记本和若干支笔,已知笔记本每本4元,笔每支2元,问最多能买多少支笔? 第三环节：师生互动，课堂探究 （一）提出问题,引发讨论探索交流: 1、若某人要完成一件工作，要求他完成这项任务的时间不得少于4小时，你知道他允许用的时间有多长吗？ 2、燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10米以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度为s，人离开的速度为4 m/s，那么导火线的长度应为多少cm？ （二）想一想： （1）x=4、5、6、能使不等式成立吗？ （2）你还能找出一些使不等式x＞5成立的x的值吗？ （三）导入知识，解释疑难： 通过以上问题情境的引入可知：所列出的不等式中都含有未知数，而符合条件的未知数的值很多，只要将其中任一个未知数的值代入原不等式中，均能使不等式成立，把“能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。”不等式的解有时有无数个，有时有有限个，有时 无解。 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。 既然不等式的解集在通常情形下有很多个符合条件的解，那么我们能否用一种直观的方法把不等式的解集表示出来呢？请同学们相互交流，发表自己的见解。 （四）议一议： 请同学们用自己的方式将不等式X ＞5的解集和不等式X-5≤-1的解集分别表示在数轴上，并与同伴进行交流 注意：将不等式的解集表示在数轴上时，要注意： 1)指示线的方向,“>”向右,“<”向左. 2)有“=”用实心点,没有“=”用空心圈. 三、应用举例，变式练习 例1 在数轴上表示下列不等式的解集： (1)x≤-5； (2)x≥0； (3)x ＞-1;(4)1≤X≤4; (5)-2＜X≤3； (6)-2≤x＜3. 例2 用不等式表示下列数量关系，再用数轴表示出来： (1)x 小于-1； (2)x 不小于-1；(3)a 是正数； (4)b 是非负数. 练习：用简明语言叙述下列不等式表示什么数： ①x＞0;②x＜0;③x＞-1;④x≤-1. 四、师生共同小结 针对本节课所学内容，请学生回答以下问题： 1.如何区别不等式的解，不等式的解集及解不等式这几个概念? 2.找出一元一次方程与不等式在“解”，“求解”等概念上的异同点. 3.记号“≥”、“≤”各表示什么含义? 4.在数轴上表示不等式解集时应注意什么 当堂检测： 1．不等式中，解集不包括25 的是 （ ） 学案29：不等关系与不等式 知识梳理： 一．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a － b ＞0?a >b ；a －b ＝0?a ＝b ；a －b ＜0?a b ?ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ?ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)． [试一试]1．(2013·北京高考)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1b C ．a 2>b 2 D. a 3>b 3 2. 12－1 ________3＋1(填“>”或“<”)． 四.方法：1．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0?1a <1b ；(2)a <0b >0,0 (1)真分数的性质：b a b －m a －m (b －m >0)； (2)假分数的性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b 0)． [练一练]若00，则 b ＋ c a ＋c 与a ＋c b ＋c 的大小关系为________． 1.已知a 1，a 21212 ) A ．M 【关键字】八年级 一、学习目标 1、较熟练地解一元一次不等式； 2、会求不等式的整数解，会用一元一次不等式解简单的实际问题。 2、自学感知 1、只含有未知数，并且未知数的最高次数是，系数0，这样的不等式叫 做一元一次不等式. 2、解方程的基本步骤是___ __、____ __、_______、____ __、________。解 一元一次不等式和解一元一次方程步骤类似，但要注意在不等式两边都乘以（或除 以）同一个负数时，不等号方向必须. 3、解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来： （1）－x－1≥3 （2）≥－（3）－4＞－ 三、合作探究： 例1、当x取何值时，代数式与的差大于4？ 讨论：若将本题改为“代数式与的差大于4时，求x 的最大整数解？” 总结： （1）解法步骤类似: 去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1. （2）求一元一次不等式的整数解比求一元一次方程的解集多一个步骤： 就是在解集中找出整数解. 例2、甲、乙两商店以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费.顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠？这个问题较复杂，从何处入手考虑它呢？ 我们是否应分情况考虑？可以怎样分情况呢？ 四、当堂检测： 1、已知y＝1－2x ， 求（1）当x为何值时，＞1；（2）当y为何值时，x≤－1 2、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来 （1） (2) （3）（4） 7、已知关于x的方程3k－5x＝－9的解是非负数，求k的取值范围 8、小明有1元和5角的硬币共13枚，这些硬币的总值大于8.5元，问小明至少有多少枚1元的硬币？ 9．某公司要招甲、乙两种工作人员30人，甲种工作人员月薪600元，乙种工作人员月薪1000元.现要求每月的工资不能超过2.2万元，问最多可招乙种工作人员多少名？ 10．某校校长暑假将带领该校市级优秀学生乘旅行社的车去A市参加科技夏令营，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”.乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票的6折优惠”，若全票价为240元. (1)设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙.分别计算两家旅行社的收费（建立表达式）；(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？ (3) 就学生数x讨论哪家旅行社更优惠. 五、重点纠错 此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！ a 6 Ｂ． Ｃ． Ｄ． ６.已知 - 2 ≤ x < 3,-17 < y ≤ -11, 则 的取值范围是（ ） Ａ． -? 3 2 ? ? 3 ? ? 1 ? ?3,- ? Ｂ． - ,0 Ｃ． - ,0 Ｄ． - ,0 ? ??Ａ． a - c > b - d Ｂ． a 不等关系与基本不等式同步练习题（一） （时间：120 分钟 满分：150 分） A.基础卷 一、选择题（5×8=40 分） 1．函数 y = x + 1 ( x > 2) 的最小值为( x - 2 ) A. 2 B ． 3 C ． 4 D ． 3 2 2．不等式 x (1 - 3x) > 0 的解集是（ ） 1 1 1 1 A ． (-∞, ) B ． (-∞,0) (0, ) C ． ( ,+∞) D ． (0, ) 3 3 3 3 3．已知 a 、b ∈ R, 且 ab > 0 ，则下列不等式不正确的是( ) A ． a + b > a - b B ． a + b < a + b C ． 2 ab ≤ a + b D ． b a + ≥ 2 a b 4．已知无穷数列 { n }是各项均为正数的等差数列，则有（ ） Ａ． a 4 ≤ a 6 a a ５．已知 a < 0,-1 < b < 0 ，则 a, ab, ab 2 的大小关系是（ ） Ａ． a > ab > ab 2 Ｂ． ab 2 > ab > a Ｃ． ab > a > ab 2 Ｄ． ab > ab 2 > a x 2 y - 1 ? ? 4 9 ? ? 4 ? ? 2 ? ? 4 ? ７．若 ab + 1 a + b < 1, 则 a 与 b 中必（ ） Ａ．一个大于１，一个小于１ Ｂ．两个都大于１ Ｃ．两个都小于１ Ｄ．两个的积小于１ 8．已知 a > b , c > d , 则（ ） b > Ｃ． c - b > d - a Ｄ． ac > bd d c 七年级下册《不等式及其解集》导学案 一、内容和内容解析 内容 概念：不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式以及能在数轴上表示简单不等式的解集． 内容解析 现实生活中存在大量的相等关系，也存在大量的不等关系．本节课从生活实际出发导入常见行程问题的不等关系，使学生充分认识到学习不等式的重要性和必然性，激发他们的求知欲望．再通过对实例的进一步深入分析与探索，引出不等式、不等式的解、不等式的解集以及解不等式几个概念．前面学过方程、方程的解、解方程的概念．通过类比教学、不等式、不等式的解、解不等式几个概念不难理解．但是对于初学者而言，不等式的解集的理解就有一定的难度．因此教材又进行数形结合，用数轴来表示不等式的解集，这样直观形象的表示不等式的解集，对理解不等式的解集有很大的帮助． 基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：正确理解不等式、不等式的解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示在数轴上． 二、目标和目标解析 教学目标 ．理解不等式的概念 ．理解不等式的解与解集的意义，理解它们的区别与联系．了解解不等式的概念 ．用数轴来表示简单不等式的解集 目标解析 ．达成目标1的标志是：能正确区别不等式、等式以及代数式． ．达成目标2的标志是：能理解不等式的解是解集中的某一个元素，而解集是所有解组成的一个集合． ．达成目标3的标志是：理解解不等式是求不等式解集的一个过程． 达成目标4的标志是：用数轴表示不等式的解集是数形结合的又一个重要体现，也是学习不等式的一种重要工具．操作时，要掌握好“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可，边界点含于解集中用实心圆点，或者用空心圆点；二是定方向，小于向左，大于向右． 三、教学问题诊断分析 本节课实质是一节概念课，对于不等式、不等式的解以及解不等式可通过类比方程、方程的解、解方程类比教学，学生不难理解，但是对不等式的解集的理解就有一定的难 8.3 一元一次不等式组第1课时 学前温故 1．解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1. 2．不等式1＋x 2＋x 4＋x 8＋x 16 ＞x 的解集是( )． A ．x ＜16 B ．x ＞16 C ．x ＜1 D ．x ＞－1116 答案：A 新课早知 1．一元一次不等式组 一般地，含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 1．解一元一次不等式组 【例1】 解不等式组????? x －3≤0， ①x －12 －2x －13>1. ② 分析：不等式组的解集就是各不等式的解集的公共部分，可以借助数轴找出． 解：解不等式①得x ≤3. 由②得3(x －1)－2(2x －1)＞6， 化简得－x ＞7，解得x ＜－7. 把不等式①和不等式②的解集在数轴上表示出来： 所以原不等式组的解集为x ＜－7. 2．一元一次不等式组的简单应用 【例2】 已知不等式组? ???? x ＋2>m ＋n ，x －1 1．某不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是( )． A.????? x ≥－2，x ≤3 B.????? x ≥－2，x <3 C.????? x >－2，x <3 D.????? x >－2，x ≤3 答案：B 2．不等式组??? x 2＋1≥x －3，x 3－1>0的解集是( )． 解析：先解第一个不等式得x ≤8，解第二个不等式得x ＞3，结合数轴求得不等式组的解集是3＜x ≤8.故选B. 3．不等式组? ???? 2x －6<4，x >2的解集为__________． 答案：2＜x ＜5 4．不等式组? ???? 6x －7≤0，3x <5x ＋2的解集是__________． 5．不等式组????? 2x ＋1>0，2x ≤4的整数解是__________． 答案：0,1,2 6．解不等式组：????? 2x ＋1>－3，①8－2x ≤x －1，②并把解集在数轴上表示出来． 解：由①，得x ＞－2. 由②，得x ≥3， 所以不等式组的解集为x ≥3，在数轴上表示如图： 7．解不等式组： ????? x －2<0，5x ＋1＞2(x －1). ①② 解：解不等式①得x ＜2， 解不等式②得x ＞－1， 所以不等式组的解集为－1＜x ＜2. 第一课时：不等式关系与不等式 知识点一 不等关系 思考 限速40km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km /h ，用不等式如何表示？ 答案 v ≤40. 梳理 试用不等式表示下列关系： (1)a 大于b a ＞b (2)a 小于ba b ?a －b >0；a ＝b ?a －b ＝0； a b ?b b ，b >c ?a >c (传递性)； 第三节.不等关系与基本不等式 基本不等式 (3)a >b ?a ＋c >b ＋c (可加性)； (4)a >b ，c >0?ac >bc ；a >b ，c <0?ac 9.1.1不等式及其解集 设计人: 宝福艳第周第课时总第( )节时间：月日 班级: 姓名 学习目标: 1.能说出不等式的定义. 2.会找不等式解集并会在数轴上表示解集。 一、自学指导 认真阅读课本114页---115页内容，记忆并完成下列问题： 1用“__________”或“_________”号表示大小关系的式子叫做不等式，用“______________”号表示不等关系的式子也是不等式。 2、使不等式成立的未知数的值叫做。 3、一般地，一个含有未知数的不等式的_________的解，组成这个不等式的解集 4、求不等式的______________________的过程叫做解不等式 二、预习检测 1、用不等式表示下列语句： ①、用不等式表示： a与5的和小于7；。 ②、a是正数；。 ③、a的4倍大于8； ④、a是负数；。 ⑤、a与2的差大于-1； ⑥、a的一半小于3 2、下列式子中哪些是不等式？ （1）a＋b=b+a （） （2）－3＞－5 ( ) （3）x ≠l ( ) （4）x 十3>6 ( ) （5） 2m< n ( ) （6）2x-3 ( ) ⑺ 4x-2y ≤0 （ ） ⑻ 7n-5≥2 （ ） ⑼ 3x 2+2＞0 （ ） 3.不等式260x ->的解集在数轴上表示正确的是（ ） 三、合作探究 1、判断下列数中哪些是不等式x+3﹥6的解？ -4， -2.5, 0, 1, 2.5, 3, 3.2, 4.8, 8, 12 1）你认为x+3﹥6 有多少个解？ 2）、当x 符合什么条件时x+3﹥6总成立 3）、所以不等式x+3﹥6的解集是 2、不等式解集在数轴上的表示方法。 四．课堂达标 基础练习 一、选择题 1、m 与5的和的一半是正数，用不等式表示（ ） A ． B ． C ． D ．一元一次方程学案(完整版)
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